重庆市第十八中学数学高二下期中知识点(含答案)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13607]若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭等于（ ）
A ．
45
B ．4
5
-
C ．
35
D ．
35
2．(0分)[ID ：13583]已知向量()
2
2cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数
()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 3．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）
A ．向右平移12
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向右平移
6π
个单位长度 D ．向左平移
6
π
个单位长度 4．(0分)[ID ：13557]已知向量()1,2a =，()
//a b b +，则b 可以为（ ） A ．1,2
B ．()1,2-
C ．()2,1
D ．()2,1- 5．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3sin 5α=，则tan
( ) A ．
3
4
B ．34-
C ．
43 D ．43
-
6．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．
32
2
B 315
C ．32
2
-
D ．315
7．(0分)[ID ：13613]已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）
A ．14
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
8．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=3
5
，则θtan = A ．43
-
B ．
43
C ．34-
D ．
34
9．(0分)[ID ：13573]已知1
sin cos 2
αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ）
A B ．C ．D ．12
±
10．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π
6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
3
个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4
C ．x ＝
π8
D ．x ＝
π4
11．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角
23
π
，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）
A ．
B ．-
C ．-2
D ．2
12．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12
π
个单位，得到的图
象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．
12
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π
13．(0分)[ID ：13544]()y f x =的解析式可能是（ ）
A ．2sin(2)6
y x π
=+
B ．2sin(2)6
y x π
=-+
C ．2sin(2)6
y x π
=--
D ．2sin(2)6
y x π
=-
14．(0分)[ID ：13543]已知tan 2α=，则sin 3cos 2sin cos αα
αα
-=+（ ）
A ．
54
B ．
15 C ．54
-
D ．15
-
15．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()
a x
b a b +⊥-，则x 等于 （ ） A ．23
B ．
232
C ．
233
D ．
234
二、填空题
16．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)
e |x |
(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所
示，则ω
φ=__________．
17．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为
_______________.
18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
2，则ω＝
________.
19．(0分)[ID ：13701]已知P 是ABC 内部一点230PA PB PC ++=，记PBC 、
PAC 、PAB △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则::123S S S =________.
20．(0分)[ID ：13671]已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，若
2AO AB AC =+，且AO AB =，则向量BA 在向量CB 上的投影为_____
21．(0分)[ID ：13662]函数f (x )＝3sin x +cos x 的最大值是___________. 22．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3
ABC π
∠=
，BO BA BC λμ=+，则
λμ+的最大值为________
23．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，
D 是BC 上一点，若1
4
ABD ABC S S ∆∆=
，则D 的坐标为________. 24．(0分)[ID ：13651]已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则
GA GB GC +-=____________
25．(0分)[ID ：13631]若cos 2cos()3
ααπ=+，则tan()6
π
α+
=______________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：13799]在平面直角坐标系内，已知点()()()2,4,4,1,1,5A B C --. （1）求线段AB 的中垂线方程：（最后的结果写成0ax by c 的形式）
（2）若点D 在直线AB 上，且
3
4
ACD ABC S S =△△，求直线CD 的方程.（最后的结果写成
0ax by c 的形式）
27．(0分)[ID ：13738]已知向量a ＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b ＝(－cosωx－sinωx,2
cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中
ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围 28．(0分)[ID ：13729]设向量(4cos ,sin )a x x =，(sin ,4sin )b x x =，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值及最小正周期；
（2）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向左平移
4
π
个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间.
