中国剩余定理

在中国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。

有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百零五便得知。

”
这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。

“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在中国公元四世纪的数学着作《孙子算经》中。

《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组
N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2
的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。

《孙子算经》所给答案是N=23。

由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。

但是《孙子算经》并不是这样做的。

“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。

将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。

列成算式就是：
N=70×2+21×3+15×2－2×105。

这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。

对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。

以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式
N=70×R1+21×R2+15×R3－P×105（p是整数）。

孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。

后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。

《孙子算经》没有说明这三个数的来历。

实际上，它们具有如下特性：
也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。

假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，2，3)的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。

由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。

解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a，而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来70a+21b+15c是3除余a，5除余b，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3×5×7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。

附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。

孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式：70a+21b+15c-105n
题中有三个数，分别为3、5、7，5×7÷3余数为2，取35；3×7÷5余数为1，要使余数为3，只需将3×7扩大3倍变成63即可；同样3×5÷7的余数为1，要使余数为2，则将3×5扩大2倍，变成30。

中国剩余定理”算理及其应用：
为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。

21是3和7的公倍数，且除以5余1。

15是3和5的公倍数，且除以7余1。

（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。

）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。

后来中国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2+120×4+105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4+385×3+320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5+225×1+126×2=1877，因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6+225×2+126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。

（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。

）
此题的初等解法
四川省三台县工商局王志成的初等解法，简单、方便、可以永远的延续下去。

条件1、三三数之余二，条件2、五五数之余三，条件3、七七数之余二，条件4、十一十一数之余七，条件5、十三十三数之余五，条件6、十七十七数之余七，
⒈满足条件1为等差数列：3N+2。

⒉将等差列3N+2取5项有：2，5，8，11，14，必然有一项满足条件2，五五数之余三，结果为8，同时满足条件1和2的为等差数列：15N+8。

⒊将等差列15N+8取7项有：8，23，38，53，68，83，98，必然有一项满足条件3，七七数之余二，结果为23，同时满足条件1，2，3的为等差数列：23+105N。

⒋将等差列23+105N取11项有：23，128，233，338，443，548，653，758，863，968，1073，必然有一项满足条件4，十一十一数之余七，结果为128，同时满足条件1，2，3，4的为等差数列：128+1155N。

⒌将等差列128+1155N取13项有：128，1283，2438，3593，4748，5903，7058，8213，9368，10523，11678，12833，13988，必然有一项满足条件5，十三十三数之余五，结果为3593，同时满足条件1，2，3，4，5的为等差数列：3593+15015N。

⒍将等差列3593+15015NN取17项有：3593，18608，33623，48638，63653，78668，93683，108698，123713，138728，153743，168758，183773，198788，213803，228818，243833，必然有一项满足条件6，十七十七数之余七，结果为198788，同时满足条件1，2，3，4，5，6的为等差数列：198788+255255N。

数列化简
当等差数列的首项及公差较大时，对于求任何素因子的余数，都可以先进行化简计算。

如在该问题的基础上,增加十九十九数余5，如果对198788+255255N取19项再寻找每一项的余数，用笔算是相当的不方便，我们用首项和公差分别除以19的余数，得新的等差数列：10+9N，取19项之内有：10，0(当满或超过19时减去19再算)，9，18，8，17，7，16，6，15，5，当出现与余数相同的数后,就可以不再计算了。

因该数列第11项除以19余5。

即原数列的第11项除以19必然余5，198788+255255*（11-1）=2751338，得等差数列2751338+4849845N的数,为满足上面七个条件的数。

如何判别错题？
在计算余数问题上，很容易出现错题，正确的题有解，错误的题是无解的。

什么是错题？题意自相矛盾的题是错题。

判断标准：一个数除以一个素因子只有一个余数；除以合数时，要看它与合数的素因子的余数是否有矛盾。

⒈素因子的重复。

即M/A余C，式中的M与A都是固定的，那么，余数C只能有一个。

除以同一个素因子可以在题中出现多次，但余数必须相同，否则，就是错题。

如，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以3余2，问该数为多少？这里的除以3余1与除以3余2自相矛盾，为错题。

⒉单个素因子组成的合数。

如，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以9余8，问该数为多少？因为，9是由素因子3组成的，既然前面明示除以3余1，那么，这里的除以9必须服从该条件。

因8/3余2与除以3余1矛盾，该题为错题。

满足除以3余1的在9之内只有1+3N为：除9余1，余4，余7。

除以9余2，3，5，6，8，0都属于错题。

⒊多个素因子组成的合数。

如，除以3余1，除以5余2，除以7余3，除以15余8，问该数为多少？因为，这里的除以15余8，8/3余2与前面的除以3余1矛盾，8/5余3与前面的除以5余2矛盾，该题为错题。

同时满足除以3余1，除以5余2有：7+15N，即除以15只能余7，对于除以15余0，1，2，3，4，5，6，8，9，10，11，12，13，14
都属于错题。

除以多个素因子组成的合数时，必须与题中所出现的素因子不产生矛盾，不产生矛盾的标准是除以多个素因子组成的合数，必须是同时满足题中所出现（合数所包含的）的素因子的数。

同余的解法
当你看了在上面的初等解法后，对同余的解法就简单了。

例某数为M，有M/3余2，M/5余3，M/7余2，M/11余3，M/13余2，求M=？
这里有M除以3，7，13都余2，因3*7*13=273，即2+273N为满足除以3，7，13都余2的等差数列；
同理，M除以5，11余3，因5*11=55，即3+55Z等差数列的数为满足除以5和11
都余3的等差数列。

于是这里出现了两个等差数列：2+273N和3+55Z，是在2+273N数列取55项寻找除以55余3的数呢？还是在3+55Z数列取273项，寻找除以273余2的数呢？
最好是：
⒈在2+273N取11项：2，275，548，821，1094，1367，1640，1913，2186，2459，2732，有1367/11余3，因273*11=3003，得等差数列1367+3003N；
⒉在1367+3003N取5项：1367，4370，7373，10376，13379，有7373/5余3，因3003*5=15015，即7373+15015等差数列中的数都满足这些条件。

因为，这样是取5+11=16个数中寻找，而不是取5*11=55个数中寻找。

再看原题，M/3余2，M/5余3，M/7余2，求M=？
因M除以3和7都余2，有等差数列2+21N满足除以3和7都余2，在2+21N数列取5项：2，23，44，65，86，得23/5余3，因3*5*7=105，即23+105N数列的数都满足这些条件。