尼玛县二中学2018-2019学年高二上学期二次月考试卷数学
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尼玛县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 若a >0,b >0,a+b=1,则y=+的最小值是( )
A .2
B .3
C .4
D .5 2. 若直线L :047)1()12(=--+++m y m x m 圆C :25)2()1(22=-+-y x 交于B A ,两点,则弦长||AB 的最小值为( )
A .58
B .54
C .52
D .5 3. 给出以下四个说法:
①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;
②线性回归直线一定经过样本中心点,;
③设随机变量ξ服从正态分布N (1,32)则p (ξ<1)=;
④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大,则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小. 其中正确的说法的个数是( ) A .1
B .2
C .3
D .4
4. 在ABC ∆中,b =3c =,30B =,则等于( )
A B . C D .2 5. i 是虚数单位,i 2015等于( )
A .1
B .﹣1
C .i
D .﹣i
6. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足:<0,且f (2)=4,则不等式f (x )﹣
>0的解集为( ) A .(2,+∞)
B .(0,2)
C .(0,4)
D .(4,+∞)
7. 已知函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在(0,2)内的值域是(1,a 2),则函数y=f (x )的图象大致是( )
A .
B .
C .
D .
8. 函数的定义域为( )
A .{x|1<x ≤4}
B .{x|1<x ≤4,且x ≠2}
C .{x|1≤x ≤4,且x ≠2}
D .{x|x ≥4}
9.已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(2﹣x)的图象为()
A.B.C.D.
则几何体的体积为()
4
意在考查学生空间想象能力和计算能
l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()
l
x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)
a的值是()
或
的几何体的三视图,则h __________.
14.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 . 15.下列命题:
①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
,k ∈Z};
②在同一坐标系中,函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点;
③把函数y=3sin (2x+)的图象向右平移
个单位长度得到y=3sin2x 的图象;
④函数y=sin (x ﹣
)在[0,π]上是减函数
其中真命题的序号是 .
16.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,asinA=bsinB+(c ﹣b )sinC ,且bc=4,则△ABC 的面积为 .
17.已知抛物线1C :x y 42
=的焦点为F ,点P 为抛物线上一点,且3||=PF ,双曲线2C :122
22=-b
y a x
(0>a ,0>b )的渐近线恰好过P 点,则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程,双曲线的渐近线,抛物线的定义,突出了基本运算和知识交汇,难度中等.
18.已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点,连结11,AF BF ,若
1||||AB BF =,且190ABF ∠=︒,则双曲线的离心率为( )
A .5-
B
C .6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质,意要考查逻辑思维能力、运算求解能力,以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想.
三、解答题
19.在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中,主持人准备了两个问题,规定:被抽签抽到的答题同学,答对问题可获得分,答对问题可获得200分,答题结果相互独立互不影响,先回答哪个问题由答题同学自主决定;但只有第一个问题答对才能答第二个问题,否则终止答题.答题终止后,获得的总分决定获奖的等次.若甲是被抽到的答题同学,且假设甲答对
问题的概率分别为
.
(Ⅰ)记甲先回答问题再回答问题得分为随机变量,求的分布列和数学期望; (Ⅱ)你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高?请说明理由.
20.(本小题满分12分)已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=,直线
()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.
(1)证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.
21.已知函数f (x )的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},且对定义域内的任意x ,y 都有f (x ﹣y )=成立,且f (1)=1,当0<x <2时,f (x )>0. (1)证明:函数f (x )是奇函数;
(2)试求f (2),f (3)的值,并求出函数f (x )在[2,3]上的最值.
22.已知函数f(x)=2x﹣,且f(2)=.
(1)求实数a的值;
(2)判断该函数的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.
23.已知复数z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i(m∈R)
(1)若z是实数,求m的值;
(2)若z是纯虚数,求m的值;
(3)若在复平面C内,z所对应的点在第四象限,求m的取值范围.
24.在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)满足=3,其中=(2x+3,y),=(2x﹣﹣3,3y).(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点F(0,1)的直线l交点P的轨迹于A,B两点,若|AB|=,求直线l的方程.
尼玛县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】解:∵a >0,b >0,a+b=1,
∴y=+=(a+b )=2+
=4,当且仅当a=b=时取等号.
