2019 2020新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语111集合及其表示方法学案2新人教B版
2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章 1.1.1 第1课时 集合的含义
2．已知集合 A 由 x<1 的数构成，则有( )
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1∉A
C [∵0<1，∴0 是集合 A 中的元素，故 0∈A.]
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3．下列各组对象不能构成一个集合的是( ) A．不超过 20 的非负实数 B．方程 x2－9＝0 在实数范围内的解 C. 3的近似值的全体 D．某校身高超过 170 厘米的同学的全体
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2．元素与集合的关系 (1)属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a属于A ，记作_a_∈__A____. (2)不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a不属于A ，记 作 a∉A . 3．空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ .
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4．常见的数集及表示符号
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【例 3】 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若 a∈A，求实数 a 的值．
[思路点拨] A中含有两个元素：1和a2 ―a―∈―A→ a＝1或a2＝a ―求―a的―值→ 检验集合中元素的互异性
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[解] 由题意可知，a＝1 或 a2＝a， (1)若 a＝1，则 a2＝1，这与 a2≠1 相矛盾，故 a≠1. (2)若 a2＝a，则 a＝0 或 a＝1(舍去)，又当 a＝0 时，A 中含有元 素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0.
(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合． (3)不正确，方程的解只有 1 和－2，集合中有 2 个元素．
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元素与集合的关系
【例 2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结
第1章集合与常用逻辑用语1.1集合的含义与表示1、集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 2、“属于”的概念：我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素；元素在集合A 中，称属于A ，记为，否则称不属于A ，记作。
3、常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N ；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z ；有理数集记作：Q ；实数集记作：R 4、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x -3>2的解集是{x∈R| x -3>2}或{x| x -3>2} （3）图示法（Venn 图）1.2 集合间的基本关系 【知识要点】1、“包含”关系——子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为，例如。
子集的个数为2n （n 为集合中元素个数）2、“相等”关系：如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
3、真子集（个数怎么算）：如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
真子集的个数为2n -1（n 为集合中元素个数）。
4、空集：不含任何元素的集合称为空集，用来表示。
空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.3 集合的基本运算 【知识要点】1、交集的定义：即A ∩B={x| x ∈A ，且x ∈B}．2、并集的定义：即A ∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}．3、交集与并集的性质A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A 4、全集与补集（1）全集：通常用U 来表示。
高中数学新教材必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语基础知识
第一章集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用表示元素三大性质：，，．2集合：一些元素组成的叫做集合，简称集，用表示．3集合相等：两个集合BA,的一样，记作BA=．4元素与集合的关系：属于:a A; 不属于：a A．5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．6集合的表示方法：①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；①描述法：把集合中所有具有共同特征)P的元素x所组成的集合表示为(x的方法；①图示法(Venn图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．7集合间的基本关系：子集：真子集：8空集：不含任何元素的集合，用表示;空集的性质，空集是任何集合的，是任何的真子集．9集合的基本运算：并集；交集；补集(U为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素)．运算性质：A∪B=B⇔; A∩B=A⇔; A∪∅=;A∩∅=; C U(C U A)=; C U∅=; C U U=;(C U A)∩(C U B)=; (C U A)∪(C U B)=;10充分条件与必要条件：p⇒，称p是q的充分条一般地，“若p，则q”为真命题，p可以推出q，记作q件，q是p的必要条件；p是q的条件的四种类型：若则p是q的充分不必要条件；若则p是q的必要充分不条件；若则p是q的充要条件；若则p是q的既不充分也不必要条件．11全称量词及全称量词命题：短语，在逻辑中叫做全称量词，并用符号表示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语，在逻辑中叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是；存在量词命题的否定是．库尔勒市第四中学。
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结的表示法是将a放在大括号中，表示一个只含有a这一个元素的集合。
2）描述法中，要注意符号的使用和表达的准确性。
3）在交集与并集的性质中，要注意交集和并集的交换律和结合律。
4）在全集和补集的性质中，要注意补集的定义和符号的使用。
第一章集合和常用逻辑用语1.1 集合的含义和表示集合是由一些元素组成的总体。
元素具有确定性、互异性和无序性。
我们通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示集合，用小写拉丁字母a、b、c等表示元素。
如果元素x在集合A中，我们称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∉A。
常用的数集有非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
集合的表示法有列举法、描述法和图示法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法是用集合所含元素的公共特征表示集合的方法，可以用语言描述法和数学式子描述法。
图示法是用Venn图表示集合和元素之间的关系。
1.2 集合间的基本关系集合间有“包含”关系和“相等”关系。
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A⊆B，例如N⊆Z。
子集的个数为2的n次方（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
真子集的个数为2的n次方减1（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
空集是不含任何元素的集合，用∅来表示。
空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.3 集合的基本运算集合有交集和并集两种基本运算。
交集是指集合A和集合B中共同拥有的元素组成的集合，记为A∩B。
并集是指集合A和集合B中所有元素组成的集合，记为A∪B。
交集和并集有交换律和结合律。
全集是指包含所有元素的集合，通常用U来表示。
补集是指集合A中不属于集合B的元素组成的集合，记为CBA。
2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念讲义 新人教A版必修第一册
