2019年河南省高考文科数学模拟试题与答案
(完整版)2019届河南省高考模拟试题精编(三)文科数学(解析版)
4 3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若 A，B，C，D 是椭圆上不重合的四个点， AC 与 BD 相交于点 F 1，A→C·B→D
页
5第
＝0，求 |A→C|＋|B→D|的取值范围．
x 21．(本小题满分 12 分 )已知函数 f(x)＝ ln x－1＋2x.
(1)求证： f (x)在区间 (0，＋∞ )上单调递增；
π3，故选
D.
1 4．解析： 选 B.由题意知马每日所走的路程成等比数列 {an}，且公比 q＝2，
S7＝ 700，由等比数列的求和公式得
1
a1 1－27
44 800
1 ＝700，解得 a1＝ 127 ，故选 B.
1－ 2
5.解析： 选 C.作出约束条件
x＋ y－2≥0 x－ 2y＋ 4≥0 x－ 2≤0
页
11第
A→B
·A→C＝
9 2.因为
|A→B
|＝
|A→C|，所以△
ABC
为等腰三角形，所以∠
ABC＝∠ BCA，
所以 C→B·C→A＝(C→A＋A→B) ·C→A＝C→A2＋A→B·C→A＝C→A2－A→B·A→C＝ 9－92＝92，故选 C.
7．解析： 选 D.模拟执行程序框图，可得 x＝ 2， y＝0，满足条件 y＜2 019，
(2)若 f [x(3x－2)]＜－ 13，求实数 x 的取值范围．
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分 10 分 )选修 4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，圆
O ： ρ＝ cos
θ＋ sin
θ和直线
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
解析：解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2 ．四棱锥的底面边 长为 4，高为 4．
几何体的体积为：
=
．
故选：A． 判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查复合函数单调性的简单应用，以新定义为载体，属于中档试题．
5.答案：B
解析：解：由①周期 T=π 可知，ω=2，A，B，C，D 都符合； ②图象关于（ ，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除 A，C；
③在[0， ]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除 D；
故选：B． 结合正弦，余弦函数的对称性及单调性对选项进行判断，即可求解． 本题主要考查了正弦，余弦函数的周期性，对称性及单调性等知识的简单应用，属于基础试题．
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中 e=2.71828…），根据
（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
A.
B.
C.
） D.
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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积 为（ ）
A.
B.
C.
D.
2019届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(四)
2019届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（四）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i+的虚部是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】21i 1i=-+，故虚部为1-．2．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．3．已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）．A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+35=-．4．阅读如图的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】第1步：16n =，2k =； 第2步：49n =，3k =； 第3步：148n =，4k =； 退出循环，4k =．5．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤则((3))f f =（ ）．A ．43B ．23C ．43-D ．3-【答案】A【解析】2(3)1log 3f =-，2222log 3log 324((3))223f f -===，选A ．6．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有：223a=，所以，3a =，因为1||2PF =．所以，点P 在双曲线的左支，故有21||||2PF PF a -=，解得：2||8PF =．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）．A ．14B ．716C ．12D ．916【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正， 只有1人站起来的可能有4种， 没有人站起来的可能有1种， 所以所求概率为：24171616P ++==． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如下图所示， 该几何体的俯视图为C ．C BAD P9．设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（ ）．A ．(0,0)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-或(1,1)-【答案】D 【解析】2()32f x x ax '=+，依题意，有：20000320003210x ax x y y x ax ⎧+=-⎪+=⎨⎪=+⎩， 解得：0011x y =⎧⎨=-⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA PB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）．A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P ABC -，如下图所示， 其外接球的直径为对角线PC，PCR =为：20π．P ABC11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（ ）．A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】π()4f x x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数为奇函数且0πϕ<<，所以，ππ4ϕ+=，即3π4ϕ=，所以，())f x x ω=，又2ππ2ω=，所以，4ω=，()f x x =，其一个单调增区间为π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知函数π1()cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ ）．A ．2016B ．1008C ．504D ．0【答案】B【解析】函数化为：1()sin 212x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭， 11(1)sin 122x f x x x -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，有：()(1)1f x f x +-=， 所以，201612016100820172k k f =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-，若()a a b -∥，则a b ⋅=__________． 【答案】52-【解析】(1,3)a b x -=-，因为()a a b -∥， 所以，32(1)0x +-=，解得：52x =，所以，55222a b ⋅=-=-．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________． 【答案】22(1)2x y +-=【解析】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)， 圆的半径为R 22(1)2x y +-=．15．满足不等式组(1)(3)0,0x y x y x a-++-⎧⎨⎩≥≤≤的点(,)x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值为__________．【答案】3【解析】不等式组化为：(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤≤或(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≤≤，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形ABC 、ADE ，(1,2)A ，(,1)B a a +，(3)C a -，面积为：11(22)(1)21522S a a =--+⨯⨯=，解得：3a =．16．在ABC △中，60ACB ∠=︒，1BC >，12AC AB =+，当ABC △的周长最短时，BC 的长是__________．【答案】1+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12160b c a C ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=︒⎪⎩，由余弦定理，得：2222cos c a b ab C =+-， 即2221122c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a a c a -+=-，ABC △的周长：122a b c a c ++=++2121212a a a a -+=++- 2632(1)a aa -=-． 令1t a =-，则三角形周长为：26(1)3(1)39932222t t t t t +-+=++≥， 当332t t =，即t =1a =时ABC △的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n =-∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =． 当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 所以1*222()n n n a n -=⨯=∈N ． （Ⅱ）因为12222n n n S a +=-=-， 所以12n n T S S S =+++2312222n n +=+++-4(12)212n n ⨯-=-- 2242n n +=--．18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图频率质量指标（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++样本容量）【解析】（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为0.48(0.0120.0320.052)50.5(0.0120.0320.0520.076)50.86=++⨯<<+++⨯=，则(0.0120.0320.052)50.076(205)0.5x ++⨯+⨯-=， 解得390019x =．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，【注意有文字】乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1(0.0120.028)55P =+⨯=乙，【注意有文字】于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲乙两条流水线生产的不合格品件数分别为35000150010⨯=，1500010005⨯=． （Ⅲ）22⨯列联表：则22100(350600)4 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072<，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．图1图2E CBAD（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =，AC 与其在平面ABD B到平面ADE 的距离． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ． 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥， 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D =，所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影AD ， 即CAD ∠为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CD CAD AD∠=，因为1AD =，所以CD =设(0)AB x x =>，则BD =因为ABD BDC △∽△，所以AB DC ADBD=，即1x解得x，故ABBD 3BC =．DABCE由于AB ⊥平面ADC ，AB AC ⊥，E 为BC 的中点， 由平面几何知识得322BC AE ==，同理322BC DE ==，所以112ADES =⨯△．因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅△设点B 到平面ADE 的距离为d ，则1132ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以d =，即点B 到平面ADE20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(2,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若P ，Q 是椭圆C 上两个不同的动点，且使PAQ ∠的角平分线垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为椭圆C，且过点(2,1)A ， 所以22411a b +=，c a = 因为222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=． （Ⅱ）法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，直线AQ 的方程为1(2)y k x -=-．设点(,)p P P x y ，(,)Q Q Q x y ， 由221(2),1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=．① 因为点(2,1)A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k--=+， 所以2288214P k k x k --=+． 同理2288214Q k k x k +-=+． 所以21614P Q k x x k -=-+． 又28(4)14P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P QPQ P Qy y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 法2：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即121211022y y x x --+=--，① 因为点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在椭圆C 上， 所以2211182x y +=，② 2222182x y +=．③ 由②得2211(4)4(1)0x y -+-=，得11111224(1)y x x y -+=--+，④ 同理由③得22221224(1)y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得12122204(1)4(1)x x y y +++=++， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑥由①得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑦⑥-⑦得12122()x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得1212121214()2y y x x x x y y -+=-=-+． 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值． 法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11y kx b =+，22y kx b =+，直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即12121122y y x x --=---， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y +-+-++=．把11y kx b =+，22y kx b =+代入上式，并化简得12122(12)()440kx x b k x x b +--+-+=．（*） 由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8480k x kbx b +++-=，（**） 则122841kb x x k +=-+，21224841b x x k -=+，代入（*）得2222(48)8(12)4404141k b kb b k b k k -----+=++， 整理得(21)(21)0k b k -+-=， 所以12k =或12b k =-． 若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意． 若12k =时，合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0)a f x x a x=+>． （Ⅰ）若函数()f x 有零点，其实数a 的取值范围． （Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e x f x ->． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞． 由()ln a f x x x =+，得221()a x a f x x x x-'=-=． 因为0a >，则(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．当x a =时，[]min ()ln 1f x a =+．当ln 10a +≤，即10ea <≤时，又(1)ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 法2：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞． 由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-． 令()ln g x x x =-，则()(ln 1)g x x '=-+． 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<． 所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 故1e x =时，函数()g x 取得最大值1111ln e e e eg ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10ea <≤． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． （Ⅱ）要证明当2ea ≥时，()e x f x -=， 即证明当0x >，2e a ≥时，ln e x a x x-+>，即ln e x x x a x -+>． 令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+． 当10e x <<时，()0f x '<时；当1ex >时，()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 当1e x =时，[]min 1()eh x a =-+． 于是，当2e a ≥时，11()e eh x a -+≥≥．① 令()e x x x ϕ-=，则()e e e (1)x x x x x x ϕ--'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减．当1x =时，[]min 1()ex ϕ=． 于是，当0x >时，1()ex ϕ≤．② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当2ea ≥时，()e x f x ->．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线π:4C ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44θθ⎫=+⎪⎭ 2cos 2sin θθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （Ⅱ）设曲线C上的点为(1,1)P αα， 则点P 到直线l的距离为d =当πsin 14α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若(1)3f <，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）若1a ≥，x ∈R ，求证：()2f x ≥．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为(1)3f <，所以|||12|3a a +-<． ①当0a ≤时，得(12)3a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤． ②当102a <<时，得(12)3a a +-<，解得2a >-，所以102a <<． ③当12a ≥时，得(12)3a a --<，解得43a <，所以1423a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为1a ≥，x ∈R ．所以()|1||2||(1)(2)|f x x a x a x a x a =+-+-+---≥|31|=-a=-≥．312a。
