27.2.2 平行线分线段成比例的应用

(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠AEC＝∠BDC. 又 ∵ ∠ GCD ＝ 180° － ∠ ACB － ∠ DCE ＝ 60° ＝ ∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CFG为等边三角形．
∴∠CFG＝60°＝∠FCE. ∴GF∥CE. ∴ AG AF .
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.
∵EF∥AB， ∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
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技巧2 等积代换法证比例式 2．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一
点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于 F，CF与AB交于P.求证 PE PA .
PF PB
证明：∵DE∥BC，
∴DE AE AD ＝1.
EF EC DB ∴DE＝EF.
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类型 3 证比的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法 6．如图，已知AC∥FE∥BD.求证 AE BE ＝1.
AD BC
证明：∵FE∥AC，
∴
BE BC
BF BA
.
①
∵FE∥BD，
∴ AE AF . ②
AB ①＋②，得
BE
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技巧4 平行法证比例式 4．(中考·滨州)如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，
△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于 点G，线段AE交CD于点F.求证： (1)△ACE≌△BCD； (2) AG AF .
GC FE
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
证明：(1)∵EC∥AB， ∴∠EDA＝∠DAB. ∵∠EDA＝∠ABF， ∴∠DAB＝∠ABF. ∴AD∥BC. ∵DC∥AB， ∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)∵EC∥AB，
∴ OA OB . OE OD
∵AD∥BC，
∴ OB OF . OD OA
∴ OA OF .
OE OA
∴OA2＝OE·OF.
(1)证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB为平行四边形．
∴DE＝BF.
∵DE∥BC，∴
AD AB
AE AC
.
∵EF∥AB，
∴
AE AC
BF BC
.
又∵DE＝BF，
∴ AE DE AC BC
.∴
AD DE AB BC
.
(2)解：∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
AE
BF
AF
AB
＝1，
即
AE
BE
BC ＝1.
AD
BA
AB
AB
AD BC
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第二十七章 相似
27.2 相似三角形 第2课时 平行线分线段成比例的应用
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类型 1 证比例式
技巧1 中间比代换法证比例式 1．(中考·上海)如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别
是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB. (1)求证 AD DE ；
AB BC (2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB.
∴ PD PE PB PC
.
∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，
∴ PF PD PC PA
.
∴PD·PC＝PF·PA. ∴PE·PB＝PF·PA. ∴
PE PA PF PB
.
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技巧3 等比代换法证比例式 3．(中考·临夏州)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：(1)四边形ABCD是平行四边形； (2)OA2＝OE·OF.
GC FE
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类型 2 证线段相等
技巧5 等比例过渡法证线段相等 5．如图，在△ABC中，点D为边AB的中点，DE∥BC交
AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F. 求证DE＝EF.
证明：∵DE∥BC，
∴ AD AE . DB EC
∵点D为AB的中点，
∴AD＝DB，即 AD ＝1. DB
∵CF∥BA，