河南省南阳市第一中学高三数学上学期第三次周考试题文(12.9,扫描版)

河南省南阳市第一中学校2023届高三第三次模拟考试理科数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知是球面上的四个点，平面，，，则该球的表面积为（）A．B．C．D．2. 设等差数列的公差为d ，若数列为递减数列，则A．B．C．D．3.已知椭圆与直线交于A ，B 两点，焦点，其中c 为半焦距，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4.直线被圆所截得的弦长为（）A．B ．4C．D．5. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则A ．3B ．2C．D．6. 对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（）A．B．C．D．7. 等差数列中，若则公差=A ．3B ．6C ．7D ．108. 已知集合，，则A．B．C．D．9.若，则（）A．B．C．D．10.设，，，则（）A．B．C．D．11.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．若函数的图像关于点对称，则下列说法正确的是（）A．B ．在上单调递增C．的图像关于直线对称D ．在上单调递减12. 函数的最小正周期是（）A．B ．C．D．13. 在图中，G ，N ，M ，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（）河南省南阳市第一中学校2023届高三第三次模拟考试理科数学试题三、填空题四、填空题五、解答题A．B．C．D．14.已知函数的定义域为R ，满足，且，则（）A．B．为奇函数C．D．15. 已知函数，则（）A ．函数是增函数B．曲线关于对称C ．函数的值域为D ．曲线有且仅有两条斜率为的切线16. 对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（）A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个D ．若三角形ABC为斜三角形，则17.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______.18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为．19. 定义在实数集R上的奇函数满足，且当时，，则下列四个命题：①；②的最小正周期为2；③当时，方程有2018个根；④方程有5个根.其中所有真命题的序号为__________．20.椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，___________，若为直角三角形，则___________.21. 盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为___________；（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为___________.22.已知，．记．（1）求的值；六、解答题七、解答题八、解答题（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．23.已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．24. 在三棱锥中，G 是的重心，P 是面内一点，且平面.（1）画出点P 的轨迹，并说明理由；（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.25.已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，.(1)求证：为常数；(2)求面积的最大值.26.在中，，.（1）求证：是直角三角形；（2）若点在边上，且，求．27.为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；（3）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生九、解答题女生合计参考公式及数据：，．28. 已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，__________.若存在正整数，使得有最小值.从①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答.（1）求的通项公式；（2）求的最小值.。

第一中学高三数学第三次模拟考试试题文

A．（-2,+ ）
B．（0．+ ）
C．（1,
）
D．（4,+ ）
12．设 F1 , F2 分别是双曲线 C :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点， P 是 C 的右支上 a 2 b2
的点，射线 PT 平分 F1 PF2 交 x 轴与点 T ,过原点 O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M ,若 | MP | A．
高三文数试题 2 / 11
为 N ，现随机向区域 N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M 内的概率为________. 15．“在 ABC 中，已知 tan ① tan A cot B 1 ② 0 sin A sin B ③ sin 2 A cos 2 B 1 ④ cos 2 A cos 2 B sin 2 C ，其中正确的是 16．已知 O 为△ABC 的垂心，且 OA 2OB 3OC 0 ,则角 A 的值为．
2016 年春期南阳市一中第三次模拟考试数学（文）试题
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．定义集合 A x 2 x 1 , B x log 1 x 0 ，则 A C R B =（ A． 1, 2．若复数 z 满足 z A．

)
6．过点 A(a, a) 可作圆 x y 2ax a 2a 3 0 的两条切线，则实数 a 的取值范围为( ) A． a 3 或 a 1 C． 3 a 1 或 a B． a
3 2
3 2
D． a 3 或 1 a
7．函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（其中 A＞0，ω＞0，|φ|＜ y=cos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（）

