2020-2021学年浙江省杭州四中高二上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年浙江省杭州四中高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.
圆x 2+y 2+4x −4y +4=0关于直线x −y +2=0对称的圆的方程是( )
A. x 2+y 2=4
B. x 2+y 2−4x +4y =0
C. x 2+y 2=2
D. x 2+y 2−4x +4y −4=0
2.
一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形(如图所示)，则原平面图形的周长为( )
A. 8
B. 2+2√2
C. 4
D. 8√2
3.
已知
、为两条不同的直线，
、
为两个不同的平面，则下列推理中正确的是( )
A.
B. C.
D.
4.
设O 是坐标原点，若直线l ：y =x +b(b >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点P 1、P 2，且|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则实数b 的最大值是( )
A. √2
B. 2
C. √6
D. 2√2
5.
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是
A. B. C.
D. 1
6. 如图，四面体ABCD 中的面BCD 在平面α内，平面ABC ⊥α，
M ∈BC ，且BC ⊥平面AMD ，已知AM =DM =√3，若将四面体ABCD 以BC 为轴转动，使点A 落到α内，则A ，
D 两点所经过的路程之和等于( ) A. 2√3π
B. √3π
C. √3
2
π
D.
3π 7.
已知倾斜角为α的直线l ：y =kx −2与圆x 2+(y −1)2=1相切，则1−cos2α
cos(π2
+α)的值为( )
A. −4√23
B. 4√23
C. −4√33
D. 4√33
8.
四面体A −BCD 中，AB =AC =BC =2，BD =CD =√2，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，则该四面体外接球的表面积为( )
A. 60
11π
B.
449
π
C. 36
11π
D. 20
11π
9.
已知直线ax −by +c =0(abc ≠0)与圆O ：x 2+y 2=1相离，且|a|+|b|>|c|，则|a|，|b|，|c|为边长的三角形是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不存在
10. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平
面角的余弦值为( )
A. 1
7 B. −1
7 C. 1
2 D. −1
2
二、单空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 若直线{
x =1−t y =2t (t ∈R 为参数)与圆{x =cosθ
y =sinθ+a
(0≤θ<2π,θ为参数，a 为常数且a >0)相切，则a = ______ ．
12. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若A 1C 与平面AB 1D 1相交于点M ，则A 1M
A
1C
= ______ ．
13. 已知圆锥的底面直径为1，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为
______．
14.若直线2ax−by+2=0(a,b∈R)始终平分圆(x+1)2+(y−2)2=4的周长，则ab的最大值是
______ ．
15.如图，已知球O的球面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，AB BC，DA=AB=BC=，则球O的表面积等于_____.
16.14.已知点，动圆与直线相切于点，过与圆相切
的两直线相交于点(点不在直线上)，则点的轨迹方程是。

17. 三棱锥D−ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为______．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18. 如图，在四棱锥E−ABCD中，△ADE是等边三角形，侧面ADE⊥底面
ABCD，其中AB//DC，BD=2DC=4，AD=3，AB=5．
(Ⅰ)若F是EC上任一点，求证：平面BDF⊥平面ADE；
(Ⅱ)求三棱锥C−BDE的体积．
19. 已知圆x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何值时，
(1)圆与直线有两个公共点；
(2)圆与直线只有一个公共点；
(3)圆与直线没有公共点．
20. 在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(1)求证：DE//平面ACF；
(2)若AB=√2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若
的值；若不存在，请说明理由．
存在，求出EG
EO
21. 如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=2,AC=2√2,A1C=
2√3，M，N分别是AC和BB1的中点．
(1)求证：MN//平面A1B1C；
(2)在BC上求一点P，使得三棱锥N−APB与三棱锥B1−NMC的体积相
等，试确定点P的位置．
22. 已知圆C的方程为：x2+y2−2mx−2y+4m−4=0.(m∈R)．
(1)试求m的值，使圆C的面积最小；
(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(1,−2)的直线方程．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：
本题主要考查求圆的标准方程的方法．求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．
先求出圆的标准方程，求出与圆心M 和半径，求出点M 关于直线x −y +2=0对称的点N 的坐标，即可求出对称的圆的方程．
解：圆x 2+y 2+4x −4y +4=0即(x +2)2+(y −2)2=4，表示以M(−2,2)为圆心，半径等于2的圆．
设M(−2,2)关于直线x −y +2=0对称的点N(a,b)，由{b−2
a+2=−1a−2
2
−
b+22
+2=0
求得{a =0
b =0，
故点N(0,0)．
故所求的圆的方程是x 2+y 2=4， 故选A ．
2.答案：A
解析：解：还原直观图为原图形如图，
因为O′A′=1，所以O′B′=√2，还原回原图形后， OA =O′A′=1，OB =2O′B′=2√2.OC =√8+1=3，
所以原平面图形的周长为：3+1+3+1=8． 故选：A ．
利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，然后求解平行四边形的周长即可．
本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，是基础题．
3.答案：C
解析：试题分析：解：若α//β，m ⊂α，m ⊂β，则m ，n 可能平行也可能异面，故A 错误； 对于B ，由于平行于同一个平面的两条直线可能平行也可能相交，或者异面直线，因此错误 对于C ，由于
，则利用线面平行的性质定理可知成立。