2019年河南省六市高考数学二模试卷（文科）
一、选择麒本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.（5分）已知集合A={x\Q<x<4}.8={血=2〃+1,〃任N*},则AA8等于（A. {1，3}B.{1，2,3}C.（3}D.{1}【解答】解：集合A={M0VxV4},8={血=2〃+1・n€N*）,:.AC\B={3}.故选：C.2.（5分）己知复数z=2+m（KR）,则l（l・i）zl=4.则〃的值为（）A. 2B.±2C.0D.±1【解答】解：Vz=2+tn,A(1-/)z=(1・i)(2+〃i)=(2+")+(u-2)i,由1(1—)d=4.得J(2+a)2+(q-2尸=4.解得〃=±2.故选：B.3.(5分)在平面直角坐标系By中，角a、0的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非仇半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A、8两点，若点A、8的坐标分别为(j.I) 和(一普，则sin(a+p)的值为()247 ?4 A•云 B. C.0 D.-方3 4 424【解答】解：由题意点A、8的坐标分别为(厂了和(一寻，少，可得：sina=§ cosa=3・c34了，sm°=$,cosp= —则sin(a+P)=sinacosp+cosasinp=—故选：B.x>04・（5分）己知A/（・4,0）,N（0.-3）,P Sy）的坐标x,）•满足y>0,则3x+4y<12△PMN面积的取值范围是（）25A.[12,241B.[12.25]C.|6.12]D.血—]x>0【解答】解：由约束条件y>o作出可行域如图・3%+4y<12»4由图可知，当P在。
处时.△PMN面积有最小值为|x3X4=6；当P位于直线3xZy=12在可行域内的部分时，P到"所在直线的距离为d=彗，△PMN面积有最大值为!X5X?=12.L4PMN而积的取值范围是|6>12].故选：C.5.（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生.80后指1980-1989年之间出生.80前指1979年及以前出生.时后从事互联网行业岗位分布囹其他□1.6%A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联阳行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%X39.6%=22.176%>20%，互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%.故8正确：在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、9。
2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x ∈N *|x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{2，3}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{1，2，3} C ．[﹣1，2]D ．[﹣1，3]【解答】解：A ＝{x ∈N *|﹣1≤x ≤2}＝{1，2}，B ＝{2，3}； ∴A ∪B ＝{1，2，3}． 故选：B ．2．（5分）若复数z 为纯虚数且（1+i ）z ＝a ﹣i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），则|a +z |＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【解答】解：由（1+i ）z ＝a ﹣i ，得z =a−i1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=(a−1)−(a+1)i2， ∵复数z 为纯虚数， ∴{a −1=0a +1≠0，解得a ＝1． ∴z ＝﹣i ，则|a +z |＝|1﹣i |=√2． 故选：A ．3．（5分）为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计该校上学期400名教师中使用多媒体进行教学次数在[16，30）内的人数为（ ）A ．100B ．160C ．200D ．280【解答】解：由茎叶图可知，样本中教学次数在[16，30）的人数为8人，则教学次数在[16，30）的频率为820=25，所以可估计该校上学期400名教师中使用多媒体进行教学次数在[16，30）内的人数为25×400=160人．故选：B ． 4．（5分）已知椭圆x 211−m+y 2m−3=1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）A ．5B ．6C ．9D ．10【解答】解：椭圆x 211−m+y 2m−3=1，长轴在y 轴上，焦距为4，可得√m −3−11+m =2，解得m ＝9． 故选：C ．5．（5分）已知f （x ）={(3−a)x ，x ∈(−∞，1]a x ，x ∈(1，+∞)是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（ ） A ．（0，3）B ．（1，3）C ．（1，+∞）D ．[32，3)【解答】解：由题意得： {3−a ＞0a ＞13−a ≤a ，解得：32≤a ＜3， 故选：D ．6．（5分）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →=a →，BD →=b →，则AF →=（ ） A ．14a →+12b → B ．23a →+13b → C ．12a →+14b → D ．13a →+23b →【解答】解：∵由题意可得△DEF ∽△BEA ， ∴DE EB =DF AB =13，再由AB ＝CD 可得DF DC=13，∴DF FC=12．作FG 平行BD 交AC 于点G ， ∴FG DO=CG CO =23，∴GF →=23OD →=13BD →=13b →．∵AG →=AO →+OG →=AO →+13OC →=12AC →+16AC →=23AC →=23a →， ∴AF →=AG →+GF →=23a →+13b →，故选：B ．7．（5分）函数f （x ）=√3sin2x ﹣2sin 2x ，（0≤x ≤π2）则函数f （x ）的最小值为（ ） A ．1B ．﹣2C ．√3D ．−√3【解答】解：∵f （x ）=√3sin2x ﹣2sin 2x ， =√3sin2x +cos2x −1 ＝2sin （2x +π6）﹣1 ∵0≤x ≤π2∴π6≤2x +π6≤76π∴−12≤sin(2x +π6)≤1 ∴﹣2≤f （x ）≤1则函数f （x ）的最小值为﹣2 故选：B ．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（ ）A ．4πB ．4√3πC ．43πD ．83π【解答】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示： 其中P A ⊥底面ABCD ，是正方体的一部分，棱长为：2，棱锥的外接球就是正方体的外接球，球的直径为：√22+22+22=2√3，∴外接球半径R =√3．∴外接球的体积V =43πR 3=4√3π． 故选：B ．9．（5分）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P ，Q ，R 分别是棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1的中点，以△PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ）A ．√22B ．√2C ．√33D ．√32【解答】解：连结A 1C ，AC ，B 1C ，D 1C ，分别取AC ，B 1C ，D 1C 的中点E ，F ，G ，连结EF ，EG ，FG ． 由中位线定理可得PE ∥=A 1C ，QF ∥=A 1C ，RG ∥=A 1C ．又A 1C ⊥平面PQR ，∴三棱柱PQR ﹣EFG 是正三棱柱． ∴三棱柱的高h ＝PE =12A 1C =√32． 故选：D ．10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈√169V 3．人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）A ．d ≈√169V 3B ．d ≈√2V 3C ．d ≈√300157V 3D ．d ≈√2111V 3【解答】解：由V =43π(d 2)3，解得d =√6V π3设选项中的常数为ab，则π=6ba选项A 代入得π=6×916=3.375；选项B 代入得π=62=3； 选项C 代入得π=6×157300=3.14；选项D 代入得π=11×621=3.142857 由于D 的值最接近π的真实值 故选：D ．11．（5分）在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B （2﹣cos C ）＝sin 2C2+12，则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形【解答】解：将已知等式2a cos B ＝c ，利用正弦定理化简得：2sin A cos B ＝sin C ， ∵sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ，∴2sin A cos B ＝sin A cos B +cos A sin B ，即sin A cos B ﹣cos A sin B ＝sin （A ﹣B ）＝0， ∵A 与B 都为△ABC 的内角， ∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ，已知第二个等式变形得：sin A sin B （2﹣cos C ）=12（1﹣cos C ）+12=1−12cos C ， −12[cos （A +B ）﹣cos （A ﹣B ）]（2﹣cos C ）＝1−12cos C ， ∴−12（﹣cos C ﹣1）（2﹣cos C ）＝1−12cos C ， 即（cos C +1）（2﹣cos C ）＝2﹣cos C ，整理得：cos 2C ﹣2cos C ＝0，即cos C （cos C ﹣2）＝0， ∴cos C ＝0或cos C ＝2（舍去）， ∴C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）={|x|−3，x ≤3−(x −3)2，x ＞3，函数g （x ）＝b ﹣f （3﹣x ），其中b ∈R ，若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(−114，+∞)B ．(−3，−114)C ．(−∞，−114)D ．（﹣3，0）【解答】解：∵f （x ）={|x|−3，x ≤3−(x −3)2，x ＞3，∴f （3﹣x ）={|3−x|−3≥0，x ≥0−x 2，x ＜0，由y ＝f （x ）﹣g （x ）＝f （x ）+f （3﹣x ）﹣b ＝0， 得b ＝f （x ）+f （3﹣x ），令h （x ）＝f （x ）+f （3﹣x ）={−x 2−x −3，x ＜0−3，0≤x ≤3−x 2+7x −15，x ＞3，函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即y ＝b 与h （x ）＝f （x ）+f （3﹣x ）的图象有4个不同交点， 作出函数图形如图： 结合函数的图象可得， 当﹣3＜b ＜−114时，函数y ＝f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点， ∴实数b 的取值范围是（﹣3，−114）． 故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量a →=(1，−1)，b →=(t ，2)，若(a →+b →)∥(a →−b →)，则实数t ＝ ﹣2 ． 【解答】解：a →+b →=(1+t ，1)，a →−b →=(1−t ，−3)； ∵(a →+b →)∥(a →−b →)； ∴﹣3（1+t ）﹣（1﹣t ）＝0； 解得t ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．（5分）已知tan(α+π4)=2，则2sinα3sinα+cosα=13．【解答】解：∵tan(α+π4)=2，则tanα+tanπ41−tanα⋅tanπ4=tanα+11−tanα=2，∴解得：tan α=13，∴2sinα3sinα+cosα=2tanα3tanα+1=2×133×13+1=13．故答案为：13．15．（5分）已知F 是双曲线x 24−y 212=1的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|P A |的最小值为 9 ．【解答】解：∵A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F ′（4，0）， ∴由双曲线性质|PF |﹣|PF ′|＝2a ＝4 而|P A |+|PF ′|≥|AF ′|＝5两式相加得|PF |+|P A |≥9，当且仅当A 、P 、F ′三点共线时等号成立． 故答案为9．16．（5分）已知函数f （x ）＝x +sin x （x ∈R ），且f （y 2﹣2y +3）+f （x 2﹣4x +1）≤0，则当y ≥1时，y x+1的取值范围是 [14，34] ．【解答】解：∵f （x ）＝x +sin x （x ∈R ）， ∴f （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣（x +sin x ）＝﹣f （x ）， 即f （x ）＝x +sin x （x ∈R ）是奇函数， ∵f （y 2﹣2y +3）+f （x 2﹣4x +1）≤0，∴f （y 2﹣2y +3）≤﹣f （x 2﹣4x +1）＝f [﹣（x 2﹣4x +1）]，由f '（x ）＝1+cos x ≥0， ∴函数单调递增．∴（y 2﹣2y +3）≤﹣（x 2﹣4x +1）， 即（y 2﹣2y +3）+（x 2﹣4x +1）≤0， ∴（y ﹣1）2+（x ﹣2）2≤1， ∵y ≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．y x+1的几何意义为动点P （x ，y ）到定点A （﹣1，0）的斜率的取值范围．设k =yx+1，（k ＞0） 则y ＝kx +k ，即kx ﹣y +k ＝0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d =√1+k =√1+k =1，即8k 2﹣6k ＝0，解得k =34．此时直线斜率最大．当直线kx ﹣y +k ＝0．经过点B （3，1）时，直线斜率最小， 此时3k ﹣1+k ＝0，即4k ＝1，解得k =14， ∴14≤k ≤34，故答案为[14，34]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列． （1）求d ，a n ；（2）若d ＜0，求此数列前n 项的和S n 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得到：(2a 2+2)2=5a 1a 3⇒4(a 1+d +1)2=50(a 1+2d)⇒(11+d)2=25(5+d)⇒121+22d +d 2=125+25d ⇒d 2−3d −4=0⇒{d =4a n =4n +6或{d =−1a n =11−n； （Ⅱ）由（1）知，当d ＜0时，a n ＝11﹣n ，a n ≥0⇒n ≤11 故（S n ）max ＝S 11＝55．18．通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下2×2列联表：男生 女生 合计 挑同桌 30 40 70 不挑同桌 20 10 30 总计5050100（Ⅰ）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率； （Ⅱ）根据以上2×2列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考： P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A 、B 、C ，不挑同桌有2人，记为d 、e ； 从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，Ade ，BCd ，BCe ，Bde ，Cde 共10种； 这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为 ABC ，ABd ，ABe ，ACd ，ACe ，BCd ，BCe ，共7种； 故所求的概率为P =710；（Ⅱ）根据以上2×2列联表，计算观测值K 2=100×(30×10−20×40)270×30×50×50≈4.7619＞3.841，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关． 19．在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，△P AD 是等边三角形，已知AD ＝2，BD =2√3，AB ＝2CD ＝4（1）设M 是PC 上一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； （2）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．【解答】证明：（1）在△ABD 中， ∵AD ＝2，BD =2√3，AB ＝2CD ＝4， ∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BD ⊥平面P AD ，又BD ⊂平面BDM ，∴平面MBD ⊥平面P AD ． 解：（2）取AD 中点为O ，则PO 是四棱锥的高，PO =√4−1=√3，S △ABD =12×AD ×BD =12×2×2√3=2√3， 底面ABCD 的面积是△ABD 面积的32，即3√3，∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积为V =13×3√3×√3=3．20．已知圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝9，M 在抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上，圆M 过原点且与C 的准线相切． （Ⅰ） 求C 的方程；（Ⅱ） 点Q （0，﹣t ）（t ＞0），点P （与Q 不重合）在直线l ：y ＝﹣t 上运动，过点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．求证：∠AQO ＝∠BQO （其中O 为坐标原点）． 【解答】解：（I ）解法一：因为圆M 的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，故b=3−p2，（1分）因为圆过原点，所以a2+b2＝9，所以a2=3p−p24，（2分）又a2＝2pb，所以3p−p24=2p(3−p2)，（3分）因为p＞0，所以p＝4，所以抛物线C方程x2＝8y．（4分）解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆M必过抛物线的焦点(0，p2)，（1分）又圆M过原点，所以b=p4，（2分）又圆的半径为3，所以a2=9−p216，又a2＝2pb，（3分）又9−p216=p22，得p2＝16（p＞0），所以p＝4．所以抛物线C方程x2＝8y．（4分）解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以b=3−p2，（1分）且圆过(0，p2)又圆过原点，故b=p4，可得3−p2=p4，（3分）解得p＝4，所以抛物线C方程x2＝8y．（4分）（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），C方程为y=18x2，所以y′=14x，（5分）∴抛物线在点A处的切线的斜率k=14x1，所以切线P A方程为：y﹣y1=14x1(x−x1)即y−18x12=14x1(x−x1)，化简得y=14x1x−18x12（6分）又因过点P（m，﹣t），故可得﹣t=14x1m−18x12（7分）即x12﹣2mx1﹣8t，同理可得x22﹣2mx2﹣8t（8分）所以x1，x2为方程x2﹣2mx﹣8t＝0的两根，所以x1+x2＝2m，x1x2＝﹣8t，（9分）因为Q（0，﹣t），所以k AQ+k BQ=y1+tx1+y2+tx2=x12+8t8x1+x22+8t8x2=x1x2(x1+x2)+8t(x1+x2)8x1x2=−16mt+16mt8×(−8t)=0所以∠AQO＝∠BQO．（12分）21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣1（x∈R）．（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为e，求a的值；（2）若0≤a ≤e 2，求证：当x ＞0时，f （x ）的图象恒在x 轴上方．【解答】解：（1）函数f （x ）＝e x ﹣ax 2﹣1（x ∈R ）．可得f '（x ）＝e x ﹣2ax ，曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线的斜率为e ，∴f '（1）＝e ﹣2a ＝e ，∴a ＝0．（2）f '（x ）＝e x ﹣2ax ，令h （x ）＝f '（x ），h '（x ）＝e x ﹣2a ，（ⅰ）当0≤a ≤12时，h '（x ）＞0，f '（x ）单调递增，f '（x ）＞f '（0）＝1，f （x ）单调递增，f （x ）＞f （0）＝0，满足题意．（ⅱ）当12＜a ≤e 2时，h '（x ）＝e x ﹣2a ＝0，解得x ＝ln 2a ． 当x ∈（0，ln 2a ），h '（x ）＜0，f '（x ）单调递减；当x ∈（ln 2a ，+∞），h '（x ）＞0，f '（x ）单调递增，此时f′(x)min =f′(ln2a)=e ln2a −2aln2a =2a(1−ln2a)，∵a ≤e 2，1﹣ln 2a ≥0，即f '（x ）min ＞0，∴f （x ）单调递增，f （x ）＞f （0）＝0，满足题意．综上可得：当0≤a ≤e 2且x ＞0时，f （x ）的图象恒在x 轴上方．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα（α为参数），以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 1、C 2的公共点为A 、B ．（Ⅰ）求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若点C 、D 分别为曲线C 1、C 2上的动点，当|CD |取最大值时，求四边形ACBD 的面积．【解答】解：（I ）曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα（α为参数），消去参数化为：x 2+（y ﹣1）2＝1．曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化为普通方程：x 2+y 2＝4x ． 上述两个方程相减可得：2x ﹣y ＝0．则直线AB的斜率为2．（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时，线段CD取得最大值，此时|CD|＝3+√12+22=√5+3．|AB|＝2√12−(15)2=5．直线C1•C2的方程为：y=−12x+1，可得C1•C2⊥AB．∴当|CD|取最大值时，四边形ACBD的面积S=12|AB|•|CD|=125（3+√5）＝2+6√55．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≤−12时，f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2，由f（x）≥2解得x≤﹣4，综合得x≤﹣4；当−12＜x＜1时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，由f（x）≥2解得x≥23，综合得23≤x＜1；当x≥1时，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，由f（x）≥2解得x≥0，综合得x≥1．所以f（x）≥2的解集是(−∞，−4]∪[23，+∞)．（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，∴当x∈[3，4]时，|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3，即|x﹣m|≤x+4，∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3，4]上恒成立，显然当x＝3时，2x+4取得最小值10，即m的取值范围是[﹣4，10]．。