河南省南阳市第一中学2017届高三上学期第三次周考(12.9)文数试题Word版含答案

数学（文）试题（12.9）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|2,A x x x R =≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（）A ．RB ．()(),20,-∞-+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．∅2.设复数()2211z i i=+++，则复数z 的共轭复数的模为（）A B ．1 C ．2 D 3.“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+=（） A ．145-B ．75- C.-2 D ．455.已知平面向量()1,2a =-，()4,b m =，且a b ⊥，则向量b 在a b -方向上的投影为（）A ．-．-46.已知正数组成的等比数列{}n a ，若120100a a =，那么74a a +的最小值为（） A ．20 B ．25 C. 50 D ．不存在7.定义在R 上的函数()()()()2log 80110x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨++->⎪⎩，则()2013f =（）A ．1B ．2 C.-2 D ．-3 8.若正数,a b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（） A ．16 B ．25 C. 36 D ．499.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值为（） A ．0 B ．43 C.32D ．3 10.在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连结顶点B D 、形成三棱锥B ACD -，则其侧视图的面积为（）A ．125 B ．1225 C.7225 D ．1442511.设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦12.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数.①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b .如果()f x k =为闭函数，那么k 的取值范围是（）A ．112k -<≤-B ．112k ≤< C.1k >- D ．1k < 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若曲线)122y x =-≤≤与直线()24y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是．14.在如图所示的程序框图中，若()0xf x xe =，则输出的是．15.如图，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P ABC -，则此正三棱锥的侧面积是．16.已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为()2,0，则PA PB PC ++的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6BC =，tan ABC ∠=（Ⅰ）若4ACD π∠=，求AC 的长；（Ⅱ）若9BD =，求BCD ∆的面积. 18.（本小题满分12分）某风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图茎叶图（单位：cm ），若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知大学志愿者的身高的平均数为176cm ，大学志愿者的身高的中位数为168cm .（Ⅰ）求,x y 的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率. 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==.（1）以向量AB 方向为俯视方向，俯视图是什么形状？说明理由．．．．并画出俯视图；（2）求证：//CN AMD 平面；（3）求该几何体的体积. 20. （本小题满分12分）如图，已知定圆()22:34C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过()1,0A -的一条直线l 与直线m 相交N 于，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是PQ 中点.（1）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ；（2）当PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()()2ln 1f x x ax a x a R =---∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的最值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）试说明是否存在实数()1a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的方程为22312cos ρθ=+，点4R π⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）求曲线C 的直角坐标方程及点R 的直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P 的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式2120x x -<--+<的解集为,,M a b M ∈.（Ⅰ）证明：111364a b +<；（Ⅱ）比较14ab -与2a b -的大小.试卷答案一、选择题1-5:BACCD 6-10:ADABC 11、12：AA 二、填空题 13．( 14．15.3 16.7三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为tan ABC ∠=-ABC ∠为钝角，且sin ABC ∠=，1cos 3ABC ∠=-，因为//AB CD ，所以4BAC ACD π∠=∠=.在ABC ∆中，由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，解得8AC =. （Ⅱ）因为//AB CD ，所以ABC BCD π∠+∠=，故1cos cos 3BCD ABC ∠=-∠=，sin BCD ∠=sin 3ABC ∠=.在BCD ∆中，213681cos 326CD BCD CD+-∠==⨯⨯，整理得24450CD CD --=，解得9CD =，所以1169sin 69223BCD S BCD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=.18.【解析】（Ⅰ）由茎叶图得：1591681701761821871911768x +++++++=，1601691762y ++=，解得，5x =，7y =.()()()121323,,,c c c c c c ，，共10种结果.记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件，则包括，()()()()()1211121321,,,,,,,,,b b b c b c b c b c ， ()()2223,,b c b c ，共7种.()710P A =∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为710.19.【解析】（1）因为MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，BC MD NB ==，所以侧视图是正方形及其两条对角线；作图（略）. （2）ABCD 是正方形，//BC AD ，//BC AMD ∴平面；又MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，//MD NB ∴，//NB AMD ∴平面，所以//BNC AMD 平面平面，//CN AMD 平面；（3）连接AC BD 、，交于点O ，ABCD 是正方形，AO BD ⊥∴，又NB ABCD ⊥平面，AO NB ⊥，AO MDBN ⊥∴平面，因为MDBN 矩形的面积S MD BD =⨯=A MDBN -的体积1133V S AO ==.同理四棱锥C MDBN -的体积为13，故该几何体的体积为23.20.解：（1）由已知得直线m 的斜率13k =-，l m ⊥，故l 的斜率13k =，所以直线l 方程为330x y -+=，将圆心()0,3C 代入方程得30330⨯-+=，所以l 过圆心C .（2）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意.当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由于PQ =，所以1CM =，由1CM ==，解得43k =，故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.（3）解法一：当l 与x 轴垂直时，易得()1,3M =-，51,3N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又()1,0A -，则()0,3AM =，50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故5A M A N =-，即5t =-.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+代入圆的方程得.则2122321M x x k kx k+-+==+，()22311N M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭.又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭.则55,1313k AM k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，故，()()()()()()()()()222225351311555113113121k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--==+==-++++++综上t 的值为定值，且5t AM AN ==-.解法二：连结CA ，延长交m 于点R ，由（1）知AR m ⊥，又CN l ⊥于M ，故ANR ACM ∆∆，于是有AM AN AC AR =，由AC =510AR =，得5AM AN =.故t AM AN AM AN ==-5=-.21.【解析】（1）函数()()()2ln 1f x x ax a x a R =---∈的定义域是()1,+∞当1a =时，()32122111x x f x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=--′，所以()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数在3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增函数，所以函数()f x 的最小值为33ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()222211a x x a f x x a x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=--′，若0a ≤时，则212a +≤，()22201a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=>-在()1,+∞恒成立，所以()f x 的增区间为()1,+∞. 若0a >，则212a +>，故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()22201a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=≤-′. 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()22201a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=≥-，所以0a >时，()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）1a ≥时，由（1）知()f x 在()1,+∞的最小值为221ln 242a a a f a +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令()22a g a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭21ln 42a a a -+-在[)1,+∞上单调递减，所以()()max 31ln 24g a g ==+，则()max 51ln 2088g a ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭.因此存在实数()1a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数()1a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 22.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22113x y +=，点R 的直角坐标为()2,2.（2）曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，[)0,2απ∈）∴设()cos P αα，如图，依题意可得：2cos PQ α=-，2QR α=，∴矩形周长2242cos 484sin 6PQ QR πααα⎛⎫=+=-+-=-+⎪⎝⎭， ∴当3πα=时，周长的最小值为4，点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭.23.【解析】（Ⅰ）记，由解得：.即，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，因为()()222214441410ab a b a b ---=-->故，即。

河南省南阳市第一中学高三数学第三次模拟考试试题文

2016年春期南阳市一中高三第三次模拟考试数学（文）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）1．定义集合，则=（）A．B．C．D．2．若复数满足,则的实部为（）A．B．C．D．3．设命题p：“若，则”，命题q：“若，则”，则（）A．“”为真命题B．“”为真命题C．“”为真命题D．以上都不对4．双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A．B．C．D．5. 若向量满足，的夹角为60°，在向量上的投影等于( )A．B．2 C．D．4＋26．过点可作圆的两条切线，则实数a的取值范围为( )A．或B．C．或D．或7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．执行如图所示的程序框图，若输入a＝3，则输出i的值是( ) A．2 B．3 C．4 D．59．已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（）．A．B．C．D．10．如图，边长为1的菱形中，，沿将△翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，异面直线所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知定义在上的可导函数的导函数为（x）,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为（）A．（-2,+）B．（0．+） C．（1,）D．（4,+）12．设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分交轴与点,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（）A．B．3 C．D．第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．14．若不等式所表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为________. 15．“在中，已知，给出以下四个论断：①②③④，其中正确的是16．已知为△ABC的垂心，且,则角的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤。

