2018届高三理科数学复习跟踪强化：19含解析

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2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测19含答案

课时跟踪检测(十九）1．sin(－600°）的值为（)A。

错误!B．错误!C．1 D．错误!答案:A解析：sin（－600°）＝sin(－720°＋120°）＝sin 120°＝错误!。

2．若α∈错误!，sin α＝－错误!,则cos（－α）＝（)A．－错误!B．错误!C．错误!D．－错误!答案：B解析：因为α∈错误!，sin α＝－错误!，所以cos α＝错误!，即cos(－α)＝错误!。

3．已知α∈错误!，且cos α＝－错误!,则错误!＝（)A。

错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案:C解析：∵α∈错误!，且cos α＝－错误!，∴sin α＝错误!.错误!＝错误!＝错误!＝错误!.4．已知tan（α－π）＝错误!，且α∈错误!，则sin错误!＝（）A。

错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案：B解析:tan（α－π）＝错误!⇒tan α＝错误!。

又因为α∈错误!，所以α为第三象限的角，所以sin错误!＝cos α＝－错误!。

5．已知2tan α·sin α＝3，－错误!<α〈0，则sin α＝( ) A。

错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案:B解析：因为2tan α·sin α＝3，所以错误!＝3,所以2sin2α＝3cos α,即2－2cos2α＝3cos α，所以cos α＝错误!或cos α＝－2（舍去)，又－错误!<α〈0，所以sin α＝－错误!.6．已知f（α）＝错误!，则f错误!的值为（）A。

错误!B．－错误!C．－错误!D．错误!答案:C解析:∵f(α）＝错误!＝－cos α,∴f错误!＝－cos错误!＝－cos错误!＝－cos 错误!＝－错误!。

7．已知sin错误!＝错误!，则cos错误!＝（）A。

错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案:D解析：∵cos错误!＝sin错误!＝sin错误!＝－sin错误!＝－错误!。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练19 含解析精

跟踪强化训练(十九)1．(2017·沈阳质检)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝a n ＋，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a 22＝a 1a 4，即(1＋d )2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d ≠0，∴d ＝1，可得a n ＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋2n ，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n (n ＋1)2＋2n ＋1－2.[解](1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 2－2，a 1＋a 2＝2a 3－6，a 1＋a 2＋a 3＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)a n －(n －1)n ，所以a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)－(n －1)a n ＋(n －1)n ，即a n ＋1－a n ＝2.又a 2－a 1＝2，因而数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，从而a n ＝2n －1.T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1. 两式相减得－T n ＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×(21＋22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×2×(1－2n )1－2－(2n －1)×2n ＋1＝－2＋2n ＋2－4－(2n －1)×2n ＋1＝－6－(2n －3)×2n ＋1. 所以T n ＝6＋(2n －3)×2n ＋1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)．(1)求证：{S n －3n }是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围． [解] (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n ，(n ∈N *) ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ，∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，∵a 1≠3. ∴S n ＋1－3n ＋1S n －3n＝2，∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列． (2)由(1)得S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∵{a n }为递增数列，∴n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴n ≥2时，2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a 1－3>0，可得n ≥2时，a 1>3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，又当n ＝2时，3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2有最大值为－9，∴a 1>－9，又a 2＝a 1＋3满足a 2>a 1， ∴a 1的取值范围是(－9，＋∞)．4．(2017·昆明模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n S n －2S 2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，a n ＝2a n S n －2S 2n ，∴S n －S n －1＝2(S n －S n －1)S n －2S 2n .∴S n －1－S n ＝2S n S n －1. ∴1S n－1S n －1＝2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列，即1S n＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴S n ＝12n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12(n －1)－1＝－2(2n －1)(2n －3).∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.(2)设b n ＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )2n ＋1，则b n ＋1＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )(1＋S n ＋1)2n ＋3.由(1)知S n ＝12n －1，S n ＋1＝12n ＋1，∴b n ＋1b n ＝(1＋S n ＋1)2n ＋12n ＋3＝2n ＋2(2n ＋1)(2n ＋3)＝4n 2＋8n ＋44n 2＋8n ＋3>1.又b n >0，∴数列{b n }是单调递增数列．由(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1，得b n ≥k . ∴k ≤b 1＝23＝233.∴存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1对一切正整数n 都成立，且k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.。

