2020版 高考大题增分课4 立体几何中的高考热点问题

（四）立体几何中的高考热点问题[命题解读] 1.立体几何是高考的必考内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算．2．重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．
以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等．
【例1】(本小题满分12分)(2019·哈尔滨模拟)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为
6
3，求该三棱锥的
侧面积．
[信息提取]看到四边形ABCD为菱形，想到对角线垂直；
看到三棱锥的体积，想到利用体积列方程求边长．
[规范解答] (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .
因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BE .
2分
因为BD ∩BE ＝B ，故AC ⊥平面BED .
又AC ⊂平面AEC ，
所以平面AEC ⊥平面BED . 4分 (2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB
＝GD ＝x 2.
因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .
6分
由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .
由已知得，三棱锥E -ACD 的体积V 三棱锥E -ACD ＝13×12·AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63，
故x ＝2.
9分 从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.
所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.
故三棱锥E -ACD 的侧面积为3＋2 5. 12分 [易错与防范] 易错误区：1.在第(1)问中，易忽视条件BD ∩BE ＝B .AC ⊂平面AEC 等条件，推理不严谨，导致扣分．
2．在第(2)问中，需要计算的量较多，易计算失误，或漏算，导致结果错误． 防范措施：1.在书写证明过程中，应严格按照判定定理的条件写，防止扣分．
2．在计算过程中，应牢记计算公式，逐步计算，做到不重不漏．
[通性通法] 空间几何体体积的求法
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．
(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明：MN ∥平面P AB ；
(2)求四面体N -BCM 的体积．
[解] (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.
取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .
(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以点N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝
AB 2－BE 2＝
5.
由AM ∥BC 得点M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.
所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.
求点到平面的距离(几何体的高)涉及到空间几何体的体积和线面垂直关系，是近几年高考考查的一个重要方向，重点考查学生的转化思想和运算求解能力．
【例2】 (2019·开封模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ，M 为CD 的中点，平面P AD ⊥平面ABCD .
(1)求证：BD ⊥PM ；
(2)若∠APD ＝90°，P A ＝2，求点A 到平面PBM 的距离．
[解] (1)证明：取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，
∵底面ABCD 是菱形，
∴BD ⊥AC ，
∵E ，M 分别是AD ，DC 的中点，
∴EM ∥AC ，∴EM ⊥BD .
∵P A ＝PD ，∴PE ⊥AD ，
∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BD ，
∵EM ∩PE ＝E ，∴BD ⊥平面PEM ，
∵PM ⊂平面PEM ，∴BD ⊥PM .
(2)连接AM ，BE ，∵P A ＝PD ＝2，∠APD ＝90°，∠DAB ＝60°，∴AD ＝AB
＝BD ＝2，PE ＝1，EM ＝12AC ＝3，
∴PM ＝PB ＝1＋3＝2.
在等边三角形DBC 中，BM ＝3，
∴S △PBM ＝394，S △ABM ＝12×2×3＝ 3.设三棱锥A -PBM 的高为h ，则由等体积可得13·394h ＝13×3×1，
∴h ＝41313，
∴点A 到平面PBM 的距离为41313.
如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝
3
4，求点A到平面PBC
的距离．
[解](1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)三棱锥P-ABD的体积V＝1
6P A·AB·AD＝
3
6AB，由V＝
3
4，可得AB＝
3
2.
由题设知BC⊥AB，BC⊥P A，所以BC⊥平面P AB，在平面P AB内作AH⊥PB交
PB于点H，则BC⊥AH，故AH⊥平面PBC.又AH＝P A·AB
PB＝
P A·AB
P A2＋AB2
＝
313
13.
所以点A到平面PBC的距离为313 13.
是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法类比探索型．
【例3】(2018·秦皇岛模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是边长为a的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点．
(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
[解](1)证明：如图所示，连接AC，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点．
所以对角线AC经过点F.
又在△P AC中，点E为PC的中点，
所以EF为△P AC的中位线，
所以EF∥P A.
又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，
所以EF∥平面P AD.
(2)存在满足要求的点G.
在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC.
因为底面ABCD是边长为a的正方形，
所以CD⊥AD.
又侧面P AD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，侧面P AD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面P AD.
又EF∥平面P AD，所以CD⊥EF.
取CD中点G，连接FG，EG.
因为F为BD中点，
所以FG∥AD.
又CD⊥AD，所以FG⊥CD，
又FG∩EF＝F，
所以CD⊥平面EFG，
又CD⊂平面PDC，
所以平面EFG⊥平面PDC.
棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面P AC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC？若存在，求SE∶EC；若不存在，请说明理由．
[证明](1)连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥S-ABCD 是正四棱锥，所以SO⊥AC.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD.
因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD.
(2)在棱SC 上存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .
连接OP .设正方形ABCD 的边长为a ，则SC ＝SD ＝2a .
由SD ⊥平面P AC 得SD ⊥PC ，易求得PD ＝
2a 4
. 故可在SP 上取一点N ，使得PN ＝PD .
过点N 作PC 的平行线与SC 交于点E ，连接BE ，BN ，
在△BDN 中，易得BN ∥PO .
