【压轴卷】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(带答案)

【压轴卷】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中
直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
2．已知集合 ，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m
D ．若//l α，//m α，则//l m
4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则
(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）
A ．50
B ．2
C ．0
D ．50-
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）
174
176
176
176
178
儿子身高y （cm ）
175
175
176
177
177
则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1
B ．y = x+1
C ．y =88+
12
x D ．y = 176
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A ．
12
尺 B ．
815
尺 C ．
1629
尺 D ．
1631
尺 7．若||1OA =u u u v ，||3OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v
，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB
u u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则m
n
的值为（ ） A ．
13
B ．3
C ．
33
D 38．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()2
2
a
b
>
B ．ln ln a b >
C ．
11
a b
> D ．
11ln ln a b
> 9．已知函数21(1)
()2(1)
a x x f x x
x x x ⎧
++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,1-
D ．(]1,1-
10．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则（ ）
A ．()y f x =在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线4
x π
=
对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增，其图象关于直线2
x π
=
对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，其图象关于直线4
x π
=
对称
D ．()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递减，其图象关于直线2
x π
=对称 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式
()0f x >的解集为（ ）
A ．33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭U
B ．33,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C．
33
,
22⎛⎫-
⎪
⎝⎭
D．
33
,0,
22
⎛⎫⎛⎫
-⋃+∞
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
12．若函数()(1)(0
x x
f x k a a a
-
=-->且1
a≠）在R上既是奇函数,又是减函数,则
()log()
a
g x x k
=+的图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．函数2sin2
6
y x
π⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
（[]
0,
xπ
∈）为增函数的区间是．
14．若,a b是函数()()
20,0
f x x px q p q
=-+>>的两个不同的零点，且,,2
a b-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q
+的值等于________．15．如图，在等腰三角形ABC中，已知1
AB AC
==，120
A
∠=︒，E F
、分别是边AB AC
、上的点，且,
AE AB AF AC
λμ
==
u u u v u u u v u u u v u u u v
,其中()
,0,1
λμ∈且41
λμ
+=，若线段EF BC
、的中点分别为M N
、，则MN
u u u u v
的最小值是_____.
16．已知定义在实数集R上的偶函数()
f x在区间(],0
-∞上是减函数,则不等式
()()
1ln
f f x
<的解集是________.
17．若x，y满足约束条件
10,
{30,
30,
x y
x y
x
-+≥
+-≥
-≤
则z=x−2y的最小值为__________.
18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
______
19．设α为锐角，若4
cos()6
5π
α+
=
，则sin(2)12
π
α
+的值为______. 20．已知函数()2,0
1,0
x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．
三、解答题
21．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.
22．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：1
2
1
()()()
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑122
1
n
i i
i n
i
i x y nxy
x
nx ==-=
-∑∑ ，^^y x a b
=- 23．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若1
k 2
=
，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点． 24．已知函数()sin()(0,0)3
f x A x A π
ωω=+
>>的部分图象如图所示.
（1）求A 和ω的值；
（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；
（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 25．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=. (1)求角B 的大小；
(2)若2b =，求a c +的取值范围.
26．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；
(2)设g(x)＝log 44•23x
a a ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的
取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】
①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；
②90,BAC ABC ︒
∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
2．D
解析：D 【解析】 试题分析：由
得
，所以
，因为
，所以
，故选D.
【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断
C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断
D . 【详解】
l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；
l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，
//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
4．C
解析：C
【解析】 【分析】
利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合
(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，
()32f =-，()40f =，问题得解.
【详解】
因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数， 所以()()f x f x -=-且()00f = 又(1)(1)f x =f +x -
所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦ 所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦ 所以函数()f x 的周期为4，
在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==
在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=- 在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-= 所以(1)(2)f +f ()()()()2020
(3)(2020)12344
f f f f f f ⎡⎤+++=
⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=
故选C 【点睛】
本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+
1
2
x 成立，故选C 6．C
解析：C 【解析】
试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为
，
,求公差，
，解得：
尺，故选C.
考点：等差数列
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】
解：30AOC ︒∠=Q
3
cos ,OC OA ∴<>=u u u r u u u r 32OC OA OC OA
⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r
()
32mOA nOB OA mOA nOB
OA
+⋅∴=+u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r
22222
3
22m OA nOB OA m OA mnOA OB n OB OA
+⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1OA =Q ，3OB =，0OA OB ⋅=u u u r u u u r
22
32
3m n =+ 229m n ∴=
又C Q 在AB 上
0m ∴>，0n > 3m n
∴= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等
式不成立的选项. 【详解】
依题意01a b <<<，由于12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11
ln ln a b
>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11
a b
>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.
9．C
解析：C 【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，
x >1时,()()21,10a a f x x f x x x
=+
+'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
10．D
解析：D 【解析】
()sin(2)cos(2))2442
f x x x x x πππ
=+++=+=,
由02,x π<<得02
x π
<<
，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,2
2
k x k Z π
π
=
+
∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,
)2
π
单调递减,其图象关于直线2
x π
=
对称,故选D.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】
解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】
∵函数()(1)x
x
f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，
∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)
定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题
13．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答
解析：5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 试题分析：因为
,所以只要求函数的减区间即可.解
可得
,即
,所以
,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用． 【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如
的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数
入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
进行变形,将其变形为一般式
,将其转化
为求函数
的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通
过解不等式使得本题获解.
