空间几何体的表面积和体积测试题

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高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥，则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。

试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。

高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。

空间几何体的表面积和体积测试题

空间几何体的表面积和体积测试一、选择题每小题5分共50分1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱其底面是正方形,且侧棱垂直于底面高为4,体积为16,则这个球的表面积是Ａ16π Ｂ． 20π Ｃ． 24π Ｄ． 32π2、已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2,则V 1：V 2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：13、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是 A ．28cm π B ．212cm π C ．216cm π D ．220cm π4. 、如右图为一个几何体的三视图,其中府视图为正三角形,A 1B 1=2,AA 1=4,则该几何体的表面积为A6+3 B24+3 C24+23 D325.45,腰和上底均为1的等腰梯形,A ．22+ B． 221+ C ． 222+ D ． 21+ 6. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 A ．3R B ．3R C ．3R D ．3R7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 3 8. 两个球体积之和为12π,且这两个球大圆周长之和为6π,A B A B C 正视侧视府视那么这两球半径之差是A ．21B ．1C ．2D ．39.如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标出A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个字母,现放成下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已表明,则字母A 、B 、C 对面的字母依次分别为A D 、E 、FB F 、D 、EC E 、F 、D DE 、D 、F10.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的A ①②B ①③C ①④D ②④二、填空题每小题5分共25分11.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5,从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是12．已知正三棱锥的侧面积为183 cm 2,高为3cm. 则它的体积． 13. 图1为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成;图2中的三视图表示的实物为_____________．14. 若圆锥的表面积为a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_______． 15.正六棱锥的高为4cm,最长的对角线为34cm,则它的侧面积为三、解答题16.15分养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐供融化高速公路上的积雪之用,已建的仓库的底面直径为12 m ,高4 m . 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放ＣＢＥＣＤＡＡＢＣ图1 图2更多食盐. 现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m高不变；二是高度增加4 m底面直径不变.1分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；2分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；3哪个方案更经济些17.10分已知：一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱．1求圆柱的侧面积；2x为何值时,圆柱的侧面积最大．与球有关的切、接问题1．若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则错误!＝________.2．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB＝AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为A．2 B．1 D.3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示图中三个四边形都是边长为2的正方形,则该几何体外接球的体积为________．4．正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为B．16π C．9π1．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于A．100π C．25π2．已知底面边长为1,侧棱长为错误!的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为B．4π C．2π3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为错误!时,其高的值为A．3错误! C．2错误! D．2错误! 4．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体A-BCD,则四面体A-BCD的外接球的体积为5．一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为1．已知,A B 是球O 的球面上两点,090AOB ∠=,C 为该球面上的动点,若O ABC -三棱锥体积的最大值为36,则球O 的表面积为 A 36π B 64π C 144π D 256π 2.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为A 3cm 3500π B 3cm 3866π C 3cm 31372π D 3cm 32048π3.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为 A 26B 36C23D224.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为错误!,则此球的体积为A 错误!π B4错误!π C4错误!π D6错误!π5.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A 2a πB 273a πC 2113a πD 25a π6.设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A 23aπB 26aπC 212a πD 224a π7．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,2AC r =,则球的体积与三棱锥体积之比是Ａ.π Ｂ.2πＣ.3π Ｄ.4π8.已知正四棱锥O ABCD -的体积为322,底面边长为3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为 ;答案：一选择题：CDBCA,AABDD二．填空题：11. 74 12,．39cm 3 13.14 2圆锥14.15.330 cm 2三.解答题：16解：1如果按方案一,仓库的底面直径变成16m ,则仓库的体积2311116256()4()3323V Sh m ππ==⨯⨯⨯=.如果按方案二,仓库的高变成8 m ,则仓库的体积2321112288()8()3323V Sh m ππ==⨯⨯⨯=.2如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m ,半径为8 m .棱锥的母线长为l ==,则仓库的表面积218()S m π=⨯⨯=.如果按方案二,仓库的高变成8 m ,棱锥的母线长为10l =, 则仓库的表面积2261060()S m ππ=⨯⨯=;3∵ 21V V > ,21S S <, ∴ 方案二比方案一更加经济. 17. 解：1设内接圆柱底面半径为r . ②代入①2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42222H H x H R π。

