无穷小量与无穷大量的阶

6x2 x3
lim
x0
x2
6.
小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: （1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
(1) 若 y 0或 z , 称y关于z是高阶无穷小量,或z关于
z
y
y是低阶无穷小量,记 y (z).
(2) 若 y a 0, 称y和z是同阶无穷小量; z
一般地,若A 0, B 0, y和z自某值以后有
A y B (或 y M , M 0)
z
z
就称y和z是同阶无穷小量,记 y O(z) 或 z O(y).
数列它们可是函数也可以是穷小量无穷小量的比较无穷小量与无穷大量的阶编辑ppt的近似值作为zaxax极限利用等价无穷小量计算无穷大量的比较编辑ppt小结1主要内容
§4. 无穷小量与无穷大量的阶
无穷小量的比较 Def ： 设y和z都是同一过程(x x0 , x0 0, ,)中的无
穷小量, 它们可是函数也可以是数列.
(3) 当 y 1时, 称y和z是等价无穷小量, 记 y ~ z. z
当 y a 0时, y和az是等价无穷小量. z
当y和z是等价无穷小量时，有
y z y 1 0, y z 1 z 0.
zz
y
y
故y z关于z或y是高阶无穷小量时. 此时, 把z作为y(或
z
y
y O(1)表y是有界变量, y (1) 表y是无穷小量.
注 : 利用等价无穷小量计算极限.
例: xn 1 ~ n(x 1)(x 1). sin x ~ x(x 0).
lim
x1
xn xm
1 1

n(x 1) n
lim
.
x1 m( x x3 sin 2 x
y作为z)的近似值. y z o(z).
(4) 若以x为基本无穷小量, 则当y与xk (k 0)为同阶无穷 小量时，即当y a 0时, 称y为k阶无穷小量. xk
y ~ axk , 称axk为无穷小量y的主要部分.
无穷大量的比较 可类似定义. 如当y , z ,
而 y 或 z 0, 称y关于z为高阶无穷大量, 等等.
3、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但 并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
4、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.