2018届高三理科数学复习跟踪强化训练：33含解析

(1) 若不等式 f(x) ≤2－|x －1| 有解，求实数 a 的取值范围；
(2) 当 a<2 时，函数 f(x) 的最小值为 3，求实数 a 的值．
a [ 解] (1) 由题意 f(x) ≤2－|x － 1| ，即为 x－2 ＋|x － 1| ≤1. 而由绝对值
a
a
的几何意义知 x－2 ＋|x －1| ≥ 2－1 ，
跟踪强化训练 ( 三十三 ) 1．(2017 ·四川乐山一模 ) 已知函数 f(x) ＝ |2x －1| － |x ＋2|. (1) 求不等式 f(x)>0 的解集； (2) 若存在 x0∈R，使得 f(x 0) ＋ 2a2<4a，求实数 a 的取值范围． [ 解] (1) 函数 f(x) ＝ |2x －1| － |x ＋2| ＝
－x＋3，x<－2， 1
－3x－1，－ 2≤x≤2， 1
x－3，x>2
1 令 f(x) ＝ 0，求得 x＝－ 3或 x＝3，
故不等式 f(x)>0 的解集为 1
x|x< －3或x>3 . (2) 若存在 x0∈R，使得 f(x 0) ＋ 2a2<4a，即 f(x 0)<4a －2a2 有解，
1
1
由(1) 可得 f(x) 的最小值为 f 2 ＝－ 3× 2－1
由不等式 f(x) ≤2－|x －1| 有解，
a ∴ 2－1 ≤1，即 0≤a≤4.
∴实数 a 的取值范围是 [0,4] ．
a
a
(2) 函数 f(x) ＝ |2x －a| ＋ |x －1| 的零点为 2和 1，当 a<2 时知 2<1，
a － 3x＋a＋1，x<2
∴f(x) ＝

2018届高三理科数学复习跟踪强化训练：10含解析

跟踪强化训练(十)一、选择题1．(2017·东北三校联考)已知a>b，则下列不等式中恒成立的是( )A．lna>lnb B.1a<1bC．a2>ab D．a2＋b2>2ab[解析] 只有在a>b>0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a>0时正确；因为a≠b，所以D正确．[答案] D2．(2017·大连一模)设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)[解析] 由题意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)＝3，即f(x)>3，如果x<0，则x＋6>3，可得－3<x<0；如果x≥0，则x2－4x＋6>3，可得x>3或0≤x<1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.[答案] A3．(2017·长春第二次质检)若关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bx x －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)[解析] 关于x 的不等式ax －b>0的解集是(－∞，－2)，∴a<0，b a ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.∵a<0，∴x 2－2xx －1<0，解得x<0或1<x<2.故选B.[答案] B4．(2017·江西师大附中摸底)若关于x ，y 的不等式组x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A.12或14B.12或18C ．1或12D ．1或14[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为12；当k ＝1时，表示区域的面积为14，故选A.[答案] A5．(2017·甘肃会宁一中月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)C．[－2,2] D．[0，＋∞)[解析] 当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，a∈R；当x≠0时，则有a≥－1－|x|2|x|＝－|x|＋1|x|，故a大于或等于－|x|＋1|x|的最大值．由基本不等式可得|x|＋1|x|≥2，∴－|x|＋1|x|≤－2，即－|x|＋1|x|的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.[答案] B6．(2017·浙江卷)若x，y满足约束条件x≥0，x＋y－3≥0，x－2y≤0，则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0,6] B．[0,4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)[解析] 不等式组形成的可行域如图所示．。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练15 含解析精

