广东省2015届高考理科数学108分大题达标练习(7)

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2015年广东省高考数学试卷(理科)_最新修正版

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x + D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A ．B ．C ．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y +=0或2x﹣y ﹣=06．（5分）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B ．C．6 D ．7．（5分）已知双曲线C ：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5最新修正版二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，但显然球的半径不等于棱长，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•，+1分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：1【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s 2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%．【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，最新修正版∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．。

2015年广东高考理科数学试题及答案(完整版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。

2015年广东高考数学(理科)试卷及答案(试题与答案分开)

绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ). A. x e x y += B. x x y 1+= C. x x y 212+= D. 21x y +=4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________.11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________.12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点 A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====,点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.设0>a ,函数a e x x f x -+=)1()(2. (1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点), 证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=-.3. 答案: A 提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e -=+-=-+该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D =--∴-而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4.答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5. 答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6. 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5,易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 提示: 显然当以A,B,C,D 四点为顶点构成正四面体时,这四点两两的距离都相等,以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A,B,C,D,E 五个点两两距离都相等,,26,.3(:2),.A BCD E BCD AE AB AB AE A BCD --=>-则三棱锥和三棱锥是两个全等的正四面体从而这与这五点的距离两两都相等矛盾注的长度为正四面体高的倍故最多四个点两两距离相等9. 答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r r rr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而11. 答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12. 答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案: 13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故14. 答案:522.22:2sin()2,2(sin cos cos sin )2,sin cos 1,44410,7722cos22cos 2,22sin 22sin()2,(2,2),4444|2(2)1|552.221(1)l x y A A l πππρθρθθρθρθππππ-=-=∴-=-+====-=-∴---+==+-提示即即的直角坐标方程为点的直角坐标为从而点到直线的距离为15. 答8.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o OC OD BC BC AC OP AC P AC OD F CF AF COD AOD CBA OCD CODCBA CB CO AB CO CB OD BA ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即.17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%.18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m . 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)m m e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x,则1)('-=xe x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m,ea e m m m e m mm 2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴.(2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x ,即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a n n T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<. 解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴=1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而第 11 页共 11 页 12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n n n a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x x x f x f k k k k k N k f k k k k k kk n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n nn n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。

2015年广东高考理科数学108分达标大题练习(5)

2015年广东高考理科数学108分达标大题练习（5）2015.5.30班别__________ 姓名__________ 学号__________ 成绩__________1、（本小题满分12分）2、（本小题满分12分）3、（本小题满分14分）4、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值；若不存在, 请说明理由.2015年广东高考理科数学108分达标大题练习（5）答案2015.5.30 1、（本小题满分12分）2、（本小题满分12分）3、（本小题满分14分）4．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新（1）解：∵111,21n n a a S +==+， ∴21121213a S a =+=+= ……………1分（2）解法1：由121n n a S +=+，得121n n n S S S +-=+， ………………2分故()211n n S S +=+. ………………3分 ∵0n a >，∴0n S >. ∴11n n S S +=+. ………………4分 ∴数列{}n S 是首项为11S =，公差为1的等差数列. ∴()11n S n n =+-=. ………………5分 ∴2n S n =. ………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式， ∴21n a n =-. ………………9分解法2：由121n n a S +=+，得()2114n n a S +-=， ……………2分当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………3分∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=. ∴()()1120n n n n a a a a +++--=. ………………………５分∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………６分∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥．………………８分∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………9分解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………2分下面用数学归纳法．．．．．证明. ① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ……3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， ……………………4分由已知121k k a S +=+，得()2114k k a S +-=，故()2114k k a S --=. ∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. ………………5分∴()()1120k k k k a a a a +++--=. ………………6分∵10,0k k a a +>>， ∴120k k a a +--=. ………………………7分∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. ………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==. 假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. ………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. ………………11分∵ k 为正整数，∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………12分∵ 0k ≠, ∴ 24610k k --=. 解得2664431384k ±+⨯±==, 与k 为正整数矛盾 ……………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列 ……………14分。