∴y=+的最小值是4. 故选:C .
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,属于基础题.
2. 【答案】B 【解析】
试题分析:直线:L ()()0472=-++-+y x y x m ,直线过定点⎩⎨⎧=-+=-+0
40
72y x y x ,解得定点()1,3,当点(3,1)
是弦中点时,此时弦长AB 最小,圆心与定点的距离()()512312
2=-+-=
d ,弦长
545252=-=AB ,故选B.
考点:1.直线与圆的位置关系;2.直线系方程.
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属于基础题型,涉及一些最值问题,当点在圆的外部时,圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径,当点在圆外,可做两条直线与圆相切,当点在圆上,可做一条直线与圆相切,当点在圆内,过定点做圆的弦时,过圆心即直径最长,当定点是弦的中点时,弦最短,并且弦长公式是222d R l -=,R 是圆的半径,d 是圆心到直线的距离. 1111]
3. 【答案】B
【解析】解:①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的频率,故①错;
②线性回归直线一定经过样本中心点(,),故②正确;
③设随机变量ξ服从正态分布N (1,32)则p (ξ<1)=,正确;
④对分类变量X 与Y ,它们的随机变量K 2的观测值k 来说,k 越大,“X 与Y 有关系”的把握程度越大,故④不正确. 故选:B .
【点评】本题考查统计的基础知识:频率分布直方图和线性回归及分类变量X ,Y 的关系,属于基础题.
4.【答案】C
【解析】
考点:余弦定理.
5.【答案】D
【解析】解:i2015=i503×4+3=i3=﹣i,
故选:D
【点评】本题主要考查复数的基本运算,比较基础.
6.【答案】B
【解析】解:定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:<0.
∵f(2)=4,则2f(2)=8,
f(x)﹣>0化简得,
当x<2时,
⇒成立.
故得x<2,
∵定义在(0,+∞)上.
∴不等式f(x)﹣>0的解集为(0,2).
故选B.
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式,从已知条件入手,找个关系求解.属于中档题.
7.【答案】B
【解析】解:函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),
则由于指数函数是单调函数,则有a>1,
由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上面,可知B正确.
故选B.
8.【答案】B
【解析】解:要使函数有意义,只须,
即,
解得1<x≤4且x≠2,
∴函数f(x)的定义域为{x|1<x≤4且x≠2}.
故选B
9.【答案】A
【解析】解:由(0,2)上的函数y=f(x)的图象可知f(x)=
当0<2﹣x<1即1<x<2时,f(2﹣x)=2﹣x
当1≤2﹣x<2即0<x≤1时,f(2﹣x)=1
∴y=f(2﹣x)=,根据一次函数的性质,结合选项可知,选项A正确
故选A.
10.【答案】D
【解析】
11.【答案】D
【解析】解:由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,
又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.
由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,
与m,n异面矛盾.
故α与β相交,且交线平行于l.
故选D.
【点评】本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题.
12.【答案】D
【解析】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,
∴当﹣1≤x≤0时,0≤﹣x≤1,f(﹣x)=(﹣x)2=x2=f(x),
又f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的函数,
又直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,其图象如下:
当a=0时,直线y=x+a变为直线l1,其方程为:y=x,显然,l1与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点;
当a≠0时,直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,由图可知,直线y=x+a与函数y=f(x)相切,切点的横坐标x0∈[0,1].
由得:x2﹣x﹣a=0,由△=1+4a=0得a=﹣,此时,x0=x=∈[0,1].
综上所述,a=﹣或0
故选D.
二、填空题
13.【答案】
【解析】
试题分析:由三视图可知该几何体为三棱锥,其中侧棱VA⊥底面ABC,且ABC
∆为直角三角形,且
5,,6
AB VA h AC
===,所以三棱锥的体积为
11
56520
32
V h h
=⨯⨯⨯==,解得4
h=.
考点:几何体的三视图与体积.
14.【答案】[].
【解析】解:由题设知C41p(1﹣p)3≤C42p2(1﹣p)2,
解得p,
∵0≤p≤1,
∴,
故答案为:[].
15.【答案】③.