河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期12月月考文科数学试卷及答案

南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z -=，则12z +的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．42．若{}2812A x y x x ==--，{}ln(3)2B x x =-≤，则A B ⋂=（）A ．[)2,4B ．(]3,6C ．)22,e ⎡⎣D ．(23,e ⎤⎦3．下列说法错误的是（）A ．若命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝：n ∀∈N ，22nn ≤B ．“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件C ．若命题“()()p q ⌝∨⌝”为真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个是真命题D ．“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题4．已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A ．116-B ．72C ．4D ．65．若正项数列{}n a 满足11a =，221160n n n n a a a a +++-=，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．41n -B ．1(41)3n-C ．21n -D ．1(21)3n-6．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A 66B 33C ．16D ．137．已知函数()sin f x x =，())2ln1g x x x =+，()H x 的解析式是由函数()f x 和()g x 的解析式组合而成，函数()H x 部分图象如下图所示，则()H x 解析式可能为（）A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f xg x ⋅D ．()()f xg x 8．已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >9．已知圆M 过点()1,3A 、()1,1B -、()3,1C -，则圆M 在点A 处的切线方程为（）A ．34150x y +-=B ．3490x y -+=C ．43130x y +-=D ．4350x y -+=10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（）A ．12B ．24C ．22D ．3211．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．522]B ．[32452C ．[328，62]D ．[622]12．已知函数()e e cos 2x x f x x -=+-，若()()12f x f x >，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上为增函数C ．2212x x >D ．12e 1x x ->二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线过点()2,3，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍，则此直线的方程为__________．14．圆1C ：2223xy x ++=与圆2C ：2241x y y +-=的公共弦长为______．15．已知0a b >>，且21a b +=，则11a b b+-的最小值为______．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为______.三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，23a =，且1(2)(1)1n n n a n a --=--（2n ≥，且n *∈N ）．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB 3BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．19．在三棱锥-P ABC 中，AC BC =，PA PB =，D 、E 分别是棱BC 、PB 的中点.(1)证明：AB PC ⊥；(2)线段AC 上是否存在点F ，使得//AE 平面PDF ?若存在，指出点F 的位置；若不存在，请说明理由．20．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：221x y +=，直线l 过点N ．(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：12k k +为定值．21．如图，四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=．(1)求证：BD ⊥平面PA C ．(2)求四棱锥P ABCD -的体积.22．已知函数()()21ln 2x f x m x m x m =-+++，()f x '为函数()f x 的导函数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()0xfx f x '-≥恒成立，求m 的取值范围．南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题参考答案：1．C2．B3．C4．C5．B 6．A 7．A 8．D9．A 10．B11．B12．C13．320x y -=或3110x y +-=1485515．423+16．9112π（选填详解附后）17．解：（1）当2n =时，11a =，由已知1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，则1(1)1(1)n n n a na n +-=-≥，两式相减得112(1)(1)(1)n n n n a n a n a -+-=-+-，即112n n n a a a -+=+，且212a a -=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）设数列14n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n S ，∵144112(21)(21)2121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴11111421335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪-++⎝⎭ ．18解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA 72（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin sin150sin(30)αα=︒︒-，3α＝4sin α.所以tan α34即tan ∠PBA ＝3419解：（1）取AB 的中点H ，连接PH ，CH ，如图，因AC BC =，PA PB =，则CH AB ⊥，PH AB ⊥，而CH ⊂平面PHC ，PH ⊂平面PHC ，CH PH H ⋂=，于是得AB ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AB PC ⊥.（2）当AC 上的点F 满足2CFAF=时，//AE 平面PDF 连接CE 交PD 于G ，连接FG ，D 、E 分别是BC 、PB 的中点，则G 是△PBC 的重心，有2CG GE=，即有CG CFGE AF =，因此//FG AE ，而AE ⊄平面PFD ，FG ⊂平面PFD ，所以//AE 平面PFD ．20（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为()13y k x =-+，即30kx y k --+=，由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，2311k k -+=+，解得43k =，所以直线l 的方程为()4133y x =-+，即4350x y -+=，综上所述，直线l 的方程为1x =或4350x y -+=；（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，得()()2222126680k x k k x k k --+++=-，则()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞，解得43k >，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，（1）所以()()12121212121331111k x k x y yk k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++，将（1）代入上式整理得121862293--+=+=-k k k k ，故12k k +为定值23-．21解：（1）∵PD PC ⊥，PB PC ⊥，PB =PD ，∴Rt △PDC ≌Rt △PBC ，∴BC =DC ，又PB ∩PD =P ，∴PC ⊥平面PBD ，∵BD ⊂平面PBD ，∴PC ⊥BD ，∵AB =AD ，BC =CD ，∴易知AC ⊥BD ，又∵AC ∩PC =C ，∴BD ⊥平面PAC ；（2）如图，设AC 交BD 于O ，则O 是BD 的中点，连接OP ．由(1)知，BC =CD ，又BD4cos 5DCB ∠=，∴在△BCD 中，由余弦定理得：2222cos BD BC DC BC DC DCB ∠=+-⋅⋅，即2242225BC BC =-⋅，解得BC =∴OC =OAOP ===2PC ===，∵PC ⊥平面PBD ，∴PC OP ⊥，∴11222PCO S OP PC =⋅⋅=由2326PAOPAO PCOS OA S S OC =⇒=⨯ ，∴263PAC PCO PAO S S S =+=+=，∴14223329P ABCD B PAC V V --==⨯⨯=．22解：（1）由题可得2(1)()(1)()(1)m x m x m x m x f x x m x x x -++--'=-++==，①当0m ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；②当01m <<时，(0,)x m ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,1)x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当1m =时，,()0x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增；④当1m >时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(1,)x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（2）由()()0xf x f x '-≥恒成立，即2ln 02x m x -≥，2ln 2x m x ∴≥，当1x =时，2ln 2x m x ≥恒成立，当1x >时，22ln x m x ≥，当01x <<时，22ln x m x≤，令2()2ln x g x x=，则2(2ln 1)()2(ln )x x g x x -'=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减且()0g x <，所以0m ≥当1x >时，()0g x '=得x =1x ∴<<()0g x '<，()g x 单调递减，x >()0g x '>，()g x 单调递增；()e g x g ∴≥=，故em ≤综上，m 的取值范围为0e m ≤≤.附：选填答案：1．C 【详解】由(1i)i z -=得：i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z +-+====-+--+，则11i22z +=，所以1122z +=.故选：C 2．B【详解】若{{}{}2812026A x y x x x x x ==--≥=≤≤，(){}{}{}22ln 3203ln e33e B x x x x x x =-≤=<-≤=<≤+，则{}|36=<≤ A B x x .故选：B.3．C 【详解】对于A ，由特称命题的否定可知：:p n ⌝∀∈N ，22nn ≤，A 正确；对于B ，当0a b <<时，ln ,ln a b 无意义，充分性不成立；当ln ln a b <时，0a b <<，必要性成立；则“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件，B 正确；对于C ，若,p q 均为假命题，则,p q ⌝⌝均为真命题，()()p q ∴⌝∨⌝为真命题，C 错误；对于D ，原命题的逆否命题为：若,a b 都小于2，则4a b +<，可知逆否命题为真命题，D 正确.故选：C.4．C 【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C5．D 【详解】设等差数列的公差为d ，则11(1)122nn n na S n a dn n -+-==+，因为101221210S S -=-，所以11119()()222a d a d +-+=-，解得2d =-，所以20221202220212022202220202022202120222S a d ⨯=+=⨯-⨯=-，故选：D 6．A【详解】若,,,E F D G 分别是111,,,AC B C AB AC 的中点，连接,ED EF ，则11//,//ED BC EF AB ，∴直线1AB 与1BC 所成角即为DEF ∠或其补角，由111ABC A B C -底面边长和侧棱长都相等且1160BAA CAA ∠=∠=︒，易知：1DGC F 为平行四边形，若H 为BC 中点，连接,HF AH ，则AH BC ⊥且AH 是1AA 在面ABC 上的射影，∴1AA BC ⊥，而111////AA BB CC ，易知：11BCC B 为正方形，若111ABC A B C -棱长为2，则111122ED BC EF ====∴1DF GC ===，在△DEF 中，222cos 2ED EF DF DEF ED EF +-∠==⋅，∴直线1AB 与1BC 故选：A7．A 【详解】(),()f x g x 定义域都为R ，关于原点对称，而()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，)ln ln ()()g x g x x ⎛⎫-==-⎪-=，所以(),()f x g x 都是奇函数，故()()()()f x f xg x g x ⋅，都是偶函数,因为所给图象关于原点对称，是奇函数，故可排除CD ；当e x =时，sin e e)sin e ln 2e sin e 1ln 20-<-=--<，故排除选项B.故选：A8．D 【详解】因为()2πππ2cos cos 21cos 21sin 21442f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于A ，ππsin 1242f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππsin 1042f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B ，2ππ2T ==，故B 错误；对于C ，πsin π1122f ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭，即()f x 在π2x =处取不到最值，故()f x 不关于π2x =对称，故C 错误；对于D ，π2π2<<，π42π<<，则sin 20,sin 40><，所以()()()12sin 21sin 41sin 2sin 40f f -=+-+=->，即()()12f f >，故D 正确.故选：D.9．A 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得3100203100D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-+++=⎩，解得125D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以，圆M 的方程为22250x y x y ++--=，圆心为1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AM 的斜率为3141312AM k -==+，因此，圆M 在点A 处的切线方程为()3314y x -=--，即34150x y +-=.故选：A.10．B 【详解】过O 作11A B 的平行线，交11B C 于E ，连结1B C ，则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离．作1EF BC ⊥于F ，AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，且11B C BC ⊥，1AB BC B=I 所以1B C ⊥平面11ABC D ，1//EF B C ，所以EF ⊥平面11ABC D ，可求得114EF B C =故选：B11．B 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 2==，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN =AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP当P 与M 或N 重合时，AP 2=．∴线段AP 长度的取值范围是]．故选：B ．12．C 【详解】因为()()()e e cos 2e e cos2x x x x f x x x f x ---=+--=+-=，所以()f x 为偶函数，故A 错误；()e e 2sin2x x f x x -+'=-，当π02x ≤<时，e e 0,2sin20x x x --≥≥，所以()0f x '≥，当π2x ≥时，ππ122e e e e e e 2,2sin22x x x ----≥->->≥-，所以()0f x ¢>，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上为减函数，故B 错误；因为()()12f x f x >，所以()()12f x f x >，又因为()f x 在[0,)+∞上递增，所以12x x >，即2212x x >，故C 正确；显然120x x ->不一定成立，则12e 1x x ->不成立，故D 错误.故选：C13．320x y -=或3110x y +-=【详解】当此直线过原点时，直线在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都等于0，显然成立，所以直线斜率为32且过原点，所以直线解析式为32y x =，化简得；320x y -=，当直线不过原点时，由在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍可设直线方程为13x y a a +=，因为直线过()2,3，所以2313a a +=，解得113a =，化简得：3110.x y +-=故答案为：320x y -=或3110.x y +-=14．5解：圆1C 与圆2C 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即210x y +-=，因为2223x y x ++=变形为()2214x y ++=，即圆1C 的圆心为()1,0-，半径1r 为2，所以，圆心1C 到x ＋2y －1＝0的距离d ==所以，两圆的公共弦长为==故答案为：5．15．4+21a b +=得：()31a b b -+=，又0a b >>，则11113[()3]()444b a b a b b a b b a b b a b b -+=-++=++≥+=+---当且仅当3b a b a b b -+-，即3,36a b -==时取等号，所以当336a b ==时，则11a b b +-取得最小值4+.故答案为：4+16．9112π【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥S ABC -.如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，连接SO ，OC ，作OO '⊥平面ABC ，连接'CO ，延长'CO 交AB 于点H '，连接SH '，过O 作OH SH '⊥，垂足为H .由题可知，平面SAB ⊥平面ABC ，2AB AC BC SH '====，设OO h '=，则22233h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()22323h ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得34h =，则222391348h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故该几何体外接球的表面积为9112π.故答案为：9112π。

