第6章连续型概率分布
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些启发？ 3.通过阅读这个案例你的最大收获是什
么？
2
习题
1. P178-6 3. P188-22 2. P188-19 4. P194-38
3
第一节 连续型概率分布的基本问题
一、概率密度函数 的定义 概率密度函数（pr0bability density
function ）提供任何一个特定值f（x） 的函数 值，而不直接给出随机变量取某些特定值的概 率。
票的差错率为10%。研究人员随机抽取 100张发票作为样本，想知道其中有12张 发票含有错误的概率。
44
分析： 根据用正态分布曲线近似计算二项分布概
率的准则有：
n＝100 20，np＝100 0.1＝10 5，n1 p＝100 0.9＝90 5
np 100 0.1 10
54
问题： 1.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要
的时间为6分钟或更短的概率。 2.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要
的时间为18分钟或更短的概率。 3.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要
的时间在6～18分钟之间的概率。
55
分析：根据公式指数分布的概率公式有：
6
（1） p装载时间 6 1 15 0.3297
4
二、连续型随机变量概率密度函数的性质
1.对于所有的 x 值， f x 0
2.f x 图形下的整个面积等于1。
5
对应于某一给定区间，f x 图形以下的面积 给出了连续型随机变量在该区间内取值时 的概率。
常见的连续型概率分布有： 均匀分布 正态分布 指数分布
0.3413 0.3413 0.6826
35
（三）任何正态概率分布的计算
当我们知道具有任何均值和标准差 的正
态分布而要回答概率问题时，要经过以下两 步：
（1）将所求问题的分布转化为标准正态分 标准化布公；式：
z x
36
（2）查标准正态分布表，求出概率。
[例6.7] 已知某一样本的均值是10，标准
(1)在表6-1的最左边一栏找到1.0； (2)在表6-1的最上面一行找到0.00； （3）在表的行和列交叉部分（主体部分）找 到1.0和0.00的交点数值是0.3413。
p0.00 z 1.00 0.3413
33
[例6.2] 计算 p1.00 z 1.00
分析：
（1）z 的值在 z 0.00和 z 1.00之间的概率是
其含义为：我们所要求的概率是随机 变量x在其均值和大于均值2个标准差之间 取值的概率。
38
查表，当z=2时的概率为0.4772。 所以，x在10和14之间取值的概率是
0.4772。
39
第三节 二项概率的正态逼近
当二项分布的子试验次数不断增大
时，用手工或计算器计算概率函数就很
困难。这时，我们可以用正态分布函数
2
2
Varx b a2 140 120 33.33
12
12
33.33 5.77分钟
17
【统计分析】计算结果表明，该航空公司 的航班从北京飞往上海所花费的时间在 120～130分钟之间的概率是0.5。其期望值 和标准差分别为130分钟和5.77分钟。
3
当x 11.5时，z x 11.5 10.0 0.50
3
46
查表1（P452)有： 曲线以下在10～12.5之间的面积0.2967； 曲线以下在10～11.5之间的面积0.1915。 因此，在11.5～12.5之间的面积是
0.2967－0.1915 ＝ 0.1052
第六章 连续型随机变量的概率分布
学习目标 1.理解均匀分布的概念。 2.领会正态分布的重要性。 3.找出正态分布的问题并学会如何解决
这样的问题。 4.确定何时使用指数分布函数以及解决
商务中的问题，并知道怎样解决。
1
案例讨论： 1.分析本案例每个段落都告诉了我们哪
些信息？ 2.通过阅读这个案例的第三段你受到哪
42
三、连续性的修正
由一个离散型分布到连续型分布分布
的转换并不是完全一致的。由于对于连续
型概率分布，随机变量取任何单个数值的
概率都是0，所以，在转换过程中，必须根
据问题进行 0.5 的修正。这一修正称为
连续性修正（correction for continuity）。
43
案例
背景： 连城公司历史数据表明，该公司发
去近似求解二项分布的概率值。
40
一、正态曲线的确定 令：
＝np, np1 p
我们用以上公式确定正态曲线
41
二、用正态分布函数近似求解二项分布的 概率值的准则
（一） n 20，np 5，n1 p 5
（二）检验正态曲线是否是二项分布的很好近 似
3区间是否位于 0～n之间
np1 p 100 0.1 0.9 3
3 10 3 3 1 ~ 19
说明正态分布是二项分布的一个很好近似。
45
经过连续性修正后，将用p11.5 x 12.5
转换成标准正态分布来近似计算二项分布
的概率。