2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷和答案(文科)
17．在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1，2a2+2，5a3 成等比数列． （1）求 d，an； （2）若 d＜0，求此数列前 n 项的和 Sn 的最大值．
18．通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 2×2 列联表：
男生
女生
合计
挑同桌
30
40
第 1 页（共 14 页）
A．1
B．﹣2
C．
D．﹣
8．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个
几何体的外接球体积为（ ）
A．4π
B．
C．
D．
9．（5 分）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P，Q，R 分别是棱 A1A，A1B1，A1D1 的中点，以△PQR 为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体 的表面上，则这个正三棱柱的高为（ ）
同桌”有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0） 0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：
，其中 n＝a+b+c+d）
第 3 页（共 14 页）
19．在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥CD，△PAD 是等边三角形，已
a 的取值范围是（ A．（0，3）
） B．（1，3）
C．（1，+∞）
D．
6．（5 分）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长
2019年高考模拟豫科名校大联考数学(文科)含答案
2019年高考模拟数学（文科）模拟试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1．已知复数z 满足13ii 1iz +=++，则z =（ ） A ．2B ．22C ．5D ．82．已知集合{}220A x x x =--<，{}03B x x =<<，则A B =I （ ） A ．()0,2B ．()0.3C ．()1,3-D ．()0,13．已知数列{}n a 的奇数项依次成等比数列，偶数项依次也成等比数列，且公比相同．若12a =，21a =，346a a +=，则910a a +=（ ）A ．12B ．18C ．24D ．484．下图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天 B ．这15天日平均温度的极差为15℃ C ．由折线图能预测16日温度要低于19℃ D ．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数 5．已知1cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．79-B ．29C ．79D ．429±6．已知函数()2log f x x =与函数()y g x =的图象关于直线y x =对称，且()()1f a f b +=，则()g ab = A ．0B ．1C ．2D ．47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．2B ．3C ．3262D ．98．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≤时，()()2ln 1f x x x =-+-，设()()0.20.2a f-=，()5log 2b f =-，()0.53c f -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b <<9．已知抛物线C ：()220x py p =>，过点10,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，若直线AB 经过抛物线C 的焦点，则抛物线C 的方程为（ ） A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y =D ．2x y =10．为了得到函数cos 23πy x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点（ ）A ．向右平移π个单位B ．向左平移π个单位C ．向右平移2π个单位 D ．向左平移2π个单位 11．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率157e =．点P 为双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>的一条渐近线与椭圆1C 的一个交点，且满足12PF PF +，则双曲线2C 的离心率2e =（ ）A ．75B ．257C ．43D ．252412．数列{}n a 中，112a =，()()*111n n n na n a n na ++=∈+N ，若不等式()24110n n ta n n++-≥对所有的正奇数n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．28,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],9-∞C ．(],10-∞D ．[)9,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足220,210,20,x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则222x y y ++最大值为__________．14．已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r，PC PA PB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=__________．15．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________． 16．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题：共70分．17．在ABC △中，()()2sin cos sin C A A C A C +-+=（1）求角B 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，3AD =，2BD =，求cos C 的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △为正三角形，CD CB =，120BCD ∠=︒，2AB PB PD ===，PA =M 为线段PA 的中点．（1）求证：DM P 平面PBC ；（2）求证：：PA ⊥平面BDM ；（3）求三棱锥P BDM -的体积．19．微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下：（1）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高； （2）利用分层抽样的方法，从步数在0.4 1.2x <≤（万步）中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求步数在0.8 1.2x <≤（万步）的人恰有1人的概率；（3）这100名用户中，60%的用户为男生，这些男生的步数超过1.2万步的人为20人，是否有95%的把握认为运动步数超过1.2万步与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知椭圆C :()222210y x a b a b+=>>上任意一点到两个焦点的距离和为4，且离心率为2．（1）求椭圆C 的方程．（2）过()0,1P 作互相垂直的两条直线分别与椭圆C 交于A ，B 和D ，E ，设AB 中点为M ，DE 中点为N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．21．已知函数()ln f x x x =，()1sin g x x =-．（1）求()f x 在点()1,0处的切线；（2）研究函数()f x 的单调性，并求出()f x 极值；（3）求证；()()0f x g x +≥．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0πα≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值．23．[选修4-5:不等式选讲]已知函数()212f x x x =-+-．（1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．数学（文科）A 卷参考答案13．814．1- 1516．()0,117．解：（1）由题意知，2sin cos sin cos sin cos C A A C C A B +-+=即sin cos sin cos A C C A B ++=()sin A C B += 又A C πB +=-，所以sin B B +=，即2sin 3πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 32πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 又4,334πππB ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以233ππB +=，3πB =． （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin BAD ∠=cos BAD ∠=，sin sin 22sin cos 2BAC BAD BAD BAD ∠=∠=∠⋅∠==， 221cos 2cos 12133BAC BAD ⎛∠=∠-=⋅-= ⎝⎭．所以21cos cos cos 322πC BAC BAC BAC ⎛⎫=-∠=-∠+∠⎪⎝⎭．11123236⎛⎫=-⋅+=⎪⎝⎭． 18．（1）证明：取AB 的中点N ，连接MN ，DN ，则MN PB P ． 又CD CB =，120BCD ∠=︒，所以30CBD ∠=︒，BC AB ⊥．又AD AB ⊥，所以BC DN P ．又MN DN N =I ，PB BC B =I ， 所以平面DMN P 平面PBC ．又DM ⊂平面PBC ，所以DM P 平面PBC ． （2）连接AC ，设AC BD O =I ， 则O 为BD 中点，BD AO ⊥． 又PB PD =，知BD PO ⊥．又AO PO O =I ，所以BD ⊥平面PAO ，所以BD PA ⊥．由已知得2AB BD AD PB PD =====，所以，AO PO ==又PA =222AO PO PA +=，所以PO AO ⊥．又M 为PA 中点，所以OM PA ⊥．OM BD O =I ，所以PA ⊥平面BDM ．（3）由（2）知AO PO ⊥，AO BD ⊥，所以AO ⊥平面PBD ，AO =11222PBD S BD PO =⋅=⨯=△所以11133A PBD PBD V AO S -=⋅==△． 所以1122P BDM M PBD A PBD V V V ---===． 19．（1）第一组的频率为50.05100=， 所以在频率分布直方图中，第一组的高度为0.050.1250.4=． 同理可知第二组、第三组、第四组、第五组、第六组的高度分别为0.5，1.25，0.375，0.125，0.125．频率分布直方图如图所示．（2）由题意知抽取的7人中，有2人的步数属于(]0.4,0.8，记这两个人为A ，B ，另外5人的步数属于(]0.8,1.2，记这5个人分别为a ，b ，c ，d ，e ．记“从这7人中随机抽取2人，恰有1人的步数在(]0.8,1.2中”为事件M ．所有基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ae ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Be ，ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 如共21个，其中事件M 包含的事件有Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ae ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Be ，共10个， 所以事件M 的概率为()1021P M =． （3）这100用户中，男生有60人，步数超过1.2万步的有20人，不超过1.2万步的有40人； 女生共有40人，步数超过1.2万步的有5人，不超过1.2万步的有35人，所以()21002035405505.556604025759k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯．因为5.556 3.841>，所以有95%的把握认为运动步数超过1.2万步与性别有关． 20．解：（1）由题意知24a =，所以2a =．又c e a ==，知c = 所以2221b a c =-=，所以1b =．故椭圆C 的方程为2214y x +=． （2）若直线AB 斜率存在且不为0．设直线AB 的方程为1y kx =+，与椭圆方程2214y x +=联立得()224230k x kx ++-=， 显然0∆>，设A ，B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，AB 中点R 坐标为()00,x y ， 则120224x x k x k +-==+，002414y kx k =+=+， 即224,44k M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭． 同理可得，2224,1414k k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭， ()22222244411445144MNk k k k k k k k k k --++==+++． 直线MN 的方程为()222414454k k y x k k k -⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭， 整理得()241455k y x k-=+．当直线AB 斜率不存在或为0时，直线MN 即为y 轴，也过点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上，直线MN 过定点40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，对()f x 求导得()ln 1f x x '=+， 所以()11f '=，又()10f =，所以()f x 在点()1,0处的切线方程为1y x =-． （2）由()0f x '=，得1ex =． 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．()f x 的极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 无极大值． （3）令()()()10G x f x x x =-+>，()()sin 0h x x x x =->，则 ()ln G x x '=，()10G '=，且当()0,1x ∈时，()0G x '<； 当()1,x ∈+∞时，()0G x '>．所以()()()min 10G x G x G ≥==，当且仅当1x =时等号成立．即()10f x x -+≥．①()1cos 0h x x '=-≥所以()h x 在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h ≥=，即sin 0x x -≥．②所以①+②得()1sin 0f x +-≥，所以()()0f x g x +≥恒成立．22．解：（1）曲线22123sin ρθ=+，即2223sin 12ρρθ+=， 由于222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以223412x y +=，即22143x y +=． （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22412x y +=中， 得()223sin 6cos 90t t αα++-=， ()2236cos 363sin 0αα∆=++>，设两根分别为1t ，2t ，则 1226cos 3sin t t αα-+=+，122903sin t t α-=<+， ∴1212121211MA MB t t t t MA MB MA MB t t t t ++-+===⋅，12t t +===2123sin α=+．所以212122121143sin 933sin t t MA MB t t αα-++===+． 23．解：（1）当2x ≥时，334x -≥，解得73x ≥． 当122x <<时，14x +≥，解得x ∈∅． 当12x ≤时，334x -+≥，解得13x ≤-． 综上，原不等式的解集为1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭． （2）()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴32m =．∴233a b c ++=． 由柯西不等式，有()()()222222212323a b ca b c ++++≥++， ∴222914a b c ++≥． 当且仅当23b c a ==，即314a =，37b =，914c =时，等号成立． ∴222a b c ++的最小值为914．。
2019届河南省高考模拟试题精编(八)文科数学(解析版)