又因为NE ∥PC ，NE ⊂平面BNE ，BN ⊂平面BNE ，BN ∩NE ＝N ，PO ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，PO ∩PC ＝P ，
所以平面BEN ∥平面P AC ，所以BE ∥平面P AC .
因为SN ∶NP ＝2∶1，所以SE ∶EC ＝2∶1.
[大题增分专训]
1．(2019·济南模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，
AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点．
(1)证明：PD ∥平面CEF ；
(2)若PE ⊥平面ABCD ，PE ＝AB ＝2，求三棱锥P -DEF 的体积．
[解] (1)证明：连接BE ，BD ，BD 交CE 于点O ，连接OF (图略)．
∵E 为线段AD 的中点，AD ∥BC ，BC ＝12AD ＝ED ，
∴BC ED ，
∴四边形BCDE 为平行四边形，
∴O 为BD 的中点，又F 是BP 的中点，∴OF ∥PD .
又OF ⊂平面CEF ，PD ⊄平面CEF ，∴PD ∥平面CEF .
(2)由(1)知，BE ＝CD .
∵四边形ABCD 为等腰梯形，AB ＝BC ＝12AD ，
∴AB ＝AE ＝BE ，∴三角形ABE 是等边三角形，
∴∠DAB ＝π3，
过B 作BH ⊥AD 于点H (图略)，则BH ＝ 3.
∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ， 又平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BH ⊥AD ，BH ⊂平面ABCD ，
∴BH ⊥平面P AD ，∴点B 到平面P AD 的距离为BH ＝ 3.
又F 为线段PB 的中点，∴点F 到平面P AD 的距离h 等于点B 到平面P AD
的距离的一半，即h ＝32，又S △PDE ＝12PE ·DE ＝2，
∴V 三棱锥P -DEF ＝13S △PDE ×h ＝13×2×32＝33.
2．(2019·石家庄模拟)如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A ⊥底面ABCD ，过AB 的平面ABFE 与侧面PCD 的交线为EF ，且满足S △PEF ：S 四边形CDEF ＝1∶3.
(1)证明：PB∥平面ACE；
(2)当P A＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．
[解](1)证明：由题知四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD.
又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，
∴EF∥AB，∴EF∥CD.
由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PD，PC的中点．
如图，连接BD交AC于点G，则G为BD的中点，
连接EG，则EG∥PB.
又EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴PB∥平面ACE.
(2)∵P A＝2，AD＝AB＝1，∴AC＝2，AE＝1
2PD＝
5
2，
∵P A⊥平面ABCD，∴CD⊥P A，又CD⊥AD，AD∩P A＝A，
∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .
在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝32.
在△ACE 中，由余弦定理知cos ∠AEC ＝AE 2＋CE 2－AC 22AE ·CE ＝55，
∴sin ∠AEC ＝255，∴S △ACE ＝12·AE ·CE ·sin ∠AEC ＝34 .
设点F 到平面ACE 的距离为h ，连接AF ，则V F -ACE ＝13×34×h ＝14
h . ∵DG ⊥AC ，DG ⊥P A ，AC ∩P A ＝A ，∴DG ⊥平面P AC .
∵E 为PD 的中点，∴点E 到平面ACF 的距离为12DG ＝24.
又F 为PC 的中点，∴S △ACF ＝12S △ACP ＝22，
∴V E -ACF ＝13×22×24＝112.
由V F -ACE ＝V E -ACF ，得14h ＝112，得h ＝13
， ∴点F 到平面ACE 的距离为13.
3．已知在四棱锥P -ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩
形，E 为线段AD 上靠近点A 的三等分点，O 为AB 的中点，且P A ＝PB ，AB ＝23
AD .
(1)求证：EC ⊥PE .
(2)PB 上是否存在一点F ，使得OF ∥平面PEC ？若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：连接PO ，EO ，CO .
∵平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ＝PB ，O 为AB 的中点，
∴PO ⊥平面ABCD ，∵CE ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CE .
设AD ＝3，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝3，
∴AE ＝13AD ＝1，
∴ED ＝2，EC ＝
ED 2＋DC 2＝22＋22＝22，OE ＝AO 2＋AE 2＝12＋12＝2，OC ＝OB 2＋BC 2＝12＋32＝10，
∴OE 2＋EC 2＝OC 2，∴OE ⊥EC .
又PO ∩OE ＝O ，∴EC ⊥平面POE ，
又PE ⊂平面POE ，∴EC ⊥PE .
(2)PB 上存在一点F ，使得OF ∥平面PEC ，且F 为PB 的三等分点(靠近点
B )．证明如下：
取BC 的三等分点M (靠近点C )，连接AM ，易知AE
MC ，∴四边形AECM 为平行四边形，∴AM ∥EC .
取BM 的中点N ，连接ON ，∴ON ∥AM ，∴ON ∥EC .
∵N 为BM 的中点，∴N 为BC 的三等分点(靠近点B )．
∵F 为PB 的三等分点(靠近点B )，连接OF ，NF ，∴NF ∥PC ， 又ON ∩NF ＝N ，EC ∩PC ＝C ，∴平面ONF ∥平面PEC ，
∴OF ∥平面PEC .。