对数与对数运算知识点

对数与对数运算

1. 对数：如果a x

=N(a>0,且az 1)，那么数 x=log a N

,其中a 叫做对数的底数， 2. 对数的性质:(1)1的对数等于 有对数 3. 以10为底的对数叫做常用对数

x 叫做以a 为底N 的对数，记作

N 叫做真数. 0 ；(2)底数的对数等于1;(3)零和负数没 ,log io N

记作 lg

N . 4. 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数， logeN 记作ln N

5. 对数的运算性质：如果 a>0,且a 工1 , M>0;N>0,那么：

(MN) .

M .

N

N1N …Nk

N1 .

N2

.

N3

(1) log a =log a +log a ； log a ( )=log a +log a + …log a ；

(M / N)

M

N

(2) log a =log a -log a ；

(3) log a M i =nlog a M

N I N 6.对数换底公式：log - =log

N a ； log

7. 对数运算中的三个常用结论： a logaN N ,log a a =1,log a 1=0 8. 两个常用的推论：a , b >0且均不为1,m,n,为正整数

(1)

log a b

x log b a

=1; log a b

x log b C

x log c a

=1;

b

n

n

b

(2)

log a m m"og a ； log m a 9. 指数和对数的关系：a x

=N

a ‘

b lo g a N

n b m

log a b

;

1 =1

n

log a N

=x

比较指数式、根式、对数式:

几个对数运算公式的证明

证明下列公式:

(1)

(2) (3) 对数的运算性质 对数的运算性质 对数的换底公式:

(4) (5) (6) 对数运算中的常用结论: a , (M / N)

M

:log a =log a -log

:log a M=nlog a M

log

a b =晋

logc

a logaN N

1,log a b X log b a =1 1,m 为正整数,log 1,m,n 为正整数，log 则 M =M=a x-y N M a y

• x-y= log a ： log a N ,. log a~N

(2)设 a x

=M 贝» x=log a M

,

M n , • log a M n = nlog a b =x ,贝廿 a x

=b . b =logc b

a = a logc I a N =x ，贝廿 a x

=N.v log a a x =x ,. a a b =3 , log b a

=必,• log a b

X log lg a lg b b m

=x ，则(a °) x =b m , • a mx =b m ,. log b m

b ，…log

a m

=log a

mx

贝廿(a 。x =b n , •• log/

=log nlog a b , • x= n log a b , •- log a m

b =-log a b

m m

(7) a ,

a ,

b > 0且均不为 b > 0且均不为 b > 0且均不为 b m

a m

证明：(1)设 a x =M a y

=N, M . N a - log a

• xn=log (3)设 log -log c a ,. log (4) 设 log (5) v log (6)设 log mlog a b ,.•. x=log (7)设 log a m

b n =x , =log a

=-log m

IM

a~N , b n

m

a M N -x=log a , y=log a , x-y=log M . N log a - log a • • nx=nlog a .- M a

xx a b b

• • log c a =log c b ，…xlog c =log c ，…x=log c (a x ) x

l0

9a a

a b n=M ,「・ a xn =M , =a x ,A a log

a ax

=N =lgb x lga =1 lgb = log a b m , mxlog a a

= lg a mx a a b n ,「. mxlog a a

=