当x 12.5时，z x 12.5 10.0 0.83
47
【统计分析】计算结果表明，在该公司随 机抽取的100张发票中，有12张含有错误的 概率为0.1052。
【问题延伸】研究人员针对发票差错问题， 将对该公司给出一种怎样的判断呢？
48
第四节 指数概率分布
一、指数分布的定义 指 数 概 率 分 布 （ Exponential
probability distribution）是一种描述随机 事件之间发生的时间间隔或空间间隔的 连续型概率分布。
分布。这样就存在一个指数家庭。
51
四、指数分布的概率
P x x0 ex0
其中，x 0
px x0 1 ex
52
五、指数分布的期望值和标准差 ＝ 1
1
53
案 例 背景： 在大连码头，给一辆卡车装货所需要
的时间服从指数概率分布。根据以往记录, 该码头给一辆卡车装货所需要的平均时间 为15分钟。
期观察发现，该公司一个航班从北京飞到
上海所需的时间大约在120分钟到140分钟
左右。
现将飞行时间作为随机变量，x并假定
可以从120分钟到140分钟区间内的任意值。
问题：1.现在该统计人员想了解飞行 时间在120-130分钟的概率是多少？
2.它们的期望值和方差各为多少？
11
分析：由于随机变量可以在120—140 分钟区间取任意值，所以这是一个连续型 随机变量。
【问题延伸】上述信息会给该航空公司相 关工作人员哪些方面的决策提供帮助呢？
18
第三节 正态概率分布
一、正态概率分布的概念
正态概率分布（Normal probability
distribution）随机变量的概率密度函数由均值
和标准差决定，其图形呈钟形的一种概率分布。
由于正态分布是由数学家及天文学家卡尔.高
如果我们可以得到足够的实际飞行数 据，从而有结论：在120—140分钟的区间 内在任意1分钟区间内的概率与飞行时间在 其他任意1分钟内的概率相同。
12
上面关于飞行时间随机变量的概率密度函 数：
f
x
1/
2
0
0
120 x140 其他
13
图6.1 飞行时间的均匀概率密度函数图
28
29
图6.4 任何正态概率分布曲线下的面积
30
四、标准正态概率分布
（一）标准正态概率分布的定义
31
（二）利用标准正态概率分布表计算概率 标准正态概率分布曲线下面的面积已经
被求出，并且被编制成表 见附录B中的表1—见P452（机械版）
32
[例6.1] 计算 p0.00 z 1.00
49
二、指数分布的特点 1.它是一个连续型分布。 2.它有一个家庭族。 3.它是右拖尾的。 4.x的值由0到无穷。 5.它的顶点总在x＝0处。 6.随着x的增大，曲线稳步递减。
50
三、指数概率密度函数
f x ex
x 0, 0
指数分布可以由一个参数 来定。每 一个特定的 值就会确定一个不同的指数
x
1 ba
0
a xb 其他
8
三、均匀分布函数的概率
PX X 2 X1
ba 其中，a X1 X 2 b
9
四、均匀分布期望值和方差
Ex a b
2
Varx b a2
12
10
案例分析
背景：东方航空公司统计人员经过长
差为2。求随机变量 x 在10和14之间取值的
概率是多少？
分析：
根据上述公式有：
当x
10
时， z
x
10 10 2
0
当 x 14时， z x 14 10 2
2
37
上述转化结果说明，随机变量x在10和 14之间取值的概率等于标准正态分布z在0 和2之间取值的概率。
14
根据计算均匀分布函数的概率公式有：
PX＝
X 2 X1 ＝130－120 b a 140－120
＝0.5
其中，a＝120 X1＝120 X 2＝130 b＝140
15
图6.2飞行时间在120与130分钟之间的概率的面积
16
期望值和方差分别为
Ex a b 120 140 130分钟
18
（2） p装载时间 18 1 15 0.6988
（3）装货时间在6分钟到18分钟之间的概率 为
p6 装载时间 18 0.6988 0.3297 0.3691
56
图6.10 大连码头装货需要6分钟时间的概率
57
6
第二节 均匀概率分布
一、均匀概率分布的定义 均匀概率分布（Uniform
probability distribution），也称为 矩形分布（rectangular distribution）,是随机变量在等高度的 每一区间上取值的概率都相同概率分布。
7
二、均匀分布的概率密度函数
f
斯（德国人，1777－1855）所发现，因此，正态
概率分布有时也称为高斯分布或误差正态曲线。
正态概率分布是一种最重要的描述连续型随 机变量的概率分布。
19
图6.3 正态概率分布的钟形曲线
20
二、正态概率密度函数
提醒修改教科书P179公式
21
三、正态概率分布的性质
22
23
24
25
26
27
0.3413。 （2）正态概率分布是对称的。
因此，z 的值在0.00和-1.00之间的概率与在
0.00和1.00之间的概率相等。
34
所以，z 的值在-1.00和1.00之间的概率是