29．(0分)[ID ：13828]在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(
,22
m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2
x π
∈．
（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为
3
π
，求x 的值． 30．(0分)[ID ：13785]在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足
sin sin sin sin a c A B
b A C +-=-. （1）求角C ；
（2）求
a b
c
+的取值范围.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．D 3．B 4．A 5．A 6．A 7．A 8．C 9．A 10．A
11．C
12．B
13．A
14．D
15．C
二、填空题
16．2【解析】
f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2
17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算
18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数
∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为
19．【解析】【分析】延长到使得;延长到使得构造出根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比【详解】延长到使得;延长到使得如下图所示:则可化为所以为的重心设则所以故答案为:【点睛】本题考查了向量加法法则的
20．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向
21．【解析】由
22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所
23．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐
24．4【解析】【分析】由是的中点G是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题
25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为
所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
πcos 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可
【详解】
π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，
故选A ． 【点睛】
本题考查诱导公式及角的变换，是基础题
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π
=
时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】
根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象，可得A ＝1， 1274123
w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π
）．
故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12
π
个单位长度，可得y ＝sin （2x +
6π+3
π
）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝
2M m -，b ＝2
M m
+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2π
ω
；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)
或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②
特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝
2
π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π
. 4．A
解析：A 【解析】 试题分析：设
，则，因()
//a b b +，所以
，
，只有A 满足
考点：向量共线的条件
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】
2
34cos 155α⎛⎫
=--=- ⎪⎝⎭
sin 353
tan()tan cos 544
απααα⎛⎫-=-=-
=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为
232252
AB CD CD
⋅=
=，故选A ． 7．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】
∵角θ的终边经过点()4,P y ，且
35sin θ=-=， ∴3y =-，则3
tan 44
y θ==-，故选C ． 【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则
sin α=
cos α=
，()tan 0y
x x
α=
≠. 9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12
sin cos αα-=
， ∴2
1(sin cos )12sin cos 4
αααα-=-=, ∴3
sin cos 08
αα=>， ∴02
π
α<<
， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，
∴sin cos 2
αα+====
故选A ． 【点睛】
解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．
10．A
解析：A 【解析】 把函数y ＝sin(x ＋
π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π
3
个单位长度得
πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π
2
，选A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+
()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2
k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
求得22,2cos 3
a a
b b b π
=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】
因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233
a a
b π
=+=， 所以22,2cos
3
a a
b b b π
=⋅=⋅=-，()
2
212a b +=，
即为2
224444412a a b b b b +⋅+=-+=,
解得2(1b =-舍去）， 则2a b ⋅=-，故选C. 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）2
2
a a =.
12．B
解析：B
函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424
k k πππ
ϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值
为4π 13．A 解析：A 【解析】 【分析】
代入特殊值法，分别代入304
x x π
==或，排除各个选项，即可．
【详解】
由()01f =可排除B 、D ，由34
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
C ，故选A. 【点睛】
本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等．
14．D
解析：D 【解析】 【分析】
分子分母同除以cos α，可化为关于tan α的式子，代入tan 2α=即可求解. 【详解】
sin 3cos tan 3
2sin cos 2tan 1αααααα--=
++, ∴sin 3cos 2312sin cos 2215αααα--==-+⨯+, 故选：D 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于容易题.
15．C
解析：C 【解析】
()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=，又
(
)()()()
,0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=，即322050x x ++-=，解得233
x =
，故选C.
16．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2
解析：2
【解析】
f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π
2
f(1)=0⇒cos(ω+π
2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω
<2∴ω=π
所以ω
φ=2
17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC
1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算
解析：32
【解析】 【分析】
如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】
如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有
CB CA
CD 2
+=
， 又因AC =1，BC =2， 所以()
()
()2222CB CA 113
AB CD CB CA CB CA 212222
+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.
18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为
解析：3
4
【解析】 【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝
2π
ω
，
因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，
∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴
3π
ω＝4
π， ∴ω＝
34，故答案为3
4
. 19．【解析】【分析】延长到使得;延长到使得构造出根据线段关系及三角形面
积公式即可求得面积比【详解】延长到使得;延长到使得如下图所示:则可化为所以为的重心设则所以故答案为:【点睛】本题考查了向量加法法则的 解析：1:2:3
【解析】 【分析】
延长PB 到'B ,使得'2PB PB =;延长PC 到'
C
,使得'
3PC PC =,构造出''
AB C
∆,根据线段
关系及三角形面积公式即可求得面积比.