空间几何体的表面积与体积检测题

空间几何体的表面积与体积检测题（试卷满分100分，考试时间60分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( )A ．5 B.5 C ．9 D ．3解析：选B ∵圆锥的底面半径R ＝4，高h ＝3，∴圆锥的母线l ＝5，∴圆锥的侧面积S ＝πRl ＝20π.设球的半径为r ，则4πr 2＝20π，∴r ＝ 5.故选B.2．已知一个三棱锥的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为( )A ．3πB.4π C ．33π D ．6π解析：选A 构造棱长为1的正方体，如图，则C 1-A 1BD 是各棱长为2的三棱锥，正方体的外接球也为三棱锥C 1-A 1BD 的外接球，此时球的直径为正方体的体对角线长3，因此球的表面积为4π·⎝⎛⎭⎫322＝3π. 3．某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为( )A ．4π＋16B.2(2＋2)π＋16 C ．4π＋8 D ．2(2＋2)π＋8解析：选B 由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S 表＝5×22＋2π×2×1＋2π×(2)2－22＝2(2＋2)π＋16.故选B.4.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )A ．4＋42B.4＋4 3 C ．12 D ．8＋4 2解析：选A 连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B ＝30°.又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝22，BC ＝ 2.又AB ⊥BC ，则AB ＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42，故选A.5．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的”幂势既同，则积不容异“称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B.162 C ．182 D ．324解析：选B 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.6．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为2的正三角形，若三棱锥S -ABC 的体积的最大值为233，则球O 的体积为( ) A ．43πB.64π9C.256π81D.32π3解析：选C 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以S △ABC ＝3，因为三棱锥S -ABC的体积的最大值为233，所以点S 到平面ABC 的最大距离为2，设△ABC 的外接圆的半径为r ，由正弦定理得2r ＝2sin π3＝433，解得r ＝233.设球O 的半径为R ，则R 2＝(2－R )2＋43，解得R ＝43，所以球O 的体积为43πR 3＝256π81，故选C.7.已知表面积为12π的圆柱的上下底面的中心分别为O 1，O 2.若过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则O 1O 2＝( )A ．23B.22C.3D. 2解析：选B 因为圆柱的轴截面是正方形，设底面半径为r ，则母线长为2r ，所以圆柱的表面积为2πr 2＋2πr ·2r ＝12π，解得r ＝2，所以O 1O 2＝2r ＝22，故选B.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A ．36πB.112π3 C ．32π D ．28π解析：选B 根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫4332＋22＝283，外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×283＝112π3，故选B. 二、填空题（每小题5分，共20分）9.已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为 ⎝⎛⎭⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥内的球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81. 答案：33 4π8110.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________ cm 2. 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm 2)．答案：2 600π11.已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．解析：设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r 2，高为h 2，∴V 圆锥SO ＝13πr 2h ，V 圆柱PO ＝π⎝⎛⎭⎫r 22·h 2＝πr 2h 8，∴V 圆柱PO V 圆锥SO ＝38. 答案：3812．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．解析：设该圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，∴侧面展开图的弧长为5×8π5＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr ，∴r ＝4，∴圆锥的高h ＝52－42＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×42×3＝16π. 答案：4 16π三、综合题（3个小题，共40分）13.（12分）已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥后，求所得几何体的表面积及体积．解：如图所示，所得几何体的表面积S ＝S 底＋S 柱侧＋S 锥侧＝(3＋62＋33)π(cm 2)．所得几何体的体积V ＝V 柱－V 锥＝S 底·6－13S 底·6 ＝23S 底·6＝26π(cm 3)． 14. （14分）如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．解：设圆台O ′O 的母线长为l ，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm.故SA ′SA ＝O ′A ′OA，则33＋l ＝r 4r. 解得l ＝9，故圆台O ′O 的母线长为9 cm.15.（14分）如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A ′-BC ′D 的体积．解：(1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体，∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′-BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′-ABD ，C ′-BCD ，D -A ′D ′C ′，B -A ′B ′C ′是完全一样的．故V三棱锥A ′-BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′-ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a 33.。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.2.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.3.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.4.在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一结论；(2)求多面体ABCDE的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)如图所示，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接BF、FH、AH，则FH=ED，又AB＝ED，∴FH=AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，又因为BF⊄平面ACD，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD.(2)取AD中点G，连接CG.因为AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB，又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C—ABED的高，求得CG＝，∴V＝··2·＝.C—ABED5.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A．4B．C．D．6【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形，高为2，故=6.如图，在三棱锥中，是等边三角形，.（1）证明:：；（2）证明：；（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）先证明，从而得到；（2）取的中点，连接、，证明平面，利用直线与平面垂直的性质得到；（3）作，垂足为，连结，结合（2）中的结论证明平面，再求出的面积，最后利用分割法得到三棱锥的体积来进行计算.试题解析：（1）因为是等边三角形，，所以，可得；（2）如图，取中点，连结、，则，，所以平面，所以；（3）作，垂足为，连结，因为，所以，，由已知，平面平面，故，因为，所以、、都是等腰直角三角形.由已知，得，的面积，因为平面，所以三棱锥的体积.【考点】1.全等三角形；2.直线与平面垂直的判定；3.分割法求锥体体积7.如图甲，是边长为6的等边三角形，分别为靠近的三等分点，点为边边的中点，线段交线段于点.将沿翻折，使平面平面，连接，形成如图乙所示的几何体.（1）求证：平面（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）四棱锥的体积为10.【解析】（1）先证明平面，又，所以平面；（2）先求出，再用体积公式求解即可.试题解析：（1）在图甲中，由为等边三角形，分别为三等分点，点为边边的中点，知, 则在图乙中仍有，且,所以平面，又，所以平面. 6分（2）∵平面平面，，∴平面，∴ 12分【考点】直线与平面垂直的判定定理、空间几何体的体积.8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)【答案】3【解析】本题考查圆台的体积公式．做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF＝14(单位寸，下同)，OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是OF中点，所以GE为梯形的中位线，所以GE＝＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π＋36π＋)＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以＝3，即平地降雨量是3寸．9.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.【答案】1∶24【解析】设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24.10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(3)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）3（3）【解析】(1)如图，取AB的中点O，连接CO，A1O.∵CA＝CB，∴CO⊥AB，又∵AA1＝AB，得AA1＝2AO，又∠A1AO＝60°，∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，∴AB⊥平面A1OC，又A1C⊂平面A1OC，∴AB⊥A1C.(2)∵AB＝CB＝2＝AC，∴CO＝，又A1A＝AB＝2，∠BAA1＝60°，∴在等边三角形AA1B中，A1O＝，∵A1C2＝A1O2＋CO2＝6，∴∠COA1＝90°，即A1O⊥CO，∴A1O⊥平面ABC，∴VABC－A1B1C1＝×22×＝3.(3)作辅助线同(1)以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则即所以n＝(，1，－1)，则cos<n，＝＝－，所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.11.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE綉FD，即BEDF 为平行四边形，∴ED∥FB，∵FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．如图，设PD＝a，可得如下点的坐标P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．则有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则可得即.，令x＝1, 得z＝，y＝－，所以n＝.由已知二面角P-BF-C的余弦值为，所以得cos〈m，n〉＝＝，∴a＝2，∴V＝×2×2×2＝P－ABCD12.在三棱锥中，，则三棱锥的体积为_____________.【答案】160【解析】将三棱锥补为长方体，如图所示.由题设可得：.【考点】几何体的体积.13.如图，四棱锥中，底面是菱形，，，是的中点，点在侧棱上．（1）求证：⊥平面；（2）若是的中点，求证：//平面；（3）若，试求的值．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证垂直平面内两条相交直线，由，是的中点，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以垂直于，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证平行于平面内一条直线，根据是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.试题解析：证明：（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以 AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． 4分（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA． 7分因为PA平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ． 9分（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为，，所以VP-BCDE =SBCDE，VQ-ABCD=SABCD． 10分因为VP-BCDE =2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=SABCD． 12分所以，因为，所以． 14分【考点】线面垂直判定定理, 线面平行判定定理,锥的体积.14.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧棱底面，，为的中点，则四面体的体积为 .【答案】【解析】显然面，底面的面积为所以【考点】三棱锥体积.15.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.【答案】【解析】由三视图可知该几何体是一具正方体挖去一个和正方体等高的圆锥后的组合体，并且圆锥的底面是正方体的上底面的内切圆,如图..所以填:【考点】1、几何体的体积；2、三视图.16.已知四棱锥中，侧棱底面，且底面是边长为2的正方形，，与相交于点．（I）证明：；（II）求三棱锥的体积．【答案】（I）详见试题解析；（II）．【解析】（I）要证与垂直，只要证明平面．平面，又，且与交于点，平面或者证明三角形为等腰三角形，可以通过证明直角三角形和直角三角形全等证得；（II）可以直接利用棱锥体积计算公式：直接求三棱锥的体积，也可利用等体积法转化为求，这样底面积易求，而三棱锥高即为，可以利用线面垂直的证法证得．试题解析：（I）证明：平面，又，且与交于点，平面平面 6分（II）解：底面平面13分【考点】1．立体几何线面垂直的证明；2．锥体的体积公式．17.已知正四棱锥的底边和侧棱长均为，则该正四棱锥的外接球的表面积为 .【答案】【解析】由于正四棱锥的底边和侧棱长均为，则此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面，故外接球半径长是3，则该正四棱锥的外接球的表面积为.【考点】1.球的表面积；2.正四棱锥的性质.18.三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为 .【答案】32【解析】设三条侧棱长为a，b，c，则，三棱锥的侧面积为，又因为，所以，当且仅当时侧面积达到最大值.【考点】三棱锥，球，不等式.19.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )A．372B．360C．292D．280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和S=2（10×8+10×2+8×2）+2（6×8+8×2）=360．故选B．【考点】由三视图求面积体积点评：把三视图转化为直观图是解决问题的关键，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．20.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C.故选C．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．21.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为。

空间几何体的表面积与体积练习题

空间几何体的表面积与体积练习题.及答案空间几何体的表面积与体积专题1.选择题1.正四面体的棱长为2，其表面积为43.解析：每个面的面积为2×2×sin60°=3，正四面体共有4个面，故表面积为4×3=12，即43.2.将球的表面积扩大到原来的2倍，其体积扩大到原来的22倍。