1．1 集合的概念最新课程标准：(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．知识点一 集合的概念1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合． 3．集合中元素的特征只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二 元素与集合的表示及关系 1．元素与集合的符号表示表示⎩⎪⎨⎪⎧元素：通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示.集合：通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示.2．元素与集合的关系状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A 而言，只有“a∈A ”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集)，记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N＋；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的4个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．[教材解难]1．教材P2思考例(3)到例(6)都能组成集合例(3)中的元素为“每一个正方形”例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点”例(5)中的元素为“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”例(6)中的元素为“地球上的四大洋”2．教材P3思考(1)能，大于等于0且小于等于9的3的倍数．(2)不能，不等式x－7<3的解集是x<10，元素有无数个，列举不完．3．教材P5思考用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点，自然语言只需表达出集合中元素的共同特征，不受形式的限制．列举法和描述法是集合语言，有严格的格式要求．其中列举法非常明确地列出组成集合的元素，适用于表示元素个数较少的集合，但是不易看出元素所具有的特征，且有些集合是不能用列举法表示的，如不等式x－1>0的解集；描述法清楚地表述了元素的共同特征，适用于表示无限集或元素个数较多的有限集，但是不容易看出集合的具体元素．[基础自测]1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．下列各组中的两个集合M和N，表示相等集合的是( )A．M＝{π}，N＝{3.141 59}B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}C．M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}D．M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．答案：D3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.答案：B4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．答案：{1,3}题型一集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )A.高一年级全体较胖的学生B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30°＝cos 60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.【答案】 D构成集合的元素具有确定性．方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C.接近于0的数D．不等于0的偶数解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.答案：CC 中元素不确定．题型二 元素与集合的关系[经典例题] 例2 (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(2)满足“a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ”，有且只有2个元素的集合A 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0,4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1,3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C a 分类处理：①a＝0，a ＝1，a ＝2； ②a＝3，a ＝4 还讨论吗？ 方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A.0∉NB.2∈QC．π∉R D.4∈Z解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q是有理数集合，2∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.4＝2,2是正整数，则4∈Z，故本选项正确．故选D.答案：DN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．题型三集合的表示[教材P4例题2]例3 试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.【解析】(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2－2＝0.因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B ＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．找准元素，列举法是把元素一一列举．描述法注意元素的共同特征．教材反思本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．易错点 忽略集合中元素的互异性出错例 含有三个元素的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为集合{a 2，a ＋b,0}，求a ，b 的值．【错解】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.【正解】 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋ba ＋1＝a 2＋(a ＋b )＋0，a ·ba ·1＝a 2·(a ＋b )·0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】方法归纳选用列举法或描述法的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法．列举法的特点是能清楚地展现集合的元素，通常用于表示元素个数较少的集合，当集合中元素较多或无限时，就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法.课时作业 1一、选择题1．已知集合A 中元素x 满足－5≤x ≤5，且x ∈N *，则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈A D ．1∈A解析：x ∈N *，且－5≤x ≤5，所以x ＝1,2.所以1∈A . 答案：D2．将集合⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝52x －y ＝1用列举法表示，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}． 答案：B3．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．0解析：集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ， 所以a ＝2，或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，所以a ＝4， 综上所述，a ＝2或4.故选B. 答案：B4．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B ．不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R解析：选项A 中应是xy ＜0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．答案：D 二、填空题5．给出下列关系：(1)13∈R ；(2)5∈Q ；(3)－3∉Z ；(4)－3∉N ，其中正确的是________．解析：13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．答案：(1)(4)6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈N ，126－x ∈N ，用列举法表示集合A 为________． 解析：(6－x )是12的因数，并且x ∈N ，解得x 为0,2,3,4,5. 答案：{0,2,3,4,5} 三、解答题8．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解析：因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.9．用适当的方法表示下列集合．(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；(2)在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合．解析：(1)因为方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0或－1，所以解集为{0，－1}．(2)在自然数集中，奇数可表示为x＝2n＋1，n∈N，故在自然数集中，小于1 000的奇数构成的集合为{x|x＝2n＋1，且n<500，n∈N}．[尖子生题库]10．下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解析：(1)它们是不相同的集合．(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图象知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案含解析第一册
1．1 集合1．1。
1集合及其表示方法内容标准学科素养1。
通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系．数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题。
授课提示：对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一元素与集合的概念1．集合：有一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象构成一个集合．通常用英文大写字母A，B，C…表示．2．元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c…表示．3．空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
知识点二元素与集合的关系1．属于:如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A。
2．不属于:如果a不是集合A中的元素,就记作a∉A，读作a 不属于集合A。
