高考福建卷理科试题与解答

2006年高考数学福建卷理科
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是
（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=
（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于
（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45
（3）已知3(,),sin ,25π
απα∈=则tan()4π
α+等于
（A ）17 （B ）7 （C ）1
7
- （D ）7-
（4）已知全集,U R =且{}{}
2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于
（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-
（5）已知正方体外接球的体积是
32
3
π，那么正方体的棱长等于
（A ） （B ）
3 （C ）3
（D ）3 （6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，至少摸到2个
黑球的概率等于
（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928
（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是
（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
（8）函数2log (1)1
x
y x x =>-的反函数是
（A ）2(0)21x x
y x =>- （B ）2(0)21x
x y x =<-
（C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21
(0)2
x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-，则ω的最小值等于
（A ）
23 （B ）3
2
（C ）2 （D ）3
（10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o
的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。

设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m
n
等于
（A ）
1
3
（B ）
3 （C
（D
（12）对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们
之间的一种“距离”： 2121.x x y y =-+- 给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o
C ∠=则2
22
;AC
CB AB +=
③在ABC ∆中，.AC CB AB +>
其中真命题的个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（13）2
51
()x x
-展开式中4
x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。

（14）已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，则______.a =
（15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标 以数2。

将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿＿。

（16）如图，连结ABC ∆的各边中点得到一个新的111,A B C ∆又连
结111A B C ∆的各边中点得到222A B C ∆，如此无限继续下 去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，...，
这一系列三角形趋向于一个点M 。

已知(0,0),(3,0),A B
(2,2),C 则点M 的坐标是＿＿＿＿。

三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知函数22
()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =++∈
（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

（19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 可以
油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式表示为：
313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已知甲、
乙两地相距
100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （20）（本小题满分12分）
已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B
线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G （21）（本小题满分12分） 已知函数2
()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求
出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{b n }滿足12111
*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：数列{b n }是等差数列；
（Ⅲ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈ 2006年高考(福建卷)数学理试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A
B
E。