2019届河南省高考模拟试题精编(八)文科数学(考试用时：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．))＝(N ∩M 0}，则≤－12x |x ＝{N ＜1}，集合x 2|log x ＝{M 若集合．1 A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |－1≤x ＜2} C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |0＜x ≤1} 2．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差 3．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i(i 为虚数单位)，记z ＝a ＋b i ，z 的) ＝(错误!的共轭复数，则z 是z )，z 虚部为Im( A ．－2－i B ．－1＋2i C ．2＋iD ．－1－2i 4．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为( )A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.4 )的最小值为－2，最π2|＜φ＞0，|ω＞0，A )(φ＋ωx sin(A )＝x (f 5．已知函数小正周期为π，f (0)＝1，则f (x )在区间[0，π]上的单调递减区间为( )⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23πB. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，πC. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D. x22：C 双曲线)是0y ，0x (P 6．已知PF2→·PF1→的左、右焦点．若C 分别是双曲线2F 、1F ＝1上的一点，2y －)的取值范围是(0x 0，则≥ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－263，263A.⎝⎛⎭⎪⎫－263，263B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫263，＋∞∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－263C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫263，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－263D. )＋1(y ＋x ＝3z 则⎩⎨⎧y≥1，y≥2x －1，x ＋y≤3，满足y ，x 7．已知实数203A ．有最大值203B ．有最小值203C ．有最大值8，最小值D ．有最大值8，最小值5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0)，在区间x (′f )＋x (f )＝2x (g ，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3)＝sinx (f 8．已知) 的概率为(6不小于)的值x (g ，则x 上任取一个实数 16A.38B.14C.18D. 9．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )a b，c ，b ，a 别是所对的边分C ，B ，A 中，角ABC △10．已知在)为(S 的面积ABC △边上的中线长为4，则BC ，π6＝A ，cos A cos B ＝837A.1637B.487C.247D. 11．已知函数f (x )＝|x ＋1－m |的图象与函数g (x )的图象关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[2,3] ) ∞[4，＋∪⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C.)∞D ．[4，＋y23＋x24：C 分别为椭圆2F ，1F 12．设∠的平分线与2F 1PF ∠上位于第一象限内的一点，C 为椭圆P ＝1的左、右焦点，|F1Q||F1P|＋|PQ||PI|，则Q 轴相交于点x 与PI ，直线I 的平分线相交于点1F 2PF 的值为( )2A.B ．232C.52D. 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)19＋OA →13＝OC →，π3＝AOB ∠|＝3，OB →)，|3＝(－1，OA→已知．13＝________.OC→·OB →，则OB → ＝________.α＋sin 2α2，则sin α－2＝2cos 2α14．已知sin 2 15．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1可能的最大值是__2s ，那么这组数据的方差______．16．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的四点，SA⊥平面ABC ，AB⊥的表面积为________．O ，则球2＝BC ＝1，AB ＝SA .若BC 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．S＝－9，7a ＋1a ，且满足n S 项和为n }的前n a 分12分)等差数列{17．(本小题满.992＝－9 }的通项公式；n a (1)求数列{ .34＞－n T ，求证：n T 项和为n }的前n b ，数列{12Sn ＝n b (2)设 18．(本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表：特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 x 555 559 551 563 552 y6598(1)从5600的概率；b^＝y^的线性回归方程x 关于y (2)求特征量的值．y 为570时，特征量x ；并预测当特征量a ^＋x )错误!错误!－错误!＝错误!，错误!＝b ^(附： 19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3.(1)证明：平面ACF ⊥平面BEFD .(2)若cos ∠BAD ＝15，求几何体ABCDEF 的体积．20．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，C 1，C 2交于O ，A 两点(O 为坐标原点)，且F 1F 2⊥OA .(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，点P 的坐标为(－1，－1)，求△PMN 的面积的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x＋(1－a )ln x ＋ax ，g (x )＝1x－(a ＋1)ln x ＋x 2＋ax －t (a ∈R ，t ∈R)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)记h (x )＝f (x )－g (x )，若函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数t 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋2a ，a ∈R.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (3－x )，求f (x )＋4＜0的解集； (2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤|2x ＋1|＋a 成立，求实数a 的取值范围．高考文科数学模拟试题精编(八)班级：___________ 姓名：____________ 得分：________________请在答题区域内答题高考文科数学模拟试题精编(八)1．解析：选D.由题意得，M ＝(0,2)，N ＝[－1,1]，故M ∩N ＝(0,1]，选D. 2．解析：选D.由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A 样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D.3．解析：选 A.由(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，得a ＋1＋(1－a )i ＝3＋b i ，则⎩⎨⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以z ＝2－i ，则错误!＝错误!＝－2－i.4．解析：选D.输入x ＝2.4，则y ＝2.4，x ＝[2.4]－1＝1＞0，∴x ＝y2＝1.2；y ＝1.2，x ＝[1.2]－1＝0，∴x ＝y2＝0.6；y ＝0.6，x ＝[0.6]－1＝－1＜0，则输出z的值为：z ＝x ＋y ＝－1＋0.6＝－0.4，故选D.5．解析：选B.由函数f (x )的最小值为－2，A ＞0，得A ＝2.∵f (x )的最小正周期T ＝π，ω＞0，∴ω＝2πT ＝2.又f (0)＝1，∴2sin φ＝1，即sin φ＝12.又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ.又x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π上是减函数，故选B.6．解析：选C.由双曲线方程可求出F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴PF1→＝(－3－x 0，－y 0)，PF2→＝(3－x 0，－y 0)，∴PF1→·PF2→＝(－3－x 0，－y 0)(3－x 0，－y 0)≥0，即x 20－3＋y 20≥0.∵点P (x 0，y 0)在双曲线上，∴x202－y 20＝1，即y 20＝x202－1，∴x 20－3＋x202－1≥0，∴x 0≥263或x 0≤－263，故选C.7．解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x＋y ＝0，平移该直线，由图可得z ＝3x ＋y ＋1在A 处取得最大值，由⎩⎨⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝53..203＝1＋53＋43×3＝max z ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32cos ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π32sin ＝)x (g 由题意，C.选解析：8． ∈7π12＋x 2，又当⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12∈7π12＋x 2时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0∈x ，当⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π12sin 22.14＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π80－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，则所求概率为6≥)x (g 时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，0∈x ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12 9．解析：选D.在A 图中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在C 图中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面；在B 图中过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，故四点共面；D 图中PS 与QR 为异面直线，∴四点不共面，故选D.10．解析：选B.由a cos B ＝b cos A 及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ，所，π6cos a 2·c 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2c ＝16，由余弦定理得a 3＝c ，π6＝A ＝B ，故0＝)B －A sin(以.1637＝B sin ac 12＝S ，8217＝c ，877＝a 得 11．解析：选A.易知g (x )＝|－x ＋1－m |，即g (x )＝|x －1＋m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图1所示，易知)x (g 与)x (f 上单调递减时，函数[1,2]在)x (f ＝y ；当函数2≤m ≤0解得⎩⎨⎧m －1≤1，1－m≤1，的图象如图2所示，此时函数y ＝g (x )在区间[1,2]上不可能单调递减．综上所述，0≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[0,2]，故选A.|PI||IQ|由角平分线的性质得，1.＝4－3＝c ，2＝a 由题意知，B.选解析：12．，所2＝2a 2c ＝|F2P|＋|F1P||F2Q|＋|F1Q|＝|PI||IQ|，利用合比定理及椭圆的定义得，|F2P||F2Q|＝|F1P||F1Q|＝12＋12＋1＝|F1Q||F1P|＋|IQ||PI|＋1＝|F1Q||F1P|＋|PI|＋|IQ||PI|＝|F1Q||F1P|＋|PQ||PI|，则12＝|F1Q||F1P|＝|IQ||PI|以＝2.2.＝错误!＝|OA →|∴，)3，1－(＝OA→∵解析：13． 19＋π3|cos OB →|×|OA →|×13＝2OB →19＋OB →·OA →13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋19OB →·OB →＝OC →·OB →∴ 2.＝23×19＋12×3×2×13＝23× 答案：214．解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝时，2＝αtan ；当1＝αsin 2＋α2sin 时，0＝αcos 当2.＝αtan 或0＝αcos ，即α24cos 或1＝αsin 2＋α2sin 综上，.85＝tan2α＋2tan αtan2α＋1＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝αsin 2＋α2sin .85851或答案： 15．解析：由题意可设两个被污损的数据分别为10＋a ，b (a ，b ∈Z,0≤a ≤9)，(10＋210)－[(915＝2s ，所以b －10＝a ，10＝b ＋a ，即50＝11＋10＋9＋b ＋a ＋10则25≤)2a ＋(125＝]210)－b (＋2a ＋[215＝]210)－b (＋210)－a ＋(10＋210)－(11＋210)－32.8.＝)29＋(1× 答案：32.816．解析：由SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC 可知，四棱锥S -ABC 的外接球就是错误!为棱的长方体的外接球，故球的直径为长方体的体对角线长BC ，AB ，SA 以4π.＝2r 4π＝S ，所以球的表面积1＝r ，即球的半径2＝ 答案：4π，则由已知条件可得：d 的公差为}n a {设数列(1)解：17． ⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋6d ＝－99a1＋36d ＝－992)分(4⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－32，d ＝－1.，解得)分.(62n ＋12＝－n a 于是可求得 ，错误!＝－n S 知，(1)证明：由(2) )分(8，错误!错误!＝－错误!＝－n b 故 12＝－n T 故 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝⎛⎭⎪⎪⎫13＋14＋15＋…＋1n ＋2 )分(10，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋212＝－ )分.(1234＞－n T ，所以32＜1n ＋2－1n ＋1－32又因为 18．解：(1)记“从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，至少有一个大于600”为事件A .从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据有{601,605}，{601,597}，{601,599}，{601,598}，{605,597}，{605,599}，{605,598}，{597,599}，{597,598}，{599,598}，共10种情况，其中至少有一个数据大于600的有{601,605}，{601,597}，{601,599}，{601,598}，{605,597}，{605,599}，{605,598}，共7种情况．)分.(5710＝)A (P ∴ ，556＝555＋559＋551＋563＋5525＝x ∵(2) y600.＝601＋605＋597＋599＋5985＝ )分(8，0.3＝错误!＝错误!＝b ^∴ a^433.2.(10＋x 0.3＝y ^线性回归方程为∴，433.2＝556×0.3－600＝x b ^－y ＝分)的估计y 时，特征量570＝x 当∴604.2.＝433.2＋570×0.3＝y ^时，570＝x 当值为604.2.(12分)19．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC .又BD ∩BE ＝B ，(2分)∴AC ⊥平面BEFD .又AC ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面BEFD .(4分)(2)设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝a (a ＞0)，由(1)得AC ⊥平面BEFD ，∵BE ＝2)BE －DF (－2EF ＝2BD ∴，BD ⊥DF ∴，BE ∥DF ∵，BD ⊥BE ∴，ABCD 平面⊥)分(6，22＝BD ∴，8 )分(7，23＝BD )·DF ＋BE (12＝BEFD 四边形S ∴ ，5＝a ∴，8＝2a 85＝BAD ∠·cos AD ·AB 2－2AD ＋2AB ＝2BD ∴，15＝BAD ∠cos ∵(9分))分(10，3＝OA ∴，3＝2OB －2AB ＝2OA ∴ )分.(1262＝OA ·BEFD 四边形S 23＝BEFD -A V 2＝ABCDEF V ∴ )分.(1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2＝F1F2→∴，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 22F ，(1,0)1F 解法一：由已知得(1)解：20． ，316p2(A ，(0,0)O ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝316p2y ＝332p 或⎩⎨⎧x ＝0y ＝0，解得⎩⎨⎧y2＝4xx2＝2py联立)分(3．)332p ，316p2(＝OA→∴，)332p抛物∴，2＝p ，解得0＝332p p 2＋316p2，即－0＝OA →·F1F2→∴，OA ⊥2F 1F ∵)分.(5y 4＝2x 的方程为2C 线 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 22F ，(1,0)1F ，由题意知①⎩⎨⎧y21＝4x1x21＝2py1，则0)＞1x )(1y ，1x (A 解法二：设)分.(1⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2＝F1F2→∴ ，0＝1y p 2＋1x ，即－0＝OA→·F1F2→∴，OA ⊥2F 1F ∵ )分(3，1x 2＝1py 解得 ，2＝p ，从而4＝1y ，4＝1x 式，解得①将其代入 )分.(5y 4＝2x 的方程为2C 抛物线∴ (2)设过点O 的直线的方程为y ＝kx (k ＜0)，，)2k 4k,(4N ，解得⎩⎨⎧y ＝kx x2＝4y，联立⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k M ，解得⎩⎨⎧y ＝kxy2＝4x解法一：联立(7分)到直N ，点1d 的距离为x ＝y 到直线M 上，设点x ＝y 在直线1)，－1－(P 点，2d 的距离为x ＝y 线 )2d ＋1d |·(OP ·|12＝PMN △S 则 ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k2－4k 2＋|4k －4k2|2×2×12＝≥⎝⎛⎭⎪⎫－1k －k ＋1k2＋k22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k －1k2＋|k －k2|2＝ ，8＝错误!2 当且仅当k ＝－1，即过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.(12分)，⎝⎛⎭⎪⎫4k2，4k M ，解得⎩⎨⎧y ＝kxy2＝4x解法二：联立)分(7，)2k 4k,(4N ，解得⎩⎨⎧y ＝kx x2＝4y联立，⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2－4k 1＋k2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k2－4k 1＋k2＝|MN |从而 ，进而|k －1|1＋k2＝d 的距离MN 到直线1)，－1－(P 点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2－4k 1＋k2·|k －1|1＋k2·12＝PMN △S 错误!＝错误!＝.⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k －22＝ ＝1)＋t 2)(－t 2(＝PMN △S ，则2)－≤t (1k＋k ＝t 令 )分(10，92－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122 当t ＝－2，即k ＝－1，即过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.(12分)＝错误!＝a ＋1－ax＋1x2＝－)x (′f ，)∞，＋(0的定义域为)x (f 函数(1)解：21．)分.(1错误!＜x ＜0，则0＜)x (′f ，令1＞x ，则0＞)x (′f ，令x －1x2＝)x (′f 时，0＝a 当1，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．)分(2，错误!＝)x (′f 时，0≠a 当 ，1＜x ＜0，则0＜)x (′f ，令1＞x ，则0＞)x (′f ，令0＞1a＋x 时，0＞a 当①所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；(3分) )∞，＋(0在定义域)x (f ，所以函数0≤错误!＝)x (′f ，1a＝－1时，1＝－a 当②上单调递减；(4分)，则0＜)x (′f ，令1a＜－x ＜1，则0＞)x (′f ，令1a ＜－1时，0＜a ＜1当－③上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞和(0,1)在区间)x (f 以函数，所1a ＞－x 或1＜x ＜0)分(5上单调递增；⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a＜0，则0＜)x (′f ，令1＜x ＜1a，则－0＞)x (′f ，令1a ＞－1时，1＜－a 当④上单调递减，在区间)∞，＋(1和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 在区间)x (f ，所以函数1＞x 或1a ＜－x ⎝⎛⎭⎪⎫－1a ，1)分(6上单调递增． 