3．无序性:集合中的元素,可以任意排列，与次序无关．知识点三集合元素的特点1．确定性：集合的元素必须是确定的．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．知识点四集合的分类1．有限集:含有有限个元素的集合．2．无限集：含有无限个元素的集合．知识点五几种常见的数集号N＊知识点六集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，这种表示集合的方法称为列举法．2．描述法(1)特征性质：一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x）称为集合A的一个特征性质．(2)描述法：用特征性质p(x）来表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称描述法．知识点七区间及其表示1．如果a<b，则有下表:定义名称符号数轴表示｛x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a 〈x<b｝开区间（a，b){x|a≤x 〈b}半开半闭区间［a，b）{x｜a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R可以用区间表示为(－∞,＋∞），“∞"读作“无穷大”．如：符号［a,＋∞)（a，＋∞)(－∞,a］(－∞，a）定义｛x｜x≥a}{x|x〉a｝｛x|x≤a｝｛x｜x〈a}［自主检测]1．下列给出的对象中，能组成集合的是(）A．与定点A，B等距离的点B．高中学生中的游泳能手C．无限接近10的数D．非常长的河流答案:A2．若一个集合中的三个元素a，b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D3．下列结论中，不正确的是(）A．若a∈N，则错误!∉NB．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈QD．若a∈R，则错误!∈R答案：A4．分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．解析：描述法：｛x∈N｜0＜x＜6}，列举法：{1，2，3，4，5｝．授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念［例1]下列对象中可以构成集合的是（)A．大苹果B．小橘子C．中学生D．著名的数学家[解析］选项正误原因A×大苹果到底以多重算大，标准不明确B×小橘子到底以多重算小，标准不明确C√中学生标准明确，故可构成集合Dד著名”的标准不明确[答案］C判断一个“全体"是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．给出下列元素①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解;③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．其中能组成集合的是(）A．②B．①③C．②④D．①②④答案:A探究二元素与集合的关系［例2］集合A中的元素x满足错误!∈N，x∈N，则集合A 中的元素为________．［解析]由错误!∈N,x∈N知x≥0，错误!＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2。
高考数学必背知识手册 第一章 集合与常用逻辑用语(公式、定理、结论图表)
第一章集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．（2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）五个特定的集合集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R2.文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示 A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示 {x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）； 空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅A ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B =， 所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．32 B ．31 C ．16 D ．15【答案】D【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣， 其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ) ． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒ q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 p 是q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且q ⇏ p p 是q 的必要不充分条件 p ⇏ q 且q ⇒ pp 是q 的充要条件p ⇔ qp是q的既不充分也不必要条件p ⇏q且q ⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔A B；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。
19_20学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第1课时集合的含义教师
第1课时集合的含义问题导学预习教材P3－P5的内容，思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5．按元素个数的多少，集合可分为哪几类？1．元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)元素的特性①确定性：集合的元素必须是确定的；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.■名师点拨(1)在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．(2)集合中的元素与顺序无关，只要两个集合中的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．2．元素与集合的关系对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R ∈0”是错误的． 3．空集(1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅．4．常用的数集及其记法(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集是有限集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合中的元素一定是数．( )(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√由“title ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个．下列关系中：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N ；⑤0∈∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①是正确的；②中105＝2∈N *，故②错误；③中－4＝－2∉N *，故③错误；④4＝2∈N 是正确的，⑤0∉∅，故⑤错误．故①④正确．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学．【解】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg ”是确定的，可以构成一个集合．(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准是确定的，因而能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准是确定的，因而能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，所以不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2， 此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ， 令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：∈ ∉2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R .若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________． 解析：因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2. 答案：－4<a ≤－2集合中元素的特征及应用已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． 【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 中有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】 －11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2， 所以a ≠a 2， 即a ≠0且a ≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？ 解：因为2∈A ， 所以a ＝2或a 2＝2， 即a ＝2或a ＝± 2.3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A 中的三个元素x ，x ＋1，1与集合B 中的三个元素x ，x ＋x 2，x 2相同，求实数x 的值．解：因为集合A 与B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不符合集合中元素的互异性，而x ＝－1符合， 所以x ＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有质数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是( ) A ．若a ∈N ，则1a∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈Z C ．若a ∈Q ，则|a |∈Q D ．