跟踪强化训练(十五)一、选择题1．(2017·昆明模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512b B .13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b[解析]DE →＝DC →＋CE → ＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C. [答案] C2．(2017·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n－1，所以m n ＝－12，故选C.[答案] C3．(2017·广东深圳第二次调研)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A.43 B .53 C.158 D ．2[解析] 因为M 是BC 的中点，所以BM →＝12BC →，所以AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(AD →－AB →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →＋μ(BC →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎪⎫12λ＋μBC →＝AB →＋BC →，即⎩⎨⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.[答案] B4．(2017·陕西省宝鸡市高三一检)已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [解析] 依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)，选A.[答案] A5．(2017·云南省高三调研考试)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30 D.34[解析] 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. [答案] D6．(2017·西安模拟)在△ABC 中，A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．6[解析] 因为AB →·AC →＝－1，所以bc cos120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos120°＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，所以a ≥6，即|BC →|的最小值是 6.[答案] C7．(2017·西安质量检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →[解析] 由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.[答案] D8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 [解析] 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. [答案] D 9.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →＝mOA →＋nOB →(m >0，n >0)，m ＋n ＝2，则∠AOB 的最小值为( )A.π6 B .π3 C.π2 D .2π3[解析] 解法一：由题意mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，将OC →＝mOA →＋nOB →平方得1＝m 2＋n 2＋2mn cos ∠AOB ，cos ∠AOB＝1－m 2－n 22mn ＝1－(m ＋n )2＋2mn 2mn ＝－32mn ＋1≤－12(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，∵0<∠AOB <π，∴∠AOB 的最小值为2π3.解法二：已知AB 与OC 的交点为M ，设λOM →＝OC →＝mOA →＋nOB →，A ，B ，M 三点共线，则λ＝m ＋n ＝2，说明M 是OC 的中点，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，可知AB ⊥OC 且互相平分，由平行四边形法则，四边形OACB 是菱形，且∠AOB ＝2π3，故选D.[答案] D10．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[解析] 解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(b －c )＝0，即(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝0，整理得⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝12，这是一个圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，12，半径为22的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是2，即所求的最大值为 2.解法二：直接把(a －c )·(b －c )＝0按照数量积的运算法则展开，利用|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0化简后解决．∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，∴由(a －c )·(b －c )＝0可得|c |2＝c ·(a ＋b )，由于a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a ＋b |＝ 2.设a ＋b 与c 的夹角为θ，则|c |2＝c ·(a ＋b )＝|c |·|a ＋b |cos θ，即|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ≤2，所以|c |的最大值是 2. [答案] C11．(2017·郑州适应性测试)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋(y ＋2)2＝1，∴动点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义为动点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|CN →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1，故选A. [答案] A12．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 依题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图．因为AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，所以点P (1,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )．所以PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t －4t .因为1t ＋4t ≥21t ·4t ＝4⎝⎛当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12 )时取等号，所以17－1t －4t ≤17－4＝13，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A.[答案] A 二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[解析] 由题意知a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4＝12.所以|a ＋2b |＝2 3. [答案] 2 314．(2017·南昌一模)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．[解析] ∵|AB →|＝5，|AC →|＝3，AB →·AC →＝2＋6， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝2＋615.∴sin ∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2＋6152＝ 7－4315＝2－315.∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin ∠BAC ＝12×5×3×2－315＝2－32.[答案] 2－3215．(2017·西宁模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．[解析] ∵AP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AD →－34AB →，∴AP →·BP →＝AD →2－12AB →·AD →－316AB →2＝2，又AB ＝8，AD ＝5，解得AB →·AD →＝22.[答案] 2216．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析]如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE→＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. [答案]311。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：14Word版含解析

则 cosA＝( )
3 10
10
10
3 10
A. 10 B. 10 C．－ 10 D．－ 10
[ 解析 ] 设△ ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意
可得
1 3a＝
csinπ4＝
2 2 c，则
32 a＝ 2 c.在△ ABC 中，由余弦定理可得
b2
＝ a2＋ c2－
2ac＝92c2＋ c2－ 3c2＝ 52c2，则
7sinα－ 2＝0，
解得 sinα＝－ 2(舍去 )或 sinα＝14，
15 又由 α为锐角，可得 cosα＝ 4 ，
∴ sin α＋π3 ＝21sinα＋ 23cosα＝1＋83 5，故选 A.
[ 答案 ] A
2．(2017 ·湖北武汉模拟 )在△ ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝π3，则
A 等于 ( )
由正弦定理得
AC sin60
＝°siAn4M5
，°因此
AM＝
200 3
2 m.
在Rt△MBiblioteka A中，AM＝
200 3
2 m，∠ MAN＝45°，得
200 MN＝ 3 m.
200 [ 答案 ] 3
三、解答题
10．(2017 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
a2－b2＝ 3bc，得 a＝ 7b，再由余弦定理可得 cosA＝ 23，所以 A＝π6.
故选 A.
[ 答案 ] A
6．(2017 ·福建漳州二模 )在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
为
a，b， c，且
2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
的面积为