综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当a ＝－1时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减；上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，(0,1)在区间)x (f 时，函数0＜a ＜1当－上单调递增；⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1上单调递减，在区间)∞，＋(1，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 在区间)x (f 时，函数1＜－a 当上单调递增．(7分)＝x 2－2x＝)x (′h ，则)∞，＋(0，定义域为t ＋2x －x 2ln ＝)x (g －)x (f ＝)x (h (2))分(8，1＝x ，得0＝)x (′h 时，令错误!∈x ，当错误! 处取得1＝x 在)x (h ，故0＜)x (′h 时，e ＜x ＜1；当0＞)x (′h 时，1＜x ＜1e当极大值h (1)＝t －1.(9分)，2e －2＋t ＝(e)h ，1e2－2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e h 又 上有两个零点的条件是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 在)x (h 所以 错误!)分(11)分.(12⎝ ⎛⎦⎥⎤1，2＋1e2的取值范围是t ，故实数1e2＋2≤t ＜1解得 0.＝24＋y －x 的普通方程为l 直线(1)解：22． )分1.(2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22＋2⎝⎛⎭⎪⎫x －22的直角坐标方程为C 曲线 与曲l 直线∴，1＞5＝|52|2＝d 的距离0＝24＋y －x 到直线⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22圆心线C 的位置关系是相离．(4分))分)(6轴正半轴所成的角x 与MC 为θ(，⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋cos θ，－22＋sin θM 设(2) )分(10．]2，2－[∈y ＋x ∴，2π＜θ≤0∵.⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin 2＝y ＋x 则 对称，32＝x 的图象关于直线)x (f ，所以R ∈x ，)x －(3f ＝)x (f 因为(1)解：23．)分(2，3＝－a ，得32＝a 2对称，所以－a 2＝－x 的图象关于直线a 2＋|a 2＋x 2|＝)x (f 又 ＜4＋)x (f ，故52＜x ＜12，2＜3－x 2＜2，所以－2＜3|－x |2，即0＜4＋)x (f 所以)分(5．}52＜x ＜12|x {的解集为0 (2)由题意知f (x )≤|2x ＋1|＋a 等价于|2x ＋a |－|2x ＋1|＋a ≤0，记g (x )＝|2x ＋⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－12，－4x －1，－12＜x ＜－a 2，2a －1，x≥－12a ，＝)x (g 时，1＜a ，当a ＋1|＋x |2－|a ，所0≤1－a 2＝min )x (g 成立，等价于a ＋1|＋x |2≤)x (f ，使得R ∈x 因为存在)分(7；12≤a 以当a ＝1时，得1≤0，不成立；(8分)⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－a 2，4x ＋2a ＋1，－a 2＜x ＜－12，2a －1，x≥－12，＝)x (g 时，1＞a 当 (9，矛盾．0≤1＝min )x (g 成立，等价于a ＋1|＋x |2≤)x (f ，使得R ∈x 因为存在分) )分.(10⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12的取值范围是a 综上，实数。
2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≤﹣3或x≥1}B．{x|x＜﹣1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤﹣3}【解答】解：全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣3}，∴∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故选：D．2．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3D．﹣3【解答】解：z=25i3+4i=25i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=4+3i，故z=4﹣3i，其虚部是﹣3，故选：D．3．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数【解答】解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．故选：B．4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，则a4＝（）A．4B．32C．108D．256【解答】解：数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3＝12， log 2（a 1a 2a 3）＝12，即a 23＝212， 即有a 2＝16，q ＝4， 则a 4＝44＝256． 故选：D ． 5．（5分）椭圆x 225+y 216=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．16√33B ．32√33 C ．16√3 D ．32√3【解答】解：由椭圆x 225+y 216=1，得a ＝5，b ＝4，c ＝3，在△F 1PF 2中，∵∠F 1PF 2＝60°，∴由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos60°， 则4c 2＝（2a ）2﹣3|PF 1||PF 2|，即36＝100﹣3|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|=643． ∴△F 1PF 2的面积是S =12|PF 1||PF 2|sin60°=16√33． 方法二、由椭圆的焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan ∠F 1PF 22=16•√33=16√33． 故选：A ．6．（5分）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x −2π3），则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的是12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2【解答】解：∵y ＝sin （2x −2π3）＝cos[π−（2x −2π3）]＝cos （2x −7π6）＝cos2（x −7π12），∴把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin （2x −2π3）＝cos2（x −7π12）的图象，即曲线C 2， 故选：C ．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．（4+4√5）π+4√2B ．（4+4√5）π+4+4√2C ．12π+12D ．12π+4+4√2【解答】解：由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱，可得：几何体的表面积为：4π+12×4π×√20+1×4√2=（4+4√5）π+4√2． 故选：A ．8．（5分）设函数f （x ）＝2ln （x +√x 2+1）+3x 3（﹣2＜x ＜2），则使得f （2x ）+f （4x ﹣3）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（12，1）C ．（14，1）D ．（14，54）【解答】解：∵f （x ）＝2ln （x +√x 2+1）+3x 3（﹣2＜x ＜2）， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 故f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣2，2）递增， 故由f （2x ）+f （4x ﹣3）＞0， 得：f （2x ）＞f （3﹣4x ），则{2x ＞3−4x −2＜2x ＜2−2＜3−4x ＜2，解得：12＜x ＜1，故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足{x −2y +4≤0，x ≥2x +y −6≥0，则k =y+1x−3的取值范围是（ ）A ．k ＞12或k ≤﹣5B ．﹣5≤k ＜12C ．﹣5≤k ≤12D ．k ≥12或k ≤﹣5【解答】解：由变量x ，y 满足{x −2y +4≤0，x ≥2x +y −6≥0作出可行域如图：{x =2x +y −6=0解得A（2，4）， k =y+1x−3的几何意义为可行域内动点与定点D （3，﹣1）连线的斜率． ∵k DA =4+12−3=−5，．x ﹣2y +4＝0的斜率为：12， ∴k =y+1x−3的取值范围是k ＞12或k ≤﹣5． 故选：A ．10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1（x ）＝2x ，f 2（x ）＝2x，f 3（x ）＝x 2，f 4（x ）＝sin x ，f 5（x ）＝cos x ，f 6（x ）=1−2x1+2x ，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率A ．25B ．35C ．12D ．13【解答】解：根据题意，对于6个函数， f 1（x ）＝2x ，为正比例函数，为奇函数； f 2（x ）＝2x ，为指数函数，为非奇非偶函数函数； f 3（x ）＝x 2，为二次函数，为偶函数； f 4（x ）＝sin x ，为正弦函数，是奇函数； f 5（x ）＝cos x ，为余弦函数，是偶函数；f 6（x ）=1−2x 1+2x ，有f 6（﹣x ）=1−2x 1+2x =1−2−x 1+2−x =−（1−2x 1+2）＝﹣f （x ），为奇函数； 在6个函数中任选2个，有C 62＝15种选法，若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数，有3×2＝6种选法；则所得新函数为奇函数的概率P =615=25； 故选：A ．11．（5分）已知数列{a n }满足2a n +1+a n ＝3（n ≥1，n ∈N +），且a 3=134，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1123的最小整数n 是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由2a n +1+a n ＝3，得a n+1−1=−12(a n −1)，又a 3=134，∴a 2−1=−2(a 3−1)=−92，a 1﹣1＝﹣2（a 2﹣1）＝9． ∴{a n ﹣1}为首项是9，公比为−12的等比数列， 则a n ﹣1＝9•(−12)n−1，a n ＝1+9•(−12)n−1，S n ＝n +9•1−(−12)n 1−(−12)=n +6﹣6•(−12)n ，则|S n ﹣n ﹣6|＝3⋅12n−1，|S n ﹣n ﹣6|＜1123，即3⋅12n−1＜1123，解得n ＞9，∴满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1123的最小整数n 是10．12．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ﹣ABC 的体积为a ，则球O 的体积为（ ） A ．2πaB ．4πaC ．23πaD ．43πa【解答】解：如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则∠P AC 和∠PBC 都是直角，由于P A ＝AC ，PB ＝BC ，所以，△P AC 和△PBC 是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形， 且△PBC 的面积为S △PBC =12PC ⋅OB =R 2， ∵P A ＝AC ，O 为PC 的中点，则OA ⊥PC ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，OA ⊂平面P AC ，所以，OA ⊥平面PBC ，所以，三棱锥P ﹣ABC 的体积为13×OA ×S △PBC =13R ×R 2=13R 3=a ，因此，球O 的体积为43πR 3=4π×13R 3=4πa ，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13．（5分）已知e 1→，e 2→为单位向量且夹角为2π3，设a→=3e 1→+2e 2→，b→=3e 2→，则a →在b →方向上的投影为 12．【解答】解：根据题意得，a →•b →=9e 1→•e 2→+6e 2→2＝9×1×1×(−12)+6×1×1=−92+6=32； 又∵|b |＝3，∴a →在b →方向上的投影为a⋅b |b|=323=12；故答案为12．14．（5分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）的图象与直线x ﹣y +1＝0相切，则实数a 的值为1e 2−1 ．【解答】解：由f （x ）＝lnx ﹣ax ，（a ∈R ）得f ′（x ）=1x −a ， 设切点横坐标为x 0，依题意得1x 0−a =1，并且lnx 0﹣ax 0＝x 0+1，解得a =1e 2−1； 则实数a 的值为1e −1；故答案为：1e 2−1．15．（5分）已知双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，0＞0）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于Q ，若5PF →=3FQ →，则该双曲线E 的离心率为√52． 【解答】解：由题意得右焦点F （c ，0）， 设一渐近线OP 的方程为y =b ax ， 则另一渐近线ON 的方程为y =−ba x ， 由FP 的方程为y =−ab （x ﹣c ）， 联立方程y =ba x ， 可得P 横坐标为a 2c ，由FP 的方程为y =−ab （x ﹣c ），联立方程y =−ba x ， 可得Q 的横坐标为a 2ca 2−b 2．由5PF →=3FQ →，可得5（c −a 2c ）＝3（a 2c a −b−c ），即为8c ﹣5•a 2c=3•a 2c 2a −c ，由e =ca ，可得8−52=32，即有4e 4﹣9e 2+5＝0， 解得e 2=54或1（舍去）， 即有e =√52， 故答案为：√52．16．（5分）不等式x （sin θ﹣cos 2θ+1）≥﹣3对任意θ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是 [−32，12] ．【解答】解：当x ＝0时，x （sin θ﹣cos 2θ+1）≥﹣3恒成立； 当x ＞0时，sin θ+sin 2θ≥−3x ，由sin θ+sin 2θ＝（sin θ+12）2−14，可得sin θ=−12时，取得最小值−14， sin θ＝1时，取得最大值2， 即有−14≥−3x ，解得0＜x ≤12； 当x ＜0时，可得sin θ+sin 2θ≤−3x， 即有2≤−3x ，解得−32≤x ＜0， 综上可得x 的范围是[−32，12]． 故答案为：[−32，12]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B =b24S．（Ⅰ）求sin A sin C ；（Ⅱ）若4cos A cos C ＝1，b =√15，求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC 的面积为S =12ac sin B ，sin B =b24S ．∴4×（12ac sin B ）×sin B ＝b 2，∴ac =b 22sin 2B，∴由正弦定理可得：sin A sin C =sin 2B 2sin 2B =12；（Ⅱ）∵4cos A cos C ＝1，sin A sin C =12， ∴cos B ＝﹣cos （A +C ）＝sin A sin C ﹣cos A cos C =12−14=14， ∵b =√15，可得：ac =b 22sin 2B =b 22(1−cos 2B)=(√15)22(1−116)=8，∴由余弦定理可得：15＝a 2+c 2﹣4＝（a +c ）2﹣2ac ﹣4＝（a +c ）2﹣20，解得：a +c =√35，∴△ABC 的周长a +b +c =√35+√15．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面P AD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）．（Ⅰ）求证：平面MBD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求三棱锥D ﹣MAB 的体积．【解答】解法一：证明：（1）由题知BD ＝AD ＝4√2，AB ＝8， AB 2＝AD 2+BD 2，∴BD ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，交线是AD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥AD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面P AD ．解：（2）过P 作PO ⊥AD 于O ，∴PO ⊥平面BAD ， ∴d P−DAB =2√2，∴三棱锥D ﹣MAB 的体积：V D ﹣MAB ＝V M ﹣DAB =13×S △DAB ×d M−DAB =13×12×(4√2)2×13×2√2 =32√29． 解法二：证明：（Ⅰ）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面P AD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）．∴以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P （6，2，2√2），C （0，0，0），M （2，23，2√23），B （0，4，0），D （4，0，0），A （8，4，0），DP →=（2，2，2√2），DA →=（4，4，0），DM →=（﹣2，2√23，2√23），DB →=（﹣4，4，0）， 设平面P AD 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DP →=2x +2y +2√2z =0n →⋅DA →=4x +4y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，0），设平面BDM 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=−4x +4y =0m →⋅DM →=−2x +2√23y +2√23z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，√3−1）， ∴m →⋅n →=0，∴平面MBD ⊥平面P AD ． 解：（Ⅱ）∵S △ABD =12×AB ×BC =12×8×4=16， M 到平面ABD 的距离d =2√23， ∴三棱锥D ﹣MAB 的体积：V D ﹣MAB ＝V M ﹣ABD =13×d ×S △ABD =13×2√23×16=32√29．19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计 未注射疫苗 40 p x 注射疫苗 60 q y 总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35． （Ⅰ）求2×2列联表中的数据p ，q ，x ，y 的值； （Ⅱ）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥K 0）0.05 0.01 0.005 0.001 K 03.8416.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35，则未感染的为25，即25x ＝40，解得x ＝100，∴p ＝100﹣40＝60； q ＝100﹣60＝40，y ＝100；（Ⅱ）由列联表中数据，计算K 2=200×(40×40−60×60)2100×100×100×100=8＜10.828，∴没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效；（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只， 未注射疫苗的有3只，记为a 、b 、c ，注射疫苗的有2只，记为D 、E ， 从这5只小白鼠中随机抽取3只，基本事件为：abc 、abD 、abE 、acD 、acE 、aDE 、bcD 、bcE 、bDE 、cDE 共10种不同的取法， 则至少抽到2只为未注射疫苗的基本事件是abc 、abD 、abE 、acD 、acE 、bcD 、bcE 共7种，故所求的概率为P =710．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点． （Ⅰ）若AR ∥FN ，求|MR||MN|的值；（Ⅱ）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．【解答】解（Ⅰ） 设l 的方程为x ＝my +1．A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 12=2px 1 y22=2px 2由{x =my +1y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣4＝0，可知y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4． 可知F （p2，0），N （−p2，y 2）∴k FN =y2−p∵AR ∥FN ，∴直线AR 的方程为y −y 1=y2−p (x −x 1)，令x =−p2可得y R =y 22+x 1y 2p+y 1=y22+y 122p ⋅−p 2y 1p+y 1=y 22+y12，∴点R 是MN 的中点，∴|MR||MN|=12；（Ⅱ）∵点R为线段MN的中点，以线段AB为直径的圆为圆E，∴ER⊥MN．