若a ∈R ，则3a ∈R解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a＝1∈N .3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)． (1)由小于8的正奇数组成的集合；(2)大于5小于20的实数组成的集合．解析：(1)因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．(2)因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集．答案：(1) (2)5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________． 解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意， 故m ＝3. 答案：3[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( ) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5B ．－4C．4 D．5解析：选A.因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.4．设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是( ) A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M解析：选B.因为集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，所以a不是集合M中的元素，故a∉M.5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含有( )A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析：选A.x2＝|x|，－3x3＝－x.当x＝0时，它们均为0；当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个．6．下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素；⑤方程x2＋2x＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，因为方程x2＋2x＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确．答案：②④⑤7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”)解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈8．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则|a|a＋|b|b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时， |a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2. 即元素的个数为3. 答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1. 10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ； 因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于或等于1解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a ∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ， 所以11－（－1）＝12∈A ， 所以11－12＝2， 再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数， 所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b ∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集．(2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b(b ≠0)仍是有理数，所以Q是闭集，同理R也是闭集．。
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法教学设计2新人教B版必修第一册
1.1.1集合及其表示方法集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础．课本从学生熟悉的集合(自然数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义，体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．【教学目标】在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具，本节可以帮助学生使用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
【数学抽象】了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;【数据分析】理解元素与集合的"属于"和"不属于"关系;【数学运算】掌握常用数集及其记法;【逻辑推理】掌握集合的表示方法；【教学重点】1、掌握集合、元素的基本概念2、学会用描述法表示集合3、用区间表示集合【教学难点】1、集合中元素的三个特征2、空集的理解3、记住几种常见的数集符号由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价．这样做的目的是培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．【新课导入】在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。
例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类?你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.【新课讲授】一、集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类。
把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。
集合通常用英文大写字母A，B，C，...表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，...表示。
如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”.【尝试与发现】你能举出几个用集合表达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么.【典型例题】（1）如果A是由所有小于10的自然数组成的集合，则0∈A，0.5∉A；（2）如果B是由方程x²=1的所有解组成的集合，则-1∈B，0∉B，1∈B（3）如果C是平面上与定点O的距离等于定长r（r>0）的点组成的集合，则对于以O为圆心、r为半径的圆O上的每个点P来说，都有P∈C.【思考与讨论】现在我们来考虑方程x+1=x+2的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第1课时集合的含义新人教B版必修第一册
2．元素与集合的关系 (1)属于：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a属于A ，记作_a_∈__A____. (2)不属于：如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a不属于A ，记 作 a∉A . 3．空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ .
C [A 项，不超过 20 的非负实数，元素具有确定性、互异性、 无序性，能构成一个集合．B 项，方程 x2－9＝0 在实数范围内的解， 元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C 项， 3的 近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D 项，某校 身高超过 170 厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性， 能构成一个集合．故选 C.]
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知集合 A 由 x<1 的数构成，则有( )
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1∉A
C [∵0<1，∴0 是集合 A 中的元素，故 0∈A.]
3．下列各组对象不能构成一个集合的是( ) A．不超过 20 的非负实数 B．方程 x2－9＝0 在实数范围内的解 C. 3的近似值的全体 D．某校身高超过 170 厘米的同学的全体
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法
第1课时 集合的含义
学习目标 1.通过实例了解集合的含义．(难点)
核心素养 1.通过集合概念的学习，逐
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 步形成数学抽象素养．
3．体会元素与集合的“属于”关系，记 2．借助集合中元素的互异
住常用数集的表示符号并会应用．(重点、性的应用，培养逻辑推理
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1.1.1集合及其表示方法
1、了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;
2、熟练力解元素与集合的属于和不属于关系;
3、知道常用数集及其记法;
4、掌握集合的几种表示方法；
【教学重点】
1、掌握集合、元素的基本概念
2、学会用描述法表示集合
3、正确用区间表示集合
【教学难点】
1、集合中元素的三个特征
2、空集的理解
3、记住几种常见的数集符号
1．元素与集合的概念
(1)集合：把一些能够________________对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个________．
(2)元素：组成集合的______________都是这个集合的________。
(3)集合通常用____________________表示，集合的元素通常用____________________表示。
2．集合的元素具有以下特点：__________、__________、__________.