2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题-高三理科数学精品复习讲义与跟踪训练含解析

利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题I ．题源探究·黄金母题【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为a ，b ，根据基本不等式2a b+≥a b +≥a b =时，等号成立，即最小值是．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5 P 100T 2．【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值．作为基础题，是历年来高考的常考点．【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________．【答案】4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= （前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）．【例3】【2017高考山东卷】若直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值为．【答案】8【解析】由直线()10,0x ya b a b +=>>过点()1,2可【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】1．解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式实现和与积互化．如果在解题过程中，两次使用基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立．)222,a b ab a b R +≥∈，),a b a b R ++≥∈，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可以求最值，再求最值时，注意“一正，二定，最值，若是使用2次，更要注意两次使用的条3．活用“1”，“以常驭变”运用均值不等得121a b+=，()12422448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭．【例4】【2017高考江苏10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是．【答案】30 【解析】总费用600900464()4240x x x x+⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．式求解有关的最值问题．III ．理论基础·解题原理)0,0a b ≥>>称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：．()()120,20a bx x ab x b a+≥>+≥>等． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难．【技能方法】（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提．“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀．（2）必须掌握的三个不等式：①a ，b R ∈，则222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）；②a ，b R ∈，则222()2a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）；③a ，b R +∈，则2a b+≥（当且仅当a b =时取等号）．【易错指导】（1）注意不等式成立的条件是0,0a b >>，若0,0a b <<，应先转化为0,0a b ->->，再运用基本不等式求解．（2）“当且仅当a b =时等号成立”的含义是“a b =”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用基本不等式求最值【例1】【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套模拟】函数()24x f x x+=的最小值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】()2444x f x x x x+==+≥=，故选B ．【例2】【2018新疆维吾尔自治区高三二模】设a ，b R ∈，2226a b +=，则a 的最小值为A ．-B ．C ．-D ．（）【答案】A【例3】【2018辽宁辽南协作校高三下学期一模】若lg lg 0a b +=且a b ≠，则21a b+的取值范围为（）A ．)⎡+∞⎣B ．()+∞ C ．)()3,⎡⋃+∞⎣D ．)()3,⎡⋃+∞⎣【答案】A【解析】∵lg lg 0a b +=且a b ≠，∴lg 0ab =，即1ab =．∴212ab b a a b ⎛⎫+⋅=+≥= ⎪⎝⎭当且仅当2a b ==∴21a b +的取值范围为)⎡+∞⎣，故选A ．【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．【例4】【江西上饶市高三下学期二模】已知函数()f x 满足()()()122x e f x f x f ⎛⎫+==⎪⎭'⎝,a b 都有222111322648x x ab f a e b ⎛⎫--<++ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．(),0-∞ C ．()0,1 D ．()1,+∞ 【答案】D所以当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≥，()h x 单调递增，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减．所以()111222max111220222h x h g ef ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()0f x '≤，所以()f x 在[)0,+∞上单调递减．因为22211648ab a e b ++22,a b ==时取等号，所以1111323232102222x x x x x x f f ⎛⎫⎛⎫--∴--∴--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()321x x u x =--，u(x)是一个增函数，()()3211xxu x u =-->，所以x>1．故选D ．【名师点睛】本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题．构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰．【跟踪练习】1．【2018吉林四平市高三质量检测】设0,y 0x >>，若lg2x y 成等差数列，则19x y+的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】D2．【2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（） A ．1 B ．12 C ．34 D ．32【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =，∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=，∴6m n +=，∴()1211211532262622624m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++=⨯+++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当24m n ==时取等号，故选C ．【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号． 