p1.00 z 1.00 p1.00 z 0.00 p0.00 z 1.00
么？
2
习题
1. P178-6 3. P188-22 2. P188-19 4. P194-38
3
第一节 连续型概率分布的基本问题
一、概率密度函数 的定义 概率密度函数（pr0bability density
function ）提供任何一个特定值f（x） 的函数 值，而不直接给出随机变量取某些特定值的概 率。
票的差错率为10%。研究人员随机抽取 100张发票作为样本，想知道其中有12张 发票含有错误的概率。
44
分析： 根据用正态分布曲线近似计算二项分布概
率的准则有：
n＝100 20，np＝100 0.1＝10 5，n1 p＝100 0.9＝90 5
np 100 0.1 10
54
问题： 1.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要
的时间为6分钟或更短的概率。 2.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要
的时间为18分钟或更短的概率。 3.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要
的时间在6～18分钟之间的概率。
55
分析：根据公式指数分布的概率公式有：
6
（1） p装载时间 6 1 15 0.3297
4
二、连续型随机变量概率密度函数的性质
1.对于所有的 x 值， f x 0
2.f x 图形下的整个面积等于1。
5
对应于某一给定区间，f x 图形以下的面积 给出了连续型随机变量在该区间内取值时 的概率。
常见的连续型概率分布有： 均匀分布 正态分布 指数分布
0.3413 0.3413 0.6826
35
（三）任何正态概率分布的计算
当我们知道具有任何均值和标准差 的正
态分布而要回答概率问题时，要经过以下两 步：
（1）将所求问题的分布转化为标准正态分 标准化布公；式：
z x
36
（2）查标准正态分布表，求出概率。
[例6.7] 已知某一样本的均值是10，标准
(1)在表6-1的最左边一栏找到1.0； (2)在表6-1的最上面一行找到0.00； （3）在表的行和列交叉部分（主体部分）找 到1.0和0.00的交点数值是0.3413。
p0.00 z 1.00 0.3413
33
[例6.2] 计算 p1.00 z 1.00
分析：
（1）z 的值在 z 0.00和 z 1.00之间的概率是
其含义为：我们所要求的概率是随机 变量x在其均值和大于均值2个标准差之间 取值的概率。
38
查表，当z=2时的概率为0.4772。 所以，x在10和14之间取值的概率是
0.4772。
39
第三节 二项概率的正态逼近
当二项分布的子试验次数不断增大
时，用手工或计算器计算概率函数就很
困难。这时，我们可以用正态分布函数
2
2
Varx b a2 140 120 33.33
12
12
33.33 5.77分钟
17
【统计分析】计算结果表明，该航空公司 的航班从北京飞往上海所花费的时间在 120～130分钟之间的概率是0.5。其期望值 和标准差分别为130分钟和5.77分钟。
3
当x 11.5时，z x 11.5 10.0 0.50
3
46
查表1（P452)有： 曲线以下在10～12.5之间的面积0.2967； 曲线以下在10～11.5之间的面积0.1915。 因此，在11.5～12.5之间的面积是
0.2967－0.1915 ＝ 0.1052
第六章 连续型随机变量的概率分布
学习目标 1.理解均匀分布的概念。 2.领会正态分布的重要性。 3.找出正态分布的问题并学会如何解决
这样的问题。 4.确定何时使用指数分布函数以及解决
商务中的问题，并知道怎样解决。
1
案例讨论： 1.分析本案例每个段落都告诉了我们哪
些信息？ 2.通过阅读这个案例的第三段你受到哪
42
三、连续性的修正
由一个离散型分布到连续型分布分布
的转换并不是完全一致的。由于对于连续
型概率分布，随机变量取任何单个数值的
概率都是0，所以，在转换过程中，必须根
据问题进行 0.5 的修正。这一修正称为
连续性修正（correction for continuity）。
43
案例
背景： 连城公司历史数据表明，该公司发
去近似求解二项分布的概率值。
40
一、正态曲线的确定 令：
＝np, np1 p
我们用以上公式确定正态曲线
41
二、用正态分布函数近似求解二项分布的 概率值的准则
（一） n 20，np 5，n1 p 5
（二）检验正态曲线是否是二项分布的很好近 似
3区间是否位于 0～n之间
np1 p 100 0.1 0.9 3
3 10 3 3 1 ~ 19
说明正态分布是二项分布的一个很好近似。
45
经过连续性修正后，将用p11.5 x 12.5
转换成标准正态分布来近似计算二项分布
的概率。
当x 12.5时，z x 12.5 10.0 0.83
47
【统计分析】计算结果表明，在该公司随 机抽取的100张发票中，有12张含有错误的 概率为0.1052。
