新疆阿勒泰二中高二数学上学期期中试卷(含解析)

新疆阿勒泰二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）
A．60°B．75°C．120°D．150°
2．（5分）等差数列的第1项是7，第7项是1，则它的第5项是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
3．（5分）已知x＞0，若x+的值最小，则x为（）
A．81 B．9 C．3 D．16
4．（5分）不等式组表示的平面区域是（）
A．B．C．D．
5．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14
6．（5分）在△ABC中，a=2b=，C=60°，则S△ABC=（）
A．2B．C．D．
7．（5分）已知等差数列{a n}中，a6+a10=16，a4=1，则a12的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
8．（5分）等比数列{a n}中，S3=3，S6=9，则S9=（）
A．21 B．12 C．18 D．24
9．（5分）在△ABC中，，则S△ABC=（）
A．B．C．D．
10．（5分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）
A．若a，b都不是奇数，则a+b是偶数
B．若a+b是偶数，则a，b都是奇数
C．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数
11．（5分）已知a n+1﹣a n﹣3=0，则数列{a n}是（）
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定
12．（5分）不等式组表示的平面区域是一个（）
A．三角形B．直角梯形C．梯形D．矩形
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48．
14．（5分）函数的定义域是．
15．（5分）在△ABC中，已知三边a，b，c满足a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．
16．（5分）等比数列{a n}的各项都是正数，若a1=81，a5=16，则它的前5项和是
．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，解此三角形．
18．（12分）等差数列{a n}中，已知a3=1，a5=11，求a n和S n．
19．（12分）求z=3x+5y的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件．
20．（12分）解关于x的不等式x2+（2﹣a）x﹣2a＜0（a∈R）．
21．（12分）求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23…前n项和．
22．（12分）（1）若x＜0，求f（x）=4x+的最大值；
（2）f（x）=4x+（x＞5）．
新疆阿勒泰二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）
A．60°B．75°C．120°D．150°
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：设三角形最大角为α，利用余弦定理表示出cosα，把三边长代入求出cosα的值，即可确定出α的度数．
解答：解：∵三角形的三边长分别为3，5，7，且最大角为α，
∴cosα==﹣，
则α=120°．
故选C．
点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
2．（5分）等差数列的第1项是7，第7项是1，则它的第5项是（）
A．2 B．3 C．4 D．6
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：记该等差数列为{a n}，可得a1=7，a7=1，可得公差d=﹣1，由通项公式可得第5项．解答：解：记该等差数列为{a n}，
则a1=7，a7=1，∴公差d==﹣1，
∴第5项a5=7+4（﹣1）=3
故选：B
点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）已知x＞0，若x+的值最小，则x为（）
A．81 B．9 C．3 D．16
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式即可得出．
解答：解：当x＞0时，x+≥2=18，当且仅当x=9时取等号．
∴当x=9时，x+的值最小值是2．
故选：B．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
4．（5分）不等式组表示的平面区域是（）
A．B．C．D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：直接利用特殊点验证即可选项．
解答：解：由题意可知（0，0）在x﹣3y+6=0的下方．满足x﹣3y+6≥0；
（0，0）在直线x﹣y+2=0的下方．不满足x﹣y+2＜0．
故选：B．
点评：本题考查线性规划的可行域的作法，直线特殊点定区域，直线定边界的利用与应用．5．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）
A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14
考点：一元二次不等式的应用．
专题：计算题．
分析：将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求．
解答：解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，）
∴﹣，为方程ax2+bx+2=0的两个根
∴根据韦达定理：
﹣+=﹣①
﹣×=②
由①②解得：
∴a+b=﹣14
故选：B．
点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．
6．（5分）在△ABC中，a=2b=，C=60°，则S△ABC=（）
A．2B．C．D．
考点：三角形的面积公式．
专题：解三角形．
分析：直接利用三角形的面积公式求法即可．
解答：解：在△ABC中，a=2b=，C=60°，则S△ABC=absinC==．
故选：D．
点评：本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查．
7．（5分）已知等差数列{a n}中，a6+a10=16，a4=1，则a12的值是（）
A．15 B．30 C．31 D．64
考点：等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的性质m+n=p+q则a m+a n=a p+a q建立等式，解之即可求出所求．
解答：解：∵等差数列{a n}
∴a6+a10=a4+a12即16=1+a12
∴a12=15
故选A．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，属于容易题，基础题．
8．（5分）等比数列{a n}中，S3=3，S6=9，则S9=（）
A．21 B．12 C．18 D．24
考点：等比数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据等比数列的定义和性质可得，S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等比数列，由此求得S9的值．解答：解：根据等比数列的定义和性质可得，S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等比数列，
即3、6、S9﹣9成等比数列，故有62=3（S9﹣9），解得 S9=21，
故选：A．
点评：本题考查等比数列的前n项和，考查等比数列的性质，属基础题，灵活应用等比数列的性质是解决本题的关键．
9．（5分）在△ABC中，，则S△ABC=（）
A．B．C．D．
考点：正弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：利用三角形的面积公式S△ABC=，即可求得结论．
