新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为1
2n-，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )
A．1008
20182
⨯
20182
⨯B．1009
C．1008
⨯
20202
20202
⨯D．1009
3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )
A．B．
C．D．
n n≤个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的4．某电影院共有(3000)
是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n的可能取值有( )
A ．12个
B ．11个
C ．10个
D ．前三个答案都不对
5．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，
n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂
直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（ ） A ．3m =，2n =
B ．2m =-，1n =-
C ．2m =，1n =
D ．2m n ==-
6．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即
2
n
）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4
B ．6
C ．8
D ．32
7．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13
；②,,a b c 中至少有一个小于1
3
；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于1
4
.其中正确说法的个数是（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
8．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点 B ．正三角形的中心
C ．正三角形各边的中点
D ．无法确定
9．我们把顶角为
的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作
D ；④以
为圆心，以长为半径作
A 交D 于
，则
为黄金三角形．根据上述作法，可以求出
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.”
乙说：“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球
B ．一定没有3号球
C ．可能有5号球
D ．可能有6号球
11．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的
1
3
.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．
12
B ．
14
C ．
16
D ．
18
12．“因为e 2.71828=是无限不循环小数，所以e 是无理数”，以上推理的大前提是
（ ）
A ．实数分为有理数和无理数
B ．e 不是有理数
C ．无限不循环小数都是无理数
D ．无理数都是无限不循环小数
二、填空题
13．已知1111
()123
2f n n n n n
=
++++
+++，则()(1)f k f k +=+_________. 14．已知M ，N 是双曲线2
212
x y -=上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上的任意
一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值.试类比上述双曲线的性
质，得到椭圆22
12x y +=的一个类似性质为：设M ，N 是椭圆2212
x y +=上关于原点对称
的两点，点P 是椭圆上的任意一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值，该定值为__________． 15．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，
15，17，19，21，23，25，27，29，
………..
设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.
16．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315
,,,,228432
---，…，则第8个数可以是__________．
17．已知函数()x
f x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，
则()2017f x =__________． 18．观察下列式子：
，
，
，
，…，根据以上规律，第个不等式是_________.
19．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____． 20．已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +
≥，2244
322x x x x x
+=++≥，33
27274333x x x x x x +
=+++≥，…，类比得()*1n a x n n N x +≥+∈，则a =________． 三、解答题
21．已知数列{}n x 满足10x =，2
1n n n x x x c +=-++(
)n N
*
∈，104
c <≤，求证：数列{}n x 是递增数列.
22．已知函数()()2
11
x
x f x a a x -=+
>+. （1）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明； （2）用适当的方法证明方程()0f x =没有负根. 23．已知数列{}n a 各项均为正数，满足2
333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
．
（1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 24．用数学归纳法证明
111111
12324
n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 25．已知数列{}n a 中，11a =，()122n
n n
a a n N a ++=
∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式；
(2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列时的大前提、小前提和结
论．
26．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()22
25222
a b +++≥
.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】
解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前n 项和为S n 1212
n
-==-2n ﹣1，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n ()12
n n +=
，
可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；
，
第n 行第一个数为：1
n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．C
解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.
【详解】
A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;
B 选项,,故错误;
C 选项,故正确;
D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】
本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.
4．A
解析：A 【解析】
分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则2007n ≥，依次验证即可得到答案. 详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影， 则98510102019
20072
n ++≥
=，
当2007n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上； 当2008n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；
当2018=n 时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上； 当2019n =时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上； 所以当n 有2007,2008,2009,
,2018取法，即有12个取值，故选A.
点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题.
5．D
解析：D 【解析】
分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得
详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确， 可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-， 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则乙、丙判断不正确符合题意； 若判断正确，甲、丙判断不正确，
可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-， 则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直， 则甲、丙判断不正确，符合题意； 若丙判断正确，甲、乙判断不正确， 可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，
则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.
2m n ==-，则甲乙丙判断均错.
故选D.
点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.
6．B
解析：B 【解析】
分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，
变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，
变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，
变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，
则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.
点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
7．B
【解析】
分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当1
3
a b c ===
时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于
1
4
，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于1
4
，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.
点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
8．B
解析：B 【解析】
分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.
详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心. 本题选择B 选项.
点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
9．B
解析：B 【分析】
不妨假设2AD =，则51DG =-，故51
cos364
+︒=. 故选B.
10．D
解析：D 【解析】
甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）
乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球 故选D
点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.
11．B
解析：B 【解析】
从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的
14
．
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×
13S•r=13•S•h ，r=14
h ． （其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高） 故选B ．
点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的
1
4
，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 12．C
解析：C 【解析】
由题意得: 大前提是无限不循环小数都是无理数,选C.