2015年广东省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理数答案解析(正式版)(原卷版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,42．若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．x e x y +=B ．x x y 1+=C ．x x y 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y xC. 052=+-y x 或052=--y xD. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为 A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3。

2015年广东省高考数学试卷(理科)学生版

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+e x 4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0 6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4B．C．6D．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=18．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M ∩N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.⌀ 答案:D解析:由题意知集合M={-4,-1},N={4,1},M 和N 没有相同的元素.故M ∩N=⌀. 2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z = ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i 答案:A解析:因为z=i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= 2 B.y=x+1 C.y=2x +12x D.y=x+e x答案:D解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y= 2y=2x +1x 为偶函数,y=x+1为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A.5B.10C.11D.1答案:B解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C 101C 51C 152=10×5=10. 5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0 答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为 5,所以 5= 5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x ,y 满足约束条件 4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B.235C.6 D.315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z指的是直线y=-3x+z在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-3x+z通过点A时,可使z取得最小值,即z取得最小值.易知点A的坐标为1,45,所以z min=3×1+2×4=23.7.(2015广东,理7)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24−y23=1 B.x29−y216=1C.x 2−y2=1 D.x2−y2=1答案:C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca =54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为x 2−y2=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案:6解析:该二项展开式的通项为T r+1=C4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故T3=C42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015广东,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=π6,则b=.答案:1解析:由sin B=12解得B=π6或B=5π6.根据三角形内角和定理,舍去B=5π,所以B=π6,A=2π3.根据正弦定理asin A =bsin B,得3sin2π3=bsinπ6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=. 答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1−p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin θ−π4=2,点A的极坐标为A22,7π4,则点A到直线l的距离为.答案:522解析:2ρsin θ−π=2,即2ρsinθcosπ-2ρcosθsinπ=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点A的直角坐标为22cos7π4,22sin7π4=(2,-2),所以点A(2,-2)到直线y-x=1的距离d=2=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.答案:8解析:设OD交劣弧AC于点M,由OP∥BC,得OP=1,P为AC的中点,PM=3.由切割线定理得DC2=DM·(DM+4).①在△ABC中,AC为直角边,且AC=2−BC2=42−12=15,所以CP=152.在Rt△DCP中,DC2=(DM+PM)2+CP2, ②联立①②可求得DM=6,所以OD=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,−22,n=(sin x,cos x),x∈0,π.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.解:(1)∵m=2,−2,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=22,−2·(sin x,cos x)=2sin x-2cos x=sin x−π=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈ −π4,π4.∴x-π=0,即x=π.∴tan x=tanπ4=1.(2)由(1)和已知得cosπ3=m·n|m|·|n|=sin x−π422+−22·sin2x+cos2x=sin x−π4=12,又x-π∈ −π,π,∴x-π4=π6,即x=5π12.