解答：解：∵，
∴S△ABC===
故选D．
点评：本题考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（5分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）
A．若a，b都不是奇数，则a+b是偶数
B．若a+b是偶数，则a，b都是奇数
C．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数
D．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数
考点：四种命题．
专题：规律型．
分析：根据逆否命题的定义即可得到结论．
解答：解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为：
若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．
故选：D．
点评：本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．
11．（5分）已知a n+1﹣a n﹣3=0，则数列{a n}是（）
A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定
考点：数列的函数特性．
专题：计算题．
分析：通过数列的关系式，判断数列是等差数列，通过公差判断数列的增减性．
解答：解：因为a n+1﹣a n﹣3=0，所以数列是等差数列，由于公差是3．所以数列是递增数列．故选A．
点评：本题考查数列的函数特征，数列的单调性的判断，基本知识的应用．
12．（5分）不等式组表示的平面区域是一个（）
A．三角形B．直角梯形C．梯形D．矩形
考点：简单线性规划．
专题：数形结合；不等式的解法及应用．
分析：直接由二元一次不等式组作出平面区域得答案．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
∴不等式组表示的平面区域是一个直角梯形．
故选：B．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）在横线上填上适当的数：3，8，15，24，35，48．
考点：归纳推理；数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用8﹣3=5，15﹣8=7，a4﹣15=9，…，即可得出．
解答：解：∵8﹣3=5，15﹣8=7，a4﹣15=9，…，
可得a4=24．
故答案为：24．
点评：本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，属于基础题．14．（5分）函数的定义域是{3}．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据根式函数成立的条件，利用一元二次不等式的解法，确定函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则﹣2x2+12x﹣18≥0，
即x2﹣6x+9≤0，
∴（x﹣3）2≤0，
解得x=3，
∴函数f（x）的定义域为{3}．
故答案为：{3}．
点评：本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
15．（5分）在△ABC中，已知三边a，b，c满足a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：把条件代入余弦定理的推论cosC求出它的余弦值，再由内角的范围求出C的值．解答：解：由余弦定理的推论得，=，
∵C为三角形的内角，即0＜C＜π，
∴C=，
故答案为：．
点评：本题考查了余弦定理的推论应用，即先求出余弦值再求角的大小，注意角的范围．
16．（5分）等比数列{a n}的各项都是正数，若a1=81，a5=16，则它的前5项和是
211．
考点：等比数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：先根据a1=81，a5=16求得q，进而根据等比数列的求和公式，求得答案．
解答：解：q4==
∴q=
∴S5==211
故答案为211
点评：本题主要考查了等比数列的求和公式．属基础题．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，解此三角形．
考点：解三角形．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用条件，结合余弦定理，即可得出结论．
解答：解：∵AB=6，∠A=30°，∠B=120°，
∴∠C=30°，BC=6，AC==6．
点评：本题考查解三角形，考查学生的计算能力，比较基础．
18．（12分）等差数列{a n}中，已知a3=1，a5=11，求a n和S n．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得公差d，进而可得通项公式和求和公式．
解答：解：∵等差数列{a n}中a3=1，a5=11，
∴公差d==5，∴a1=1﹣2×5=﹣9，
∴a n=﹣9+5（n﹣1）=5n﹣14
∴S n===
点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
19．（12分）求z=3x+5y的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=3x+5y为，
联立，解得A（﹣2，﹣1），
联立，解得C（），
由图可知，A为目标函数取得最小值的最优解，最小值为z=3×（﹣2）+5×（﹣1）=﹣11．C为目标函数取得最大值的最优解，最大值为z=．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
20．（12分）解关于x的不等式x2+（2﹣a）x﹣2a＜0（a∈R）．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：求出函数f（x）对应方程f（x）=0的解，由此讨论a的取值所对应的原不等式的解集．
解答：解：设函数f（x）=x2+（2﹣a）x﹣2a，则函数f（x）的图象开口向上，
它所对应方程f（x）=0的解为x=a，或x=﹣2；
由此可得：
当a＞﹣2时，原不等式的解为{x|﹣2＜x＜a}；
当a=2时，原不等式的解为空集；
当a＜﹣2时，原不等式的解为{x|a＜x＜﹣2}；
点评：本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时需要对字母系数进行讨论，是易错题．
21．（12分）求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23…前n项和．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等比数列求和公式得1+2+22+23+…+2n﹣1==2n﹣1，进而可求得结论．解答：解：∵1+2+22+23+…+2n﹣1==2n﹣1，
∴1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+23+…+2n﹣1）=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣
n=2n+1﹣n﹣2．
点评：本题考查利用等比数列的求和公式对数列求和知识，属于基础题．
22．（12分）（1）若x＜0，求f（x）=4x+的最大值；（2）f（x）=4x+（x＞5）．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．
解答：解：（1）∵x＜0，∴﹣x＞0，
∴f（x）=4x+=
﹣=﹣12，当且仅当x=时取等
号，
∴f（x）=4x+的最大值是﹣12．
（2）∵x＞5，∴x﹣5＞0．
∴f（x）=4x+=4（x﹣5）++20+20=32，当且仅当x=取
等号．
∴函数f（x）有最小值32，无最大值．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
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