人教版2023高中数学导数及其应用易错知识点总结

(每日一练)人教版2023高中数学导数及其应用易错知识点总结
单选题
1、如图所示，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+5,则f(3)+f′(3)=（）
A．1
B．1C．2D．0
2
答案：B
解析：
由导数的几何意义得出f′(3)，再求f(3)+f′(3).
由题中图象知f(3)=−3+5=2，
由导数的几何意义知f′(3)=−1，
∴f(3)+f′(3)=2−1=1．
故选：B
2、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的实数x都有f′(x)=f(x)−2e−x+2x−x2，f(0)=2，则不等式f(|x−1|)<e2+e−2+4的解集是（）
A．(0,1)B．(−1,1)C．(−1,3)D．(e,3)
答案：C
解析：
由已知条件构造函数f(x)=e−x+x2+ae x，再根据f(0)=2，求a，不等式转化为f(|x−2|)<f(2)，结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.
解：由题意得f(x)=e−x+x2+ae x，
则f′(x)=−e−x+2x+ae x
=e−x+x2+ae x−2e−x+2x−x2
=f(x)−2e−x+2x−x2，
由f(0)=1+a=2，解得：a=1，
故f(x)=e−x+x2+e x，
f(|x−1|)<e2+e−2+4=f（2），
∵当x⩾0时，e x⩾1，0<e−x⩽1，2x⩾0，
f′(x)=e x−e−x+2x>0在(0,+∞)上恒成立，
即f(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f(−x)=f(x)，故f(x)为R上的偶函数，
其图象关于y轴对称，f(x)在(−∞,0)上单调递减，
故|x−1|<2，故−1<x<3，
故选：C．
3、已知曲线y=a e x+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e,b=−1B．a=e,b=1C．a=e−1,b=1D．a=e−1,b=−1
答案：D
解析：
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b．详解：y′=ae x+lnx+1,
k=y′|x=1=ae+1=2，∴a=e−1
将(1,1)代入y=2x+b得2+b=1,b=−1，故选D．
小提示：
本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
填空题
4、设函数f(x)=x3+ax+3，f′(1)=5，则实数a＝______．
答案：2；
解析：
先对f(x)求导，再利用f′(1)=5即可求解.
f′(x)=3x2+a，所以f′(1)=3+a=5，解得a=2，
所以答案是：2.
5、直线y=1
2
x+b是曲线y=lnx（x>0）的一条切线，则实数b的值为______．
答案：ln2−1
解析：
根据导数的几何意义，已知切线斜率可以求出切点即可求解.
由y=lnx，得y′=1
x
．
令1
x =1
2
，得x=2，
故切点为(2,ln2)，
代入直线方程，得ln2=1
2
×2+b，
所以b=ln2−1．所以答案是：ln2−1。