由抛物线定义可得ER=AM+BN2=AF+BF2=AB2=r．∴点R在圆E上．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣2a）e x，g（x）＝4a2x．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），试讨论h（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x，h′（x）＝2e2x﹣2ae x﹣4a2＝2（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，由h′（x）＝0，得x＝ln2a，则当x∈（﹣∞，ln2a）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）＝0，得x＝ln（﹣a），则当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，h′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，即h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x＞0．当a＝0时，h（x）＝e2x＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln2a）＝e2ln2a﹣2ae ln2a﹣4a2ln2a＝﹣4a2ln2a．由﹣4a2ln2a＞0，得ln2a＜0，即0＜a＜1 2；当a＜0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln（﹣a））＝e2ln（﹣a）﹣2ae ln（﹣a）﹣4a2ln（﹣a）＝3a2﹣4a2ln（﹣a）．由3a2﹣4a2ln（﹣a）＞0，得−e 34＜a＜0．∴若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，则a的取值范围为（−e 34，12）．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=5π6（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ=5π6（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|=ρ1=6sin 5π6=3，|OP|=ρ2=6cos 5π6=3√3，所以：S△MOP=12⋅|OM|⋅|OP|sin5π6=12⋅4⋅3⋅12=3，S△MOQ=12⋅|OM|⋅|OQ|sin5π6=12⋅4⋅3√3⋅12=3√3，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3√3−3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a =12时，解不等式f （x ）＞6；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）a =12时，|3x ﹣1|+|2x ﹣2|＞6，故{x ≥13x −1+2x −2＞6或{13＜x ＜13x −1+2−2x ＞6或{x ≤131−3x +2−2x ＞6， 解得：x ＞95或x ＜−35，故不等式的解集是（﹣∞，−35）∪（95，+∞）；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立， 则|3x 0﹣2a |+3x 0＞4恒成立， 故x 0≥23a 时，6x 0＞2a +4恒成立， 故6×23a ＞2a +4，解得：a ＞2， x 0＜23a 时，2a ＞4，解得：a ＞2， 综上，a ∈（2，+∞）．。
河南省2019年高考[文科数学]考试真题与答案解析
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，则A．165 cm．．．．．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面学生中被抽到的是A ．A =B ．A =C ．A =D ．A =12A+12A +112A+112A+10．双曲线C ：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．2sin40°B ．2cos40°C ．D ．1sin50︒1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-，则=14bcA ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若12(1,0),(1,0)F F -，，则C 的方程为22||2||AF F B =1||||AB BF =A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为___________．2)3(e xy x x =+(0,0)14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．13314a S ==，15．函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为___________．3三、解答题共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2019年河南高考文科数学模拟试卷附答案
2019年河南高考文科数学模拟试卷【附答案】一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵故选：B．本题是一个复数的乘除运算，先进行复数乘法运算，在分子和分母上进行，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简后得到结果．本题考查复数的乘除混合运算，是一个基础题，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．2.【答案】D【解析】解：将集合M和集合N中的方程联立得：将集合M与集合N中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．此题考查了交集及其运算，以及二元一次方程组的解法，是一道基本题型，学生易弄错集合中元素的性质．3.【答案】A【解析】解：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），∴f（-x）=f（x），f（x）为偶函数，．∴其图象关于y轴对称，可排除C，D；又当x→0时，cos（πx）→1，x2→0，∴f（x）→+∞．故可排除B；而A均满足以上分析．故选：A．由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除C、D，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，从而得到答案A．本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．4.【答案】D【解析】利用数量积运算性质即可得出．本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】根据题意，设要求双曲线的方程为，将点（2，-2）代入双曲线的方程，计算可得t的值，将t的值代入双曲线的方程，变形即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握有共同渐近线方程的双曲线方程的特点．6.【答案】A【解析】由已知及余弦定理可求a，b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1执行循环体，S=290，i=2不满足判断框内的条件，执行循环体，S=300，i=3不满足判断框内的条件，执行循环体，S=310，i=4不满足判断框内的条件，执行循环体，S=320，i=5不满足判断框内的条件，执行循环体，S=330，i=6不满足判断框内的条件，执行循环体，S=340，i=7不满足判断框内的条件，执行循环体，S=350，i=8由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为350．可得判断框中的条件为i＞7？．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【解析】故选：D．甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件总数n==10，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，由此能出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】B【解析】故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．10.【答案】B【解析】利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的值．本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C【解析】13.【答案】x-y-3=0【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．将已知等式两边平方后相加，根据同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．【解析】（1）通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可．本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．【解析】（1）构造函数g（x）=f（x）-x+1，求函数的导数，研究的单调性和极值，结合函数极值和最值进行求解即可．（2）利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值进行求解即可．本题主要考查导数与不等式的应用以及函数最值的求解，求函数的导数，利用参数分离法转化为求函数的最值是解决本题的关键．【解析】（1）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；（2）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．。
河南省2019年高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★启用前河南省2019年高考文科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)
2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，P＝A∩B，则P的子集个数为（）A．4B．6C．8D．162．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝3，则实数a的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．2或﹣34．（5分）已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（）A．该超市208年的12个月中11月份的收益最高B．该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低C．该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益D．该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约71.4%6．（5分）已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6B．6+2C．4+4D．87．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣），x∈[0，]，若方程f（x）＝m有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，]B．[，1）C．[]D．[﹣]8．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x0∈（0，+∞），3＜log3x0B．若a＞b，则am2＞bm2C．已知A，B为△ABC的两个内角，若A＞B，则sin A＞sin BD．函数y＝f（1+x）的图象与函数y＝f（1﹣x）的图象关于直线x＝1对称9．（5分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣10．（5分）已知△ABF的顶点A，B在抛物线y2＝4x上，顶点F是该抛物线的焦点，则满足条件的等边△ABF的个数为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a2+b2﹣c2＝4S，c＝1，则b﹣a的最大值为（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，g（x）＝sin•f（x），若a＝g（﹣log26.1），b＝g（20.9），c＝g（2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届河南省高考模拟试题(七)文科数学(解析版)
2019届河南省高考模拟试题精编（七）文科数学（考试用时：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选 项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案 不能答在试卷上。
2. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A = {x|x 2— 2x >0},B = {x|— ,'5< x v .'5}，则（）C . B? A 2.如图，“天宫二号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆， 小圆的半径为2 km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无 规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为（ ）1 .12 J 1 %D.1D . A? B5 .123. 复数乙，Z2满足Z1 = m + (4 —m2)i, z = 2cos B+ ( H3sin 0)i(m,入0€4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如 像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初 日差六十四人，次日转多七人.每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为： “官府陆续派遣 1 864人前往修筑堤坝.第 天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人.修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天.”在这个问题中， 第5天应发大米（）A . 894 升B . 1 170 升C . 1 275升5. 已知函数 f(x)= 3ln(x + x 2 + 1) + a(7x + T x ), x € R ，贝a = 0” 是“函数f （x ）为奇函数”的（）A .充分不必要条件C .充要条件 B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6. 某同学为实现“给定正整数 得7i > N ”，设计程序框图如图，则判断框中可填入（ A . x < N C . x > N7. 已知命题p ： x = n 是cos x = 丁的充分必要条件；命题q ： 函数f （x ）= lg （ax 2—ax + 1）的定义域为R ,则实数a 的取值A . [ — 1,1] B. —16, 1C. —16, 7D.16，7R ），并且z i = Z 2,贝S 入的取值范围是（)D . 1 467升N ，求最小的正整数i ，使） B . x v N D . x > N范围为［0,4），则下列命题为真命题的个数为（）①p A q②p V q ③綈p V q ④p A綈q ⑤綈p A q8.已知某几何体的三视图如图所示，贝S该几何体的体积为A. 20B. 24C. 26 D9.已知函数f(x) = Asi n(3x+ ©)(A > 0 , GJ > 0, | 咁V 2)的部分图象如图所示，把f(x)的图象向右平移3个单位长度得到g(x)的图象，贝S g(x)在2n―3，n3上的单调递增区间为()A2nA* - 3，—7n n n 12，12,32n B. -3，—7n U12 Un n-12,3C. 12，32n D. —3 ,-7n122x—x2 x> 0 ,1°.已知函数f(x)二e心—ax<0有3个零点'则实数30a的取值范围是()A. {1} U [e2，+*)B. {1} U (e2，+)C • [1 , e2]D • （1 , e2]11 .以F 0, 2（p>0）为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2—y2= 2相交于M , N两点，若△ MNF为正三角形，则抛物线C的方程为（）A. y2= 2 6xB. y2= 4 6xC. x2= 2 6yD. x2= 4 6y12. 设取整函数[x]表示不超过x的最大整数.已知数列仙｝中a1 = 2,且a na 1 a2 a m1—a n = a2，若市 + 百+ …+ a；Tl = 2 018,则整数m =（）+A . 2 018 B. 2 019C . 2 017D . 2 020第H卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13 .已知向量a, b的夹角为60°且|a| = 2, |a —2b| = 2打，则|b| = _______ .x > 014 .若实数x, y满足不等式组x —y+ 1<0 ，则目标函数z= 3x —y的最x + y—3< 0大值为 ________ .15 .过双曲线x2—y2= 1的焦点且垂直于x轴的直线，交双曲线于A, B两点，则|AB|= _______ .16. _______ 已知三棱锥A-BCD 中，AB = AC = BC = 2, BD = CD = 2,点E 是BC 的中点，点A在平面BCD内的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为 _____ .三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）如图，在△ ABC中，D为AB边上一点，DA = DC,且nB = 4, BC = 1.⑴若厶ABC是锐角三角形，DC = ¥，求角A的大小;1（2）若厶BCD的面积为百，求边AB的长.18. （本小题满分12分）参加衡水中学数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价x（元/kg）102030405060年销量y1 15064342426216586（kg）z= 2ln y14.112.912.111.110.28.96 —— 6 ——(参考数据：(X i—x) (y i- y) = —34 580, (X i—x) (z—z) = —175.5,i = 1 i = 1 66 6 _ _(y i —y )2= 776 840, (y i —y ) (z—z)= 3 465.2)i= 1 i=1(1) 根据散点图判断，y与x, z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可，不必说明理由)?(2) 根据(1)的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字)；(3) 定价为多少元/kg时，年利润的预报值最大？19. (本小题满分12分)已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1 所示，AB丄BC,且AB = 2CD，将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC.若M、N 分别为AE、CE的中点.(1) 求证：MN //平面ABCD ;(2) 求证：平面ABE丄平面ADE.20. (本小题满分12分)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1, F2在y轴上,离心率等于誉丁是椭圆E上的点.以线段PF1为直径的圆经过F2，且9弃1 Ph=1.(1)求椭圆E的方程;(2)作直线I与椭圆E交于两个不同的点M , N.如果线段MN被直线2x + 1=0平分，求直线I的倾斜角的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数f(x)= ln x —a(x—1), g(x) = e x.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数h(x) = f(x + 1)+ g(x),当x>0时，h(x)> 1恒成立，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4 —4:坐标系与参数方程x= acos t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a> 0).以y= 2s in t坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线I的极坐标方程为pcos 0+ n = - 2 2.(1) 设P是曲线C上的一个动点，当a= 2时，求点P到直线I的距离的最小值；(2) 若曲线C上的所有点均在直线I的右下方，求a的取值范围.23. (本小题满分10分)选修4 —5:不等式选讲已知函数f(x) = |2x—1|—|x + 2|.(1) 求不等式f(x)> 0的解集；(2) 若存在x o€ R，使得f(x o)+ 2a2v4a,求实数a的取值范围.高考文科数学模拟试题精编（七）班级：_______________ 姓名：________________ 得分: ______________请在答题区域内答题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13. _______ 14. __________ 15. ___________ 16. _____________三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）19.