3．元素与集合的关系
aA的元素，就说________________，记作________是集合．如果(1)aA的元素，就说
__________________，记作________．(2)如果不是集合
4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母______、________、________、________、________来表示．
．集合的分类5．
. 空集：不含任何元素，记作??：含有有限个元素按含
有元素集合??非空集合：??：含有无限个元素的个数分为??
6.集合的表示方法
1．列举法
把集合中的元素___________________________出来，并写在____________，以此来表示集合的方法称为列举法．
2．描述法
AxpxA的元素)一般地，如果属于集合(的任意一个元素，而不属于集合都具有性质pxAA可以．此时，集合的一个都不具有这个性质，则性质(________________)成为集合px)表示为
(_________________用它的特征性质，这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。
7.区间及其表示
一、集合：1问题设计在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类。
例如，图书馆中的书是按整数可以分成正议论文等进行，作文学习可按照文体如记叙文、照所属学科等分类摆放的，
整数、负整数和零这三类?
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.
：问题设计2的同学能组成一个集合吗？1）你所在的班级中，身高不低于175cm（）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？（2 的所有解能组成一个集合吗？一2>13（）不等式x
要点提炼__________.
__________、、1．集合的元素具有以下特点：__________
一、对集合的理解 1、下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？例 2x一有意义的所有实数组成的集合；（1）使得式子√有意义的所有自然数组成的集合；x（2）使得式子√3一 =-1）方程x2的所有实数解组成的集合。
3（二、几种常见的数集、用符号“∈”或“?”填空：例2 ；Z1/3___）3（；Q3/3___）√2（；N2___）1（．
. Q）√（69___（5）-3___N；（4）3.14___R；三、列举法、用列举法表示下列集合：例3 ）我国古代四大发明组成的集合；（1 的所有素数组成的集合；2且小于15（2）大于=2}. 23）{x|x （四、描述法、用描述法表示下列集合：例4 ）所有矩形组成的集合。
（2（1）小于1500的正偶数组成的集合；五、用区间表示下列集合、用区间表示下列集合：例5 x<5}；3）{x|2≤；；（2）{x|0<x≤1}（3}（1）{x|-1≤x≤2}. {x|x≥（6）））{x|0<x<2}；（5{x|x<3}；（4
、判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”1) (1)高一数学课本中较难的题组成集合．(
) (2)漂亮的花组成集合．(
) (3)联合国常任理事国组成集合．(
) ，而无其余元素．( 空集中只含有元素(4)0
2xAxAx)
，则实数．已知集合中含有三个元素0,1，，且的值为∈( 2 1 ．0 ．BA1 或－1 C．－1 ．D
?3、用符号“∈”或“”填空：1*.
Z，－0__________?________，|，Q，Qπ __________4________－N4|________ 2
4、用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数组成的集合；
2xx－2)＝0(的根组成的集合；(2)方程( －4)24xyyx＋＝－(3)一次函数的图象的交点组成的集
合．＝－1与33
Axx>0}，则有( －25、已知＝{)
|3AA 1∈ B． A．3∈3AA?． C．D∈0 2
6、用区间表示下列的集合
{x|-1＜x≤2} {x|-6≤x＜-1} {x|x＜7} {x|x≥3} {x|2≤x≤5}
参考答案（，有限集?））{x|x≥2} ，无限集（2）{0,1,2,3}，有限集31 【实践研究】例（1 ?5）(6)∈31 例2 （）∈（2）?（）?（4）∈（（｛造纸术，指南针，火药，活字印刷术｝1）例3
｝）｛3,5,7,11,13（2 ｝√（3）｛√2，-2 x|x＝2n且x｝n∈Z+＜1500，1 例4 （）｛+）｛x|x=所有的矩形｝（2 ）530（）例 5 （1[-1，3] 2）（，1] （）[2，[2）3（6），＋∞）（－∞，5），（4（）02（） 1【课后巩固】.(1)×(2)×(3)√(4)×C
、 2 ∈∈???、 3．
4、(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．
7??，x＝5，1－y＝x?72????????，.
所求集合为(3)方程组的解是?????552＝4＋2x3y????
??，y＝5B
、 55] ，[2，＋∞）2] [-6，-1、 6（[3）7（－∞，）1，。