附带答案精析高考冲刺空间几何体

1．有下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交直线；③几何体在平行投影和中心投影下有不同的表现形式，其中正确命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．（2006•湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A．B．C．D．3．已知球O的半径为，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．1 D．4．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N 在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）A．B．或36+C．36﹣D或36﹣5．已知ABCD﹣A1B1C1D1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数），设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是（）A．1 B．C． D．06．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，M在△ABC内，∠MPA=60°，∠MPB=45°，则∠MPC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB的高为（）A．B．C．D． 18．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体A．B．2πC．D．9．在△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到三顶点A，B，C的距离都是14，则P到平面ABC的距离是（）A．6 B．7 C．9 D．1310．下列正确命题个数是（）①梯形的直观图可能是平行四边形；②三棱锥中，四个面都可以是直角三角形；③如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，这个棱锥不可能是六棱锥；④底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；⑤底面是矩形的平行六面体是长方体．A．1 B．2 C．3 D． 411．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足：，则三棱锥P﹣ABC 的侧面积的最大值为（）A．2 B．1 C．D．12．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，一条侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A．40 B．20（1+）C．30（1+）D．3013．正方形ABCD的边长为4，中心为M，球O与正方形ABCD所在的平面相切于M点，过点M的球的直径另一端点为N，线段NA与球O的球面的交点为E，且E恰为线段NA的中点，则球O的表面积为（）A．B．C．4πD．8π14．一个圆柱底面直径与高相等，其体积与一个球的体积之比是3：2，则这个圆柱的表面积与这个球的表面积之比为（）A．1：1 B．1：C．：D．3：215．已知圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小、大两部分的比是（）A．1：1 B．1：2 C．1：8 D．1：716．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球O的半径为1，且满足++=，则正三棱锥P﹣ABC的体积为（）17．在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．18．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．19．在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱SA=，则正三棱S﹣ABC外接球的表面积为（）A．12πB．32πC．36πD．48π20．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．21．如图所示，在平行四边形ABCD中，，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A ﹣BCD的外接球的表面积是（）A．B．C．D．空间几何体1．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（）A．B．C．D．2．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（）A．764 cm3或586 cm3 B．764 cm3C．586 cm3或564 cm3 D．586 cm33．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F且，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE B．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCD D．异面直线AE，BF所成的角为定值4．有下列命题：①在空间中，若OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'；②直角梯形是平面图形；③{长方体}⊆{正四棱柱}⊆{直平行六面体}；④若a、b是两条异面直线，a⊂平面α，a∥平面β，b∥平面α，则α∥β；⑤在四面体P﹣ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则点A在面PBC内的射影为△PBC的垂心，其中真命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 45．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为B．表面积为C．体积为D．