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=19[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=100.(3)由(2)知s=10,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是2336≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015广东,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:∵PD=PC,且点E为CD边的中点,∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,∴PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.∴∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在Rt△PDE中,PD=4,DE=1AB=3,PE= PD2−DE2=7,∴tan∠PDC=PEDE =73,即二面角P-AD-C的正切值为73.(3)解:如图所示,连接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,即AF=CG=2,∴AC ∥FG ,∴∠PAC 即为直线PA 与直线FG 所成的角或其补角. 在△PAC 中,PA=2+AD 2=5, AC=2+CD 23 由余弦定理可得cos ∠PAC=PA 2+AC 2−PC 2=2 5)222×5×3 5=9 5, ∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9 525.19.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a>1,函数f (x )=(1+x 2)e x -a.(1)求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:m ≤a −2e3-1.解:(1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=(1+x 2)'e x +(1+x 2)(e x )'=(1+x )2e x ≥0,故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. (2)∵a>1,∴f (0)=1-a<0,且f (a )=(1+a 2)e a -a>1+a 2-a>2a-a=a>0. ∴函数f (x )在区间(0,a )上存在零点.又由(1)知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及f'(x )=0,得x=-1.又f (-1)=2e -a ,即P −1,2e −a ,∴k OP =2e−a−0−1−0=a-2e .又f'(m )=(1+m )2e m ,∴(1+m )2e m =a-2.令g (m )=e m -m-1,则g'(m )=e m -1,∴由g'(m )>0,得m>0,由g'(m )<0,得m<0.∴函数g (m )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g (m )min =g (0)=0,即g (m )≥0在R 上恒成立, 即e m ≥m+1.∴a-2e =(1+m )2e m ≥(1+m )2(1+m )=(1+m )3, 即 a −23≥1+m. 故m ≤ a −23-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C 3,0 ,半径r=1|OC 1|=1×3=3, 其方程为 x −322+y 2= 322,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以 2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>5. 易知x ≤3,所以5<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0 53<x ≤3 . (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C 32,0 为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点), 且E 53,2 53 ,F 53,−2 53. 又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由k 32−4 −0 k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0− −2 534−53=2 5,结合上图可知当k ∈ −3,3 ∪ −2 5,2 5时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n−1,n ∈N *.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }的前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n−1+ 1+1+1+⋯+1a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.解:(1)依题意知3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)-(a 1+2a 2)=4-3+223−1− 4−2+222−1 =34,即a 3=14.(2)∵当n ≥2时,na n =(a 1+2a 2+…+na n )-[a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1]=4-n +22n−1− 4−n +12n−2=n2n−1,∴a n = 12 n−1.又a 1=4-1+220=1也适合此式, ∴a n = 1n−1,即数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.故T n =1− 12n1−12=2- 1n−1. (3)由b n =a 1+a 2+⋯+a n−1n + 1+12+⋯+1n a n ,且b 1=a 1,知b 2=a 12+ 1+12 a 2,b 3=a 1+a 23+ 1+12+13a 3,……∴S n =b 1+b 2+…+b n = 1+1+⋯+1 (a 1+a 2+…+a n )= 1+1+⋯+1T n= 1+1+⋯+1 2−12n−1 <2× 1+1+⋯+1.记f (x )=ln x+1x -1(x>1),则f'(x )=1−12=x−12>0,∴f (x )在(1,+∞)上是增函数, 又f (1)=0,即在(1,+∞)上f (x )>0.又k ≥2,且k ∈N *时,kk−1>1, ∴f k =ln k+1k k−1-1>0,即lnk >1.∴1<ln 2,1<ln 3,……,1<ln n,即有1+1+…+1<ln 2+ln 3+…+ln n=ln n. ∴2× 1+1+1+⋯+1<2+2ln n , 即S n <2+2ln n.。