二、填空题
13．【分析】根据题意共有项且各项的分母从变到故得到的代数式再用表示【详解】故答案为【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用考查了数列的递推式解题时要认真审题仔细解答注意公式的灵活运用 解析：
111
21221
k k k +-+++ 【分析】
根据题意()f k 共有k 项且各项的分母从1k +变到2k ，故得到()1f k +的代数式，再用
()f k 表示
【详解】
()11111232f n n n n n =+++++++， ()1111123
2f k k k k k
∴=
++++
+++ ()()()()()
111
1
1111213
21f k k k k k +=
+++
+
+++++++
111112342122k k k k k =
++++
++++++()111
21221
f k k k k =++-+++ 故答案为111
21221
k k k +-+++ 【点睛】
本题主要考查了数学归纳法的应用，考查了数列的递推式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．
14．【解析】分析：利用斜率公式可得利用点差法可得结果详解：设则②①②-①可得故故答案为点睛：本题主要考查斜率公式与点差法的应用属于中档题利用点差法解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代 解析：12
-
【解析】
分析：利用斜率公式可得222122
21PM PN
y y k k x x -⋅=-，利用“点差法”可得结果. 详解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()11,N x y --，
2221212122
212121PM PN
y y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-，
2211+121x y =，②22
22121
x y +=，① ∴②-①可得2221222112
y y x x -=--，
故1
2PM PN k k ⋅=-
，故答案为12
-. 点睛：本题主要考查斜率公式与“点差法”的应用，属于中档题. 利用“ 点差法”解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
15．13【解析】根据上面数表的数的排列规律13579…都是连续奇数第一行1个数第二行2=21个数且第1个数是3=22﹣1第三行4=22个数且第1个数是7=23﹣1第四行8=23个数且第1个数是15=24
解析：13 【解析】
根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，
第二行2=21个数，且第1个数是3=22﹣1 第三行4=22个数，且第1个数是7=23﹣1 第四行8=23个数，且第1个数是15=24﹣1 …
第10行有29个数，且第1个数是210﹣1=1023，
第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m=10，n=3， 所以m+n=13； 故填13．
16．【详解】这几个数是这样规律比较明显了即所以故填： 解析：
132
【详解】 这几个数是12345,,,,......2481632-
--，这样规律比较明显了，即()12
n
n n n a =-⋅，所以88125632a =
=，故填：132
. 17．【解析】依题意以此规律可推出故答案为 解析：()2017x
x e +
【解析】
依题意()()11x
x
x
f x e xe x e '
=+=+，
()()()()2112x x x x f x x e e x e x e '
⎡⎤=+=++=+⎣⎦，()()()()3223x x x x f x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦
，以此规律，可推出
()()20172017x f x x e =+，故答案为()2017x x e +.
18．1×2+2×3+⋅⋅⋅+n×(n+1)<(n+1)22【解析】不等式左边共有n 项相加第n 项是n(n+1)不等式右边的数依次是4292162252⋯(n+1)22 解析：
【解析】
不等式左边共有项相加，第项是
，不等式右边的数依次是
19．【解析】试题分析：前行共有=个数所以第个数是故答案为考点：1合情推理与演绎推理；2等差数列求和
解析：
262
n n -+ 【解析】
试题分析：前n 1-行共有123...++++1n -=
(1)
2
n n -(3)n ≥个数，所以第3个数是 ()21632
2n n n n --++=
．故答案为26
2
n n -+． 考点：1、合情推理与演绎推理；2等差数列求和．
20．【详解】试题分析：本题由算术—几何均值不等式改编而来观察两式可知即为被分成部分的分母乘积才可约去观察知被分成项乘积可得故答案应该填考点：合情推理 解析：n n
【详解】
试题分析：本题由算术—几何均值不等式.1212....n n n a a a n a a a +++≥.观察两式可知 a 即为x 被分成部分的分母乘积,才可约去.观察知x 被分成n 项x
n
,乘积可得 n a n = 故答案应该填n n . 考点：合情推理．
三、解答题
21．证明见解析. 【分析】
若1
04
c
<，要证{}n x 是递增数列．即证n x 对任意1n 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可． 【详解】 证明：若1
04
c <≤
，要证{}n x 是递增数列.
即2
10n n n x x x c +-=-+>，即证n x <1n ≥成立. 下面用数学归纳法证明：
当1
04
c <≤
时，n x 对任意1n ≥成立.
①当1n =时，11
02
x =<，结论成立
②假设当n k =（1k
，N k *∈）时结论成立，即k x <因为函数()2
f x x x c =-++在区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
内单调递增，
所以()1k k x f x f
+=<=
∴当1n k =+时，1k x +成立.