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.高考文科数学模拟试题精编(七)1.解析：选 B.A = {x|x(x —2) >0} = {x|x v 0 或x >2}, B = {x|—5v x v 5},贝U A U B = R.2.解析：选B.根据几何概型公式，小于3 km的圆环面积为n (3- 22) = 5 n;圆环总面积为n (4- 22)= 12 n所以点P与点0的距离小于3 km的概率为P(A)5 n 5 =12n= 12.m = 2cos 0,3.解析: 选B.由复数相等的充要条件可得，化简得44—m2=入+ 3sin 0—4co$ 3sin 0,由此可得 A — 4cos? 0—3sin 0+ 4= —4(1 —sin20) —3sin 0+ 4=4sin20—3sin 0= 4 sin 0—8 2—屁，—1 sin (X 1,-—"g = sin 0—. 3 2 25 . 3 2 25 9 “ • c 3、29 16 •g sin 0-82X必®4sin 0-82X届,4(sin 0-g)2—荷屁,9所以4sin20—3sin 0€ —晶，1 .4. 解析：选B.由题意，知每天派出的人数构成首项为64,公差为7的等差5X 4数列，则第5天的总人数为5X 64 + —厂X 7 = 390,所以第5天应发大米390X 3 =1 170升，故选B.5. 解析：选C.由题意知f(x)的定义域为R，易知y= ln(x + - ''x2+ 1)为奇函数，y= 7x+ 7-x为偶函数.当a= 0时，f(x) = 3ln(x+ x2+ 1)为奇函数，充分性成立；当f(x)为奇函数时，则a= 0,必要性成立.因此“a = 0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件，故选C.6. 解析：选C.依题意，应填入的条件是x> N.选C.7. 解析：选C.命题p：x = 3是cos x =舟的充分非必要条件，故命题p为假命题；命题q：f(x) = lg(ax2—ax+1)的定义域为R，则有ax2—ax + 1 >0恒成立，a> 0,当a= 0时，满足题意，当a z0时，满足「.O v a v4,二实数A= a2—4a v 0,a的取值范围为［0,4)，故命题q为真命题，.••正确的命题为②p V q,③綈p V q,⑤綈p A q,故选C.8. 解析：选D.将三视图还原成直观图为长方体截去一个三棱柱后所剩部分，4 + 2 X 2如图所示，则S梯形ABCD = 2 = 6,所以该几何体的体积V = S梯形ABCD AA1=6X 5= 30.n n9.解析：选A.解法由题图可知A = 2, T = 43 —12 = n所以3= 2,所以2X 12+ ©= 2 + 2k n k € Z).因为| ©|v^,所以©= 3,因此f(x)= 2sin 2x+§ .将f(x)的图象向右平移n 个单位长度得到g(x) = 2sin 2x —春的图象，令一扌+2k n^ 2x — 3= 2 + 2k n K € Z)，解得一乜 + k nW x W 12 + k n k Z)，所以 g(x)的单调递增区间为一12+K n 12 + k n (k € Z).又x € — ~3~, 3 ,所以g(x)在 2 n n 2 n 7 n nn—~3， 3 上的单调递增区间为 —~3, — 12 , —12， 3，选 A.解法二：由题图可知 A = 2, T = 4 3 —12 = n,所以3= 2,所以2X 论+ ©n 、 , n n 、 ， n n=2+ 2k n ( € Z).因为 | © V 2■，所以 ©= 3,因此 f(x)= 2sin 2x + 3 .令一 2 + 2k nW2x+ 3=2+ 2k n(€ Z)，解得—1n+ k nW x W :k n k € Z)，所以 f(x)的单调递增区 间为—12+ K n 12 + K n (k € Z).由于把f(x)的图象向右平移扌个单位长度得到n5 ng(x)的图象，所以 g(x)的单调递增区间为一12+ k n, 12+ k n (k € Z).又x €选A.10. 解析：选 B.当 x >0 时，f(x) = 2x — x 2,易知 x = 2, x = 4满足2x — x 2= 0,故当x >0时，f(x)有2个零点，故只需当 x W 0时，f(x)有1个零点，作出函数g(x) = e |x +2|(x W 0)的图象如图所示，由图可知，当a = 1或a >e 2时，f(x)在(—^, 0］上有1个零点，故选 B.11. 解析：选D. T 以F 0, 2 (P >0)为焦点的抛物线C 的准线方程为y = — 2,—2n ，n ，所以g(x)在 — ¥，n 上的单调递增区间为2n 37n 12，n n12，•••M , N 在直线y = — p 上，二点F 到MN 的距离为p — — p = p.又△MNF 是正三角形，设点M 在双曲线x 2 3 4 — y 5 = 2的左支上，点N 在右支上，「.M —£p ,- 2 , Nfp ,— 2, • fp 6-— 22=2，解得 p =2 7，•抛物线C 的方程为x 2 = 4,6y ,故选D. 1 1 112. 解析：选B.由a n +1 — a n = a n ，可得 =（易知a n >0）,可得 - a n + 1 a n a n + 1 a n + 12 1所以数列｛a n ｝是正项单调递增数列，又 a m +1 >2,所以0v v 2,所以m — 1a m + 1 2=2 018,即 m = 2 019.13. 解析：因为 |a| = 2, |a —2b|= 2 .'7，所以(a —2b)2=28，即 4— 4a • + 4|b|2 =28,又向量 a , b 的夹角为 60 ° 所以 4 — 4X 2X |b|cos 60 + 4°|2 = 28，解得 |b| =3.答案：314. 解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴 影部分所示.作出直线y = 3x ,平移直线由图可知：当直 线y = 3x — z 经过B 点时z 最大，—a n a n +1aa n + 11—壬=1——，所以a n +1 a n + 1a 1 a 1+ 1a 2 a 2+1a m a m +11a 1 + 1 1+ 1 — -a 2+ 1 1=m —a m + 11a 1 a ； + a 2—+ a m a m +11+——,所以 a m +1 a 1a 1+ 1 a 2a 2+ 1+…+a m a m + 11 1m — 2 +2a m +1,又 a n +1 = a ? + a n > a n ,x — y + 1 = 0 由 ，解得 B(1,2) , AZ max = 3X 1-2= 1.x + y — 3 = 0 答案：115. 解析：通解：不妨设双曲线的右焦点为F ，则F( '2, 0).设点A 的坐 标为(2, y A ),因为点A 在双曲线上，所以2 — y A = 1,解得|y A |= 1,所以|AB|= 2阴=2.2 b 2 优解：依题意得，|AB| = 2- = 2. a答案：216. 解析：如图，作出三棱锥A-BCD 的外接球，设球的半 径为r ,球心O 到底面BCD 的距离为d , DE 的中点为F ,连 接AF ，过球心O 作AF 的垂线OH ，垂足为H ，连接OA , OD , OE , AE.因为 BD = 2, CD = 2, BC = 2,所以 BD 丄CD ，贝卩OE 丄平面BCD , OE //AF ，所以HF = OE = d.所以在Rt 壬CD 中，DE1 _=1, EF = 2.又 AB = AC = BC = 2,所以 AE = '3,所以在 RtZ1AFE 中，AF =17解：(1)在遊D 中, B = J BC = 1, DC = 8由正弦定理，得Sr^,所以r 2 = d 2+ 1 =书1— d 2 + ；,解得r 2 =書，所以三棱锥A-BCD 的外接球的表面积 S = 4 n 2=60 n 11 .答案:60 n 11CD “曰 /1X23=乔，解得 Sin ，BDC =亠6 = 3,3则/BDC = n 或2f .（3 分）2 n又△ABC 是锐角三角形，则/ BDC = 23".n又 DA = DC ,则/A = 3.（5 分）n _ k 1 1 n 1（2）由于B = 4, BC = 1,壬CD 的面积为6,贝y2BC BD sin&=石，解得BD = #（8 分）在^BCD 中，由余弦定理，得 CD 2— BC 2 + BD 2— 2BC BD cos ^— 1+1 — 2X#2 5 5X ~2 — 9,即卩 CD = .又 AB = AD + BD = CD + BD = 5+ 2 3 .（12 分）18. 解：（1 ）由散点图可知，z 与x 具有较强的线性相关性.（3分） 10+20+30 + 40+50 + 60 （2）由题得，x = = 35, - 14.1 + 12.9 + 12.1 + 11.1 + 10.2 + 8.9 z = = 11.55, 88 — —X i — x Z i — z____________ —175.5_ 八_ =1 750 〜—0.10，又a = z —b x =石+ 23 ，故边AB 的长为6X i — x 215. 05~ 15,则z= bx + a = 15—0.10x，二线性回归方程为z=八15 一oi0x15—0.10x，贝卩y关于x的回归方程为y= = e 2 .（8分）15 一0 10x(3) 设年利润为L(x)，贝S L(x) = x • = x e 2 ，求导，得L ' (x)=严J""— x 詈，令L ' (x)= 0,解得x= 20.由函数的单调性可当x = 20时，年利润的预报值最大，•定价为20元/kg 知，时，年利润的预报值最大. （12 分）19.证明：（1）连接AC,VM、N分别为AE、CE的中点，二MN //AC.（2分）••AC?平面ABCD , MN?平面ABCD ,「・MN //平面ABCD.(4 分)1（2）取BE 的中点 F ,连接FM、MD、CF ,贝S MF 綊qAB.^DC綊2A B，二CD綊MF，二四边形CFMD为平行四边形，（5分）•9F //DM .(6 分)••AB 丄平面BEC , AAB 丄CF.VCF 丄BE , AB A BE = B,「CF 丄平面ABE.(8 分)••CF //DM , ADM 丄平面ABE.(10分)••DM?平面ADE，•平面ABE丄平面ADE.（12分）y2x220. 解：（1）依题意，设椭圆E的方程为a + b2= 1（a>b>0）,半焦距为c.••椭圆E的离心率等于232,^c = 232a, b2= a2—c2=即(3分)•以线段PF1为直径的圆经过F2,「.PF2丄F1F2.J PF2| =b2 a••9PF I PF2 =1,「9|弄i||弄2|cos〈弃1,弃2> = 1,•T届鲁1,••9|弄2|2=9b4a2 1.2a2 b2=6 9b4，得：—9，•椭圆E的方程为£+ x2= 1.（6分）b2= 1 91 一1⑵V直线x =-1与x轴垂直，且由已知得直线I与直线x=-1相交，•直线l不可能与x轴垂直，.••设直线I的方程为y= kx +m.y = kx + m由，得(k2+ 9)x2+ 2kmx + (m2- 9) = 0.(7 分)9x2+ y2= 9V直线I与椭圆E交于两个不同的点M , N ,•△= 4k2m2—4(k2+ 9)(m2—9) >0, 即卩m2-k2—9v 0.—2 km设M(X1, y1), N(X2, y2)，贝S X1 + X2=k2+ 9V线段MN被直线2x + 1=0平分,X1 + X2•• 2 x 2 + 1 = 0,即—2km百+ 1= °.(9,得 ^9 2 — (k 2 + 9)v 0.2kk 2 + 9 厂 厂••k 2 + 9>0,二"4^ — 1v 0,「・k 2> 3,解得 k > 3或 k v — 3. 二直线I 的倾斜角的取值范围为n ，n u n ，晋皿分)1 1 — ax21.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0,+乂)，f ‘ (x) = x — a^—(x >0), (2 zv zv分)① 若a <0,对任意的x >0,均有f ' (x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0, + 乂)，无单调递减区间；1 1② 若 a >0,当 x € 0, a 时，f ' (x)>0,当 x € a ,+=时，f ' (x)v 0,所 1 1 以f(x)的单调递增区间为0, a ，单调递减区间为a ，+=.综上，当a <0时，f(x)的单调递增区间为(0,+乂)，无单调递减区间；当a 1 1 >0时，f(x)的单调递增区间为0, a ，单调递减区间为a ，+= .(5分)1(2)因为 h(x) = f(x + 1) + g(x)= ln(x + 1)— ax + e x ，所以 h ‘ (x) = e x + —x + 1 a.(6 分)1 x + 1 2e x — 1 令 H x )=h' (x),因为 x € (0,), &(x)= e x — = 7^>0,x +12 x +12所以 h ' (x)在(0,+乂)上单调递增，h ‘ (x)>h ‘ (0) = 2 — a , (8 分)m 2— k 2— 9v 0—2km①当a<2 时，h‘(x)>0,所以h(x)在(0,+乂)上单调递增，h(x)>h(0)= 1恒成立，符合题意；②当a> 2 时，h' (0) = 2-a v 0, h‘ (x)> h‘ (0)，所以存在x o€ (0,+乂), 使得h ' (x o) = 0,所以h(x)在(X。
2019年河南省六市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设集合A ＝{0，1}，B ＝{x |（x +2）（x ﹣1）＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1}D ．{0}【解答】解：∵集合A ＝{0，1}，B ＝{x |（x +2）（x ﹣1）＜0，x ∈Z }＝{﹣1，0}， ∴A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 故选：B ． 2．（5分）1+2i 1−2i−1−2i 1+2i=（ ） A ．−65 B ．65C ．−85iD ．85i【解答】解：1+2i 1−2i−1−2i 1+2i=(1+2i)2(1−2i)(1+2i)−(1−2i)2(1+2i)(1−2i)=−35+45i −−35+45i =85i ． 故选：D ．3．（5分）某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15C ．20D ．21【解答】解：由扇形图得：中学有高中生3000人，其中男生3000×30%＝900，女生3000×70%＝2100， 初中生2000人，其中男生2000×60%＝1200，女生2000×40%＝800，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人， 则n 5000=212100，解得n ＝50，∴从初中生中抽取的男生人数是：50×12005000=12． 故选：A ．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ） A ．176升 B ．72升C ．11366升 D ．10933升【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a 1、a 2、…、a 9， 由题意得，{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 7+a 8+a 9=4，即{2(a 2+a 3)=33a 8=4，得{a 2+a 3=32a 8=43，所以a 2+a 3+a 8=32+43=176（升）， 故选：A ．5．（5分）已知p ：a ＝±1，q ：函数f （x ）＝ln （x +√a +x 2）为奇函数，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数f （x ）＝ln （x +√a +x 2）为奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝ln （﹣x 2+ln （x 2lna ＝0， 解得a ＝1．∴p 是q 成立的必要不充分条件． 故选：B ．6．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（ ）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z＝3x﹣y得y＝3x﹣z，显然直线过（2，0）时z最大，z的最大值是6，故选：D．7．（5分）函数f（x）=sinx2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选：A．8．（5分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）与直线y＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x=π6是f（x）图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f（x）的单调递减区间的是（）A ．[2π3，7π6] B ．[−π3，0]C ．[−4π3，−5π6] D ．[−5π6，−π3] 【解答】解：由题意可得，A ＝3，函数f （x ）的周期为2πω=π，解得ω＝2，且A ＝3，再由2×π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，解得φ＝k π+π6，结合|φ|≤π2， 可得φ=π6，∴f （x ）＝3sin （2x +π6）． 令2k π−π2≤2x +π6≤2k π+π2，解得k π−π3≤x ≤k π+π6， 故函数的增区间为[k π−π3，k π+π6]，k ∈Z ． 故区间[−5π6，−π3]是函数的减区间． 故选：D ．9．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）A ．√55B ．2√55C ．15D ．√33 【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为15，不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1， ∴大正方形边长为√5，小正方形的边长为1． ∴四个全等的直角三角形的斜边的长是√5， 较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，故sin θ=5=2√55，故选：B ．10．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2018＞0，S 2019＜0，那么此数列中绝对值最小的项为（ ） A ．a 1008B ．a 1009C ．a 1010D ．a 1011【解答】解：∵S 2018＞0，S 2019＜0， ∴2018(a 1+a 2018)2＞0，2019(a 1+a 2019)2=2019a 1010＜0，∴a 1009+a 1010＞0，a 1010＜0，可得：a 1009＞0，a 1010＜0，|a 1009|＞|a 1010|，由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a 1010， 故选：C ．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面α，使得α平分该几何体的体积，则可以作此种平面α（ ）A ．恰好1个B ．恰好2个C ．至多3个D ．至少4个【解答】解：几何体的直观图如图所示，该几何体最短两条棱为P A 和BC ，设P A和BC的中点分别为E，F，则过E，F且平分几何体体积的平面α，可能为：①平面P AF，如下图：②平面BCE，如下图：③平面EGFH（其中G，H为AC和PB的中点），如下图：④平面EMFN（其中M，N为PC和AB的中点），如下图：故满足条件的α至少有4个， 故选：D ．12．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线相交于M ，N 两点，若PF →=3MF →，则|MN |＝（ ） A ．212B ．323C ．10D ．11【解答】解：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F （2，0），准线为l ：x ＝﹣2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+2，|NF |＝d N ＝x 2+2，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+4． ∵PF →=3MF →，∴直线PF 的斜率为±√3， ∵F （2，0），∴直线PF 的方程为y ＝±√3（x ﹣2），将y ＝±√3（x ﹣2），代入方程y 2＝8x ，得3（x ﹣2）2＝8x ，化简得3x 2﹣20x +12＝0， ∴x 1+x 2=203，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+4=203+4=323． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知a →=（1，﹣1），b →=（t ，1），若（a →+b →）∥（a →−b →），则实数t ＝ ﹣1 ． 【解答】解：根据题意，a →=（1，﹣1），b →=（t ，1）， 则a →+b →=（1+t ，0），a →−b →=（1﹣t ，﹣2），若（a →+b →）∥（a →−b →），则有0×（1﹣t ）＝（1+t ）×（﹣2），解可得t ＝﹣1； 故答案为：﹣1．14．（5分）三棱锥P ﹣ABC 中，P A ，PB ，PC 两两成90°，且P A ＝1，PB ＝PC ＝2，则该三棱锥外接球的表面积为 9π ．【解答】解：三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：√12+22+22=3， 所以球的直径，2R ＝3，半径R =32，球的表面积：S ＝4π×R 2＝9π． 故答案为：9π． 15．（5分）已知双曲线x 2a −y 2b =1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ， 可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca，则2e 4﹣9e 2+9＝0， 解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2， 则e =√3或e =√62舍去． 故答案为：√3．16．（5分）若函数f （x ）＝mx +（m +sin x ）cos x 在（﹣∞，+∞）单调递减，则m 的取值范围是 （﹣∞，2√2−4] ．