2015年高考理科数学广东卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共16页）数学试卷第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共16页）数学试卷第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值；（Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值；（Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -，因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径，因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，，因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△，故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r，，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337，，，，，，，，（Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个，分别为：444036433637444337，，，，，，，，（Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337，，，，，，，，，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形，又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥，又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥，又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥，因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠，在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+，求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解，亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-，因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：，联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷第15页（共16页）数学试卷第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-，由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-，所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭，令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=，又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。

2015年广东省高考数学试卷(理科)及答案

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。

2015年广东高考理科数学108分达标大题练习(6)

2015年广东高考理科数学108分达标大题练习（6）2015.5.31班别：___________ 姓名：___________ 学号：___________ 成绩：___________ 一．解答题：本大题4小题，52分。

1、（本小题满分12分）函数π()2sin()3f x xω=+（0ω>）的最小正周期是π．（1）求5π()12f的值；（2）若3sin3x=，且π(0,)2x∈，求()f x的值．2、（本小题满分12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值城市AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0,50) [50，100）[100,150) [150,200)城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．3、（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面PDC , PD DC ⊥,底面ABCD 是梯形, AB ∥DC ，1,2AB AD PD CD ====.（1）求证:平面PBC ⊥平面PBD ;（2）设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60º.4. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有 )(1*∈-=N n a S n n , 点),(n n b a 在直线nx y =上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较n T 与n n 22+的大小,并加以证明.2015年广东高考理科数学108分达标大题练习（6）参考答案2015.5.311．解：（1）()f x 的周期πT =，即2ππω=， …………………………………1分2ω∴=±，由0ω>，得2ω=，即π()2sin(2)3f x x =+． ………………………3分5π7πππ()2sin 2sin(π)2sin 112666f ∴==+=-=-． ………………………………5分（2）由03sin 3x =得2001cos 212sin 3x x =-=， ………………………………7分又0π(0,)2x ∈，∴02(0,π)x ∈， ……………………………………………8分 ∴ 20022sin 21cos 23x x =-=， …………………………………………9分 000πππ2sin(2)2sin 2cos 2cos 2sin 333x x x +=+ 221132232232323+=⨯⨯+⨯⨯=． 00π223()2sin(2)33f x x +∴=+=． …………………………………………12分【说明】本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．2、解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ……… 3分从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：ξ1 2 3空气质量优质良好轻度污染中度污染 AQI 值范围 [0,50) [50，100）[100,150)[150,200)城市频数21261P15 35 15所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分 3、（1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，,PD PCD DC PDC ⊂⊂平面平面∴,AD PD AD DC ⊥⊥在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD H ⊥于，在BCH ∆中，1,45.BH CH BCH ==∴∠=︒ 又在DAB ∆中，1,45.AD AB ADB ==∴∠=︒4590BDC DBC BC BD ∴∠=︒∴∠=︒∴⊥，.……3分,,PD AD PD DC ADDC D ⊥⊥=.,.AD ABCD DC ABCD ⊂⊂平面平面,,,PD ABCD BC ABCD PD BC ∴⊥⊂∴⊥平面平面 ………………………………5分,,BD PD D BD PBD PD PBD =⊂⊂平面平面.,BC PBD ∴⊥平面 …………………………………………………………………………6分 ,BC PBC PBC PBD ⊂∴⊥平面平面平面 ……………………………………………7分（2）法二：以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 (如图)则()()()()0,0,10,2,01,0,01,1,0P C A B ，，，.令()000,,Q x y z ,则000,10,2,1PQ x y z PC =-=-（，），（）000,,10,2,1P Q P C x y z λλ=∴-=-（，）（） ∴0,2,1Q λλ=-（）. …………………………………………………………………9分 BC ⊥平面PBD , ∴1,1,0n =-（）是平面PBD 的法向量. ………………………10分设平面QBD 的法向量为m x y z =（，，）.则0n DB n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩即 21x yz y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩. 令1y =,得21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭…………………12分二面角Q BD P --为60︒,∴()221cos ,22221m n m n m nλλ⋅===⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭解得36λ=±,Q 在棱PC 上, 06λλ<<1, ∴=3-为所求. ……………………………………14分4、解：(1)当1n =时, 1111a s a ==-，解得：211=a …………………………………1分当2n ≥时, 11(1)(1)n n n n n a s s a a --=-=---，则有12n n a a -= ，即： 112n n a a -= ∴{}n a 是以211=a 为首项，21为公比的等比数列. ……………………………………3分 ∴*1()2nn a n N ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………4分(2) ∵点),(n n b a 在直线nx y =上∴ 2n n nnb na ==. …………………………………………………5分因为1231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+①,所以2341112322222n n nT +=+++⋅⋅⋅+②.由①-②得,123111*********n n n nT +=+++⋅⋅⋅+-,所以121111112212122222212nn n n n nn n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. ……………8分因为[]nn n n n n n n T 2)2(222)2(2222+-=+-=+- 所以确定n T 与nn 22+的大小关系等价于比较2n与2n + 的大小. ………………9分当1n =时，2121+<; 当2n =时, 2222+=；当3n =时, 2323+>; 当4n =时, 2424+>可猜想当3n ≥时, 22+>n n……………………………………………………10分证明如下:当3n ≥时,0112(11)n n n nn n n n C C C C -=+=++⋅⋅⋅++210+=++>n C C C n n n n . ………………………………………13分综上所述, 当1n =时, nn n T 22+<；当2n =时, n n n T 22+=;当3n ≥时, nn n T 22+> . ………………………………………………14分。