河南省南阳市第一中学2020届高三数学上学期第三次考试试题文(含解析)

南阳一中2020级高三第三次考试文数试题（A）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题求定义域内既是奇函数又是增函数为增函数，A．为减函数．B．，有减有增且为偶函数． D．．有减有增，C．为奇函数且为增函数，满足．考点：三角函数及幂函数的函数性质．3. 函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查函数的三要素及函数的单调性.由得：所以函数的定义域为设，在上是增函数，在上是减函数；时，取最大值4；时，取最小值0；所以则则即函数的值域为故选B点评:与函数有关的问题，要注意定义域优先的原则.4. 三个数的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,,,故.考点：1、指数及其指数函数的性质；2、对数及其对数函数的性质.5. 函数的零点所在的区间都是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题设可知，所以函数的零点所在的区间是，故应选A。

考点：函数零点的判断方法及运用。

6. 已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，令，解得；当时，令，解得，及，所以不等式的解集为，故选C．考点：分段函数的应用．7. 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C．考点：函数的图象与性质．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．本题主要是利用特殊点排除法解答的．9. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故选C．考点：利用导数研究函数的极值与最值；函数的恒成立问题．10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是定义在R上的偶函数，∴∴可变为，即，又∵在区间[0,+∞)上单调递增，且f(x)是定义在R上的偶函数，∴，即，解得，故选C.11. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意设则∵当x>0时,有，∴当x>0时,，∴函数在(0,+∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(−x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(−∞,0)上递增，由f(−1)=0得,g(−1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0，∴或，即有或，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：，故选：C.点睛：本题主要考查构造函数，根据题中，联想到函数，并结合奇偶性和单调性即可解决.12. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，又，若方程恰有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象过点A时斜率为,相切时斜率为1,过点B的斜率为,过点C的斜率为故选D.点睛：本题考查利用函数解决方程问题.一个是转为函数零点问题，利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先由，变为两个函数，先画出在时的图象，然后利用函数的对称性和周期性得到的图象，再画的直线，由图求解即可.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 经过原点作函数图象的切线，则切线方程为__________．【答案】【解析】∵，①若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f′(0)=0，则切线方程为y=0；②若原点(0,0)不是切点，设切点为，则切线的斜率为，因此切线方程为，因为切线经过原点(0,0)，∴，∵，解得.∴切线方程为，化为.∴切线方程为或.故答案为或.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以...答案为：.15. 函数的图像为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③在区间内是增函数；④将的图象向右平移个单位可得到图像.【答案】①②③【解析】对于，令,求得f(x)=−1,为函数的最小值,故它的图象C关于直线对称故①正确。