由①，②知，0n x <<1n ≥，N n *∈成立. 因此，2
1n n n n x x x c x +=-+>，即{}n x 是递增数列.
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
22．（1）函数()f x 在()1,-+∞上为增函数；证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）任取()12,1,x x ∈-+∞，通过计算得到()()210f x f x ->，由此证得()f x 在
()1,-+∞上为增函数.
（2）利用反证法，假设存在()0001x x <≠-，满足()00f x =.对0x 分成0
1
0x 和
01x <-两种情况进行分类讨论，推出矛盾，由此证得方程()0f x =没有负根.
【详解】
（1）函数在区间()1,-+∞上单调递增，证明如下： 任取()12,1,x x ∈-+∞， 不妨设12x x <，则210x x ->，
1a >，211x x a -∴>，且10x a >，
()2121110x x x x x a a a a -∴-=->.
又
1210,10x x +>+>，
()()()()()()
21122121122121221111x x x x x x x x x x -+--+--∴
-=++++ ()()()
21123011x x x x -=>++ 于是()()21
21212122
011
x x x x f x f x a a x x ---=-+
->++， 故函数()f x 在()1,-+∞上为增函数.
（2）假设存在()0001x x <≠-，满足()00f x =. ①若0000131
0,011,
1,
31
1
x x x x ，
则
000002133
12111x x x x x -+-==-<-+++，01x a <， ()00002
11
x x f x a x -∴=+
<-+与()00f x =矛盾. ②若01x <-，则
002
01
x x ->+，00x a >， ()00002
01
x x f x a x -∴=+
>+与()00f x =矛盾. 故方程()0f x =没有负数根. 【点睛】
本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查函数零点问题，属于中档题.
23．（1）11a =，22a =，33a =；（2）猜想：n a n =；证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）分别代入1,2,3n =，根据0n a >，解方程可求得结果；（2）猜想n a n =，验证
1n =时成立；假设n k =时成立，则1n k =+时，利用假设可证得结论成立，从而证得结
果. 【详解】
（1）当1n =时，2
3
1212a ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭
，又0n a > 11a ∴= 当2n =时，2
3
3
23122a ⋅⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得：22a =
当3n =时，2
3
3
3
341232a ⋅⎛⎫++= ⎪⎝⎭
，解得：33a = (2)猜想：n a n =
证明：（1）当1n =时，由（1）可知结论成立； （2）假设当n k =时，结论成立，即k a k =成立， 则当1n k =+时， 由()2
3331122k a k k ⎛⎫+++
+= ⎪⎝⎭
与()()2
3
133
21212k a k k +⎛⎫+++
++= ⎪⎝⎭
得：
()()()()()2
2
2
2
3
11212112222k k k a k a k a k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
()()()()
()
()()2
3
2
2
22
22
21241114412k a k k k k k k k k k +∴+=+++=+++=++ 又0n a > 11k a k +∴=+成立
根据（1）、（2）猜想成立，即：n a n = 【点睛】
本题考查数列中的项的求解、利用数学归纳法证明问题.利用数学归纳法证明时，要注意在证明1n k =+时结论成立时，必须要用到n k =时假设成立的结论，属于常规题型. 24．见解析. 【解析】
分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）
假设当()
*
,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．
详解：
证明：①当1n =时，左边111224
=
>，不等式成立. ②假设当()
*
,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，
即
11111112324
k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，
11111
2322122
k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 111
21221k k k ++-+++ 111112421221k k k >
++-+++， ∵
111
21221
k k k +-+++
()()()
()()
21212212121k k k k k +++-+=
++
()()
102121k k =
>++，
∴
11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124
k k k >
++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.
由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.
点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力． 25．（1）234212,,325a a a ===，猜想：22
n a n =+；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）由首项和递推公式写出数列的第2、3、4项，猜想数列的通项公式；（2）应用等差数列的定义写出三段论. 试题
（1）∵数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +==+，234212
,,325
a a a ===， 猜想：2
2
n a n =
+； （2）∵通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n n a a d +-=，d 是常数， 则{}n a 是等差数列，…大前提 又∵
1111
2
n n a a +-=为常数；…小前提 ∴数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列.…结论. 26．见解析. 【分析】
将代数式()()2
2
22a b +++展开，利用基本不等式()2
222
a b a b ++≥
可证出所证的不等
式. 【详解】
222a b ab +≥，(
)()2
22
2
2
22a b
a
b
ab a b ∴+≥++=+，则()
2
2212
2
a b a b ++≥=
，
()()()22
2212522484822
a b a b a b ∴+++=++++≥
++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()22
25222
a b +++≥
. 【点睛】
本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题．。