山东省宁阳四中2017-2018学年高一上学期期中测试数学试题(解析版)

山东省宁阳四中2017-2018学年高一上学期期中考试
数学试题
1.已知集合是实数集，则（）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
据此可得，
表示为区间的形式即：(0,1].
本题选择B选项.
2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
是偶函数且在上为增函数；
是非奇非偶函数且在上为减函数；
是偶函数且在上为减函数；
是奇函数且在上为减函数.
故选：C
3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
【答案】D
【解析】
对于A，和定义域不相同，不是同一函数；
对于B，和定义域不相同，不是同一函数；
对于C，和定义域不相同，不是同一函数；
对于D，和定义域相同，对应法则相同，是同一函数》
故选：D
点睛：判断两个函数是否为同一函数需要注意三点：第一点抓定义域是否相同；第二点抓对应法则是否相同；第三点抓值域是否相同.一般只需考虑前两个即可.
4.已知，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以可得，故选择C
考点：比较大小
5.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：解:A图显示的定义域为是错误的；
C图中指数函数图象下降，显示，对数函数的图象上升，显示，两者矛盾，是错误的；
D图中指数函数的图象上升，显示，对数函数的图象下降，显示，两者矛盾，是错误的；
因为函数与函数互为反函数，它们的图象应关于直线对称，所以B图是正确的，故选B. 考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、互数反函数的两个函数图象间的关系.
6.若，则的值为（）
A. 3
B.
C. 6
D.
【答案】C
【解析】
由，可得：
∴
故选：C
7.函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∴函数的单调递增区间是
故选：D
8.某同学求函数零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：
则方程的近似解（精确度0.1）可取为（）
A. 2.52
B. 2.625
C. 2.66
D. 2.75
【答案】A
【解析】
根据题意，由表格可知，
方程f（x）=lnx+2x﹣6的近似根在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）内；据此分析选项：A中2.52符合，
故选：A．
9.函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是( )
A. (0,1)
B. (1,10)
C. (10,100)
D. (100，＋∞)
【答案】B
函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，
∵，
∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，
故选：B
点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
10.已知函数f(x)＝，则有( )
A. f(x)是奇函数，且=
B. f(x)是奇函数，且=
C. f(x)是偶函数，且=
D. f(x)是偶函数，且=
【答案】C
【解析】
定义域关于原点对称，
，
∴为偶函数；
，
∴=
故选：C
点睛：判断函数的奇偶性优先考虑定义域是否关于原点对称，证明两个式子是否相等只需统一二者的形式即可.
11. 如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是（）
A. B. C. D.
【解析】
试题分析：利用水槽的形状，探究水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象．
解：开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h=0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至到烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢．
故选B．
点评：本题主要考查函数的定义以及函数图象的识别，比较基础．
12.已知函数f(x)=若a，b，c均不相等，且f(a)=" f(b)=" f(c)，则abc的取值范围是
A. （1，10）
B. (5，6)
C. (10，12)
D. (20，24)
【答案】C
【解析】
作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
则abc=c∈（10，12）
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法
13.若对数函数与幂函数的图象相交于一点（2，4）,则_________；
【答案】24
【解析】
设f（x）=log a x，g（x）=xα，
∵对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），
∴f（2）=log a2=4．g（2）=2α=4，
∴f（4）=log a4=2log a2=2×4=8．
g（4）=4α=（2α）2=42=16，
∴f（4）+g（4）=8+16=24．
故答案为：24．
14.、对于函数f(x)的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③ .
当f(x)＝e x时，上述结论中正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
当f（x）=e x时，对于函数f（x）定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）：
①f（x1+x2）===f（x1）f（x2），故①成立；
②f（x1•x2）==≠=f（x1）+f（x2），故②不成立；
③∵f（x）=e x是增函数，∴，故③成立；
故答案为：①③．
15.已知用a,b表示=_____________
【答案】
【解析】
，
故答案为：
16.设全集 ,用的子集可表示由组成的6位字符串,如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则表示6位字符串为_____________．
（2）若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为________个．