河南省南阳市第一中学校2023届高三第三次模拟考试文数试题

河南省南阳市第一中学校2023届高三第三次模拟考试文
数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
①
()
f x的图象关于点
②
()
f x的图象关于直线
③
()
f x的图象可由y=
⑧若方程
()() g x f tx
=
18．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为
计如下：
一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统
(1)求证：1
BC CC ^；
(2)若三棱柱111
ABC A B C -的侧面积为20．如图，M 是抛物线上点，且MA =MB .
(2,2)
A -- ，26
(,)55
B -，
(6,2)C -0³时，3z x y =+过点(0,2)-时，0<时，3z x y =-+过(0,2)-点时，故最小值为2-故选：A ．
20．（1）详见解析（2）2y=
【分析】（1）可用待定系数法设出两直线的方程，点式求了过两点的直线的斜率，
为定值；
（2）设出点M的坐标，如（1
三个顶点的坐标之间的关系将其
【详解】（1）设M（y,y。

2022届河南省南阳市南阳一中高三第三次测评数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)2．将函数2()3sin 22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 3．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（）A ．6B ．5C ．4D ．34．若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（）A ．7B ．6C ．5D ．45．函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（） A ． B ． C ．D ．6．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，()1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（）A ．43B ．3C ．6D ．237．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-9．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（） A ．28 B ．14C ．7D ．211．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．要得到函数312y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数323y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高三上学期12月月考理科数学试卷及答案

2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)，集合B 表示直线4160x ay +−=上的点，当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，所以42a−=或43160a +−=，解得2a =−或4a =．故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++，所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >，所以2b >.再来比较,a b 的大小：因为20a −>，所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点，所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=，化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分（2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ，由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1，由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =．若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分（2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <，可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >，可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=，即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。

河南省南阳市第一中学高三上学期第三次周考(12.9)文数

数学（文）试题（12.9）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|2,A x x x R =≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（）A ．RB ．()(),20,-∞-+∞C ．()(),12,-∞-+∞D ．∅2.设复数()2211z i i=+++，则复数z 的共轭复数的模为（）A B ．1 C ．2 D 3.“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+=（） A ．145-B ．75- C.-2 D ．455.已知平面向量()1,2a =-，()4,b m =，且a b ⊥，则向量b 在a b -方向上的投影为（）A ．-．-46.已知正数组成的等比数列{}n a ，若120100a a =，那么74a a +的最小值为（） A ．20 B ．25 C. 50 D ．不存在7.定义在R 上的函数()()()()2log 80110x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨++->⎪⎩，则()2013f =（）A ．1B ．2 C.-2 D ．-3 8.若正数,a b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（） A ．16 B ．25 C. 36 D ．499.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值为（） A ．0 B ．43 C.32D ．3 10.在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连结顶点B D 、形成三棱锥B ACD -，则其侧视图的面积为（）A ．125 B ．1225 C.7225 D ．1442511.设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.⎡⎣ D ．⎡⎢⎣⎦12.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数.①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b .如果()f x k =为闭函数，那么k 的取值范围是（）A ．112k -<≤-B ．112k ≤< C.1k >- D ．1k < 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若曲线)122y x =-≤≤与直线()24y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是．14.在如图所示的程序框图中，若()0xf x xe =，则输出的是．15.如图，半径为2的半球内有一内接正三棱锥P ABC -，则此正三棱锥的侧面积是．16.已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为()2,0，则PA PB PC ++的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，6BC =，tan ABC ∠=（Ⅰ）若4ACD π∠=，求AC 的长；（Ⅱ）若9BD =，求BCD ∆的面积. 18.（本小题满分12分）某风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图茎叶图（单位：cm ），若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知大学志愿者的身高的平均数为176cm ，大学志愿者的身高的中位数为168cm .（Ⅰ）求,x y 的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率. 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且1MD NB ==.（1）以向量AB 方向为俯视方向，俯视图是什么形状？说明理由．．．．并画出俯视图；（2）求证：//CN AMD 平面；（3）求该几何体的体积. 20. （本小题满分12分）如图，已知定圆()22:34C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过()1,0A -的一条直线l 与直线m 相交N 于，与圆C 相交于P Q 、两点，M 是PQ 中点.（1）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ；（2）当PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()()2ln 1f x x ax a x a R =---∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的最值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）试说明是否存在实数()1a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的方程为22312cos ρθ=+，点4R π⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.（1）求曲线C 的直角坐标方程及点R 的直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P 的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式2120x x -<--+<的解集为,,M a b M ∈.（Ⅰ）证明：111364a b +<；（Ⅱ）比较14ab -与2a b -的大小.试卷答案一、选择题1-5:BACCD 6-10:ADABC 11、12：AA 二、填空题 13．( 14．15.3 16.7三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为tan ABC ∠=-ABC ∠为钝角，且sin ABC ∠=，1cos 3ABC ∠=-，因为//AB CD ，所以4BAC ACD π∠=∠=.在ABC ∆中，由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，解得8AC =. （Ⅱ）因为//AB CD ，所以ABC BCD π∠+∠=，故1cos cos 3BCD ABC ∠=-∠=，sin BCD ∠=sin 3ABC ∠=.在BCD ∆中，213681cos 326CD BCD CD+-∠==⨯⨯，整理得24450CD CD --=，解得9CD =，所以1169sin 69223BCD S BCD ∆=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=.18.【解析】（Ⅰ）由茎叶图得：1591681701761821871911768x +++++++=，1601691762y ++=，解得，5x =，7y =.()()()121323,,,c c c c c c ，，共10种结果.记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件，则包括，()()()()()1211121321,,,,,,,,,b b b c b c b c b c ， ()()2223,,b c b c ，共7种.()710P A =∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为710.19.【解析】（1）因为MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，BC MD NB ==，所以侧视图是正方形及其两条对角线；作图（略）. （2）ABCD 是正方形，//BC AD ，//BC AMD ∴平面；又MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，//MD NB ∴，//NB AMD ∴平面，所以//BNC AMD 平面平面，//CN AMD 平面；（3）连接AC BD 、，交于点O ，ABCD 是正方形，AO BD ⊥∴，又NB ABCD ⊥平面，AO NB ⊥，AO MDBN ⊥∴平面，因为MDBN 矩形的面积S MD BD =⨯=A MDBN -的体积1133V S AO ==.同理四棱锥C MDBN -的体积为13，故该几何体的体积为23.20.解：（1）由已知得直线m 的斜率13k =-，l m ⊥，故l 的斜率13k =，所以直线l 方程为330x y -+=，将圆心()0,3C 代入方程得30330⨯-+=，所以l 过圆心C .（2）当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意.当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =+，由于PQ =，所以1CM =，由1CM ==，解得43k =，故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.（3）解法一：当l 与x 轴垂直时，易得()1,3M =-，51,3N ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又()1,0A -，则()0,3AM =，50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故5A M A N =-，即5t =-.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =+代入圆的方程得.则2122321M x x k kx k+-+==+，()22311N M k ky k x k +=+=+，即222233,11k k k k M k k ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭，222313,11k k k AM k k ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭.又由()1360y k x x y ⎧=+⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭.则55,1313k AM k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，故，()()()()()()()()()222225351311555113113121k k k k k k t AM AN k k k k k k -+-++--==+==-++++++综上t 的值为定值，且5t AM AN ==-.解法二：连结CA ，延长交m 于点R ，由（1）知AR m ⊥，又CN l ⊥于M ，故ANR ACM ∆∆，于是有AM AN AC AR =，由AC =510AR =，得5AM AN =.故t AM AN AM AN ==-5=-.21.【解析】（1）函数()()()2ln 1f x x ax a x a R =---∈的定义域是()1,+∞当1a =时，()32122111x x f x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=--′，所以()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数在3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增函数，所以函数()f x 的最小值为33ln 224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()222211a x x a f x x a x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--=--′，若0a ≤时，则212a +≤，()22201a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=>-在()1,+∞恒成立，所以()f x 的增区间为()1,+∞. 若0a >，则212a +>，故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()22201a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=≤-′. 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()22201a x x f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=≥-，所以0a >时，()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）1a ≥时，由（1）知()f x 在()1,+∞的最小值为221ln 242a a a f a +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令()22a g a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭21ln 42a a a -+-在[)1,+∞上单调递减，所以()()max 31ln 24g a g ==+，则()max 51ln 2088g a ⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭.因此存在实数()1a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数()1a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 22.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22113x y +=，点R 的直角坐标为()2,2.（2）曲线C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，[)0,2απ∈）∴设()cos P αα，如图，依题意可得：2cos PQ α=-，2QR α=，∴矩形周长2242cos 484sin 6PQ QR πααα⎛⎫=+=-+-=-+⎪⎝⎭， ∴当3πα=时，周长的最小值为4，点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭.23.【解析】（Ⅰ）记，由解得：.即，所以，.（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，因为()()222214441410ab a b a b ---=-->故，即。