解析：由题意可知球的半径扩大到原来的2倍，故体积扩大到原来的(2^3)/(2^2)=4倍，即22倍。

3.给定一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，求该多面体的体积。

解析：根据三视图的特点，可画出多面体的形状，如图所示。

该多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得到的，故所求多面体的体积为V=长方体的体积-正三棱锥的体积=4×4×6-1/3×(1/2)×2×2×2=284/3.4.给定某几何体的三视图，求其体积。

解析：由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，故其体积为V=2^3-1/3×π×1^2×2=8-2π/3.5.已知某几何体的三视图，其中正视图中半圆的半径为1，求该几何体的体积。

解析：根据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为2、3、4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积为V=2×3×4-1/3×π×1^2×3=24-π/3.6.给定某品牌香水瓶的三视图，求其表面积。

解析：该空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱。

上面四棱柱的表面积为2×3×3+12×1-1/4×π×1^2=30，中间部分的表面积为2π×1=2π，下面部分的表面积为2×4×4+16×2-1/4×π×1^2=64，故其表面积为94+π。

2023年新高考数学一轮复习8-2 空间几何体的表面积和体积(真题测试)解析版

专题8.2 空间几何体的表面积和体积（真题测试）一、单选题1．（2020·天津·高考真题）若棱长为） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.2．（2020·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）． A ．63+ B ．623+ C ．123+ D ．1223+【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．22πB ．8πC ．22π3D ．16π3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=3cm ．故选：C ．4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=，即1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．5．（2021·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．32B ．3C ．2D ．【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=故1111131222ABCD A B C D V -=⨯⨯=，故选：A. 6．（2021·全国·高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A B C D A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d =所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯= 故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A ．13B ．12CD 【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅= （当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =- 所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.二、多选题9．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h 降雨量的等级划分如下：在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm ，瓶口高度为3cm ）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（）A ．20cmB ．22cmC ．25cmD ．29cm【答案】CD【解析】【分析】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x 之间的关系49h x =，结合题意可得4200400[,)999x ∈，由此判断出答案. 【详解】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：22π100π150x h ⨯=⨯，解得49h x = ，由于[50,100)x ∈ ，故4200400[,)999x ∈，故20040020040020,22[,),25,29[,)9999∉∈故选：CD ．10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（）A ．高为42B ．体积为5023π C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，求出1,3r R ==，即可判断选项A 正确；利用公式计算即可判断选项BCD 的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==，则选项A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误；圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误．故选：AC ．11．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】BCD【解析】【分析】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A ，由题可得O 到平面DEF 的距离为1d 平面DEF 截得球的截面面积最小值可判断B ，由题可得四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -可判断C ，设P 在底面的射影为P '，设2t P E '=，PE PF +PE PF +的取值范围可判断D.【详解】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=，所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得12OG == 设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=，所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确；由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈，又114482DCO S =⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确；由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+=++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，PE PF +所以()2224PE PF +==+2424⎡⎤=++⎣⎦，所以2PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.三、填空题 13．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.【答案】39π【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅=∴52h =∴132l =∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧. 故答案为：39π.14．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3. 【答案】1232π-【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π15．（2019·天津·高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【详解】借助勾股定理，2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭． 16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥P ABC -中，点P 在底面的射影是ABC 的外心，2,3BAC BC PA π∠===___________. 【答案】12548π 【解析】【分析】先由正弦定理得，ABC 外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.【详解】解：设ABC 的外心为1O ,连接1PO ,则球心O 在1PO 上，连接1O A ,则1O A 为ABC 外接圆的半径r ,连接OA ,设外接球的半径为R ,则OA OP R ==,在ABC 中，由正弦定理得2,BC r sin BAC ==∠解得1r =,即11O A =, 在1Rt PAO 中，12,PO =在1Rt AOO ,中22211OO AO AO +=,即()22221R R -+=,解得：54R =, 所以外接球的体积为：3344125334854R V πππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭===，故答案为：12548π 四、解答题17．（2022·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液.如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终不离开桌面，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值. 【答案】4π【解析】【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时α最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于α的一个不等式，即可求出α的取值范围，得到最大值.【详解】如图所示，在Rt △CDE 中20tan DE α=，()2221020tan 103020tan 10202παπαπ⨯⨯⨯⨯-+≥⨯⨯解得tan 1α≤，即α的最大值4π. 18．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面；(2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得//AB FG ，//AB CD ，即可得到//AB GE ，从而得到//CD EG ，即可得证；（2）依题意可得AE AD ⊥、AE AB ⊥，即可得到AE ⊥平面ABCD 从而得到BG ⊥平面ABCD ，再根据13C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅计算可得；(1)证明：在矩形ABGF 和菱形ABCD 中，//AB FG ，//AB CD ，所以//AB GE ，所以//CD EG ，所以C 、D 、E 、G 四点共面；(2)解：在Rt ADE △中AE AD ⊥，矩形ABGE 中AE AB ⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD ，又//BG EA ，所以BG ⊥平面ABCD ，又11sin 2222BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯⨯=所以11133C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅=⨯ 19．（2022·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2cm ，圆柱筒的高是2cm ．(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g ，共需多少防水漆？【答案】(1)356(cm)3π (2)1200g π【解析】【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可.(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径2cm r =，圆柱筒的高为2cm ，所以两个半球的体积之和为331432(cm)33V r ππ==，圆柱的体积2328(cm)V r h ππ==，∴该“浮球”的体积是31256(cm)3V V V π=+=； (2)根据题意，上下两个半球的表面积是221416(cm)S r ππ==，而“浮球”的圆柱筒侧面积为2228(cm)S rh ππ==，∴“浮球”的表面积为21224(cm)S S S π=+=；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要100240.51200g ππ⨯⨯=.20．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，∠BAD =90°，12AB BC AD a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥1A BCDE -．当四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值．【答案】6a =.【解析】【分析】在直角梯形ABCD 中，证明BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，由面面垂直的性质证得1A O ⊥平面BCDE ，再利用锥体体积公式计算作答.【详解】如图，在直角梯形ABCD 中，连接CE ，因E 是AD 的中点，12BC AD a ，有//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，又,90BAD AB BC ∠==，于是得ABCE 是正方形，BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，1BE AO ⊥，因平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，1A O ⊂平面1A BE ，因此1A O ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，显然112AO AO CO AC ====，平行四边形BCDE 的面积2S CO BE a =⋅==，因此，四棱锥1A BCDE -的体积为2311133V S AO a =⋅===6a =，所以a 的值是6.21．（2022·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时，求：(1)堑堵111ABC A B C -的侧棱长；(2)鳖臑1C ABC -的体积；(3)阳马111C ABB A -的表面积．【答案】(1)6(2)12 (3)51313【解析】【分析】（1）设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，根据阳马111C ABB A -体积等于24求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算111C ABB A -的侧面积与底面积即可(1)因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=．所以△ABC 为直角三角形．设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x 矩形，则111143243AA BB V x C ，所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6．(2)因为13462ABC S =⨯⨯=△，所以1111661233ABC ABC V S CC C ．所以鳖臑1C ABC -的体积为12．(3) 因为11113462A B C S，11164122BB C S ， 11165152AA C S ，1132133132ABC S ， 113618A ABB S 矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积的表面积为612151831351313． 22．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】(1)75π2(2)15π【解析】【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可(1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==，可得圆柱的底面圆的半径为52R =，则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯= 所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2) 由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．。

