高等代数考试题库及答案

高等代数考试题库及答案
一、单项选择题（每题2分，共10题，共20分）
1. 以下哪个选项是矩阵的秩？
A. 矩阵中非零行的数量
B. 矩阵中非零列的数量
C. 矩阵中最大的线性无关行（或列）的数量
D. 矩阵的行列式值
答案：C
2. 线性方程组有解的充分必要条件是什么？
A. 系数矩阵的行列式非零
B. 增广矩阵的行列式非零
C. 系数矩阵与增广矩阵的秩相等
D. 系数矩阵与增广矩阵的秩不相等
答案：C
3. 对于一个n阶方阵A，下列哪个选项是正确的？
A. A的行列式为0，则A可逆
B. A的行列式不为0，则A可逆
C. A的行列式为0，则A不可逆
D. A的行列式不为0，则A不可逆
答案：C
4. 矩阵A和B相乘，下列哪个选项是正确的？
A. AB=BA
B. AB=0当且仅当A=0或B=0
C. AB=0当且仅当A和B中至少有一个为零矩阵
D. AB=0当且仅当A和B的行列式都为0
答案：C
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是？
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零
B. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数
C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0
D. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数
答案：B
6. 向量组α1，α2，…，αn线性相关的充分必要条件是？
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零
B. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数
C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0
D. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数
答案：B
7. 矩阵A的特征值是指？
A. 满足|A-λI|=0的λ
B. 满足|A+λI|=0的λ
C. 满足|A-λE|=0的λ
D. 满足|A+λE|=0的λ
答案：A
8. 矩阵A的特征向量是指？
A. 满足Ax=0的非零向量x
B. 满足Ax=λx的非零向量x
C. 满足Ax=0的向量x
D. 满足Ax=λx的向量x
答案：B
9. 矩阵A和B相似的充分必要条件是？
A. A和B的行列式相等
B. A和B的秩相等
C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B
D. A和B的迹相等
答案：C
10. 矩阵A和B合同的充分必要条件是？
A. A和B的行列式相等
B. A和B的秩相等
C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B
D. A和B的迹相等
答案：C
二、填空题（每题2分，共5题，共10分）
1. 若矩阵A的行列式为3，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。

答案：1/3
2. 若向量组α1，α2，…，αn线性无关，则由这些向量构成的矩阵的秩为______。

答案：n
3. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则矩阵A的特征值为______和______。

答案：2，3
4. 若矩阵A的特征值为λ1，λ2，则矩阵A^2的特征值为______和______。

答案：λ1^2，λ2^2
5. 矩阵A和B合同，则矩阵A和B的______相等。