2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第三次考试数学(文)试题

南阳一中2015级高三第三次考试文数（A ）答案1-5 ：CCCCA 6-10：CBCCC 11-12： BD13 0940y x y =+=或14. 15 ①②③ 16.1 17解：（1）tan tan 4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-tan 12131tan 12αα++===--- （2）原式2222222sin cos sin sin cos (2cos 1)12sin cos sin sin cos 2cos 2tan 221tan tan 2222ααααααααααααααα=+---=+-⨯===+-+- 18．解：（1）原式=22133284910002()()()279825-+⨯ ………………………（3分） 472171252932599=-+⨯=-+= ………………………………（6分）（2）原式=lg5)(1+- （8分）=lg101+-=1 （12分）19. （1）因为()225f x x ax =-+在(-∞,a ]上为减函数，所以()()2251f x x ax a =-+>在[1, a ]上单调递减，即()max f x =()1f =a ，()min f x =()f a =1，所以a =2。

（2）因为()f x 在(-∞,2]上是减函数，所以a ≥2。

所以()f x 在[1,a ]上单调递减，在[a ,a +1]上单调递增,所以()min f x =()f a =5-2a ()max f x =max{()1f ，()1f a +}，又()1f -()1f a +=6-2a -（6-2a ）=a （a -2）≥0，所以()max f x =()1f =6-2a 。

因为对任意的x 1, x 2∈[1，a +1], 总有|()1f x -()2f x |≤4，所以()max f x -()min f x ≤4，即-1≤a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3。

河南南阳一中高三第三次调研考试数学试卷文

河南省南阳一中2010届高三第第三次次调考（数学文）编辑：南阳一中校对：蒙曌琦本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|{|2,0}x A x y B y y x ===>，则A B =UA ．（1，2]B ．[0，+∞）C ．[0,1)(1,2]UD ．[0，2]2若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且a 是第二象限的角，则tan()4πα+= A 7 B -7 C 17 D 17-3．若1ln ,ln a b c ππ===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>4．若||2||AC AB =u u u r u u u r，且AC CB λ=u u u r u u u r ，则λ=A ．2±B ．2-C ．2-或23-D ．23-5．在等差数列{}n a 中，有35710133()2()48a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和为A ．24B ．39C ．52D ．104-6．已知|2|3x y m -+<表示的平面区域包含点（0，0）和（1-，1），则m 的取值范围是A ．（3-，6）B ．（0，6）C ．（0，3）D ．（3-，3）7．641)1)的展开式中x 的系数是A ．3-B ．4-C ．4D ．48．正四面体ABCD 中，E 是AC 中点，BE 与AD 所成角的余弦值等于A ．B CD ．-9．函数352sin 3tan 6y x x x =-+-的图象的对称中心是A ．（0，0）B ．（6，0）C ．（6-，0）D ．（0，6-）10．某单位购买10张北京奥运会某场足球比赛门票，其中有3张甲票，其余为乙票．5名职工从中各抽1张，至少有1人抽到甲票的概率是A ．1112B ．12C ．310D ．11211．已知120,,a b e e >>分别是圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b-=的离心率，设12lg lg m e e =+，则m 的取值范围是A ．（-∞，0）B ．（0，+∞）C ．（-∞，1）D ．（1，+∞）12已知函数2()(0)f x ax bx c d a =+++≠的导函数(),0g x a b c ++=，且0)1()0(>⋅g g 设12,x x 是方程()0g x =的两根，则|12x x -|的取值范围为A 2)3B 14[,)39C 1[3D 11[,)93第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．14．已知函数321()22f x x x m =-+（m 为常数）图象上A 处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则点A 的横坐标为．15．设焦点在x 轴上的双曲线22221x y a b-=的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为F ，且0FA FB ⋅=u u u r u u u r，则双曲线的离心率e = ．16．AB 垂直于BCD ∆所在的平面，:3:4AC AD BC BD ===，当BCD ∆的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为．三、解答题：本大题共6小题。

2022届高三上册第三次考试数学专题训练(河南省南阳市第一中学)