高考数学空间几何体体积与表面积选择题

高考数学空间几何体体积与表面积选择题1. 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么长方体的体积V 和表面积S分别是：A. V = a * b * c, S = 2(ab + ac + bc)B. V = a * b * c, S = 2ab + 2ac + 2bcC. V = a * b * c, S = ab + ac + bcD. V = ab * c, S = 2(ab + ac + bc)2. 计算球体的体积V和表面积S，已知球的半径为r，那么：A. V = 4/3πr^3, S = 4πr^2B. V = πr^3, S = 4πr^2C. V = πr^3, S = 2πr^2D. V = 4/3πr^3, S = 2πr^23. 计算圆柱体的体积V和表面积S，已知圆柱的高为h，底面半径为r，那么：A. V = πr^2h, S = 2πrh + 2πr^2B. V = πr^2h, S = 2πr^2 + 2πrhC. V = πr^2h, S = 2πrh + 2πr^2D. V = πr^2h, S = 2πr^2 + 2πrh4. 计算圆锥体的体积V和表面积S，已知圆锥的高为h，底面半径为r，那么：A. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhB. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhC. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrhD. V = 1/3πr^2h, S = πr^2 + πrh5. 计算棱柱的体积V和表面积S，已知棱柱的高为h，底面积为A，那么：A. V = Ah, S = 2A + 2PhB. V = Ah, S = 2A + 2PhC. V = Ah, S = 2A + 2PhD. V = Ah, S = 2A + 2Ph6. 计算圆台的体积V和表面积S，已知圆台的高为h，上底半径为r1，下底半径为r2，那么：A. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hB. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 +πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hC. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)hD. V = π(r1^2 - r2^2)h, S = πr1^2 + πr2^2 + π(r1^2 - r2^2)h7. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^28. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^29. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^210. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^211. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^212. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^213. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^214. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^215. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^216. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^217. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^218. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^219. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^220. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^221. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^222. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^223. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^224. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^225. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^226. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^227. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^228. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^229. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^230. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^231. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^232. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^233. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^234. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^235. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^236. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^237. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^238. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^239. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^240. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^241. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^242. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^243. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^244. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^245. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^246. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^247. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^248. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^249. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2C. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^250. 计算正方体的体积V和表面积S，已知正方体的边长为a，那么：A. V = a^3, S = 6a^2B. V = a^3, S = 6a^2D. V = a^3, S = 6a^2。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，平面BCD，是边长为3的等边三角形.若，则球O的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，，，四面体ABCD外接球的表面积为：，故选C.【考点】球的体积和表面积.2.已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且，BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC的体积为，则球O的表面积为__________。

【答案】【解析】设球的半径为R，ABC的外接圆半径为r，球心O到截面ABC的距离为，由得，=，=，解得AB=，所以==，所以===，解得=，由正弦定理知，2r===3，所以r=，由球的截面性质知，=2，所以球O的表面积为=．【考点】球的截面性质，球的表面积公式，棱锥的体积公式，正弦定理，余弦定理，运算求解能力3.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.4.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】由题意得：，所以圆锥的体积为【考点】圆锥的体积及展开图5.若长方体三个面的面积分别为，，，则此长方体的外接球的表面积是________．【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R＝＝，外接球的表面积为S＝4π＝6π6.如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P EFQ的体积()A．与x,y都有关B．与x,y都无关C．与x有关,与y无关D．与y有关,与x无关【答案】C【解析】三棱锥P EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面,而△PEF 的底EF=1,高A 1P=,与x 有关,三棱锥P EFQ 的高为点Q 到平面PEF 的距离.∵CD ∥EF,∴CD ∥平面PEF.∴点Q 到平面PEF 的距离等于点D 到平面PEF 的距离,与y 无关,故选C.7. 已知一个圆柱内接于球O 中,其底面直径和母线都是2,则球O 的体积是 . 【答案】π【解析】设球的半径为R,则2R==2,∴R=, ∴V=πR 3=π.8. 如图，AA 1，BB 1为圆柱OO 1的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是AA 1，CB 1的中点，DE ⊥面CBB 1.(1)证明：DE ∥面ABC ； (2)求四棱锥C-ABB 1A 1与圆柱OO 1的体积比．【答案】(1)见解析 (2)【解析】解：(1)证明：连接EO ，OA. ∵E ，O 分别为B 1C ，BC 的中点， ∴EO ∥BB 1.又DA ∥BB 1，且DA ＝BB 1＝EO ，∴四边形AOED 是平行四边形，即DE ∥OA.又DE ⊄平面ABC ，AO ⊂平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC.(2)由题意知DE ⊥平面CBB 1，且由(1)知DE ∥AO ， ∴AO ⊥平面CBB 1， ∴AO ⊥BC ， ∴AC ＝AB.∵BC 是底面圆O 的直径，得CA ⊥AB ，且AA 1⊥CA ，∴CA ⊥平面AA 1B 1B ，即CA 为四棱锥C-ABB 1A 1的高．设圆柱高为h ，底面半径为r ，则V OO 1＝πr 2h ，V C-ABB 1A1＝h(r)·(r)＝hr 2.∴V C-ABB 1A1∶V OO 1＝.9. 若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为．【答案】【解析】设长方体的边长为，那么长方体的表面积为：，又由于：，而，所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积；基本不等式的变形.10.已知Rt△ABC，其三边分别为a，b，c(a>b>c)．分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3.则它们的大小关系为()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3【答案】B【解析】S1＝π (b＋c)，V1＝πa，S2＝πac＋πc2，V2＝πbc2，S3＝πab＋πb2，V3＝πb2c.由于a>b>c，可得S1<S2<S3，V1<V2<V3.11.在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是 .【答案】【解析】取中点，连接，∵，∴，∵，∴，平面.∴为二面角.在中，，，∴.取等边的中心，作平面，过作平面，为外接球球心，∴，二面角的余弦值是，所以，，∴，∴点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为.【考点】三棱锥的外接球.12.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE綉FD，即BEDF 为平行四边形，∴ED∥FB，∵FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．如图，设PD＝a，可得如下点的坐标P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．则有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则可得即.，令x＝1, 得z＝，y＝－，所以n＝.由已知二面角P-BF-C的余弦值为，所以得cos〈m，n〉＝＝，∴a＝2，∴V＝×2×2×2＝P－ABCD13.如图，四棱锥中，底面是菱形，，，是的中点，点在侧棱上．（1）求证：⊥平面；（2）若是的中点，求证：//平面；（3）若，试求的值．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证垂直平面内两条相交直线，由，是的中点，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以垂直于，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证平行于平面内一条直线，根据是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.试题解析：（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以 AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． 4分（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA． 7分因为PA平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ． 9分（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为，，所以VP-BCDE =SBCDE，VQ-ABCD=SABCD． 10分因为VP-BCDE =2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=SABCD． 12分所以，因为，所以． 14分【考点】线面垂直判定定理, 线面平行判定定理,锥的体积.14.如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．A．圆锥的高等于圆柱高的；B．圆锥的高等于圆柱高的；C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点；D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点．【答案】C【解析】本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知，化简得，均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水面过点，但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故错误．【考点】体积公式．15.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(I)求三棱锥E—PAD的体积；(II)试问当点E在BC的何处时，有EF//平面PAC；(1lI)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE AF．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的长即为三棱锥的高，而三棱锥的体积等于的体积，计算即得.（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．利用三角形中位线定理，得到，进一步得出∥平面．（Ⅲ）证明：根据等腰三角形得出，根据平面，平面，得到，又因为且，⊂平面，得到平面，又平面，．再根据，平面，及平面，根据，作出结论.试题解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的长即为三棱锥的高，三棱锥的体积等于的体积= = ．（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．∵在中，分别为的中点，连结，又平面，而平面，∴∥平面．（Ⅲ）证明：因为，所以等腰三角形中，∵平面，平面，∴又因为且，⊂平面，∴平面，又平面，∴．又∵，∴平面．PB，BE⊂平面PBE，∵平面，∴，即无论点E在边的何处，都有．【考点】几何体的体积，垂直关系，平行关系.16.已知D、E是边长为3的正三角形的BC边上的两点，且,现将、分别绕AD和AE折起，使AB和AC重合（其中B、C重合）.则三棱锥的内切球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示，，，，.设内切球的半径为r，则，所以内切球的表面积为：.【考点】空间几何体的体积及表面积.17.如图，平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：,所以球的体积为：,选A.【考点】1.球内接多面体；2.球的体积和表面积18.在正三棱锥中，、分别是、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵三棱锥是正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴，又∵而，∴平面，即平面，∴，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴，故选C．【考点】垂直关系，几何体的体积19.在三棱锥S−ABC中，，二面角S−AC−B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．【答案】【解析】如图，取AC的中点D，由已知易证二面角S−AC−B的平面角是∠SDB，，故由余弦定理可得，由勾股定理的逆定理可得，补体得正方体，∴三棱锥S−ABC的外接球的半径为，∴该球的表面积是．【考点】立体几何的二面角，球的表面积20.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于____．【答案】12【解析】由平面可得，又所以是平面，可以发现线段的中点为球心，取的中点，则，于是.【考点】立体几何中线线垂直、线面垂直的证明，以及椎体体积的求解等知识，考查学生的分析、知识迁移能力21.棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱、的中点，则过两点的直线被球截得的线段长为____________【答案】【解析】设过两点的直线与球球交于均为等腰直角三角形，，点到的距离为棱长一半【考点】正方体与外接球点评：求解本题首先要把握住正方体的外接球的球心为正方体的中心，球心与弦中点的连线垂直于弦，从而解直角三角形求出弦长22.点在同一个球的球面，,,若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴是直角三角形，∴的外接圆的圆心是边AC的中点O，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使1点D到平面ABC的距离最大，又平面ABC，所以点D是直线与球的交点设球的半径为R，则由体积公式有：在中，，解得：，故选C。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题

