福建省八县(市)一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2018-2019学年度第一学期八县（市）一中期末联考
高中二年数学(文)科试卷
考试日期：1月23日完卷时间：120分钟满分：150分
第一部分选择题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若命题p为：为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.
【详解】根据的构成方法得，为.故选C.
【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.
2.已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为().
A. 4
B. 8
C. 16
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．
【详解】解：∵y2＝2px＝8x，
∴p＝4，
∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．
3.曲线在处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为().
A. 1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
要求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．
【详解】解：依题意得y′＝e x，
因此曲线y＝e x在点（0，1）处的切线的斜率等于1，
相应的切线方程是y＝x+1，
当x＝0时，y＝1；
即y＝0时，x＝﹣1，
即由切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
S1×1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
4.已知双曲线的左焦点为,则().
A. 9
B. 3
C. 16
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用双曲线基本量满足勾股定理即可得到结果.
【详解】解：∵双曲线的左焦点为F1（﹣5，0），
∴25﹣m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查计算能力，属于基础题.
5.动点在圆上移动，过点作轴的垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程是().
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设出M（x0，y0），P（x，y），D（x0，0），由中点坐标公式把M的坐标用P的坐标表示，代入圆的方程得答案．【详解】解：设线段中点为P
设M（x0，y0），D（x0，0），
∵P是的中点，
∴，
又M在圆上，
∴x02+y02＝25，即x2+4y2＝25，．
∴线段的中点P的轨迹方程是：．
故选：B．
【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．
6.已知数列的前项和为，且，则()．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据a1＝S1，＝S n﹣S n﹣1（n≥2）求出数列的通项公式，再将n＝5代入可求出所求．
【详解】当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝1．
当n＞1时，S n＝，∴S n﹣1＝2a n﹣1+1，
∴S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，
∴a n＝2a n﹣2a n﹣1，
∴a n＝2a n﹣1，
∴2，
∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n＝-2n﹣1，n∈N*．
∴a5＝-25﹣1＝-16．
故选：A．
【点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
7.已知定义在上的函数,其导函数的大致图像如图所示,则下列叙述正确的是().
（1）
（2）函数在上递增，在上递减
（3）的极值点为c，e
（4）的极大值为
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (3)
D. (1)(4)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数与函数单调性的关系及所给图象可得f（x）的单调性，判断函数的极值即可．
【详解】由导数与函数单调性的关系知，当f′（x）＞0时f（x）递增，f′（x）＜0时f（x）递减，
结合所给图象知，x∈（a，c）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（a，c）上单调递增，
x∈（c，e）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（c，e）上单调递减，
函数f（x）在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；
∴的极值点为c，e，
故选：C．
【点睛】函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论
（1）若在内，则在上单调递增（减）．
（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）
（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）
8.已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为().
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由e，4a＝4，b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2，C的短轴长2b＝2．
【详解】解：由椭圆的离心率e，
若△ABF1的周长为4，4a＝4，
∴a，c＝1，
由b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2，
b，
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题．
9.已知，则的大小关系是().
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对m变形为基本不等式的形式，利用基本不等式求m的最小值；
对n利用指数函数的单调性判断与m最小值的关系．
【详解】解：因为x＞2，所以x﹣2＞0，
所以，
当且仅当，即x＝3时等号成立．
因为2﹣x2＜2，所以，所以m＞n；
故选：B．
【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
10.若函数在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数的取值范围为( )
A. (－∞，2)
B. (－∞，2]
C.
D.
【答案】D
【解析】
∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋＝，故选D.
11.若点O和点F分别为椭圆的中心和焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的参数方程先设点P坐标，再由向量数量积的坐标运算表示出，即可求出结果.
【详解】因为点P为椭圆上的任意一点，所以设点P坐标为，又点F为椭圆的焦点，不妨令,
所以，，所以，当且仅当
时，取最小值.
【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于常考题型.
12.设函数，的导函数为，且满足，则（）
A. B.
C. D. 不能确定与的大小
【答案】B
【解析】
【分析】
令g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性，
【详解】令g（x）=，
则g′（x）==，
∵xf′（x）<3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）<0，
∴g′（x）<0在（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递减，
∴g（）>g（），即>，则有
故选B.
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，求出g（x）的导数，得到函数g（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知,求__________.
【答案】-1
【解析】
【分析】
求出函数的f（x）的导数f′（x），代入即可得到结论．
【详解】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝12cos x，
则f′（0）＝12cos0＝12＝1，
故答案为： 1
【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．14.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,且,则__________. 【答案】9
【解析】
【分析】
利用抛物线定义可知：，从而得到结果.
【详解】解：∵直线l过抛物线x2＝6y的焦点，
∴线段AB的长是+3，
又
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查抛物线弦长的求法，考查了抛物线定义，考查了转化思想，属于基础题. 15.已知实数满足不等式组,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出约束条件表示的可行域，类比斜率公式，即可得出z的范围．
【详解】解：作出可行域如图：
由可知z示点P（1，）与可行域内的点（x，y）连线的斜率．
联立方程组得B（﹣3，2）．∴z min＝．
故答案为：
【点睛】本题考查了简单的线性规划，理解z的几何意义是解题的关键，属于中档题．
16.已知双曲线的右焦点为F，过F的直线交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【详解】解：双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，
∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，
∴k l，
∴直线l的方程为y（x﹣c），
与y＝±x联立，可得y或y，
∵，
∴•，
∴，
∴e．
故答案为．
【点睛】对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
三、解答题:(本大题共6小题，共70分)
17.已知命题p：实数x满足，其中；和命题q：实数x满足.
(1)若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若-p是-q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
试题分析：
(1)
由题意求解对数不等式和二次不等式可得：,；结合题意可得2
(2)由题意可得,，且q是p的充分不必要条件，利用子集关系得到关于实数a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围是 .
试题解析：
（1）当时，命题即：，求解一元二次不等式可得：,
命题即：，求对数不等式可得；
∵p∧q为真.∴2
（2）,
∵-p是-q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
∴（2,3]⊊ (a,3a)
∴即 .
18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求A；
（2）若A为锐角，，的面积为，求的周长．
【答案】（1）或；（2） .
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；
(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.
【详解】（I）
由正弦定理得，
，即又，或。