2022届高三上册第三次考试数学专题训练（河南省南阳市第一中学）解答题如图为函数图像的一部分.（1）求函数的解析式；（2）若将函数图像向在左平移的单位后，得到函数的图像，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出w的值，可得函数的解析式．（2）函数的图象变换规律，求得，进而得，根据即可解得的取值范围.试题解析：(1)由图像可知，函数图像过点，则，故(2) ，即，即填空题经过原点作函数图象的切线，则切线方程为__________．【答案】【解析】∵，①若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f′(0)=0，则切线方程为y=0；②若原点(0,0)不是切点，设切点为，则切线的斜率为，因此切线方程为，因为切线经过原点(0,0)，∴，∵，解得.∴切线方程为，化为.∴切线方程为或.故答案为或.选择题已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是定义在R上的偶函数，∴∴可变为，即，又∵在区间[0,+∞)上单调递增，且f(x)是定义在R上的偶函数，∴，即，解得，故选C.选择题三个数的大小顺序为A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：,,,故.选择题函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C．选择题已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，令，解得；当时，令，解得，及，所以不等式的解集为，故选C．选择题已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．选择题下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题求定义域内既是奇函数又是增函数为增函数，A．为减函数．B．，有减有增且为偶函数．D．．有减有增，C．为奇函数且为增函数，满足．解答题设函数.（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）由，我们可以由在（1，+∞）上恒成立，得到在上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；（Ⅱ）当时，我们易求出函数，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为在上恰有两个不同的零点，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．试题解析：（1）；（2）(]试题解析：（1）当时，由得，∵，∴，∴有在上恒成立，令，由得，当，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，∴实数的取值范围为；（2）当时，函数，在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令，则，当，；当，，∴在上单减，在上单增，，又，如图所示，所以实数的取值范围为(]解答题求值.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）1.【解析】试题分析：（1）根据指数运算法则可得；（2）根据对数运算法则可得.试题解析：（1）原式=（2）原式=.填空题若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于__________．【答案】1【解析】函数满足，即函数关于轴对称.又函数为偶函数，关于轴对称，向右平移个单位关于对称.所以.在单增，又在上单调递增.所以.的最小值等于1.选择题函数的值域是（）A． B. C. D.【答案】B【解析】本题考查函数的三要素及函数的单调性.由得：所以函数的定义域为设，在上是增函数，在上是减函数；时，取最大值4；时，取最小值0；所以则则即函数的值域为故选B解答题（8分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把代入到展开后的式子中，即可求出所求答案。

河南省南阳市第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题文(含解析)

河南省南阳市第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题文（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分） 1.函数()()2ln f x x x =-的定义域为A. ()0,1B. (]0,1C. ()(),01,-∞⋃+∞D. ()[),01,-∞+∞【答案】C 【解析】2010x x x x ->⇒><或，故定义域为{|01x x <或经＞｝，故选C ．2.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.3.设全集U=R，1{||1|1},|202⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<=-≥⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭xA x xB x，则图中阴影部分所表示的集合（）A. ()2,0- B. (]2,1-- C. (1,0]- D. (1,0)-【答案】D【解析】【分析】先将集合A B、的表示元素范围求解出来，然后将阴影部分先用集合间的运算表示出来，最后再计算结果.【详解】因为11x+<，所以20x-<<，所以()2,0A=-；因为1202x⎛⎫-≥⎪⎝⎭，所以1x≤-，所以(],1B=-∞-；又因为阴影部分为：RA C B⋂，且()1,RC B=-+∞，所以()()()2,01,1,0RA C B=--+∞=-，故选：D.【点睛】本题考查根据集合的交并补计算Venn图表示的阴影部分，难度较易.解指数不等式时注意利用指数函数单调性分析.4.将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到（如图2）所示的几何体，侧视图的视线方向（如图2）所示，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】点,,,A B C E 在左侧面的投影为正方形，CA 在左侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE 在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D.5.已知函数()()()()2log 8,55,5,2019x x f x f x x f -≤⎧⎪=->⎨⎪⎩则等于( )A. 2B. 2log 6C. 2log 7D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用已知推导出()()20194f f =，由此能求出结果．【详解】解：函数()()()2log 8,55,5x x f x f x x -≤⎧⎪=->⎨⎪⎩，()()220194log 42f f ∴===．故选：A ．【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.设函数()()()1702xxf xx x⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩,若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，－3)B. (1，＋∞)C. (－3,1)D. (－∞，－3)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】【分析】a<，()1f a<，即1712a⎛⎫-<⎪⎝⎭，0a≥时，1a<，分别求解即可【详解】0a<，()1f a<，即1712a⎛⎫-<⎪⎝⎭，解得3a>-，则30a-<<a≥时，1a<，解得01a≤<综上所述，则31a-<<故选C【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的解析式求法，分类讨论思想的应用，较为基础。