高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.2.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【答案】（1）见解析；（2）体积（3）见解析【解析】试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析:（1）证明：因为平面，所以。

因为为△中边上的高，所以。

因为，所以平面。

4分（2）连结，取中点，连结。

因为是的中点，所以。

因为平面，所以平面。

则，。

8分（3）证明：取中点，连结，。

因为是的中点，所以。

因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。

因为，所以。

因为平面，所以。

因为，所以平面，所以平面。

13分【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（2）几何体的体积.3.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积4.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．5.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则（1）直线被球截得的线段长为（2）四面体的体积的最大值是【答案】(1);(2).【解析】（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于，（2）过做与点，连接∵，，平面∥平面，为平面与两平行平面的交线，，又，，平面，设正方体的棱长为1，，则，当时，最大值为．【考点】组合体6.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.7.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.8.已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()A．B．C．D．【答案】D【解析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．正方体外接球的体积是，则外接球的半径正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．9.正方体的体积是64，则其表面积是()A．64B．16C．96D．无法确定【答案】C【解析】由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．80【答案】C【解析】观察三视图可知，这是一个四棱柱，底面梯形两底分别为2,4，高为4，几何体的高为4，底面梯形的腰长为，所以，几何体表面积为，48+8，故选C。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题

高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S -ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体S -ABC的体积为V，则R＝．【答案】．【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为 V四面体A−BCD＝∴．【考点】类比推理.2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S．【答案】（1）64 （2）40＋24【解析】解：本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V＝×(8×6)×4＝64．(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝＝4．同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h＝＝5．∴S侧＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24．3.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.4. (2014·荆州模拟)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12cm,深2cm的空穴,则该球的半径是________cm,表面积是________cm2.【答案】10 400π【解析】设球的半径为r,如图：由勾股定理可知,r2=(r-2)2+36,解得r=10cm.所以表面积为4πr2=4π×100=400π(cm2).5.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）.【解析】（1）注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得；在图乙中，可得AB⊥CD．根据DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．（2）首先根据E，F分别为AC，AD的中点，得到EF//CD，根据（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，从而得到在图甲中，根据给定角度及长度，计算“不变量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，利用体积公式计算即得所求．解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，等体积转化的方法，是立体几何中常用方法之一.（1）证明：在图甲中∵且∴，即 1分在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD∩平面BDC＝BD4分又，，且，∴DC⊥平面ABC． 6分（2）解：， 7分又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 8分所以， 9分在图甲中，由得，， 10分，11分12分【考点】平行关系，垂直关系，几何体的体积.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【答案】【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱∴该几何体的体积是7.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)【答案】【解析】由圆锥的母线长为,侧面积为.则根据.即可求出圆锥的底面周长.从而解出底面半径.再求出圆锥的高.根据体积公式.【考点】1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化.8.已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．【答案】【解析】．【考点】旋转体的体积．9.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为_________.【答案】【解析】如图是正四棱锥外接球的球心，是底面中心，，，设球半径为，在中，，解得，所以.【考点】正棱锥的外接球.10.若长方体三个面的面积分别为，，，则此长方体的外接球的表面积是________．【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R＝＝，外接球的表面积为S＝4π＝6π11.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．【答案】（1）a3（2）a2【解析】(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴V－BCD＝V A－BPC＋V D－BPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··aA≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，∴S＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.表12.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P BDF的体积.【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.(2)解:三棱锥P BCD的底面BCD的面积S△BCD由PA⊥底面ABCD,得=·S·PA=××2=2.△BCD由PF=7FC,得三棱锥F BCD的高为PA,故=·S△BCD·PA=×××2=,所以=-=2-=.13.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为() A．B．C．D．8π【答案】A【解析】由题意，球的半径为R＝，故其体积V＝π()3＝，选A.14.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．【答案】【解析】因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝·S△DED1·h＝××1＝.15.若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为．【答案】【解析】设长方体的边长为，那么长方体的表面积为：，又由于：，而，所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积；基本不等式的变形.16.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．【答案】【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆.【考点】圆锥的侧面积.17.已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，,则球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为平面，，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，球的表面积，故选C.【考点】1、空间几何体的位置关系；2、球的表面积.18.如图，一只蚂蚁由棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的点出发沿正方体的表面到达点的最短路程为．【答案】【解析】采用侧面展开法，展开后，在矩形中，，．【考点】立体几何表面距离最短问题．19.如图，平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：,所以球的体积为：,选A.【考点】1.球内接多面体；2.球的体积和表面积20.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．(Ⅰ)求证:平面平面；(Ⅱ)若,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由,,，易得，从而平面，由此可得平面平面．(Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以，即是一个直角三角形，这样可得四边形的面积.又平面平面，所以过D作的垂线，该垂线即垂直于平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积.思路二、将四棱锥分割为以下两部分：三棱锥和，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥，这个三棱锥的体积就很易求了.试题解析：（Ⅰ）证明：在中,由余弦定理得：，所以,所以,即， 3分又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，又,所以平面, 5分又平面,所以平面平面． 6分(Ⅱ)法一：连结，∵，∴∵平面，所以， 8分所以四边形的面积， 10分取的中点，连结，则，且，又平面平面,平面平面，所以平面，所以四棱锥的体积：． 12分法二: 四棱锥的体积， 8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， 10分所以． 12分【考点】1、空间两平面的垂直；2、空间几何体的体积.21.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.【答案】【解析】圆锥与球的截面如下图，设球的半径为，则圆锥底面圆的直径为，圆锥底面面积为，圆锥的侧面面积为，所以圆锥的表面积为，球的表面积为，所以其面积比为.【考点】1.圆锥与球的表面积；2.球与其内接几何体的关系.22.一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设四棱锥是满足条件的，连结、交于，球心在上，令球的半径为，则，由正四棱锥所有棱长为1，易求得四棱锥的高，在中，，即，解得，故球的体积为. 选D.【考点】正四棱锥的性质，球的体积.23.如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）．【答案】①②⑤【解析】根据几何体的特点可知，有12个顶点，24条棱，16个面，所以①、②都对，③错；表面积为故④错；其体积为故⑤成立.【考点】几何体的体积和表面积.24.如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则【答案】【解析】依题意，，三棱锥的高为三棱柱的高的. ∴.【考点】三棱柱与三棱锥的体积，三角形中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.25.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，所以该几何体的体积为【考点】本小题主要考查三视图.点评：此类问题，主要考查学生的空间想象能力，解决此类问题的关键是根据三视图正确还原几何体.26.如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．96D．80【答案】A【解析】由三视图知：原几何体为正方体和一个四棱锥的组合体，正方体的棱长为4，正四棱锥的底面边长为4，高为2，所以正四棱锥的斜高为。