【答案】(1). （1）100110(2). （2）4
【解析】
①M表示的6位字符串是：011001，
则∁U M表示的6位字符串为：100110；
②若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，
∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，
故答案为：100110，4．
点睛：本题以新定义为背景，灵活考查了集合的有关运算，考查了学生分析问题解决问题的能力.
17.计算：
；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1），
（2）
18.已知集合A=B=
（1）分别求A, ()A;
(2)已知集合C=，若C,求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）化简集合A，B，进行交并补运算；（2）根据子集关系，得到实数a的取值范围.
试题解析：
由已知A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|＞1}={x|x＞2}，
所以（1）A∩B=，（∁R B）∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}；
（2）集合C={x|1＜x＜a}，C，所以a≤3．
所以实数a的取值范围a≤3．
19.设求函数的值域.
【答案】[]
【解析】
试题分析：换元，转化为二次函数，利用配方法，可求函数的值域．
试题解析：
设2x=t，则
∵0＜x≤2，∴t∈
=
∵t∈，
∴t=3时，；t=1时，
∴函数的值域为[]．
20.截至2017年底，已知某市人口数为80万，若今后能将人口年平均增长率控制在1%，经过x年后，此市人口数为y(万).
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？
【答案】(1)y＝f(x)＝80(1＋1%)x；(2) N*；(3)是增函数.
【解析】
试题分析：（1）由题意，函数模型应该选择指数函数型，故y=80（1+1%）x=80×1.01x，（x∈N）；（2）根据实际问题确定定义域；（3）由指数函数的性质确定单调性．
试题解析：
（1）由题意，y=80（1+1%）x=80×1.01x，（x∈N*）；
（2）函数y=f（x）的定义域为N*；
（3）由指数函数的性质知，函数f（x）是增函数．
点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值
的情况.
21.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象；
(2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有一个零点？二个零点？三个零点？
【答案】(1) f(x)＝，函数图象略．
(2)当k<－1或k>1时，有1个零点；当k＝－1或k＝1时，2个零点；
当－1<k<1时，3个零点．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，由函数f（x）为奇函数可得f（x）=﹣f（﹣x），可求，结合二次函数的图象可作出f（x）的图象
（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k，结合函数的图象可，要求g（x）=f（x）﹣k的零点个数，只要结合函数的图象，判断y=f（x）与y=k的交点个数
试题解析：
（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
设x＜0可得﹣x＞0，则f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
∵函数f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x
∴函数的图象如图所示
（II）由g（x）=f（x）﹣k=0可得f（x）=k
结合函数的图象可知
①当k＜﹣1或k＞1时，y=k与y=f（x）的图象有1个交点，即g（x）=f（x）﹣k有1个零点
②当k=﹣1或k=1时，y=k与y=f（x）有2个交点，即g（x）=f（x）﹣k有2个零点
③当﹣1＜k＜1时，y=k与y=f（x）有3个交点，即g（x）=f（x）﹣k有3个零点
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
22.已知定义域为的函数是奇函数
(1)求，的值；(2)用定义证明在上为减函数；
(3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围。

【答案】(1) b＝1,a＝1; (2)证明见解析；(3) k<.
【解析】
试题分析：（1）根据奇函数定义，利用f（0）=0且f（﹣1）=﹣f（1），列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1；
（2）根据函数单调性的定义，任取实数x1、x2，通过作差因式分解可证出：当x1＜x2时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为：k＜3t2﹣2t对任意的t∈R都成立，结合二次函数的图象与性质，可得k的取值范围．
试题解析：
（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（﹣1）=﹣f（1）
∴=﹣，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=，满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数。

（2）由（1）得f（x）==﹣1+，
任取实数x1、x2，且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
∵x1＜x2，可得，且
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（﹣∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，即f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k）也就是：t2﹣2t＞﹣2t2+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t2﹣2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，当t=时有最小值为﹣∴k＜﹣，即k的范围是（﹣∞，﹣）．。