河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第三次月考数学理试题附答案

南阳市一中2021秋期高三年级第三次月考理数试题一、单选题（每小题5分，共60分）1.若集合}，，则（）A. B.C.D.2．若复数满足：（为虚数单位），则等于（）A ．2i -B ．2i +C ．23i -D ．23i + 3、函数的图象可能是（）A. B.C. D.4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移34π个单位长度 D.向左平移4π个单位长度5. 在等差数列中，，则（）A ．-18B ．-6C ．8D ．126.设奇函数()f x 在R 上存在导数()f x '，且在(0,)+∞上2()f x x '<，若331(1)()[(1)]3f m f m m m --≥--，则实数m 的取值范围是（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7. A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（）A.34 B. 89 C. 79 D. 568. 是棱长为2的正方体,分别为的中点，过的平面截正方体的截面面积为（） A ．B ．C ．D ．9. 在的展开式中，的系数是14，则的系数是（）A. 28B ．56C ．112D ． 22410.设实数,x y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则()222x y ++的取值范围是（）A ．1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,17C．⎡⎣D．⎣11、中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（）A ．7B ．15C ． 15-D ．1712．过双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B .已知O 为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知=5,21)a x x ---（，=32,2)b x +（，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是14.为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设,,,,,A B C D E F 六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且,A B 两门课程至少要选1门，则学生甲共有__________种不同的选法.15.已知12,x x 是函数()2sin 2cos 2f x x x m =+-在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两个零点，则()12sin x x +=____________. 16. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的最小值为______．三、解答题（共70分）17.（12分）已知等差数列的前项和为，且，.数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证.18.（12分）据悉，我省将从2022年开始进入“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级（别有关”；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中．19.（12分）如图3，在直角梯形ABCD中，，且现以AD为一边向外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图4．（1）求证：平面BEC ；（2）求证：平面BDE ；（3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值．20.（12分）已知椭圆C ：1的离心率为，其长轴的两个端点分别为A （﹣3，0），B （3，0）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线x ＝4于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求N 点的轨迹方程，并探究△BMO 与△NMO 的面积之比是否为定值．21、（12分）()212ln .x ax xf x x--=已知函数 ()(1);f x 讨论函数的单调性11(2)ln ln ,:2m n m n m n-=+->若求证选做题，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（10分）22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos p θ=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A B ,.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211PAPB+的取值范围23．（10分）已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+2|x +1|（a ∈R ）．（1）当a ＝4时，解不等式f （x ）＜8；（2）记关于x 的不等式f （x ）≤2|x ﹣3|的解集为M ，若[﹣4，﹣1]⊆M ，求a 的取值范围．第三次月考理数答案1-5CDAAA 6-10BBCDA 11-12AD13. ⋃⎝⎭⎝⎭14.1615.16. 2−2ln217.(1)设公差为d ，由题可知：11111,213392n a a a n a d d ==⎧⎧⇒∴=-⎨⎨+==⎩⎩ …………………………（2分）当1n =时，113a b =，113b ∴= ………………………………（3分）当2n ≥时，1121(21)2n n n n n a b --=+-+= ，1212n n n b --∴= ……………………（5分）11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪⎩ ………………………………（6分）（2）123n n T b b b b =++++21135213222n n --=++++1126n T ∴=2132321222n n n n ---++++ ………………………………（7分） 2181212322n n n n T --∴=-- ………………………………（10分） 1162316323n n n T -+∴=-< ………………………………（12分）18.（Ⅰ）根据题意补全2×2列联表,如下:{}n a选考物理选考历史总计男生 40 10 50 女生 30 20 50 总计7030100根据表中数据,可得K 2=≈4.762>3.841,故有95%的把提认为“选考物理与性别有关.”6分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 随机变量x 服从二项分布, 由题意,可得学生选考历史的概率为310,且X ~B (3,310)，P (X =0)=C 30(710)3=3431000, P (x =1)=C 31(310)1(710)2=4411000, P (X =2)=C 32(310)2(710)'=1891000, P (X =3)=C 33(310)3=271000.x 的分布列为X 0 1 2 3P3431000 4411000 1891000 271000期望E （x ）=3×310=910.19.(1)取EC 中点N ，连接MN ，BN ，在△EDC 中，M ，N 分别为ED ，EC 的中点，所以MN //CD ，且MN =12CD .由已知AB //CD ，AB =12CD ，所以MN //AB ，且MN =AB ．所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN //AM ．又因为BN ?平面BEC ，且AM ?平面BEC ，所以AM //平面BEC ． 3分 (Ⅱ)证明：在正方形ADEF 中，又因为平面平面ABCD ，且平面平面ABCD =AD ，ED ?平面ADEF ，所以ED ⊥平面ABCD ，又BC ?平面ABCD ，所以．在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=√2.在△BCD中，BD=BC=√2,CD=2，所以BD2+BC2=CD2.所以．又，ED，BD?平面BDE．所以BC⊥平面BDE．7分(3)作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为所求的角由(2)知，，又BC⊥平面BDE，且BE?平面BDE，可得，所以，又因为ED⊥平面ABCD，BD，CD?平面ABCD，则，，计算可得BE=√3，结合BC=√2，，又．所以DH=√6，3所以20.（Ⅰ）由题意，a＝3，又e，∴c，则b．∴椭圆C的方程为（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则．∴直线AP的方程为，取x＝4，可得点E（4，），∵直线BE的斜率为，∴直线l 的方程为，又直线PB 的方程为，联立直线l 与PB 的方程，消去y 得，∴，① ∵，∴，代入①解得点N 的横坐标，即N 点轨迹方程为： ……（10分） ∴．故△BMO 与△NMO 的面积之比为4：7． ………………………………（12分）21、(1)的定义域为，．令，方程的判别式△，（△）当△≤0，即-1≤a ≤1时，恒成立，即对任意，，所以在上单调递增．（△）当△，即或．①当时，恒成立，即对任意，，所以在上单调递增．②当时，由，解得，．所以当时，；当时，；当时，，所以在上，，在上，，()f x (0,)+∞2221221()1a x ax f x x x x -+'=+-=2()21g x x ax =-+2210x ax -+=2444(1)(1)a a a =-=+-2()210g x x ax =-+(0,)x ∈+∞2()()0g x f x x '=()f x (0,)+∞0>1a <-1a >1a <-2()210g x x ax =-+(0,)x ∈+∞2()()0g x f x x'=()f x (0,)+∞1a >2210x ax -+=21a a α=-21a a β=+-0x α<<()0g x >x αβ<<()0g x <x β>()0g x >22(0,1)(1,)a a a a -+-+∞()0f x '>22(1,1)a a a a ---()0f x '<所以函数在和上单调递增；在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．()211112)lnm ln ,ln ln ,0ln ln 0,0,111ln ln ln ,1,1,ln ,111,,,ln t ln ln n m n m n m n m nm n m n m m m n nm n m n n mn mm t t t t n mt t t m n m n t t t t -=+-=+>->>>++-=+⇒==+=>=++-==-=证明：由可得得因此因为令则所以所以()()()()()()()()212,2,1ln 1:2ln 111,12ln 0+,111,10,2ln 1,2.t m m n t t t n t t t t a f x x x x t f t f f t t t tm n -⎛⎫->>=> ⎪⎝⎭->>==--∞>>=->>->要证明只需证即证由可知时，在，上是增函数所以当时，而因此成立所以22.(1)由曲线C 的极坐标方程2cos p θ=，得22cos p θ=，即222x y x +=，则()2211x y -+=，所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).(2)将｛2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入曲线C 的直角坐标方程，()fx (0,a -()a ++∞(a a -1a ()f x (0,)+∞1a >()fx (0,a()a ++∞(a a -整理得26cos 80t t α-+=.设方程的两个实根分别为12,t t ，，则2121236cos 3206cos 8t t t t αα⎧∆=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以28cos 19α<≤，1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义，可得12126cos PA PB t t t t α+=+=+=，128PA PB t t ⋅==，所以()22222211PA PB PA PBPA PB PA PB+-⋅+=⋅()212122122t t t t t t +-=29cos 415,16416α-⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦所以2211PA PB +的取值范围为15,416⎛⎤⎥⎝⎦. 23．（1）a ＝4时，f （x ）＝|x ﹣4|+2|x +1|，不等式可转化为， …………………………（2分）若f （x ）＜8，1238x x <-⎧⎨-<⎩或1468x x -≤≤⎧⎨+<⎩或4328x x >⎧⎨-<⎩ ………………………………（3分）解得：﹣2＜x ＜﹣1或﹣1≤x ＜2或x ∈∅， ………………………………（4分）综上，不等式的解集是（﹣2，2）． ………………………………（5分）（2）若[﹣4，﹣1]⊆M ，f （x ）≤2|x ﹣3|，即当x ∈[﹣4，﹣1]时，|x ﹣a |+2|x +1|≤2|x ﹣3|恒成立，……………………………（6分） ∵在[﹣4，﹣1]上，x +1≤0，x ﹣3≤0，∴|x +1|＝﹣x ﹣1，|x ﹣3|＝3﹣x ， ∴f （x ）≤2|x ﹣3|等价于|x ﹣a |≤8，即﹣8≤x ﹣a ≤8，………………………………（8分）∵当x ∈[﹣4，﹣1]时该不等式恒成立，∴，………………………………（9分）解得﹣9≤a≤4．即a的范围是[﹣9，4]．………………………（10分）。