【详解】
延长PB 到'B ,使得'
2PB PB =;延长PC 到'
C
,使得'
3PC PC =,如下图所示:
则230PA PB PC ++=可化为''0PA PB PC ++=
所以P 为''AB C ∆的重心
设''''PAB PAC PB C S S S k ∆∆∆=== 则3'1122
PAB PAB S S S k ∆∆==
= 3'1122
PAB PAB S S S k ∆∆==
= 2'1133
PAC PAC S S S k ∆∆==
= ''11111sin sin 2223PBC S S PB PC BPC PB PC BPC ∆⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯∠=⨯⨯∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
''''111
1sin 626
6PB C PB PC BPC S k ∆⎛⎫=⨯⨯⨯∠== ⎪⎝⎭ 所以123111::::1:2:3632S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故答案为: 1:2:3 【点睛】
本题考查了向量加法法则的应用,三角形面积的表示方法,需要构造三角形解决问题,属于中档题.
20．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向
解析：－1 【解析】 【分析】
因为2AO AB AC =+可知，ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为等边
三角形，故所求投影为cos120BA ＝1-． 【详解】
因为2AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，即ABC ∆为直角三角形，又AO AB =
可知，ABO ∆为边长为2的等边三角形，故向量BA 在向量CB 上的投影为cos120BA ＝1-．
故答案为：-1． 【点睛】
本题主要考查向量中点公式的应用以及向量投影的求法．
21．【解析】由 解析：2
【解析】
由max ()3cos 2sin()()26
f x x x x f x π
=+=+
⇒=.
22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所
解析：2
3
【解析】 【分析】
以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可. 【详解】
设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3
ABC π
∠=
，所以23
AOC π∠=
， 不妨设()A 1,0，1322C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，，(),B x y ， 则()1,BA x y =--，13
2BC x y ，⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭
，()y BO x =--，
，
因为BO BA BC λμ=+，所以()11232x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪
⎨⎛⎫⎪-+-=-
⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎩
，
解得121321x y λμλμμ
λμ⎧
-⎪=
⎪+-⎪
⎨⎪⎪=⎪+-⎩
，
因为B 在圆2
2
1x y +=上，
所以2
2
1322111λμμλμλμ⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()2
2
213122λμμλμ⎛⎫⎛
⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 所以()2
2132λμλμλμ+-+⎛⎫
=≤ ⎪⎝⎭
，
所以
()()2
1210433
λμλμ+-++≥， 解得2
3
λμ+≤
或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23
λμ+≤， 故
23
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
23．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所
以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0
【解析】 【分析】
根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得
||1||3BD DC =,再得到1
3
BD DC =,设出D 的坐标,代入1
3
BD DC =可解得. 【详解】
因为
||||ABD ABC
S BD S
BC =
,又因为1
4
ABD ABC S S ∆∆=,所以14
ABD ABC
S S =
, 所以||1||4BD BC =,所以||1||3
BD DC =, 所以1
3
BD DC =
, 设(,)D a b ,
所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---, 所以1
(3,1)(5,3)3
a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=
--且1
1(3)3
b b +=-, 解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.
24．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题
解析：4GD 【解析】 【分析】
由D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，1
()2
GD GA GB =+，再联立求解即可. 【详解】
解：因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =-
又1
()2
GD GA GB =
+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD . 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.
25．【解析】【分析】由化为再利用两角和与差的余弦公式再同时除以即可【详解】因为所以所以故答案为【点睛】本题考查三角函数的条件求值主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求
【解析】
【分析】
由cos 2cos()3ααπ=+化为cos 2cos()6666ααππππ⎛
⎫+-=++ ⎪⎝
⎭,再利用两角和与差的余弦公
式，再同时除以cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭即可.
【详解】
因为cos 2cos()3
ααπ=+，所以cos()2cos()6
6
66
π
π
π
π
αα+
-
=+
+
，
cos()cos
3sin()sin
6
6
6
6
π
π
π
π
αα+
=+
，所以tan()6
π
α+
=
.
故答案为
【点睛】
本题考查三角函数的条件求值，主要题型有：条件直接代入所求式；所求式适当变形以利代入；由条件变形得到所求式；条件与所求都要变形，找到联系.恰当利用角的变换有时可简化运算.考查运算能力，属于中档题.