3．【2018贵州凯里一中高三下学期《黄金卷》第三套模拟】设m 、n R ∈，已知log 2a m =，log 2b n =，且a b +=1a >，1b >），则m nmn+的最大值是（）A ．1B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】1,1,log 2,log 2,0,0a b a b m n m n >>==∴>> ，11m n mn m n+=+=11log 2log 2a b + ()2222222log log log log log 12a b a b ab +⎛⎫=+=≤== ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b ==A ．考向2 均值不等式应用题【例5】【2018广东江门市高二上学期调研测试（一）】一种设备的单价为a 元，设备维修和消耗费用第一年为b 元，以后每年增加b 元（a b 、是常数）．用t 表示设备使用的年数，记设备年平均费用为y ，即y = (设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数．（Ⅰ）求y 关于t 的函数关系式；（Ⅱ）当112500a =，1000b =时，求这种设备的最佳更新年限．【答案】（Ⅰ）22b b ay t t=++；（Ⅱ）15年．试题解析：（Ⅰ）由题意，设备维修和消耗费用构成以b 为首项，b 为公差的等差数列，因此t 年维修消耗费用为232b tbb b b tb t +++++=，于是222b tbt ab b a y t t t++==++．（Ⅱ）∵0,0,0t a b >>>，所以2b a t t +≥，112500a =，1000b =，500155000y ≥+=，当且仅当2b a t t =，即10001125002t t =，15t =时，年平均消耗费用取得最小值，所以设备的最佳更新年限是15年．【名师点睛】（I ）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．（II ）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【例6】【2018河南中原名校（即豫南九校）高二上学期第二次联考】要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？【答案】长为3，容器的总造价最低为250元．则9991021510019010y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为963x +≥=（当且仅当9x x=即3x =时取“=”），所以 min 250y =．答：该容器长为3米时，容器的总造价最低为250元．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【例7】【2018福建漳州高一下学期期末考】漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0．5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元．（Ⅰ）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式；（Ⅱ）求该博物馆支付总费用的最小值．【答案】（Ⅰ）8000500250y x x=+- （Ⅱ）博物馆支付总费用的最小值为3750元【解析】【试题分析】（1）先依据题设分别求出支付的保险费用18000y x=和保护液体的费用()5000.5x -，再求出运总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式8000500250y x x =+-，（ 0.5x >）；（2）依据题设条件运用基本不等式求出8000500x x+的最小值，从而确定函数8000500250y x x =+-的最小值：解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用1ky x =，把2x =，14000y =代入，得8000k =，则有支付的保险费用18000y x=（0.5x >），故总费用()800080005000.5500250y x x x x=-+=+-（ 0.5x >）．（Ⅱ）因为8000500250y x x ≥=+- 2503750=，当且仅当8000500x x=且0.5x >，即4x =立方米时不等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元．【名师点睛】求解本题的第一问时，先依据题设条件运用待定系数法求出支付的保险费用18000y x=，再求出保护液体的费用()5000.5x -，进而求出运总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式8000500250y x x=+-，（ 0.5x >）；求解第二问时，重点是依据题设条件运用基本不等式先求出8000500x x +的最小值，从而确定函数8000500250y x x =+-的最小值及取得最小值时x 的值，从而使得问题获解．【跟踪练习】1．【2018山东德州市高三年级上学期期中考试】如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB =2米，AD =1米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于9平方米，则DN 的长应在什么范围内？（2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．【答案】（1）（0，12）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米．∵DN DCAN AM =，∴|AM |=()21x x+，∴S 矩形AMPN =|AN |•|AM |=22(1)x x +．由S 矩形AMPN ＞9得22(1)x x+＞9，又x ＞0得2x 2-5x +2＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，即DN 的长的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）．（2）因为x ＞0，所以矩形花坛的面积为：y =22(1)x x+=2x +4x +4≥4+4=8，当且仅当2x =4x ，即x =1时，等号成立．答：矩形花坛的面积最小为8平方米．【名师点睛】本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用．2．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =米，边界线AC始终过点B ，边界线OCOA 、满足0075,30,45A O C A OB B OC ∠=∠=∠=．设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米．（I ）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；（II ）当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．【答案】（1（2）：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最【解析】ABCO分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形24(2)422x x x x =-++--，正好这个表达式可以用基本不等式来求得最小值．试题解析：（I ）结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ∆∆∆+=．于是，（II ）由（I当且仅，即4x =时，等号成立)．答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是米．12分考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式．3．