算法复习题(精炼版)

填空题
动态规划算法的基本要素为：最优子结构性质与重叠子问题性质
1)算法分析中，记号O表示渐进上界，记号Ω表示渐进下界，记号Θ表示紧渐进界。

2)回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

3)分支限界法在问题的解空间树中，按广度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

所谓贪心选择性质是指（所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到）。

4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)0-1
12)
13)
1.
2
3
4.
6
7
8、问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。

9、以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。

10、数值概率算法常用于数值问题的求解。

15、使用回溯法进行状态空间树裁剪分支时一般有两个标准：约束条件和目标函数的界，N皇后问题和0/1背包问题正好是两种不同的类型，其中同时使用约束条件和目标函数的界进行裁剪的是
0/1背包问题，只使用约束条件进行裁剪的是N皇后问题。

16、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

17、矩阵连乘问题的算法可由动态规划设计实现。

19.贪心算法的基本要素是贪心选择质和最优子结构性质。

21.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

23、大整数乘积算法是用分治法来设计的。

26、贪心选择性质是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

27.快速排序算法是基于分治策略的一种排序算法。

30.
33
34.
35.
37.图的
孩子数是
1.
17、
2.
{
{
}
for(l=0;l<=n-1;l++)//----l是下标j-i的差
for(i=1;i<=n-l;i++)
{
j=i+l;
w[i][j]=w[i][j-1]+a[j]+b[j];
m[i][j]=m[i][i-1]+m[i+1][j]+w[i][j];
s[i][j]=i;
for(k=i+1;k<=j;k++)
{
t=m[i][k-1]+m[k+1][j]+w[i][j];
if(t<m[i][j])
{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。

2.
3.
1、操作
4.算法具有以下5个属性：
有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。

确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。

不存在二义性。

只有一个入口和一个出口可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。

输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。

输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。

经常采用的算法主要有迭代法、分治法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法
8.分治法的基本思想是：
将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。

递归地解这些子问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。

9.分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
（2
（3
（4
10
（1
（2
（3
11.
13.
14.
?????
某种顺序逐一枚举和检验。

当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。

在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。

扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

20.回溯法中常见的两类典型的解空间树是子集树和排列树。

当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。

这类子集树通常有2n个叶结点，遍历子集树需O(2n)计算时间。

当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。

这类排列树通常有n!个叶结点。

遍历排列树需要O(n!)计算时间。

答：
如果存在两个正常数c和N0,对于所有的N≥N0，有|f(N)|≤C|g(N)|，则记作：f(N)=O(g(N))。

这时我们说f(N)的阶不高于g(N)的阶。

若存在两个正常数C和自然数N0，使得当N≥N0时有|f(N)|≥C|g(N)|，记为f(N)=?(g(N))。

这时我们说f(N)的阶不低于g(N)的阶。

如果存在正常数c1，c2和n0，对于所有的n≥n0，有c1|g(N)|≤|f(N)|≤c2|g(N)|
则记作f(N)=(g,(N))
O、Ω、Θ分别提供了算法运行时间的上界、下界、平均
1．用动态规划策略求解最长公共子序列问题：
（1）给出计算最优值的递归方程。

（2）给定两个序列X={B,C,D,A}，Y={A,B,C,B}，请采用动态规划策略求出其最长公共子序列，要求给出过程。

答：
(1)
(2)
Ｘ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
2，并简要
答：
(1)f(n)=O(g(n))因为g(n)的阶比f(n)的阶高。

(2)f(n)=Ω(g(n))因为g(n)的阶比f(n)的阶低。

(3)f(n)=θ(g(n))因为g(n)与f(n)同阶。

(4)f(n)=O(g(n))因为g(n)的阶比f(n)的阶高。

(5)f(n)=Ω(g(n))因为g(n)的阶比f(n)的阶低。

3．对下图所示的连通网络G ，用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法求G 的最小生成树T ,请写出在算法执行过程中，依次加入T 的边集TE 中的边。

说明该算法的贪心策略和算法的基本思想，并简要分析算法的时间复杂度。

答：
4.conquer 、combine 阶）。

答：{inti=（}
}
Divide 阶段的时间复杂性：O(1) Conquer 阶段的时间复杂性：2T(n) Combine 阶段的时间复杂性：Θ(n)
用套用公式法：a=2,b=2,n log b a =n,f(n)=n,因为f(n)与n log b a 同阶，
7
∴T(n)=Θ(nlogn)
7.考虑在序列A[1..n]中找最大最小元素的问题。

一个分治算法描述如下：如果n≤2就直接求解。

否则，将序列等分成两个子序列A[1..n/2]和A[n/2+1..n]，分别找出这两子序列的最大最小元素
x1,y1和x2,y2；然后据此求出A[1..n]的最大元素x=max{x1,x2}及最小元素y=min{y1,y2}。

请给出该算法计算时间T(n)满足的递归方程，并解方程来确定算法的时间复杂度。

假定n=2k（k为正整数）。

答：
算法时间复杂度满足如下递归方程：
T(n)=2T(
因为n=2k
T(n)=T(2
?
=2k-1
=2k-1+?+23
8.
01
V(0,j)=0（0个物品），V(i,0)=0（承重量0）
V(i,j)=V(i-1,j)第i个物品不能装入，j<wi（超重）
V(i,j)=max{,}j>wi（不超重）
i在最优子集中i不在最优子集中
自底向上：按行或列填写下表。

答：
V(0,j)=0（0个物品），V(i,0)=0（承重量0）
V(i,j)=V(i-1,j)第i个物品不能装入，j<wi（超重）
V(i,j)=max{v
i +V(i-1,j-w
j
),V(i-1,j)}j>wi（不超重）
i
9.
用回溯法
11
答：
解空间树：2 0 10 12 22 22 22
3 0 10 12 22 30 32
4 0 10 1
5 25 30 37。