【问题延伸】研究人员针对发票差错问题， 将对该公司给出一种怎样的判断呢？
48
第四节 指数概率分布
一、指数分布的定义 指 数 概 率 分 布 （ Exponential
probability distribution）是一种描述随机 事件之间发生的时间间隔或空间间隔的 连续型概率分布。
分布。这样就存在一个指数家庭。
51
四、指数分布的概率
P x x0 ex0
其中，x 0
px x0 1 ex
52
五、指数分布的期望值和标准差 ＝ 1
1
53
案 例 背景： 在大连码头，给一辆卡车装货所需要
的时间服从指数概率分布。根据以往记录, 该码头给一辆卡车装货所需要的平均时间 为15分钟。
期观察发现，该公司一个航班从北京飞到
上海所需的时间大约在120分钟到140分钟
左右。
现将飞行时间作为随机变量，x并假定
可以从120分钟到140分钟区间内的任意值。
问题：1.现在该统计人员想了解飞行 时间在120-130分钟的概率是多少？
2.它们的期望值和方差各为多少？
11
分析：由于随机变量可以在120—140 分钟区间取任意值，所以这是一个连续型 随机变量。
【问题延伸】上述信息会给该航空公司相 关工作人员哪些方面的决策提供帮助呢？
18
第三节 正态概率分布
一、正态概率分布的概念
正态概率分布（Normal probability
distribution）随机变量的概率密度函数由均值
和标准差决定，其图形呈钟形的一种概率分布。
由于正态分布是由数学家及天文学家卡尔.高
如果我们可以得到足够的实际飞行数 据，从而有结论：在120—140分钟的区间 内在任意1分钟区间内的概率与飞行时间在 其他任意1分钟内的概率相同。
12
上面关于飞行时间随机变量的概率密度函 数：
f
x
1/
2
0
0
120 x140 其他
13
图6.1 飞行时间的均匀概率密度函数图
28
29
图6.4 任何正态概率分布曲线下的面积
30
四、标准正态概率分布
（一）标准正态概率分布的定义
31
（二）利用标准正态概率分布表计算概率 标准正态概率分布曲线下面的面积已经
被求出，并且被编制成表 见附录B中的表1—见P452（机械版）
32
[例6.1] 计算 p0.00 z 1.00
49
二、指数分布的特点 1.它是一个连续型分布。 2.它有一个家庭族。 3.它是右拖尾的。 4.x的值由0到无穷。 5.它的顶点总在x＝0处。 6.随着x的增大，曲线稳步递减。
50
三、指数概率密度函数
f x ex
x 0, 0
指数分布可以由一个参数 来定。每 一个特定的 值就会确定一个不同的指数
x
1 ba
0
a xb 其他
8
三、均匀分布函数的概率
PX X 2 X1
ba 其中，a X1 X 2 b
9
四、均匀分布期望值和方差
Ex a b
2
Varx b a2
12
10
案例分析
背景：东方航空公司统计人员经过长
差为2。求随机变量 x 在10和14之间取值的
概率是多少？
分析：
根据上述公式有：
当x
10
时， z
x
10 10 2
0
当 x 14时， z x 14 10 2
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上述转化结果说明，随机变量x在10和 14之间取值的概率等于标准正态分布z在0 和2之间取值的概率。
14
根据计算均匀分布函数的概率公式有：
PX＝
X 2 X1 ＝130－120 b a 140－120
＝0.5
其中，a＝120 X1＝120 X 2＝130 b＝140
15
图6.2飞行时间在120与130分钟之间的概率的面积
16
期望值和方差分别为
Ex a b 120 140 130分钟
18
（2） p装载时间 18 1 15 0.6988
（3）装货时间在6分钟到18分钟之间的概率 为
p6 装载时间 18 0.6988 0.3297 0.3691
56
图6.10 大连码头装货需要6分钟时间的概率
57
6
第二节 均匀概率分布
一、均匀概率分布的定义 均匀概率分布（Uniform
probability distribution），也称为 矩形分布（rectangular distribution）,是随机变量在等高度的 每一区间上取值的概率都相同概率分布。
7
二、均匀分布的概率密度函数
f
斯（德国人，1777－1855）所发现，因此，正态
概率分布有时也称为高斯分布或误差正态曲线。
正态概率分布是一种最重要的描述连续型随 机变量的概率分布。
19
图6.3 正态概率分布的钟形曲线
20
二、正态概率密度函数
提醒修改教科书P179公式
21
三、正态概率分布的性质
22
23
24
25
26
27
0.3413。 （2）正态概率分布是对称的。
因此，z 的值在0.00和-1.00之间的概率与在
0.00和1.00之间的概率相等。
34
所以，z 的值在-1.00和1.00之间的概率是
p1.00 z 1.00 p1.00 z 0.00 p0.00 z 1.00