空间几何体的表面积与体积计算综合练习题

空间几何体的表面积与体积计算综合练习题在几何学中，我们经常需要计算空间几何体的表面积与体积。

下面将给出一些综合练习题，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

1. 圆柱体假设有一个圆柱体，底面半径为r，高为h。

请计算其表面积和体积。

解答：圆柱体的表面积由两个圆的面积以及一个矩形的面积组成。

圆的面积为πr^2，矩形的面积为2πrh。

因此，圆柱体的表面积为2πr^2 + 2πrh。

圆柱体的体积为底面积乘以高，即πr^2h。

2. 球体给定一个球体，半径为r，请计算其表面积和体积。

解答：球体的表面积由整个球的表面积组成，即4πr^2。

球体的体积为4/3πr^3。

3. 锥体假设有一个锥体，底面半径为r，高为h。

请计算其表面积和体积。

解答：锥体的表面积由底圆的面积和锥侧面积组成。

底圆的面积为πr^2，锥侧面积为πrl，其中l为锥体的斜高。

根据勾股定理，可以得到l = √(r^2 + h^2)。

因此，锥体的表面积为πr^2 + πr√(r^2 + h^2)。

锥体的体积为1/3底面积乘以高，即1/3πr^2h。

4. 正方体给定一个正方体，边长为a，请计算其表面积和体积。

解答：正方体的表面积由六个正方形的面积组成，即6a^2。

正方体的体积为边长的立方，即a^3。

5. 长方体假设有一个长方体，长为l，宽为w，高为h。

请计算其表面积和体积。

解答：长方体的表面积由两个长方形的面积以及两个矩形的面积组成。

两个长方形的面积为2lw，两个矩形的面积为2lh和2wh。

因此，长方体的表面积为2lw + 2lh + 2wh。

长方体的体积为长乘以宽乘以高，即lwh。

通过以上练习题的解答，我们可以更好地理解和应用表面积与体积的计算方法。

这些概念在日常生活和工作中有着广泛的应用，例如建筑物的设计与施工、物体的包装和运输等。

在实际问题中，我们需要根据给定的几何体形状和尺寸，利用相应的公式进行计算。

掌握了这些计算方法，我们可以更加准确地评估和解决各种与空间几何体相关的问题。

高一数学空间几何体的表面积与体积试题

高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.已知正三角形的边长为2，沿着上的高将正三角形折起，使得平面平面，则三棱锥的体积是【答案】【解析】∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D,∴AD⊥平面BCD，∵平面ABD⊥平面ACD，且∠BDC是二面角B-AD-C的平面角∴∠BDC=90°，∵AD是边长为2的正三角形的高，可得BD=CD=1，AD=∴△BCD的面积S=×1×1=△BCD因此三棱锥A-BCD的体积V=×S×AD=××=△BCD故答案为：【考点】正三角形的性质；线面垂直的判定与性质；锥体体积求法.2.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．3.如图，在三棱柱中，侧棱底面, 为的中点,.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析；（2）1.【解析】（1）通过证明线线平行，线面平行的判定定理，在面中找到平行于的线，连接,设与相交于点,连接，证即证；（2）通过等体积转化=试题解析：证明:（1）连接,设与相交于点,连接. 1分∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点，∴为△的中位线,∴. 4分∵平面,平面,∴平面. 6分解:（2）∵三棱柱，∴侧棱，又∵底面，∴侧棱，故为三棱锥的高，， 8分10分12分【考点】1.线面平行的判定定理；2.几何题的体积.4.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2,B．1：4,C．1：8,D．1：16【答案】C【解析】球的表面积公式,两个球的表面积之比是，所以半径之比是，球的体积公式是,所以体积之比是.【考点】球的表面积和体积公式5.如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角，为底面圆周上一点．（1）若的中点为，,求证平面；（2）如果,,求此圆锥的全面积．【答案】(1)详见解析；(2).【解析】(1)要证平面,即证垂直于平面内的两条相交直线，是已知，转化为证平面,利用母线相等，利用底面半径相等，为中点，证得平面，证得，,得证；(2),求出底面半径，以及母线长，根据全面积公式，,求出全面积.试题解析：解：①连接OC，∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB 2分∵SO⊥平面ABQ，BQ平面ABQ∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC∵OH⊂平面SOC，∴BQ⊥OH， 5分∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线，∴OH⊥平面SBQ； 6分②∵∠AOQ=60°，QB＝，∴直角△ABQ中，∠ABQ=30°，可得AB==4 8分∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2，因此，圆锥的侧面积为S侧=π×2×2=4π 10分∴此圆锥的全面积为S侧+S底=4π+π×22=（4+4）π 12分【考点】1.线面垂直的判定；2.线面垂直的性质；3.几何体的表面积.6.在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵三棱锥为正棱锥，∴⊥，∴⊥．又∵⊥，，∴平面，即⊥平面，∴，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴，解得，∴．【考点】三棱锥的外接球表面积．7.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.8.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为球的直径2R就是球的内接正方体的体对角线的长.即.所以球的表面积为.因为内接正方体的表面积为.所以球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是.故选B.【考点】1.球的与内接正方体的关系.2.球的表面积公式.3.正方体的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。

