七摸文科数学

西工大附中高2021届第七次摸拟考试
数 学 试 题（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．条件p ：a ≤2，条件q ：a(a −2)≤0,则⌝p 是⌝q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．已知集合{}{}42|),(,2|),(-=-==+=y x y x B y x y x A ，则=B A A {}2,0 B ()2,0 C φ D (){}2,0
3．设全集R U =，⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<=01|x
x A ，则U A=（ ）
A.⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧>01
|x
x B.{}0|>x x C. {}0|≥x x D.⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≥01|x
x
4．若A 、B 、C 是锐角三角形ABC 的三个内角，向量p =(sinA ，cosA)，q =(sinB ，−cosB)，则p 与q 的夹角为（ ）
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．以上都不对
5．设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，将(23)y f x =-的图象向左平移两个单位，再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是 （ ）
A ．1()12f x y ---=
B ．11()2f x y ---=
C ．1()2f x y -=
D ．y=()1
2
f x -
6．若P 为双曲线221916x y -
=右支上一点，P 到右准线的距离为6
5
，则点P 到双曲线左焦点的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．6
D ．8
7．如果32()log (73)a f x ax -=-是[1，3]上的增函数，则a 的取值范围是( )
A ．()23,1-
B ．()
7
239, C ．()1,3 D ．79(,1)
8．已知数列｛a n ｝的通项公式为2
2
45
n a n n =
-+ 则｛a n ｝的最大项是
A ．a 1
B ．a 2
C ．a 3
D ．a 4
9．函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ ）
10．已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足
0,0,0PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅=，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为( )
A ．12
B ．1
C ．2
D ．1
4
11．某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要随机地安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为（ ）
A 2426C A
B 2426A A
C 262A
D 2
4262
1C A
12．已知数列{a n }满足1211
2
2(0)21(1)n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若6
17a =，则2007a =（ ） A ．67 B ．57 C ．3
7 D ．17
二．填空题(4×4′=16分)：
13．12
12sin cos ππ
-= ；
14．二项式210
(x x
展开式中的常数项是 ；
15．若一个圆的圆心在抛物线24y x =的焦点上，且此圆与直线10x y ++=相
切，则这个圆的方程是 ；
16．已知m 、n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：
①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n α
βαβ
⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩
其中的正确命题序号是：
三．解答题（满分74分）：
17(本题12分)．锐角ABC ∆中，角A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，m (a b,c )=-，
n (a c,a b )=-+，且m //n
（Ⅰ）求角B 的大小 （Ⅱ）设2322
A C
y sin C cos
-=+，求y 的最大值及此时角C 的大小
18(本题12分)．某院校招收学员，指定三门考试课程．甲对三门指定课程考
试通过的概率都是21，乙对三门指定课程考试通过的概率都是3
2
，且三门课程考
试是否通过相互之间没有影响.求： （Ⅰ）甲恰好通过两门课程的概率； （Ⅱ）乙至多通过两门课程的概率；
（Ⅲ）求甲恰好比乙多通过两门课程的概率．
19(本题12分)．在平面直角坐标系xoy 中，已知四点A(1，0)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(－1，－1)，把坐标系平面沿y 轴折为直二面角.
（Ⅰ）求证：BC ⊥AD ；
（Ⅱ）求二面角C —AD —O 的大小；
20(本题12分)．设函数()()()f x x x a x b =--.
（Ⅰ）若f (x)的图象与直线580x y --=相切，切点的横坐标为2，求实数a 、b 的值.
（Ⅱ）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数f (x)总有两个不同的极值点.
21(本题12分)．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
A 为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若Q 是双曲线上的任一点，F 1、F 2为双曲线的左右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N 的轨迹方程.
22（本小题满分14分）．
过点P(1，0)作曲线C ：y=x 2（x>0）的切线，切点为Q 1，设Q 1在x 轴上的投影为P 1，又过P 1作曲线C 的切线，切点为Q 2，设Q 2在x 轴上的投影为P 2，…，依次下去，得点列Q 1，Q 2，…，Q n ，…，设点Q n 的横坐标为n a .
(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式；
⇒
(Ⅱ)令b n =()()
111n
n
n a a a +--，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求n T ；
西工大附中2007届高考数学模拟试题（七）（文）
（参考答案及评分细则）
一．选择题： ADCAA DBBAC DC
二．填空题：13、2-
，14、45，15、22(1)2x y -+= 16、②③
三．解答题：17.解：（1）3
B π
= ………………………6分
（2）3
C π
=时，2max y =………………………………12分
18．解：（Ⅰ）甲恰好通过两门课程的概率为=--23223)211()21(C 23313()28
C =.
…………4分
（Ⅱ）乙至多通过两门课程的概率1－3
32⎪⎭
⎫ ⎝⎛=19
27. ………8分
（Ⅲ） 设甲恰好比乙多通过两门课程为事件A ，
甲恰通过两门且乙恰都没通过为事件1B ， 甲恰通过三门且乙恰通过一门为事件2B ，
则21B B A +=， 1B ，2B 为互斥事件． …………9分
1231121
()()()8278924
P A P B P B =+=⋅+⋅=
． …………10分 所以，甲恰好比乙多通过两门课程的概率为1
24
. …………12分
19．解：（Ⅰ）∵OD 为AD 在平面OBC 内的射影，又∵OD ⊥BC ，∴据三垂线定理知AD ⊥BC. ………………………………（6分）
（Ⅱ）3
π
……………………………………（12分）
20.解：（Ⅰ）32()()f x x a b x abx =-++，2()32()f x x a b x ab '=-++ ……1分
∵()f x 与直线5x-y-8=0相切，切点为(2，2) …………………………4分
∴(2)54()701(2)2
2()301f ab a b a f ab a b b ⎧'=⎧-++==⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨
=-++==⎩⎪⎩⎩ …………………………6分
（Ⅱ）当b=1时，32()(1)f x x a x ax =-++，2()32(1)f x x a x a '=-++
∵Δ=42(1)a +12a -=42(1)0a a -+>，∴()0f x '=有两个不相等的实根 ………………………………………………………………………9分
设()0f x '=的两个根为x 1，x 2.则()3()()f x x x x x '=--
x
1(,)x -∞ 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞
()f x ' + 0 － 0 + ()f x
极大
极小
∴f ……………………………………………………………………………12分
21.解：(Ⅰ)设所求椭圆方程为：22
221x y a b
-=
A (0,2)到渐近线的距离为1
⇔
21a
c
=⇔2c a =，……3分 又点A 与一焦点关于直线y=x 对称，∴2c =… 5分
∴1a b ==，所求椭圆方程为221x y -=……6分
(Ⅱ)()()111
2212222||||||||||||ON F
M MQ QF QF QF ==-=-=21a = ∴点N 的轨迹方程为：221x y +=……12分
22.解：(Ⅰ)过点2(,)n n n Q a a 的切线方程为：22()n n n y a a x a -=-……2分
当n=1时，过P(1,0)点，∴211102(1)a a a -=-⇔12a =……3分
一般地，当n ≥2时，以2(,)n n n Q a a 点为切点的切线必经过点11(,0)n n P a -- ∴2102()n n n n a a a a --=- ⇔12n n a a -= ⇔2n n a =……9分
(Ⅱ)()()111211
11(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a +++===-
------ ∴. 11
1111
(
)1212121
n
n k k n k T ++==-=----∑…………………………14分。