高中数学：三角函数章末综合 (5)

章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．(2017·杭州期末)角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则sin α的值是( ) A.
22B ．－22C ．1D.22或－2
2
答案 D
解析 r ＝a 2＋a 2＝2|a |， 所以sin α＝a
r ＝⎩⎨⎧
2
2，a >0，－2
2，a <0，
所以sin α的值是
22或－22
. 2．计算cos(－780°)的值是( ) A ．－
32B ．－12C.12D.3
2
答案 C
解析 cos(－780°)＝cos780°＝cos(360°×2＋60°)＝cos60°＝1
2，故选C.
3．在直径为20cm 的圆中，165°圆心角所对应的弧长为( ) A.25π3cmB.55π6cmC.40π3cmD.55π3cm 答案 B
解析 ∵165°＝π180×165rad ＝11π12rad ，
∴l ＝11π12×10＝55π
6
(cm)．
4．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2cos (α－2π)的值为( )
A ．1
B ．－4
5C ．－1D ．－4
答案 A
解析 根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，
所以sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2cos (α－2π)＝sin α－cos α
2cos α
＝12tan α－12＝32－1
2
＝1.故选A. 5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)与直线y ＝12的交点中，距离最近的两点间距离为π
3，那么此
函数的周期是( ) A.π
3B ．πC ．2πD ．4π 答案 B
解析 ωx ＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或ωx ＋φ＝5π
6
＋2k π(k ∈Z )，
||(ωx 2＋φ)－(ωx 1＋φ)≥2π3，||x 2－x 1≥2π
3ω，
令
2π3ω＝π3，得ω＝2，T ＝2π
ω
＝π. 6．(2017·金华十校期末)要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移π
3个单位长度
B ．向左平移π
6个单位长度
C ．向右平移π
6个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
答案 B
解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π
6
个单位长度．
7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A
解析 因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤9π6，
－π3≤π6x －π3≤9π6－π
3， 即－π3≤π6x －π3≤7π6
，
所以当π6x －π3＝－π
3时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)有最小值2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3， 当π6x －π3＝π
2
时，
y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)有最大值2sin π
2＝2， 所以最大值与最小值之和为2－ 3.
8．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫
π2，π上单调递减 答案 D
解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；
B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π
3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3
对称，B 项正确；
C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
，C 项正确；
D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣
⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π
3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭
⎫2π3，π是f (x )的单调递增
区间，D 项错误． 故选D.
9．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )
A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3
B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3 答案 A
解析 由已知可得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－π12，2和点⎝⎛⎭⎫5π
12，－2，则A ＝2，T ＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y ＝2sin(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫－π12，2代入得－π6＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝2π
3，
此时y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π
3，故选A. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π
4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫
π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B
解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π
4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT (k ∈N )，即π2＝4k ＋14·T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π
2ω
，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．(2018·牌头中学月考)一个半径大于2的扇形，其周长C ＝10，面积S ＝6，则这个扇形的半径r ＝________，圆心角α＝________. 答案 3 43
解析 由2r ＋rα＝10得：α＝10－2r
r ，
将上式代入S ＝1
2αr 2＝6，得r 2－5r ＋6＝0，
∴r ＝3(r ＝2舍去)， ∴α＝10－2r r ＝43
.
12．(2018·牌头中学月考)函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π
3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦
⎤－1
2，1 解析 令u ＝cos x ，则函数为y ＝f (u )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π
3(k ∈Z )， ∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1
2，1， ∴u ∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，1， ∴函数y ＝f (x )的定义域为⎣⎡⎦
⎤－1
2，1. 13．(2018·牌头中学月考)已知角α为第三象限角，若tan α＝2
5
，则sin α＝________，sin α－cos α＝________. 答案 －2
3
5－2
3
14．函数y ＝tan(sin x )的定义域为______________，值域为______________． 答案 R [tan(－1)，tan 1] 解析 因为－1≤sin x ≤1， 所以tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1， 所以y ＝tan(sin x )的定义域为R ， 值域为[tan(－1)，tan 1]．
15．(2018·牌头中学月考)A 为锐角三角形一内角，则y ＝7
4
＋sin A －sin 2A 的最大值为________，
此时A 的值为________． 答案 2 π
6
16．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π
3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________． 答案 3
2
解析 向右平移4π
3个单位长度得
y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π
3
＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π
3ω＋2. ∵与原函数图象相同， 故－4π
3
ω＝2n π(n ∈Z )，
∴ω＝－32n (n ∈Z )，∵ω>0，∴ωmin ＝3
2
.