练习11_空间几何体的表面积与体积

练习11 空间几何体的表面积与体积A 组1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）.（A ）122ππ+ （B ）144ππ+ （C ）12ππ+ （D ）142ππ+2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）.（A ）32 （B ）43 （C ）54 （D ）653．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是。

4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为。

5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm ，2cm ，3cm ，则此棱锥的体积_______________。

6．矩形两邻边的长为a 、b ，当它分别绕边a 、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为。

7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的16，经过这三点的小圆周长为4π，则这个球的表面积为。

B 组1．四面体 ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是。

2．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是。

3．如图，一个棱锥S －BCD 的侧面积是Q ，在高SO 上取一点A ，使SA =31SO ，过点A 作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积. 4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长AB =a ，且PD =a ，PA =PC =2a ，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.（编写：人大附中吴其明）练习七参考答案 A 组 1．答案：A解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2ar π=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2221222a a a πππ++=，选A . 2．答案：D解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是111111()3222248⨯⨯⨯⨯=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65，选D . 3．答案：148 cm 2解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2，所以棱柱的全面积是148cm 2. 4．答案：22：5解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23π和43π，由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2r l πθ=，得13l r =，223lr =，=5．答案：1cm 3解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm ，2cm 的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，则它的体积是31×1×3=1cm 3.6．答案：ba解：矩形绕a 边旋转，所得几何体的体积是V 1=πb 2a ，矩形绕b 边旋转，所得几何体的体积是V 2=πa 2b ，所以两个几何体的体积的比是2122V b a b V a b aππ==.7．答案：48π解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点A 、B 、C 之间距离相等，所以每两点间的距离是AB =BC =AC =23，又A 、B 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的61，所以A 、B 在大圆中的圆心角是60°，所以大圆的半径R =23，于是球的表面积是4πR 2=48π. B 组 1．答案：1：9解：如图，不难看出四面体EFGH 与四面体ABCD 是相似的。

数学空间几何体的表面积与体积试题

数学空间几何体的表面积与体积试题1.如果一个正三棱锥的底面边长为6，且侧棱长为，那么这个三棱锥的体积是 .【答案】【解析】根据题意可作图如下,其中 ,则在中,, ,在中,由根据勾股定理得:,所以2.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ），求三棱锥体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）如图，取中点，连结,． 2分因为是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，故,,所以平面,所以. 6分（Ⅱ）在中，因为，故，在中，，因为在中，,故，所以， 10分又平面,所以． 12分【命题意图】本题考查直线和平面垂直、四面体的体积等基础知识，意在考察学生空间向量能力、推理论证能力和基本的运算能力．3.如图,三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)若,,求三棱柱的体积.【答案】(1)证明见详解；(2)3．【解析】(1)取AB的中点,连接、、,因为CA=CB,所以,由于,,故为等边三角形，所以,因为，所以平面.又，故.(2)由题设知都是边长为2的等边三角形，所以4.如图，在三棱锥中，是等边三角形，.（1）证明:：；（2）证明：；（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）因为是等边三角形，，所以，可得；（2）如图，取中点，连结、，则，，所以平面，所以；（3）作，垂足为，连结，因为，所以，，由已知，平面平面，故，因为，所以、、都是等腰直角三角形.由已知，得，的面积，因为平面，所以三棱锥的体积.5.如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是A．V1=B．V2=C．V1> V2D．V1< V2【答案】D【解析】设大球半径为，小球半径为，根据题意，所以，于是，即，所以。

空间几何体表面积与体积公式测试

空间几何体表面积与体积公式测试1．（2021·河南高三期末（理））如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45︒，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．BCD【答案】D 【详解】塔顶是正四棱锥P ABCD -，如图，PO 是正四棱锥的高，设底面边长为a ，底面积为21S a =，2AO a =，45PAO ∠=︒，∴2PA a a ==，PAB △是正三角形，面积为224S a =，所以21S S = 故选：D ．2．（2021·安徽芜湖市·高三期末（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AB ，AD 中点分别为E ，F ，若过EF的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（）A ．B +C ．D ．【答案】A 【详解】将面11BCC B 展开与面11ABB A 处于同一平面要使1l E QC C Q FH H +++最大,则沿面1C QEFH 切才能保证五点共面，在1Rt ECC △中,112,12CC BC BE AB ====,此时1EQ QC +==又1FH HC EQ QC +=+=∴周长()12EF EQ QC =++=故选:A3．（2021·江西吉安市·高二期末（文））若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，）A ．B CD【答案】C 【详解】如图所示三棱锥中，由题可得3BC CD BD ===，设A 在平面BCD 的投影为O ，则AO =则O 是BCD △的重心，233OB ∴==，则在Rt AOB 中，AB =故选：C.4．（2020·山东德州市·高一期末）若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（）A B ．2πC ．D ．【答案】C 【详解】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=,所以AO =AO PA π⨯⨯=.故选：C.5．（2021·贵州遵义市·高二期末）若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___________.【答案】【详解】设圆锥底面半径为r ，则2263r ππ=⨯，2r ，又圆锥母线长为6l =，∴高为h ===故答案为：6．（2021·湖南常德市一中高三月考）中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为___________cm .【答案】6427【详解】设圆锥形容器的底面圆半径为r ，高为h ，则圆锥形容器的体积为213V r h π=，当细沙在上部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径为23r ，高为23h ，细沙的体积为22112281833327327V r h r h V ππ⎛⎫=⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭，当细沙在下部时，细沙形成一个圆锥，该圆锥的底面半径为r ，设此时沙堆的高为1h ，则221881327273r h V r h ππ'⋅==⨯，可得()88648272727h h cm '==⨯=. 故答案为：6427. 7．（2021·安徽黄山市·高二期末（文））在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB =3BC =，4PA =，4ABC π∠=，则该三棱锥的外接球体积为___________.【答案】3【详解】如下图所示，圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，圆柱的母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，所以，圆柱12O O 的外接球直径为2R =本题中，作出ABC 的外接圆2O ，由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中，在ABC中，AB =3BC =，4ABC π∠=，由余弦定理可得AC =，由正弦定理可知，ABC的外接圆直径为2sin 2ACr ABC===∠ 则三棱锥P ABC -的外接球直径为2R ==R =，因此，三棱锥P ABC -的外接球的体积为33443323V R ππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：3.8．（2021·江西景德镇市·高一期末）如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A DEF''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积；（2）求 B A D EF V ''-.【答案】（1）200π（2）80 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形，所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=，即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=，直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=，设三棱柱的外接球半径为R ，则R ==24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==，在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎝⎭△ 11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.。