外接球的表面积为4π6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和B1B的中点，则D1F与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列4个命题中正确的个数为（）①若m∥α，n⊂α，则m∥n②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若m⊂α，n⊂β且m⊥n，则α⊥β④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥αA． 1 B． 2 C． 3 D． 48．在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．9．（2004•福建）如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC 所成的角是（）A．arcsin B．arccos C．arcsin D．arccos10．已知正三棱锥S﹣ABC，若点P是底面ABC内一点，且P到三棱锥S﹣ABC的侧面SAB、侧面SBC、侧面SAC的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A．一条直线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．抛物线的一部分11．设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，给出下列命题：①若l⊥α，l∥β，则α⊥β；②若l∥β，α⊥β，则l⊥α；③若l⊥α，α⊥β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①③B．①②C．②③ D. ①②③12．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AC、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．24π13．对于不重合的两个平面α与β，则“存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．已知一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形（如图示），腰长为1，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．15．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F 分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（）A．B．1 C．D．16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与直线AD、B1C、A1C1都相交的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有且仅有三条D．有无数条17．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A．B．C．D．18．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（）A．B．C．D．x≤y19．已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，若①a⊥b，b⊥α；②a∥b，b∥α；③a⊄α，a∥β，β∥α；④a⊥β，β⊥α，则其中能使a∥α的充分条件的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个20．若a，b是异面直线，则下列结论中不正确的为（）A．一定存在平面α与a、b都平行B．一定存在平面α与a、b都垂直C．一定存在平面α与a、b所成角都相等 D．一定存在平面α与a、b的距离都相等1参考答案与试题解析1．专题：常规题型．分析：本题考查平行投影和中心投影的关系，从投影线开始，两者的投影线是有区别的，平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点，几何体在两种投影下的表现形式有时也不同．解答：解：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点，故①正确，空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交直线，②错误，几何体在平行投影和中心投影下有不同的表现形式，③正确，综上可知有2个说法是正确的．故选C．点评：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查中心投影及中心投影的作图法，是一个基础题，教材中对于这两种投影说的比较少，可以翻阅其他资料补充．2．专题：计算题．分析：做本题时，需要将原图形在心中还原出来，最好可以做出图形，利用图形关系，就可以求解了．解答：解：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E 为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，故选C．点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对几何体的认识，是中档题．3．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：确定小圆中三角形ABC的特征，作出三棱锥O﹣ABC的高，然后解三角形求出三棱锥O﹣ABC的底面面积及三棱锥O﹣ABC的高，即可得到三棱锥O﹣ABC的体积．解答：解：因为AB=AC=2，BC=，所以∠BAC=90°，BC为小圆的直径，则平面OBC⊥平面ABC，D为小圆的圆心，所以OD⊥平面ABC，OD就是三棱锥O﹣ABC的高，∵OD==∴三棱锥O﹣ABC的体积为V=××AB×AC×OD=××2×2×=故选D．点评：本题考查三棱锥O﹣ABC的体积，解题的关键是确定小圆中三角形ABC的特征，属于中档题．4．专题：综合题．