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y 与时间x 的关系，可近似地表示为只有当河流中碱的浓度不低于．．．1时，才能对污染产生有效的抑制作用．（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．【答案】（13≤≤x ；（2）当x =y 有最大值14-3≤≤x -------------5分即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为51322-=分（2）当02≤≤x 时，1682=--++y x x 单调递增-------------8分当24<≤x 时，y=4-x 单调递减-------------9分所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即24<≤x 时，16164[(2)814(2)2=-+---+=-++y x x x x x-------------12分故当且仅当162,==x x xy 有最大值14--------------------14分考向3 与均值不等式有关的交汇题【例8】【2018四川成都龙泉驿区二中高三3月市“二诊”】已知函数()()f 41a x log x =+-（a ＞0且a ≠1）的图像恒过定点A ，若直线2x ym n+=-（m,n 0>）也经过点A ，则3m +n 的最小值为（）[A ．16B ．8C ．12D ．14 【答案】B【名师点睛】本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长．在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．【例9】【2018辽宁沈阳市东北育才学校高三三模】设A B 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A B 、的一点，设直线AP BP 、的斜率分别为m n 、，则412ln 2ln 2b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线的离心率为（）A B C D ．【答案】C设函数()12ln (0)2f x x x x =+>，()22214-122x f x x x x ='=-，所以f(x)在区间10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．()min 14f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2214b mn a ==，又均值不等式等号成立条件当且仅当224a b =，所以e ==．选C ．【名师点睛】（1）双曲线上任意关于原点对称的两点()()1111,,,A x y B x y --，另一动点()00,P x y ，则22P A P Bb k k a=；（2）椭圆上任意关于原点对称的两点()()1111,,,A x y B x y --，另一动点()00,P x y ，则22PA PBb k k a=-．【例10】【2018河北衡水金卷调研卷（五）】已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()1,0F c ，过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M处的切线与直线y =垂直，则ab 的最大值为（）A．2B ．32 CD ．2【答案】B【解析】由题可知抛物线24x y =的焦点为()11010,1,0FF F k c c-∴==--，过1,F F 的直线方程为()11101y x y x c c -=--⇒=-+，联立方程组22114{ 44y x x x ccx y=-+⇒=-+= 2440cx x c ⇒+-=，x ∴=1x =，22x c--=（舍去），又由214'2xy y x =⇒=，因此(212k c-+=⨯1c -=，又由题可知(11c c-=-⇒=223a b +=，又2232322a b ab ab ab +≥⇒≥⇒≤，当且仅当a b ==时，取等号，即()max 32ab =，故选B ．【易错点晴】本题主要考查抛物线、双曲线的方程与性质、导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）．【例11】【2018湖南省三湘名校教育联盟高三三联考】随机变量X 服从正态分布()()210,,12X N P X m σ~>=，()810P X n ≤≤=，则21m n+的最小值为（） A．3+ B．6+ C．8+ D．6+ 【答案】D【名师点睛】本题考查正态分布图象的对称性以及基本不等式的应用．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【例12】【2018上海杨浦区高三下学期质量调研（二模）】若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为．【答案】4【解析】{}n a 为等比数列，0n a >，∴公比0q >，20182017a a q =，201720181qa a ==， 20192018a qa =，2019201811a qa q ==20172019124a a q∴+=+≥=，当且仅q=，即q =2017201912a a ∴+的最小值为4．【跟踪练习】1．【2018云南保山市高三第二次市级统测】在ABC ∆中，若()232||CA AB CB AB AB ⋅+⋅= ，则1tan tan A B+的最小值为（）AB． CD【答案】B【名师点睛】当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用条件A B C π++=进行化简运算；用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”．2．【2018衡水金卷（二）】已知22:0,121x axp x x +∀><+恒成立，若p ⌝为真命题，则实数a 的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （）【答案】A【解析】22:x 0,1,21x ax p x +⌝∃>≥+化为2ax 1x ≥+，即x 0,∃>有211a x x x x +≥=+，又0x >时，1y x x=+的最小值为2，故由存在性的意义知2a ≥．故实数a 的最小值为2．故选：A ．3．【2018安徽淮南市高三一模】已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC交于点,M N ，且AM xAB = ，AN yAC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83 B ．72 C ．52 D ．43+【答案】D令1131312222x m y n m n -=-=≤≤≤≤，，（，）；故11133m nmn x y ++===，，；故14443133333n n x y m m ++=++=++≥+=，当且仅当m n == 故选D ．4．已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()1AP OA λ=- （R λ∈）（O 是坐标原点），且•72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的设影长度的最大值为__________．【答案】15【解析】∵()1AP OA λ=-，∴OP OA λ= ，故O ，A ，P 三点共线．∵·72OAOP= ，∴·72OAOP OA OP == ．设点A 坐标为(x ，y )，则221259x y +=．令OA 与x 轴正方向的夹角为θ，则线段OP 在x 轴上的投影长度为27272cos ||x x x OP OP OA OA OA OA θ=⋅=⋅=2272721516925x x y x x==≤=++，当且仅当16925x x =，即154x =时等号成立．∴线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15．。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：2 Word版含解析

跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32 D. 3[解析] 设k ＝yx －2，如图所示， k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k P A ＝－tan ∠OP A ＝－33，且k P A ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B. [答案] B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案] B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0. 作出可行域如图中阴影部分所示．ba 可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a <－12.故选C.[答案] C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案] (－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 9．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析] 由题意可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1时，直线y ＝－a2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n 2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫24a n 2＝a 2n⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n (n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝(8－2π)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <8－2π.。

2018届高三理科数学复习跟踪强化训练：18含解析

跟踪强化训练(十八)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.3115[解析] 解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2.当n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A. [答案] A2．已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( )A ．n B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋1n n －1 C ．n 2 D ．2n －1[解析] 由a n ＝n(a n ＋1－a n )，得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 为常数列，所以a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，所以a n ＝n ，故选A. [答案] A3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2017＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－2 D ．2[解析] ∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝1＋21－2＝－3，同理，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，∴a n ＋4＝a n ，a 1a 2a 3a 4＝1，∴a 1·a 2·a 3·…·a 2017＝(a 1a 2a 3a 4)504×a 1＝1×2＝2.故选D.[答案] D4．(2017·衡水中学二调)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为2的等差数列，则S 25＝( )A ．232B ．233C ．234D ．235[解析] ∵数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为2的等差数列，∴a n ＋3－a n ＝(a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)＝2，∴a 1，a 4，a 7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a 2，a 5，a 8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a 3，a 6，a 9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S 25＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 25)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 23)＋(a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 24)＝9×1＋9×8×22＋8×2＋8×7×22＋8×3＋8×7×22＝233，故选B. [答案] B5．(2017·郑州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2013<0B．若a4>0，则a2014<0C．若a3>0，则S2013>0D．若a4>0，则S2014>0[解析] 根据等比数列的通项公式得a2013＝a1·q2012＝a3q2010，a2014＝a1q2013＝a4q2010，易知A，B错误．对于选项C，因为a3＝a1q2>0，所以a1>0，当q>0时，任意a n>0，故有S2013>0；当q<0时，仍然有S2013＝a1(1－q2013)1－q>0，C正确．对于选项D，可列举公比q＝－1的等比数列－1，1，－1,1，…，显然满足a4>0，但S2014＝0，故D错误．故选C.[答案] C6．(2017·山西大同模拟)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n(2n－1)·cos nπ2＋1(n∈N*)，其前n项和为S n，则S60＝( )A．－30 B．－60 C．90 D．120[解析] 由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，a n＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k ∈N*)时，a n＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，a n＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，a n＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.[答案] D二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足log2(S n＋1)＝n＋1(n∈N*)，则a n ＝________.[解析] 由已知可得S n＋1＝2n＋1，则S n＝2n＋1－1.当n＝1时，a1＝S1＝3，。

2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测1含答案

课时跟踪检测(一)1．已知集合A＝{1,2，3｝，集合B＝｛2,3，4,5}，则（）A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝{2,3｝D．A∪B＝{1,4,5｝答案:C解析：由题意可知，1是集合A中的元素，但不是集合B中的元素，故A，B错；由集合的运算可知C正确，而A∪B＝{1,2，3,4,5｝．2．集合U＝｛0，1,2，3,4}，A＝｛1,2｝，B＝｛x∈Z｜x2－5x＋4〈0}，则∁U(A∪B)＝（）A．｛0，1，3,4} B．{1，2,3｝C．｛0，4} D．｛0｝答案：C解析：因为集合B＝{x∈Z｜x2－5x＋4〈0}＝｛2，3｝，所以A∪B＝｛1,2，3}，又全集U＝｛0,1，2，3,4}，所以∁U(A∪B)＝｛0，4｝．故选C。

3．设集合A＝错误!,B＝｛（x，y）|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是（)A．4 B．3C．2 D．1答案：A解析:∵A∩B有2个元素，故A∩B的子集的个数为22＝4。