三、解答题 26．
（1）4210x y +-= （2）136430x y -+=或6310x y -+= 【解析】 【分析】
（1）求出AB 的中点和斜率后可求AB 的中垂线方程. （2）利用3
4
AD AB =求出D 的坐标后可求直线CD 的方程. 【详解】
（1）AB 的中点为51,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，斜率为411
242
-=+，故AB 中垂线的斜率为2- 所以中垂线的方程为()5
212
y x -
=-+即4210x y +-=. （2）因为
3
4ACD ABC S S =△△，所以34
AD AB =. 若34AD AB =，则()()3
2,46,34D D x y --=，故132254D D x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
故25
51
413612
CD
k -==+，故直线()1
:516CD y x -=+即6310x y -+=. 若34AD AB =-，则()()32,46,34D D x y --=-，故52
74D D x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
故7
513
45612
CD k -=
=-+，故直线()13:516CD y x -=+即136430x y -+=. 故直线CD 的方程为：136430x y -+=或6310x y -+=.
【点睛】
本题考查直线方程的求法，一般地，直线有斜率（或倾斜角）、所过之点、截距等，我们只要两个几何要素就可以求直线方程，本题属于基础题.
27．
(1)
56
π
；
(2)1⎡-⎣ . 【解析】 试题分析：
(1)整理函数的解析式可得：5
6
ω=
，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为6
5
π ； (2)化简三角函数的解析式(
)5
2sin 3
6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
值范围是1⎡-⎣ .
试题解析：
(1)因为f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＋2
sinωx·cosωx＋λ ＝－cos2ωx＋
sin2ωx＋λ ＝2sin ＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin
＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋ (k∈Z)，即ω＝＋ (k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k ＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y ＝f(x)的图象过点，得f
＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－
，即λ＝－. 故f(x)＝2sin －，
由0≤x≤，有－≤x －≤， 所以－≤sin ≤1，得－1－≤2sin x －－≤2－. 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－
，2－]． 28．
(1)()max 222f x =，T π=；(2)5.
【解析】
试题分析：（1）由向量点积的坐标运算得到()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+，再由二倍角和化一公式得到22sin 224x π⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
；由周期的定义求周期即可（2）根据左加右减得到()2224g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的单调性得到222242k x k π
π
π
ππ-≤+≤+，进而求得单调区间．
()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+ ()2sin221cos2x x =+-
22sin 224x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭. （1）函数()f x 的最大值()max 222f x =，最小正周期22T ππ=
=. （2）依题意得：()22sin 244g x x ππ⎡⎤⎛
⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 222sin 224x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
，
由()222Z 242k x k k π
π
π
ππ-≤+≤+∈， 解得()3Z 88
k x k k ππππ-≤≤+∈， 故()y g x =的单调增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦. 29．
（1）tan 1x =（2）
512π． 【解析】
【分析】
（1）转化m n ⊥，为0m n ⋅=，代入坐标计算即得解；
（2）由题意cos ,m n m n m n ⋅<>=
||||，代入可得1sin()42x π-=，结合角的范围计算即得解. 【详解】
（1）∵m n ⊥，
∴0m
n ⋅=，
故cos 022
x x -=， ∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，
∴2cos 122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||
，
故1sin()42x π-=
， 又(0,)2x π
∈，∴(,)444x πππ-
∈-， 46x π
π
∴-=，即512
x π=． 故x 的值为
512
π． 【点睛】 本题考查了向量与三角函数综合，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题。

30．
（1）3C π=(2)(1,2] 【解析】 试题分析： （1）要求角,只能从sin sin sin sin a c A B b A C
+-=-入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.
（2）从a b c
+入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将
代入,使得中只含有,进而根据
,讨论a b c +的范围. 试题解析：
（1）根据正弦定理有:
,化简得
, 根据余弦定理有
, 所以. （2）根据正弦定理将a b c
+化简,同时将（1）代入,化简为
因为
,, 所以
. 故,的取值范围是
考点：正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.。