分析：由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN 的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．解答：解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或．故选D点评：此题考查了学生的空间想象能力，还考查了球体，三棱锥的体积公式即计算能力．5.专题：综合题．分析：根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2011段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2011段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．解答：解：由题意，白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，同理，黑蚂蚁也是过6段后又回到起点．所以黑蚂蚁爬完201B段后回到A点，同理，白蚂蚁爬完2011段后到回到D点；所以它们此时的距离为1．故选A．点评：本题以一个创新例子为载体，考查归纳推理的能力、空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于中档题目．6．专题：计算题；空间角．分析：过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ，由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=，从而可得cos∠QPC=，再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，即可求∠MPC．解答：解：过M做平面PBC的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ．∵∠APB=∠APC=90°，∴AP⊥平面PBC，∵MQ⊥平面PBC，∴AP∥MQ∵∠MPA=60°，∴∠MPQ=90°﹣60°=30°．由公式：cos∠MPB=cos∠MPQ×cos∠QPB，得到cos∠QPB=∵∠QPC是∠QPB的余角，所以cos∠QPC=再用公式：cos∠MPC=cos∠MPQ×cos∠QPC，得到cos∠MPC=∴∠MPC=60°故选C．点评：本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键．7．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：将三棱锥S﹣AOB的高，转化为C到平面AOB的距离，利用等体积法，即可求得结论．解答：解：∵球O的表面积为20π，∴球O的半径为，∵SC是球O的直径，∴三棱锥S﹣AOB的高等于C到平面AOB的距离，设为h∵AB=BC=2，，∴cosA==∴sinA=∴△ABC外接圆半径为=2∴O到平面ABC的距离为1∵，∴∴h=故选C．点评：本题考查三棱锥的高，考查三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力，属于中档题．8．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．解答：解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴VP﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．9．专题：综合题．分析：作出P到平面ABC的高，判断垂足是外心，然后解三角形ABC的外接圆半径，最后求得P到平面ABC的距离．解答：解：作PO⊥平面ABC，交平面于O点，∵PA=PB=PC，OA=OB=OC，斜线相等，射影也相等．O点为三角形ABC外心，在三角形ABC中，据余弦定理，BC=21，再据正弦定理，（R为外接圆半径）R=7，BO=7，在Rt△AOP中OP2=PA2﹣OA2，解之OP=7．故选B．点评：本题考查棱锥的结构特征，考查正弦定理、余弦定理，是中档题．10．下列正确命题个数是（）①梯形的直观图可能是平行四边形；②三棱锥中，四个面都可以是直角三角形；③如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，这个棱锥不可能是六棱锥；④底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；⑤底面是矩形的平行六面体是长方体．A．1 B．2 C．3D．4考点：平面图形的直观图；棱锥的结构特征．2360998专题：综合题．分析：由直观图判断①的正误；三棱锥的结构特征判定②③④的正误；棱柱的结构特征判断⑤，即可得到正确选项．解答：解：①梯形的直观图可能是平行四边形；不正确，因为平行x 轴的线段长度不变；②三棱锥中，四个面都可以是直角三角形；正确，一条棱长垂直底面直角三角形的一个锐角，即可满足题意．③如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，这个棱锥不可能是六棱锥；错误，两个正四面体的两个底面重合即可．④底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；正确．⑤底面是矩形的平行六面体是长方体．棱长不垂直底面，不正确．故选B．点评：本题考查平面图形的直观图，棱锥的结构特征，考查基本知识掌握情况，是基础题．11．专题：计算题．分析：由已知，三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：，则在P 点处PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值．解答：解：∵，∴PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴4=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，即4=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC则三棱锥P﹣ABC的侧面积S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，则三棱锥P﹣ABC的侧面积的最大值为2，故选A点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．