第一章 1.5 三角函数的应用

向上，这时渔船与灯塔 C 的距离是( C )
A．12 3海里
B．6 3海里
C．4 3海里
D．4 海里
2．如图，测量河宽 AB(假设河的两岸平行)，在点 C 测得∠ACB ＝30°，在点 D 测得∠ADB＝60°，又 CD＝60 m，则河宽 AB
为( C )
A．30 m B．60 m C．30 3 m D．60 3 m
则乙楼的高度为 (30＋10 3) 米.
三、解答题 10．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小
岛高度 AC，如图所示，他先在点 B 测得山顶点 A 的仰角为 30°，然后向正东方向前行 62 米，到达 D 点，在 D 处测得山顶点 A 的仰角为 60°(B、C、D 三点在同一水平面 上，且测量仪的高度忽略不计)．求小岛高度 AC.(结果精确到 1 米，参考数值： 2≈1.4， 3≈1.7)
ab；
(4)坡度： 坡面与水平面的夹角(α) 称为坡角， 坡面与水 平面的夹角(α) 的比称为坡度 (或坡比)，即坡度等 于 坡角的正切 ．符号“ i ”即 tanα .
一、选择题
1．如图，渔船在 A 处看到灯塔 C 在北偏东 60°方向上，渔船向正
东方向航行了 12 海里到达 B 处，在 B 处看到灯塔 C 在正北方
高度为( B )
A．10 3米 B．20 3米 C．30 3米 D．60 米
二、填空题 6．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离 AC＝3
米，tan∠BAC＝4∶3，则梯子 AB 的长度为 5 米．
7．如图是引拉线固定电线杆的示意图. 已知：CD⊥AB，CD＝3 3
m，∠CAD＝∠CBD＝60°，则拉线 AC 的长是 6 m.
解：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD， ∴∠BAD＝∠ADC－∠B ＝60°－30°＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴AD＝BD＝62(米)．
在直角△ ACD 中，AC＝AD·sin∠ADC ＝62× 23＝31 3≈31×1.7＝52.7≈53(米)． 答：小岛的高度约为 53 米．
11．如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥BC，α＝ 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β＝ 45°.若原坡长 AB＝20 m，求改造后的坡长 AE.(结果保留根号)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月3日星期五2021/9/32021/9/32021/9/3 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/32021/9/3September 3, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/3
8．如图，在东西方向的海岸线上有 A、B 两个港口，甲货船从 A 港沿北偏东 60°的方向以 4 海里/小时的速度出发，同时乙货船 从 B 港沿西北方向出发，2 小时后相遇在点 P 处，问乙货船每
小时航行 2 2 海里．
9．如图，甲、乙两幢楼之间的距离是 30 米，自甲楼顶 A 处测得 乙楼顶端 C 处的仰角为 45°，测得乙楼底部 D 处的俯角为 30°，
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F， 在 Rt△ABF 中，∠ABF＝∠α＝60°， 则 AF＝ABsin60°＝10 3m， 在 Rt△AEF 中， ∠E＝∠β＝45°， 则 AE＝siAn4F5°＝10 6m. 答：改造后的坡长 AE 为 10 6 m.
12．如图，某人在山坡坡脚 C 处测得一座建筑物顶点 A 的仰角为 60°，沿山坡向上走到 P 处再测得该建筑物顶点 A 的仰角为 45°.已知 BC＝90 米，且 B、C、D 在同一条直线上，山坡坡 度为21(即 tan∠PCD＝12)．
(1)求该建筑物的高度(即 AB 的长)； (2)求此人所在位置点 P 的铅直高度．(测倾器的高度忽略不计， 结果保留根号形式)
解：(1)过点 P 作 PE⊥BD 于点 E，PF⊥AB 于点 F， 又∵AB⊥BC 于点 B，∴四边形 BEPF 是矩形， ∴PE＝BF，PF＝BE ∵在 Rt△ABC 中，BC＝90 米，∠ACB＝60°， ∴AB＝BC·tan60°＝90 3(米)， 故建筑物的高度为 90 3米；
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高
BC＝50 m，则迎水坡面 AB 的长度是( A )
A．100 m B．150 m C．100 3 m D．150 3 m
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 7:13:24 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/32021/9/32021/9/3Sep-213-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/32021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021
4．如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30°、 45°，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B
在同一直线上，则 AB 两点的距离是( D )
A．200 米 C．220 3米
B．200 3米 D．100( 分别表示两幢相距 30 米的大楼，小明在 大楼底部点 B 处观察，当仰角增大到 30°时，恰好能通过大楼 CD 的玻璃幕墙看到大楼 AB 的顶部点 A 的像，那么大楼 AB 的
第一章 直角三角形的边角关系
1.5 三角函数的应用
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实际问题中直角三角形模型构建中三角函数的有关计算的依据：
(1)直角三角形三边之间的关系： a2＋b2＝c2 ； (2)直角三角形两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90° ；
b (3)直角三角形边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝ c ，tan A ＝
(2)设 PE＝x 米，则 BF＝PE＝x 米， ∵在 Rt△PCE 中，tan∠PCD＝CPEE＝12，∴CE＝2x， ∵在 Rt△PAF 中，∠APF＝45°， ∴AF＝AB－BF＝90 3－x，
PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x， 又∵AF＝PF，∴90 3－x＝90＋2x， 解得：x＝30 3－30， 答：此人所在的位置点 P 的铅直高度为(30 3－30)米．