（II），由余弦定理得，
即，
而的面积为。

的周长为5+。

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.
19.已知抛物线过点.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程．
(2)若平行于(为坐标原点)的直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程；
（2）设平行于的直线方程为判断直线与抛物线的位置关系，利用平行直线间距离得到t值．
【详解】解：（1）将代入，得，所以.
故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.
（2）设平行于的直线方程为
由得
因为直线与抛物线有公共点,
所以，解得.
另一方面，由直线与的距离等于2,
可得，解得.
因为，,
所以直线方程为:
【点睛】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想．
20.设函数在及时取得极值．
（1）求的值；
（2）求函数在的最大值与最小值的差．
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）根据题意由，求解即可；
（2）求函数导数，分析函数的单调性即可得最值，从而得解.
【详解】（1），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
经检验满足题意.
（2）由（1）可知，，
．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，当时，取得极大值；当时，
取得极小值，又，．
则当时，的最大值为，的最小值为．
故函数在的最大值与最小值的差为9．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值和最值，属于基础题.
21.已知椭圆的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为椭圆短轴的上顶点，直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.
【答案】（1）（2）过定点（2，-1）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析可得c的值，进而分析可得，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）对直线斜率分类讨论，当斜率存在时，利用韦达定理表示斜率和为，得到变量间的关系，即可得到结果．【详解】解：(1)由题意可知，
令，代入椭圆可得，
又，
两式联立解得：，
；
(2)①当斜率不存在时，设，
，
得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.
②当斜率存在时，设，
，
联立，
整理得，，
，
，，此时，存在使得成立．
∴直线的方程为，即，
当，时，上式恒成立，
所以过定点．
【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
22.设函数,曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求的解析式;
(2)求证:
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y＝f（x）的解析式；
（2）要证，转证函数的最小值大于零即可.
【详解】解：（1）函数的定义域是：
∵，
∴，
因为切线与直线垂直，
所以，即
则的解析式为.
（2）由（1）知,，
又∵在内单调递增，
且
∴存在使得.
当时，，当时，
∴.
由得
∴.
令，则
∴在区间内单调递减，所以
∴.
综上，对任意，.
【点睛】用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。