12．专题：计算题．分析：本题考查的是斜三棱柱的侧面积求解问题．在解答时，应先结合所给信息“底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，一条侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°”分析侧面图形的特点，注意从侧棱与底面三角形两边所成的角出发利用线面垂直的判定即可获得侧棱与底面边长的关系进而问题即可获得解答．解答：解：如图：∵AA1与A1B1、A1C1成60°角，过A作AO⊥底面，连接A10并延长．∵AA1与A1B1、A1C1夹角相等，∴O点在∠B1A1C1的平分线上．∵A0⊥底面A1B1C1∴AO⊥B1C1，又∵A1O⊥B1C1∴B1C1⊥面A0A1∴B1C1⊥AA1，BB1，CC1 所以四边形BCC1B1是矩形，其余两个是相等平行四边形．∴斜三棱柱的侧面积=4×5+2×（4×5×sin60°）=20+20．故选B．点评：本题考查的是斜三棱柱的侧面积求解问题．在解答的过程当中充分体现了位置关系的判断、面积公示的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．13．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意判断直角三角形为等腰直角三角形，求出球的直径，然后求出半径，即可求解球的表面积．解答：解：因为正方形ABCD的边长为4，中心为M，球O与正方形ABCD所在的平面相切于M点，过点M的球的直径另一端点为N，所以MN⊥平面ABCD，且O∈MN，线段NA与球O的球面的交点为E，且E恰为线段NA的中点，所以∠MEN=90°，并且EN=EM，所以AM=MN，因为正方形ABCD的边长为4，所以AM=MN=2所以球的直径为2∴球的半径为：∴球的表面积为4π×2=8π故选D．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，确定球的半径是关键．14．专题：计算题．分析：根据圆柱体积与球的体积之比是3：2，确定其半径之比，进而可得圆柱的表面积与球的表面积之比．解答：解：设圆柱底面直径为2R1，球的半径为R2，则圆柱的体积为2π，球的体积为∵圆柱体积与球的体积之比是3：2∴2π：=3：2∴R1：R2=1：1∵圆柱的表面积为=6，球的表面积4∴圆柱的表面积与球的表面积之比为6：4=3：2故选D．点评：本题考查圆柱与球的体积与表面积的计算，正确运用公式是关键，属于基础题．15．专题：计算题；综合题；转化思想．分析：先设圆柱高与半径分别为x、y．圆锥底面半径为m，圆锥高为n，将要求的两个体积进行相比．然后利用圆锥截面的三角形相似，化简，侧面积最大，转化为二次函数的最大值问题，解答即可．解答：解：设圆柱高与半径分别为x、y，圆锥底面半径为m，圆锥高为n，…①圆锥截面的三角形相似…②S柱侧=2xyπ…③，由①②③得，S柱侧=从这个式子可以看出．当一个锥体给定后，圆柱的只与圆柱的高有关．所以x=，圆柱的侧面积最大．此时圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小、大两部分的比是1：7故选D．点评：本题考查棱锥的体积，解题中：相似等腰三角形中，求得小、大三角形的高的比为1：2，由此可见，小的与全体体积之比为1：8，从而得出小、大两部分之比（特别提醒：小、大之比并非高之比的立方）．16．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意++=，知球心在三棱锥的底面中心，推出球的半径，求出正三棱锥的高，底面面积，即可得到球的体积．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的外接球心为O，且满足++=，∴球心在三棱锥的底面中心，∵球的半径为1，∴正三棱锥的高为：1，∴正三棱锥的底面边长为：2=，∴底面面积S=×（）2×sin60°=，∴正三棱锥的体积V==．故选B．点评：本题是中档题，确定球的球心的位置是解题的关键，注意正三棱锥的体积的求法，正三角形的面积的应用，考查计算能力，空间想象能力．17．专题：计算题．分析：球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决．解答：解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：=故选B．点评：本题考查球的内接多面体，球面距离，考查空间想象能力，是中档题．解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算．18．专题：计算题；数形结合；转化思想；综合法．分析：如图，由正方形的性质可以求得其对角线长度是a，折起后的图形中，DE=BE=a，又知BD=a，由此三角形BDE三边已知，求出∠BED，解出三角形BDE的面积，又可证得三棱锥D﹣ABC的体积可看作面BDE为底，高分别为AE，AC的两个棱锥的体积和解答：解：如图，由题意知DE=BE=a，BD=a由勾股定理可证得∠BED=90°故三角形BDE面积是a2又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC与DE，BE仍然垂直，故AE，CE分别是以面BDE为底的两个三角形的高故三棱锥D﹣ABC的体积为×a×a2=故选D点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，解题的关键是正确理解图形，将求几何体体积变为求两个几何体的体积，换一个角度求解，使得解题过程变得容易．19．专题：计算题．分析：正三棱锥S﹣ABC的三个侧面两两垂直，转化为三条侧棱两两互相垂直，该三棱锥的各个顶点均为棱长为2的正方体的顶点，通过正方体的对角线的长度，求出外接球半径，即可求解球的表面积．解答：解：在正三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以正三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且SA=2，正三棱锥S﹣ABC的外接球即为棱长为2的正方体的外接球．则外接球的直径2R=2•=6，所以外接球的半径为：3．