“套路”三策略，破解平面向量问题

ʏ杜海洋
高考试题是经过命题者千锤百炼㊁字斟句酌编成的,最鲜明地检验了同学们对相关知识的掌握情况,具有较高的权威诊断性和学习的指导性,所以同学们在学习中对涉及的高考题决不能掉以轻心㊂下面就一道平面向量考题,从三个角度进行解析㊂
一㊁考题呈现
(2019年高考江苏卷)如图1,在әA B C
中,D 是B C 的中点,E 在边A B 上,B E =
2E A ,A D 与C E 交于点O ㊂
图1
若A B ң㊃A C ң=6A O ң㊃E C ң,
则A B A C 的值是㊂
二㊁试题解析
1.
基底法利用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一组基底,再用该基底表示向量㊂平面向量基本定理的实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算㊂
解:设A O ң=λA D ң=
λ2
(A B ң+A C ң)
㊂因为A O ң=A E ң+E O ң=A E ң+μE C ң=A E ң+
μ(A C ң-A E ң)=(1-μ)A E ң+μA C ң=1-μ3
A B ң+μ
A C ң,所以λ2=1-μ3,λ2=μ,
解得λ=12,
μ=14,
所以A O ң=12
A D ң=14
(A B ң+A C ң),E C ң=A C ң-A E ң
=-
13
A B ң+A C ң,所以6A O ң㊃E C ң=6ˑ
14(A B ң+A C ң)㊃-13A B ң+A C ң
=32-13A B
ң2
+
23
A B ң㊃A C ң+A C ң2
=-12A B ң2+A B ң㊃A C ң
+
32A C ң2,所以A B ң㊃A C ң=-12
A B ң2+
A B ң
㊃A C ң
+
32A C ң2,所以12A B ң2=32
A C ң2
,
所以A B
ң2
A C
ң2=3,所以|A B ң
||A C ң|=3,即A B
A C =3㊂评注:求A B
A C
的值,目的是利用平面向量
基本定理将已知条件转化为A B ң与A C ң的基
底形式,进而得到线段A B 与A C 的关系㊂
2.
几何法平面几何的性质与向量运算法则的有机结合,构造恰当的几何图形解决向量问题,渗透了数形结合思想与转化思想㊂
解:(方法1)过点D 作DH ʊE C 交A B
于点H (如图1)㊂因为点D 为B C 的中点,所以B H =H E ㊂又因为B E =2E A ,
所以H E =A E ,即点O 为A D 的中点㊂
由A B ң㊃A C ң=6A O ң㊃E C ң,可得A B ң㊃
A C ң=3A D ң㊃(A C ң-
13A B ң)=32
(A B ң+
A C ң)㊃A C ң-13
A B ң
,化简整理得3A C ң2
=A B ң2,即3A C
ң2
=A B
ң2
,所以A B A C =|A B ң
|
|A C ң
|
=3㊂
(方法2)过点D 作DH ʊA B 交E C 于
点H (作法略)㊂因为点D 为B C 的中点,所以C H =H E 且DH =
1
2
B E ㊂又因为B E =2E A ,所以DH =A E ㊂由әA E O ʐәDH O ,
可知O 为A D 的中点㊂由A B ң㊃A C ң=
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知识结构与拓展
高一数学 2023年6月
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6A O ң㊃E C ң,可得A B ң㊃A C ң=3A D ң㊃A C ң-13A B
ң =3
2(A B ң
+A C ң)㊃A C ң-13
A B ң ,化简整理得3A C ң2
=A B ң2
,即3A C ң2
=A B
ң2
,所以A B A C =|A B ң
|
|A C ң|
=3㊂
(方法3)过点E 作E H ʊB C 交A D 于点
H (作法略)㊂因为B E =2E A ,所以A H =13A D ,E H =13B D ㊂又因为点D 为B C 的中点,所以E H =1
3
D C ㊂由әH
E O ʐәD C O ,
可得O H =1
3
O D ㊂由A O =A H +H O =13A D +13O D =1
3(A O +O D )+
1
3
O D ,化简得A O =O D ,即点O 为A D 的中
点㊂下同方法2(略)
㊂评注:以上三种方法都是围绕点O 为线
段A D 的中点展开的,利用中点或等分点作对应边的平行线是解题的关键,再利用平行关系构造线段对应成比例或相似三角形对应边成比例,进一步找到所求线段之间的长度关系㊂
3.
坐标法对于条件中包含向量夹角与长度问题,可以考虑建立适当的坐标系,应用坐标法来统一表示向量,从而达到转化问题,简化求解的目的㊂
解:以B C 所在的直线为x 轴,
点D 为坐标原点,建立坐标系(如图2),则D (0,0
)㊂图2
设B (-1,0),C (1,0),A (m ,n )
㊂因为B E =2E A ,
所以点E 2m -13,
2n 3
㊂
易得直线E C 的方程为(m -2)y =(
x -1)n ,直线A D 的方程为m y -
n x =0㊂由上可得方程组
(m -2)y =(
x -1)n ,m y -
n x =0,
解
得x =m 2
,
y =n
2,
所以点O m 2,n 2
㊂易得A B ң㊃A C ң=m 2+n 2-1,6A O ң㊃E C ң=2m 2+2n 2
-4m ,所以m 2
+n 2
-1=2m 2
+2n 2
-4m ,
整理得m 2+n 2-4m +1=0㊂因为|A B ң|2
=(m +
1)2+n 2,|A C ң|2=(m -1)2+n 2
,又(m +1)2+n 2=3[(m -1)2+n 2],所以|A B ң|2=3|A C ң|2
,所以|A B ң||A C ң|
=3,所以A B A C =3㊂评注:向量的几何表示,三角形法则和平
行四边形法则让向量具备 形 的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又让向量具备 数 的特征㊂由于向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供可能,所以在研究向量问题或用向量解决问题时,应具备数形结合思想㊂
三㊁解题体会
对一道题从不同角度欣赏与探究,我们发现没有花哨的技巧,没有刁钻的奇招,体现了正是高考命题所追求的 通性通法 ㊂数学能够锻炼思维,凝聚智慧,这背后正是数学思想的指引,是乐此不疲的反思,是对基本思想㊁基本技能的把握㊂建议同学们在平时刷题时,更重要的是 刷思想 刷方法 刷能力 ,做到一题一世界,一题可破万题山㊂
在әA B C 中,设D 是B C 边上一点,
且满足C D ң=2D B ң,C D ң=λA B ң+μA C ң,
则λ+μ的值是
㊂
提示:因为C D ң=2D B ң,所以C D ң=
23C B ң=23(A B ң-A C ң)=23A B ң-23
A C ң=λA
B ң+μ
A C ң㊂由A
B ң,A
C ң不共线得λ=2
3
,μ=-2
3,所以λ+μ=0㊂作者单位:四川省成都经济技术开发区
实验中学校
(责任编辑 郭正华)
1 知识结构与拓展
高一数学 2023年6月
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