【解答】解：f （x ）＝mx +（m +sin x ）cos x ＝mx +m cos x +12sin2x ， f ′（x ）＝m ﹣m sin x +cos2x ，∵f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，∴m ﹣m sin x +cos2x ≤0， 即m （1﹣sin x ）≤﹣cos2x 在（﹣∞，+∞）上恒成立， 若1﹣sin x ＝0，则﹣cos2x ＝1，对于任意m ∈R ，上式恒成立；若1﹣sin x ≠0，则m ≤−cos2x 1−sinx =−2sin 2x−1sinx−1在（﹣∞，+∞）上恒成立，令sin x ＝t （﹣1≤t ≤1），则g （t ）=−2t 2−1t−1=−2(t−1)2+4(t−1)+1t−1=−[2(t −1)+1t−1+4]， ∵﹣1≤t ＜1，∴﹣2≤t ﹣1＜0，则当t ﹣1=−√22，即t ＝1−√22时， g （t ）有最小值为2√2−4． ∴m ≤2√2−4．综上，m 的取值范围是（﹣∞，2√2−4]． 故答案为：（﹣∞，2√2−4]．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（12b ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，a ＝2． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）求△ABC 的面积的最大值． 【解答】（本小题满分12分）解：（Ι）因为（12b ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ）＝sin B ，所以bcosA 2sinB=1，由正弦定理得bsinB=a sinA=2sinA，所以bcosA 2sinB=2cosA 2sinA=1，sin A ＝cos A ，解得A =π4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，得：b 2+c 2=√2bc +4， 因为b 2+c 2≥2ac ．所以√2bc +4≥2bc ，解得：bc ≤2（2+√2），所以S △ABC =12bc sin A =√24bc ≤√24×2（2+√2）=√2+1．所以△ABC 的面积的最大值为√2+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表： P （K 2≥k 0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k 02.0722.7063.8415.0246.635K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)【解答】解：（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计7525100根据列联表中的数据，得到K 2=100×(45×15−10×30)255×45×75×25=10033≈3.030∵3.030＞2.706所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率p=7 10．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD，BM⊥PD交PD于点M．（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABM；（Ⅱ）若P A＝AD＝2AB＝2，求B到平面ACM的距离．【解答】（本小题满分12分）解：（Ι）证明：∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB．∵AB⊥AD，AD∩P A＝A，AD⊂平面P AD，P A⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD．∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ι）可得∴AM⊥PD．又P A＝AD∴M是PD中点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴AM =√2，CM =√MD 2+CD 2=√3，AC =√5， 设B 到平面ACM 的距离为d ， ∵V M ﹣ABC ＝V B ﹣ACM ， ∴13⋅1⋅1=13⋅(12⋅√2⋅√3)d ．解得d =√63−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（12分）20．（12分）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点F 1，F 2，离心率e =√22，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），AF 2的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2b ＝2，解得b ＝1，…（1分） ∵e =ca =√22，a 2＝b 2+c 2，∴a =√2，c ＝1， 故椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．…（3分）（Ⅱ）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A(1，√22)，B(1，−√22)，C （﹣1，−√22），故S △ABC =12×2×√2=√2：…（4分） ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立方程组{y =k(x −1)x 22+y 2=1， 化简得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0，…（5分） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1+x 2=4k22k 2+1，x 1⋅x 2=2k 2−22k 2+1，…（6分）|AB|=√(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2]=√(1+k 2)⋅[(4k 22k 2+1)2−4⋅2k 2−22k 2+1]=2√2k 2+12k 2+1，…（8分）点O 到直线kx ﹣y ﹣k ＝0的距离d =√k +1=√k +1因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =2|k|√k +1，…（9分）∴S △ABC=12|AB|⋅2d =12⋅(2√2⋅k 2+12k 2+1)k 2+1=2√2√k 2(k 2+1)(2k 2+1)2 ＝2√2√14−14(2k 2+1)2＜√2⋯（11分）综上，△ABC 面积的最大值为√2⋯（12分） 21．（12分）已知函数f(x)=x−1e x ． （1）求函数f （x ）的单调区间和极值；（2）若函数y ＝g （x ）对任意x 满足g （x ）＝f （4﹣x ），求证：当x ＞2，f （x ）＞g （x ）； （3）若x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），求证：x 1+x 2＞4． 【解答】解：（1）∵f （x ）=x−1e x ，∴f '（x ）=2−xe x ．（2分） 令f '（x ）＝0，解得x ＝2． x （﹣∞，2）2 （2，+∞）f '（x ） + 0 ﹣f （x ）↗极大值1e2↘∴f （x ）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．（3分）∴当x ＝2时，f （x ）取得极大值f （2）=1e 2．（4分） （2）证明：g(x)=f(4−x)=3−x e 4−x ，令F(x)=f(x)−g(x)=x−1e x −3−xe4−x ，∴F '（x ）=2−x e x −2−x e 4−x =(2−x)(e 4−e 2x )e x+4．（6分）当x ＞2时，2﹣x ＜0，2x ＞4，从而e 4﹣e 2x ＜0， ∴F '（x ）＞0，F （x ）在（2，+∞）是增函数． ∴F(x)＞F(2)=1e 2−1e 2=0，故当x ＞2时，f(x)＞g(x)成立．（8分） （3）证明：∵f （x ）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数． ∴当x 1≠x 2，且f （x 1）＝f （x 2），x 1、x 2不可能在同一单调区间内． 不妨设x 1＜2＜x 2，由（2）可知f （x 2）＞g （x 2）， 又g （x 2）＝f （4﹣x 2），∴f （x 2）＞f （4﹣x 2）． ∵f （x 1）＝f （x 2），∴f （x 1）＞f （4﹣x 2）．∵x 2＞2，4﹣x 2＜2，x 1＜2，且f （x ）在区间（﹣∞，2）内为增函数， ∴x 1＞4﹣x 2，即x 1+x 2＞4．（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5． （Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1， 解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）； （Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0， 只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立， 只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。
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2019年河南省高考文科数学模拟试题与答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面是关于复数2z i =-的四个命题：1:||5p z =；2:p z 的共轭复数为2+i ；23:34p z i =-；4121:33p i z =+.其中真命题为 A. 12p p ， B. 23p p ， C. 24p p ， D. 34p p ， 2. 已知平面向量(,1),(2,1)x x ==-a b ,且//a b ,则实数x 的值是A. 1-B. 1C. 2D. 1-或23.“2a =”是“直线20x y -+=与圆22(2)()2x y a -+-=相切”的 A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性相同的函数是A.y =ln y x = C.tan y x = D.x x y e e -=-5．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱 表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的 路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．26．设曲线11x y x +=-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a = A ．2- B ．21-C ．21D ．27． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()52log 42 3 04xax x x f x x x +>⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩，，，若()()52f f -<，则a 的取值范围为 A.() 1-∞，B.() 2-∞，C.()2 -+∞，D.()2 +∞，8．在直角坐标系中，若角α的终边经过点()22sin ,cos sin 33P πππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．已知数列{}n a 满足11255,,n n a a a a a +-=，且成等比数列，则该数列的前六项和6S =A. 60B. 75C. 90D. 10510．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是A ．1B ．2C ．4D ．711．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若线段AB 的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为A B ．4 C D12．设函数f （x ）=2sin （2x+），将f （x ）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g （x ），则g （x ）的图象的一条对称轴方程为A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是 ． 14．直线L 过P )1,3(与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，则PB PA ∙=15．若,x y 满足约束条件0,20,230,x y x y x y +≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最小值是 ．16． 已知等比数列{a n }的公比不为-1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则84S S = ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222sin sin sin sin A C B A C +-=⋅.（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，()cos 5A C -=，求线段DC 的长.18.(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 所在的平面与等腰ABE ∆所在的平面互相垂直，其中顶120BAE ∠=，4AE AB ==，F 为线段AE 的中点．（1）若H 是线段BD 上的中点，求证：//FH 平面CDE ；（2）若H 是线段BD 上的一个动点，设直线FH 与平面ABCD 所成角的大小为θ，求θtan 最大时三棱锥AFB H -的体积.19.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）20.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C 于点A 、B 和点C 、D ，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N.(Ⅰ)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 、N 的直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-. （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最 小值.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积．23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|1|||()f x x x a a =-+-∈R ． （1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围。
参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2. D3. A4.D5.B6.D7.B8.C9.C 10.C 11.C 12.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 80 14. 9 15. －11 6. 3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17- -21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a cb +-=所以cos B =. 因为()0,B π∈，所以6B π=..............................................6分（Ⅱ）由条件.由()()cos sin A C A C -=⇒-=。
设A D x =，则C D x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ADBAD B=∠.5125xx =⇒=.所以5AD DC ==...................12分 18．（本小题满分12分）(1)连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴H 是AC 的中点，有F 是AE 的中点，∴FH 是ACE ∆的中位线，∴CE FH //，而⊄FH 面CDE ，⊂CE 面CDE ，∴//FH 面CDE ……4 (2)∵面⊥ABCE 面ABE ，交线为AB ，而AB DA ⊥，∴⊥DA 面ABE ，作FI AB ⊥垂足为I ，有FIAD ⊥，得FI ⊥面ABCD ，∴FIH ∠是直线FH 与平面ABCD 所成的角， (6)sin 603FI AF ==tan FI FHI IH ∠==，当BD IH ⊥时，IH 取到最小值 …8 此时求得IH335=V . …12 19.（共12分）（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为500.0252000=. （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51 =372.故所求概率估计为37210.8142000-=. 方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628 部.由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==. （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题设条件得焦点坐标为F(1，0)， 设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）y 2＝4x，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 2k 2＝16(1＋k 2)>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则xM ＝12(x 1＋x 2)＝1＋2k 2，y M ＝k(x M －1)＝2k ，∴x M ＝1＋12y 2M∴线段AB 的中点M 的轨迹方程为：y 2＝2(x －1)(x>1).5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝x 1＋x 22＝2＋k 2k2y M ＝2k.7分同理，设N(x N ，y N )，则⎩⎪⎨⎪⎧x N ＝2k 2＋1y N＝－2k .8分当k≠±1时，可知直线l 的斜率为：k′＝k1－k2， 所以直线l 的方程为：y ＋2k ＝k 1－k2(x －2k 2－1)，即yk 2＋(x －3)k －y ＝0 ①当x ＝3，y ＝0时方程①对任意的k(k≠±1)均成立，即直线l 过点(3，0)11分 当k ＝±1时，直线l 的方程为：x ＝3，综合所述，过M 、N 的直线l 必过定点(3，0).12分 21. (本小题满分12分)（1）(1)3f =-Q 且(2)2()f x f x =-(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分 22(2)3(2)f ∴=-⋅-……………1分33(2)3(2)f ∴=-⋅-………1分 44(16)(2)3(2)48f f ∴==-⋅-=-……1分（2）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-，(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，()(1,2]f x ∈……………1分 (2,4]x ∈时，221()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分()[4,2)f x ∈--……………1分(4,8]x ∈时，2211()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+，……………1分()(4,8]f x ∈……………1分得：222(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ⎧⎪-+∈⎪⎪=---∈⎨⎪⎪-+∈⎪⎩，值域为[4,2)12](4,8]--（，……………1分（3）(2)2()()2()2xf x f x f x f =-⇒=-当(1,2]x ∈时，3()2f x x =--得：当2(2,2]x ∈时，()2()32x f x f x =-=-……1分当1(2,2]n nx -∈时，1(1,2]2n x -∈，21122113()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222n n n n n n x x x x f x f f f x -----=-=-=-=---=--⋅L ……………2分当1(2,2]n nx -∈，n 为奇数时，22()32[,0]4nn f x x -=--⋅∈-当1(2,2]n n x -∈，n 为偶数时，22()32[0,]4n n f x x -=-⋅∈综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为12-……………1分2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n上最大值为24n ，最小值为28n -……………1分3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n上最大值为28n ，最小值为24n-……………1分(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.解：（1）由题1C ：24y x =，22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=，2C ：225x y x +=．（2）联立24y x =和225x y x +=，得1A x =，2A y =，设2(,)4m B m ，由OA OB ⊥，2124m m =-，得8m =-，(16,8)B -，11||||2022AOB S OA OB ∆=⋅=． 23．（1）|1||4|5x x -+-≥等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩，解得0x ≤或5x ≥。