15年高考真题——理科数学(广东卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合()(){}|410M x x x =++=，()(){}|410N x x x =--=，则MN =（）（A ）∅ （B ）{}1,4-- （C ）{}0 （D ）{}1,42．若复数()32z i i =-(i 是虚数单位)，则z =（）（A ）32i - （B ）32i + （C ）23i + （D ）23i -3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）（A ）xe x y += （B ）x x y 1+= （C ）x xy 212+= （D ）21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）（A ）1 （B ）2111 （C ）2110 （D ）215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（）（A ）052=+-y x 或052=--y x （B ）052=++y x 或052=-+y x （C ）052=+-y x 或052=--y x （D ）052=++y x 或052=-+y x6．若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则y x z 23+=的最小值为（）（A ）31 （B ）6 （C ）235 （D ）47．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C的方程为（）（A ）13422=-y x （B ）191622=-y x （C ）116922=-y x （D ）14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）（A ）大于5 （B ）等于5 （C ）至多等于4 （D ）至多等于3二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2015高考真题——数学理(广东卷)word版

绝密★启用前试卷类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题本大题共小题，每小题5分，满分0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若集合，，则（） A． B． C． D． 2、若复数（是虚数单位），则（） A．B．C．D．3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（） A．B．C．D． 4个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为（） A．B．C．D．5、平行于直线且与圆相切的直线的方程是（） A． B． C． D． 6、若变量，满足约束条件，则的最小值为（） A．B．C．D．7、已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（） A．B．C．D．8、若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（） A． B． C． D．二、填空题本大题共小题，考生作答小题，每小题5分，满分0分一必做题11~13题的展开式中，的系数为． 10、在等差数列中，若，则． 11、设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则． 12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答） 13、已知随机变量服从二项分布，若，，则．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为． 15、（几何证明选讲选做题如图是圆的直径，，是圆的切线，切点为，．过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则．三、解答题 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知向量，求的值；与的夹角为，求的值用分成抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；计算（1）中样本的均值和方差；和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01）？所在的平面与长方形所在的平面垂直，，点是的中点，点分别在上，且；求二面角的正切值；与直线所成角的余弦值 19. （本小题满分14分）设，函数的单调区间；在上仅有一个零点；在点P处的切线与处的切线与直线OP平行，（），证明：与圆相交于不同的两点A、B的圆心坐标；与曲线C只有一个交点？若存在，求出满足：的值；的前；证明：数列的前项和满足。

2015年广东高考理科数学试题(含答案)

绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

广东省高考数学试题及答案【解析版】

2015 年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8 小题，每小题 5 分，满分40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1） =0}, N={x| （x—4）（x—1） =0},贝U MA N=（）A. {1,4}B. { - 1 , - 4}C. {0}D. ?考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x| （x+4）（x+1） =0}={ —1, - 4},N={x| （x-4）（xT） =0}={1 , 4},则MT N=?.故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015?广东）若复数z=i （3-2i）（i是虚数单位），则=（）A. 2- 3iB. 2+3iC. 3+2iD. 3 - 2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答：解：复数z=i （3— 2i ） =2+3i ,则=2—3i ,故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5 分）（2015?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y = B．y =x+ C．y=2x + D．y =x+e x考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A y=是偶函数，所以A不正确；对于B, y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C, y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D,不?t足f (-x) =f (x)也不满足f (-x) =-f (x),所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确．故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．( 5 分) ( 2015?广东)袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( ) A．B．C．D．1考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2 个球中恰有 1 个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15 个球任取 2 球的取法，而在求“所取的2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．解答：解：这是一个古典概型，从15 个球中任取 2 个球的取法有；，基本事件总数为105;设“所取的2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50;• .P (A)=.故选：B．点评：考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．5．（5分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A. 2x+y+5=0 或2x+y - 5=0B. 2x+y+=0 或2x+y - =0C. 2x - y+5=0 或2x - y - 5=0D. 2x - y+=0 或2x - y - =0考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．解答：解：设所求直线方程为2x+y+b=0,则，所以=，所以b=± 5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y - 5=0故选：A．点评：本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．6．（5 分）（2015?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A．4 B．C．6 D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y 得y= - x+,平移直线y= - x+,则由图象可知当直线y= -x+,经过点A时直线y=-x+的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A（1 ，），此时z=3X1+2X =,故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015?广东）已知双曲线C: - =1的离心率e=,且其右焦点为F2 （5, 0）,则双曲线C 的方程为（）A. - =1B. - =1C. - =1D. - =1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C: - =1的离心率e=,且其右焦点为F2 （5, 0）,可得：，c=5,a=4, b==3,所求双曲线方程为：-=1.故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上， 3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n>4,由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n>5,不成立.故选：B.点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题.二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题（11〜13题）9.（5分）（2015?广东）在（-1）4的展开式中，x的系数为6 .考点：二项式定理的应用.专题：计算题；二项式定理.分析：根据题意二项式（-1）4的展开式的通项公式为T r+1=? （ - 1）”，分析可得，r=1 时，有x的项，将r=1代入可得答案.解答：解：二项式（-1）4的展开式的通项公式为T r+1=? （- 1）「？，令2 - =1,求得r=2 ,，二项式（-1）4的展开式中x的系数为=6,故答案为：6.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10.（5 分）（2015?广东）在等差数歹U {a n}中，若a3+a4+%+a6+a7=25,贝U a?+a8= 10 .考点：等差数列的通项公式.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值.解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7= （a3+a7）+ （a4+a6）+a5=5a5=25,得到a5=5,贝U a2+a8=2a5=10.故答案为：10.点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11.（5分）（2015?广东）设4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若a=, sinB=,C=,贝U b= 1 .考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数.专题：计算题；解三角形.分析：由sinB=,可得B或B=,结合a=, C吸正弦定理可求b解答：解：,「sinBu,B薮B=当B=4, a=, C= A=由正弦定理可得，则b=1当B=4, C=,与三角形的内角和为兀矛盾故答案为：1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12.（5分）（2015?广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言.（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用.专题：排列组合.分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可.解答：解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40X 39=1560 条.故答案为：1560.点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键.13.(5分)(2015?广东)已知随机变量X服从二项分布B (n, p),若E (X) =30, D (X)=20,贝U P=.考点：离散型随机变量的期望与方差.专题：概率与统计.分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.解答：解：随机变量X服从二项分布 B (n, p),若E (X) =30, D (X)=20, 可彳导 np=30, npq=20, q=,则p=,故答案为：.点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力.14.(5分)(2015?广东)已知直线l的极坐标方程为2psi n (。

2015年广东高考数学(理科)试卷及答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A. xe x y += B. x x y 1+= C. x xy 212+= D. 21x y += 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1 个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523 D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-y xD. 14322=-y x 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________. 11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________. 12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. .17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ;(3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=- 3 答案: A4答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5.答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5, 易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 9.答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r rrr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而 11.答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12.答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案:13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故 14答案:522.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o O C O D B C B C A C O P A C P A C O D F C F A F C O D A O D C B A O C D C O DC B AC B C O A B C OC BO DB A ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即 15.答案: 8. 16. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即 17.解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%. 18.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)mm e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x ,则1)('-=x e x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m, ea e m m m e m mm2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. 解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴. (2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x , 即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点. 21.解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴= 1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n nn a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x xx f x f k k k k k N k f k k k k k k k n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n n n n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。