17．在△ABC 中，C >π
2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是
________．(填序号) ①f (cos A )>f (cos B )； ②f (sin A )>f (sin B )； ③f (sin A )>f (cos B )； ④f (sin A )<f (cos B )． 答案 ③
解析 根据0<A ＋B <π2，得0<A <π2－B <π
2，
所以sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B . 又y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数， 所以f (sin A )>f (cos B )．
三、解答题(本大题共5小题，共74分)
18．(14分)求值sin 2120°＋cos180°＋tan45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)． 解 原式＝⎝⎛
⎭⎫322－1＋1－cos 230°＋sin30°＝⎝⎛⎭⎫322－1＋1－⎝⎛⎭⎫322＋12＝12
. 19．(15分)已知f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2.
(1)当θ＝－π
6
时，求函数f (x )的最大值；
(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－23
3x －1
＝⎝
⎛⎭⎫x －
332－4
3
，x ∈[－1，3]． ∴当x ＝－1时，f (x )的最大值为23
3
.
(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－(1＋tan 2θ)图象的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.
因此，θ角的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2
，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2. 20．(15分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π
2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π
2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤
π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π
3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π
2，
得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ
＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π
3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π
2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π
6
(k ∈Z )．
又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π
6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π
6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6
时，f (x )取得最大值2；
当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π
2时，f (x )取得最小值－1，
故当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，f (x )的值域为[－1,2]． 21．(15分)已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；
(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到； (3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )min ＝－2，此时2x －π3＝2k π－π
2，k ∈Z ，
即x ＝k π－π
12
，k ∈Z ，
即此时自变量x 的集合是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ＝k π－π
12，k ∈Z . (2)把函数y ＝sin x 的图象向右平移π
3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
2，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，最后再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图象． (3)如图，因为当x ∈[0，m ]时，y ＝f (x )取到最大值2，所以m ≥5π
12
.
又函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤
5π12，11π12上是减函数，
故m 的最大值为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12内使函数值为－3的值，
令2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－3，得x ＝5π6， 所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤5π12，5π6.
22．(15分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R . (1)求g (a )；
(2)若g (a )＝1
2，求a 及此时f (x )的最大值．
解 (1)f (x )＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x ) ＝2cos 2x －2a cos x －1－2a ＝2⎝
⎛⎭⎫cos x －a 22－a
2
2－2a －1. 若a 2<－1，即a <－2，则当cos x ＝－1时，f (x )有最小值g (a )＝2⎝⎛⎭⎫－1－a 22－a 22－2a －1＝1； 若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，f (x )有最小值g (a )＝－a 2
2－2a －1；
若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，f (x )有最小值g (a )＝2⎝⎛⎭⎫1－a 22－a 22－2a －1＝1－4a . ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，a <－2，
－a
2
2－2a －1，－2≤a ≤2，
1－4a ，a >2.
(2)若g (a )＝12，由所求g (a )的解析式知只能是－a 22－2a －1＝12或1－4a ＝1
2.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤a ≤2，－a 22－2a －1＝1
2，解得a ＝－1或a ＝－3(舍)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
a >2，1－4a ＝12，解得a ＝18(舍)． 此时f (x )＝2⎝
⎛⎭⎫cos x ＋122＋1
2，得f (x )max ＝5. ∴若g (a )＝1
2
，应有a ＝－1，此时f (x )的最大值是5.。