14．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p
解析：9 【解析】 【分析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】
由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，
又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，
可得①或②． 解①得：
；解②得：
．
∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】
解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为
，所以不可取，则-2只能作为首项或者末
项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．
15．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数 解析：
77
【解析】 【分析】
根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r
,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出
,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小
值. 【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒
则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-o
u u u r u u u r u u u r u u u r
线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
()()
1122
AM AE AF AB AC λμ=+=+u u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
()
12
AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r
由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r
所以2
211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
u u u u r u u u r u u u r
222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u
r u u u r 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477
MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r
因为(),0,1λμ∈ 所以当17μ=时, 2MN u u u u r 取得最小值1
7
因而min
MN
=
=u u u u r
故答案为
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为
解析：()10,e,e ∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
【解析】
由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(]
,0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间
()0+∞，
上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<
,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫
⋃+ ⎪⎝⎭
. 17．【解析】【分析】【详解】试题分析：由得记为点；由得记为点；由得记为点分别将ABC 的坐标代入得所以的最小值为【考点】简单的线性规划【名师
点睛】利用线性规划求最值一般用图解法求解其步骤是：（1）在平面直 解析：5-
【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由10{
30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得3
4x y =⎧⎨=⎩，记为
点()3,4Β；由30{
30x x y -=+-=得3
x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入
2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．
【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；
（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
18．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：1
3
【分析】 【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163
=； 故答案为
13
． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
19．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦
解析：
50
【解析】
试题分析：2
47cos(2)213525π
α⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭
，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)12
34
π
π
π
αα+
=+
-
2472252550
⎫=
-=
⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．
【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍
角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即2
47cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭
，同时求出其正弦值24sin(2)325π
α+
=
，而要求的角sin(2)sin(2)1234
πππ
αα+=+-，再利
用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.
20．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值
解析：-3 【解析】 【分析】
先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果.
()()()
102
f a f f a
+=⇒=-
当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立
当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3
【点睛】
求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
三、解答题
21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)4
5 3
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MN AT
P，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T，连接，由N为中点知，.
又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）因为平面，N为的中点，
所以N到平面的距离为.
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故
1
4525
2
BCM
S=⨯⨯=
V
.
所以四面体的体积
145
323
N BCM BCM
PA
V S
-
=⨯⨯=
V
.
【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关
键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
22．(1) 8.69 1.ˆ23y
x =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】
分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程； （2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，
5
1
15i i x ==∑
，5
1
25i
i y
==∑，51
62.7i i i x y ==∑，52
1
55i x ==∑，5
21
55i i x ==∑，
解得：^ 1.23b
=-，
^8.69a
=，
所以：8.69 1.ˆ23y
x =-， （2）年利润()2
8.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+
所以 2.72x =，年利润z 最大.
点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．
23．（1）k=±1；（2）（1-）∪（13）直线CD 过定点（1
12
-，
）． 【解析】 【分析】
（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，由此能求出k ．
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，1
22
t -），其方程为2
2
1202x tx y t y ⎛⎫
-+--= ⎪⎝⎭
，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+
y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1
,12-）． 【详解】
解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切，
∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，
即
=，
解得k=±1．
（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=
+，12
2
2
x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1， 当∠AOB 为锐角时，
OA OB ⋅u u u r u u u r
=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）
=(
)()2
12
121k
x x
2k x x 4+-++
=22
62k 1k
-+＞0， 解得k 2＜3，
又k 2＞1，∴
k 1-＜或1＜k
． 故k 的取值范围为（
1-）∪（1
（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设P （t ，
1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1
t 22
-+）=0， ∴2
2
1x tx y t 2y 02⎛⎫
-+--=
⎪⎝⎭
， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上， 两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫
--=
⎪⎝⎭
，即（x+y 2）t-2y-2=0，
由y 0{?2220x y +
=+=，得1
{?21
x y =
=-，
∴直线CD 过定点（1
12
-，
）． 【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 24．（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12
π
和7[
,]12π
π;（3）173
π. 【解析】
【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得224
312
4T
A π
π
π
ω
==
-
=
，，进
而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
求
出单调增区间51212
x k ππ
ππ-≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦.（3）先求出函数()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭中的512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533
T ππ+
=。

解：（1）2A =， 2,243124T πππωω
=-==. （2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，（k Z ∈）
得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，（k Z ∈） 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]
0,π的单调增区间为0,12π⎡
⎤⎢⎥⎣⎦和7,12π
π⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
. （3）由()2sin 213f x x π⎛⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭得512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈）. 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -的最大值为217533
T ππ+=. 25．（1）3
B π
=；（2）(]2,4.
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：
() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：
()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B
的值即可；
（2）由
sin b B =
得出a A =，c C =，得到
sin 33
a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到
sin 6A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭+的范围即可.
【详解】
(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=， 可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，
2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，
可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，
(0,)A π∈Q ，0sinA >，
∴可得1
2
cosB =
， 又由(0,)B π∈得：3
B π
=，
(2)sin 3
b B =
Q
，a A =，c C =， Q 23
A C π
+=
，
]sin sin()a c A C A A B ∴+=
=++
1sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤=
++=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦
14cos 4sin()26A A A π⎤=+=+⎥⎣⎦
，
203A π
<<
Q ，5666
A πππ<+<， 可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤
+
∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦
， ∴a c +的取值范围(]2,4.
【点睛】
本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 26．（1）k ＝－1
2
.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 【解析】
(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.
log441
41
x
x
－
＋
＋
＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－
1
2
.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－1
2
x＝
log4
4
•2
3
x
a a
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
－有且只有一个实根，化简得方程2x＋
1
2x
＝a·2x－
4
3
a有且只有一个实
根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－4
3
at－1＝0有且只有一个正根．
①a＝1t＝－3
4
，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝
3
4
或－3.若a＝
3
4
t＝－2，不合题
意，若a＝－3t＝1
2
；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即
1
1
a
-
-
<0a>1.
综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。