专题圆锥曲线(高三数学第二轮复习专题讲座)

数学专题复习系列

圆锥曲线

一、知识结构 1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.

点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；

点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0

两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔

f 2(x 0,y 0) =0

方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.

2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是

(x-a)2+(y-b)2=r 2

圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是

x 2+y 2=r 2

(2)一般方程

当D 2+E 2

-4F ＞0时，一元二次方程

x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是2

4F

-E D 22+.配方，将方程x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0化为

(x+2D )2+(y+2

E )2=44F

-E D 22+

当D 2

+E 2

-4F=0时，方程表示一个点

(-2D ,-2

E

); 当D 2

+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则

｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，

其中｜MC ｜=2

02

0b)-(y a)-(x +.

(3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=2

2

C Bb Aa B

A +++与半径r 的大小关系

来判定.

3.椭圆、双曲线和抛物线

椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件 点集：{M ｜｜MF 1｜+｜

MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜

2a}

点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜=±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形

标准方程 22a x +22b y =1(a ＞b ＞0) 22a x -22

b

y =1(a ＞0,b ＞0)

y 2=2px(p ＞0)

顶 点

A 1(-a,0),A 2(a,0);

B 1(0,-b),B 2(0,b)

A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)

轴 对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=

焦 点 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(

2

P

，0) 焦点对称轴上

焦 距

｜F 1F 2｜=2c ，

｜F 1F 2｜=2c,

曲

线 性 质

c=22b -a c=22b a

准 线

x=±c

a 2

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±c

a 2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

2

p 准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

离心率 e=

a c

,0＜e ＜1 e=

a

c

,e ＞1 e=1

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换

坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是(x ′,y ′).设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则

x=x ′+h x ′=x-h (1) 或(2)

y=y ′+k y ′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方 程

焦 点 焦 线

对称轴 椭圆

22h)-(x a +2

2

k)-(y b

=1 (±c+h,k)

x=±c a 2

+h

x=h y=k 22h)-(x b +2

2

k)-(y a =1 (h,±c+k) y=±c a 2

+k

x=h y=k 双曲线 22h)-(x a -2

2

k)-(y b =1

(±c+h,k)

=±c

a 2+k

x=h y=k