高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】.【解析】设圆锥的底面半径和高为，则其母线长；所以圆锥的侧面积，底面面积，则它的侧面积与底面积的比为.【考点】圆锥的侧面积公式.2.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为 .【答案】【解析】球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1,球的半径为：R= ,所以球的表面积：4πR2=4π×( )2=8π.【考点】球的表面积.3.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若，，PB与底面ABC成60°角，分别是与的中点，是线段上任意一动点（可与端点重合），求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（2）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（3）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）证明：，，且，而中，（2）解：（2）与底面成角即，在中，，又，在中，分别是的中点，面.【考点】（1）平面与平面垂直的判断；（2）求几何体的体积.4.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．【答案】（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）.【解析】（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．（2）根据题中数据，算出，BD=2，，AB=2，从而得到，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．（3）由（2）得到OD为三棱锥D-BOM的高．算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积．试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴DO=，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．由OD=2，，所以.【考点】线面平行问题；面面垂直问题；三棱锥的体积.5.四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面（）A．25p B．45p C．50p D．100p【答案】C【解析】作长方体，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，该长方体和四面体有共同的外接球，长方体的对角线长为直径长，，表面积【考点】四面体的外接球的体积.6.如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，是棱的中点。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4，体积为．【解析】由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．即，三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于∴为中点，为的重心，底面∴，，【考点】图象的翻折，几何体的体积．2.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．3.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．4.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以.（1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.5.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB∵DA⊥面ABP,CB∥DA∴CB⊥面ABP CB⊥AB ,∴AB⊥面PBC又DC∥AB,∴DC∥面PBC∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC(2)如图建立空间直角坐标系则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)设E(x,y,z),= (0<<1)则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则令c=n=(,0,)同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)∵cos<n,m>====∴=或=1(舍去)∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离∴V=××1××=E-PAB6.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.7.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。

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《空间几何体的表面积和体积一、选择题（每小题 5分共50分） 1 •已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为 4,体积
为16,则这个球的表面积是（
）
A 16
E. 20
C. 24
D. 32
2、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V i 和V 2,则V : V 2= （
） A.
1: 3 B. 1
: 1 C. 2
: 1 D. 3
: 1
3、一个体积为8cm 3
的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A. 8 cm 2
B • 12 cm 2
C • 16 cm 2
D • 20 cm 2
4•、如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形， AB=2, AA=4,则该几何体的表面
积为（
）
（A ）6+ ,3
（B ）24+
,3
（C ）24+2 ,.3
（D ）32
A.
—R 3 B • 3
R 3 C • 四5 R
3
D
•
—R 3
24
~8
24
8
8.
两个球体积之和为 12 n ，且这两个球大圆周长之和为
6 n,
那么这两球半径之差是（
）
10. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的（5.如果一个水
平放I
原平面图形的面积是
A C
B 2
2
6.半径为R 的正圆卷成一个圆锥，侧它视体积为府视
450，腰和上底均为1的等腰梯形, 1 2
）
那么
7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的
较小底面的半径为（
）
A.
7 E. 6 C. 5
3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84 ，则圆台
D. 3
B . 1
C. 2
D. 3
9. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出种
不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母
A B 、C 、D E 、F 这六个字母，现放成下面三
A 、
B 、
C 对面的字母依次分别为
（
???)
)
1 . 2
置的图形的斜
是'一个底面
（A ）①②？（ B ）①③？？（ C ）①④？？（ D ） ??②④ 二、填空题（每小题5分共25分） 11. 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为
3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发
，沿
表面运动到另一个端点,其最短路程是 __________
12 .已知正三棱锥的侧面积为 18 3 cm 2
,高为3cm.则它的体积
13.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 _______________ 块木块堆成；图（2）
中的三视图表示的实物为 ______________ .
16. （15分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐 .现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m （高不变）；二是高度增加4 m （底面直径不变）. （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？
17. （10分）已知：一个圆锥的底面半径为 R 高为H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱.（1）求圆柱的侧面积；（2） x 为何值时，圆柱的侧面积最大.
与球有关的切、接问题
S
1. 若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2，则舟=
2. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB 1A 1的面积为（
） A . 2
B . 1 C. ,2
D.
3. ____________________________________ —个正方体削去一个
角所得到的几何体的三视图如图所示（图中正方形），则该几何体外接球的体积为 . 4.
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4,底面边长为2,则该球的
表面积为（
）
2.
已知底面边长为1,侧棱长为.2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为
（）
A .3!2
B . 4n
C . 2n D.^
3
3
3. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为，6时，其高的值为（）A . 3 3 B. .3 C . 2 .6
D . 2 .3
4. 将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，得到四面体A-BCD ，则四面体A-BCD 的外接球的体积为 ____________
5.
—个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 __ 0的球面上，则该圆锥的体积与球 0的体积的比值为
1.已知A , B 是球O 的球面上两点，
AOB 900
, C 为该球面上的动点，若O ABC 三棱锥体积的最大值为36,则球。

的表面
人.晋 B . 16n C . 9n
27 n
DR
1.
如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5的
圆，那么这个空间几何体的表面积等于（ )A . 100n B. 100 n C . 25n
上, AB = AC ,侧面 BCC 1B 1
三个四边形都是边长为2的
积为（）（A）36 （B）64 （C）144 （D） 256 2.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器
水，当球面恰好接触面时测得水深为6cm,如不计容器
的厚度，则球的体积为（）
2
2
(2)
x
ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径,且SC 2,则此棱锥的
体积为()(A) 2 (B) _2 (C)
飞 6" 4.平面截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到
平面
5. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
锥体积之比是() A .
n B . 2 n C . 3n D . 4 n
8.已知正四棱锥O ABCD 的体积为32,底面边长为 3,则以O 为球心，0A 为半径的球的表面积为 _____________
~2~
答案：一选择题： CDBCA,AABDD 二. 填空题：11.
12 ,. 9j3cm 13.
（1） 4 （2）圆锥
14.
2 3 a
30 .3 cm 2
3
15.
三. 解答题：
16解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成
16m ,则仓库的体积 (m 3
).
如果按方案二，仓库的高变成
8 m ,则仓库的体积V 2
-Sh - （直）2
8 28
3 3 2
3
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成
16 m ,半径为8 m .棱锥的母线长为
l
.82
42
4 5 ,
则仓库的表面积S i 8 4 5 32. 5 （m 2
）.
如果按方案二，仓库的高变成 8 m ,棱锥的母线长为丨■. 82
62
10 ,
则仓库的表面积S 2 6 10 60 （m 2
）。

（3）••• V 2 V , S 2 S , •••方案二比方案一更加经济•
17.解：（1）设内接圆柱底面半径为
r .
②代入①
（A ）5°°缶 3
(B)
866 n 3
cm
(C ) 1372 n 3 cm
3
(D )
2048 n 3
cm
(A ) 6 n
(B )牛 3n
(C ) 4 6n (D ) 6, 3n
3.已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球0的球面上, 的距离为2,则此球的体积为（）
(A) a 2
(B) 7
3 a 2
(C) (D) 5 a 2
6.设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a ,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） (A ) 3 a 2 (B) 6 a 2
(C ) 12 a 2
(D ) 24 a 2
7.已知三棱锥S
ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上, SO
底面ABC , AC 2r ,则球的体积与三棱
3
(m ).。

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