【解析】解:①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=,k∈Z},故①错误;
②、设f(x)=sinx﹣x,其导函数y′=cosx﹣1≤0,
∴f(x)在R上单调递减,且f(0)=0,
∴f(x)=sinx﹣x图象与轴只有一个交点.
∴f(x)=sinx与y=x 图象只有一个交点,故②错误;
③、由题意得,y=3sin[2(x﹣)+]=3sin2x,故③正确;
④、由y=sin(x﹣)=﹣cosx得,在[0,π]上是增函数,故④错误.
故答案为:③.
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用,终边相同的角,正弦函数的性质,图象的平移变换,及三角函数的单调性,熟练掌握上述基础知识,并判断出题目中4个命题的真假,是解答本题的关键.
16.【答案】.
【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc,即:b2+c2﹣a2=bc,
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB,
∴cosA===,A=60°.可得:sinA=,
∵bc=4,
∴S△ABC=bcsinA==.
故答案为:
【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的应用,属于中档题.
17.【答案】3
18.【答案】B
【解析】
三、解答题
19.【答案】
【解析】【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列
【试题解析】(Ⅰ)的可能取值为.
,
,
分布列为:
(Ⅱ)设先回答问题,再回答问题得分为随机变量,则的可能取值为.
,
,
,
分布列为:
.
应先回答所得分的期望值较高.
20.【答案】(1)证明见解析;(2)250x y --=. 【解析】
试题分析:(1)L 的方程整理为()()4270x y m x y +-++-=,列出方程组,得出直线过圆内一点,即可
证明;(2)由圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥,利用直线的点斜式方程,即可求解直线的方程.
1111]
(2)圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥, 由1
2
AM k =-
得L 的方程()123y x -=-即250x y --=. 考点:直线方程;直线与圆的位置关系. 21.【答案】
【解析】(1)证明:函数f (x )的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z},关于原点对称.
又f (x ﹣y )=
,
所以f(﹣x)=f[(1﹣x)﹣1]===
===,
故函数f(x)奇函数.
(2)令x=1,y=﹣1,则f(2)=f[1﹣(﹣1)]==,
令x=1,y=﹣2,则f(3)=f[1﹣(﹣2)]===,
∵f(x﹣2)==,
∴f(x﹣4)=,
则函数的周期是4.
先证明f(x)在[2,3]上单调递减,先证明当2<x<3时,f(x)<0,
设2<x<3,则0<x﹣2<1,
则f(x﹣2)=,即f(x)=﹣<0,
设2≤x1≤x2≤3,
则f(x1)<0,f(x2)<0,f(x2﹣x1)>0,
则f(x1)﹣f(x2)=,
∴f(x1)>f(x2),
即函数f(x)在[2,3]上为减函数,
则函数f(x)在[2,3]上的最大值为f(2)=0,最小值为f(3)=﹣1.
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断,以及函数的最值及其几何意义等有关知识,综合性较强,难度较大.
22.【答案】
【解析】解:(1)∵f(x)=2x﹣,且f(2)=,
∴4﹣=,
∴a=﹣1;(2分)
(2)由(1)得函数,定义域为{x|x≠0}关于原点对称…(3分)
∵=,
∴函数为奇函数.…(6分)
(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,…(7分)
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1<x2,则
=
…(10分)
∵x1,x2∈(1,+∞)且x1<x2∴x2﹣x1>0,2x1x2﹣1>0,x1x2>0
∴f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数…(12分)
【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
23.【答案】
【解析】解:(1)z为实数⇔m2+2m﹣3=0,解得:m=﹣3或m=1;
(2)z为纯虚数⇔,解得:m=0;
(3)z所对应的点在第四象限⇔,解得:﹣3<m<0.
24.【答案】
【解析】解:(1)由题意,=(2x+3)(2x﹣3)+3y2=3,
可化为4x2+3y2=12,即:;
∴点P的轨迹方程为;
(2)①当直线l的斜率不存在时,|AB|=4,不合要求,舍去;
②当直线l的斜率存在时,设方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程可得:(4+3k2)x2+6kx﹣9=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=•|x1﹣x2|==,
∴k=±,
∴直线l的方程y=±x+1.
【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了向量的坐标运算,训练了利用数量积,属于中档题.。