故正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积S=4•πR2=36．．故选C．点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中根据已知结合正方体的几何特征，得到该正三棱锥是正方体的一部分，并将问题转化为求正方体外接球表面积，是解答本题的关键．20．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．21．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．2360998专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据数量积为零，得∠ABD=∠CBD=90°，故AC的中点O为外接球的球心，AC就是球的直径．由面面垂直的性质和勾股定理，算出AC2的值，结合球的表面积公式，可得外接球的表面积．解答：解：根据题意，可知折叠后的三棱锥如右图所示．∵，∴∠ABD=∠CBD=90°，由此可得AC的中点O即为外接球的球心又∵二面角A﹣BD﹣C是直二面角，即平面ABD⊥平面BCD，且AB⊥BD∴AB⊥平面BCD，可得△ABC是以AC为斜边的直角三角形∵∴Rt△ABC中，=从而三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积S=4π•（）=π•AC2=故答案为：D点评：本题将平行四边折叠，求折成三棱锥的外接球表面积，着重考查了面面垂直的性质、球表面积公式和球内接多面体的性质等知识，属于中档题．【高考冲刺】空间几何体参考答案与试题解析一、专题：计算题；转化思想．分析：棱长为的正四面体内切一球，那么球O与此正四面体的四个面相切，即球心到四个面的距离都是半径，由等体积法求出球的半径，求出上面三棱锥的高，利用相似比求出上部空隙处放入一个小球，求出这球的最大半径．解答：解：由题意，此时的球与正四面体相切，由于棱长为的正四面体，故四个面的面积都是=3又顶点A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G点到底面三个顶点的距离都是高的倍，又高为=3，故底面中心G到底面顶点的距离都是2由此知顶点A到底面BCD的距离是=2此正四面体的体积是×2×3=2，又此正四面体的体积是×r×3×4，故有r==．上面的三棱锥的高为，原正四面体的高为2，所以空隙处放入一个小球，则这球的最大半径为a，，∴a=．故选C．点评：本题考查球的体积和表面积，用等体积法求出球的半径，熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知识保证．相似比求解球的半径是解题的关键．2．专题：计算题；分析法．分析：由题意知，若设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，（a＜b＜c）可得a，b，c满足关系式a2+b2+c2=94．进而可得a，b，c的范围，又由3c2≥a2+b2+c2=94，则6≤c＜10，即c只能取9，8，7，6．逐个验证即得a，b，c的值，进而得到这三个正方体的体积之和．解答：解：设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，由题意知，6（a2+b2+c2）=564，即a2+b2+c2=94，不妨设1≤a≤b≤c＜10，从而3c2≥a2+b2+c2=94，即c2＞31．故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．①若c=9，则a2+b2=94﹣92=13，易知a=2，b=3，得一组解（a，b，c）=（2，3，9）；②若c=8，则a2+b2=94﹣64=30，显然b≤5．但2b2≥30，b≥4，从而b=4或5．若b=5，则a2=5无解，若b=4，则a2=14无解．此时无解；③若c=7，则a2+b2=94﹣49=45，有唯一解a=3，b=6；⑤若c=6，则a2+b2=94﹣36=58，此时2b2≥a2+b2=58，b2≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，此时a2=58﹣36=22无解．综上，共有两组解或体积为cm3或cm3．故答案为：A．点评：本小题主要考查正方体的表面积、体积，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．3．专题：计算题；证明题；综合题．分析：根据线面垂直的判定与性质，得到A项不错；根据点A到平面BEF的距离不变，以及三角形BEF面积不变，得到三棱锥A ﹣BEF的体积为定值，得B项不错；根据面面平行的性质，得到C项不错；根据异面直线所成角的定义，可得D项是错的．解答：解：对于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D内的直线，因此AC⊥BE成立，故A项不错；对于B，点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB'D'D的距离，等于正方体面对角线的一半，而三角形BEF的边，且EF到B点距离为1，所以其面积S=•1=为定值，故VA﹣BEF=•=，故B项不错；对于C，因为平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF⊂平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故C不错；对于D，当EF变化时，异面直线AE、BF所成的角显然不是一个定值，故D项错误．故选D点评：本题以正方体为例，要求我们判断直线与平面、直线与直线的位置关系，以及求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、面面平行的性质和锥体体积公式等知识点，属于中档题．4．专题：常规题型；证明题．分析：根据空间两条平行线的性质，结合等角定理及其推论，可得①不正确；根据平面的基本性质，得到②正确；根据四棱柱的分类，得到{长方体}⊄{正四棱柱}，③不正确；根据线面平行的判定与性质和面面平行的判定定理，若在④中加上“b⊂平面β”这个前提，就是真命题，少了这一条④就不正确；根据线面垂直的判定与性质，可以证明出⑤是真命题．由此得到正确答案．。