4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1｝，B＝{x｜x2－2x≤0｝，则A∩B ＝（）A．B．C．D．（－∞,1］∪，∴A∩B＝，故选C. 5．已知集合P＝｛x｜x≥0},Q＝错误!，则P∩（∁R Q）＝( ) A．(－∞，2) B．（－∞，－1]C．（－1,0) D．答案：D解析：由题意可知,Q＝{x|x≤－1或x>2}，则∁R Q＝{x｜－1〈x≤2｝，所以P∩(∁R Q)＝{x｜0≤x≤2}．故选D.6．已知全集U＝Z,A＝｛x|x2－x－2〈0,x∈Z｝，B＝{－1，0,1,2},则图中阴影部分所表示的集合等于（)A．｛－1，2｝B．｛－1,0}C．{0,1｝D．｛1,2｝答案：A解析:因为A＝{x|－1〈x〈2}＝｛0，1｝,B＝{－1，0，1，2｝，则（∁U A）∩B＝{－1,2｝,故选A.7．若集合A＝{x｜1≤3x≤81}，B＝｛x｜log2(x2－x)>1}，则A∩B ＝（）A．（2,4］B．C．(－∞，0)∪（0，4］D．(－∞，－1）∪答案：A解析：因为A＝｛x｜1≤3x≤81｝＝{x｜30≤3x≤34}＝{x｜0≤x≤4｝，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x｜x2－x〉2}＝{x｜x〈－1或x>2｝，所以A∩B＝{x|0≤x≤4｝∩{x｜x〈－1或x〉2｝＝{x|2〈x≤4｝＝(2，4］．8．已知集合A＝{x｜y＝log2x，y〈0}，B＝错误!，则A∪B＝( ）A．（0，1）B．错误!C．错误!D．(－∞，1）答案：A解析:由log2x<0得0<x<1,即A＝（0,1)；当0<x〈1时，y＝错误!x∈错误!,即B＝错误!，A∪B＝（0，1）,故选A。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：3Word版含解析

＝4 3；
4 23 1
83
当长、宽分别为 4 和 6 时，体积 V＝3× 3 ×2×6＝ 3 .
83 综上所述，所求体积为 4 3或 3 .
83 [ 答案 ] 4 3或 3
9．(2017 ·深圳模拟 )若函数 f(x)＝mx2－x＋ln x 存在单调递减区间，
则实数 m 的取值范围是 ________．
GN，LE1，KE，H1F，共 5 条；与直线 CB1 平行的有 F1M，FL ，HK， NH1，GE1，共 5 条．分别取 CB1，B1D1，CD 1 的中点如图，连接 CO， D1P，B1T，与直线 CO 平行的有 GH1，FE1，共 2 条；与直线 D1P 平行的有 H1L，NF，共 2 条；与直线 B1T 平行的有 E1N，GL，共 2 条．故与平面 CB1D1 平行的直线共有 5＋5＋5＋2＋2＋2＝21 条．
|k－0＋ 4－ 3k|
3
由
k2＋1 ＝2，得 k＝4.
此时直线方程为 y－4＝34(x－3)，即 3x－4y＋7＝0.
综上所述，所求切线的方程为 x＝3 或 3x－4y＋7＝0.
[ 答案 ] x＝3 或 3x－4y＋7＝0 8．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为 ________． [ 解析 ] 当矩形长、宽分别为 6 和 4 时，体积 V＝2× 3×21×4
跟踪强化训练 (三)
一、选择题
1．(2017 ·武汉二模 )设函数 f(x)＝
1 2
x－7，x<0，
x， x≥0，
若 f(a)<1，则
实数 a 的取值范围是 ( )
A ．(－∞，－ 3)
B．(1，＋∞ )
C． (－3,1)

2018届高三理科数学复习跟踪强化：6含解析

跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. [解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102－1＝－2425. [答案] －24252．[直接法]已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．[解析] 令a n ＝n ，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316. [答案] 13164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析] 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB ＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案] S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lgx|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析] 分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lgx|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lgx 1|>|lgx 2|，∴－lgx 1>lgx 2，即lgx 1＋lgx 2<0，∴0<x 1x 2<1.[答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f(x)＝4－x 2，g(x)＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－(－1)－2－0＝－12，。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练全集及答案(共33份)

跟踪强化训练(一)一、选择题1．(2017·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.故选B. [答案] B2．(2017·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n＝3＋112＝7时，S n取得最大值．故选C.[答案] C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)[解析] 依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.[答案] A4．(2017·济南一模)方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为( ) A．1 B．0 C．－1 D．－2[解析] 由原式得m＝x－1－x，设1－x＝t(t≥0)，则m＝1－t2－t＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122，∵m＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t＝0时，m的最大值为1，故选A.[答案] A5．(2017·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.[答案] D6．(2017·杭州质检)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1 [解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 22p.设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝－y ，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．[答案] C 二、填空题7．(2017·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝x －－x ＋x －2＝－2x －2，将x ＝3代入，得曲线y＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案] －28．(2017·南昌模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 利用双曲线的性质建立关于a ，b ，c 的等式求解．如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．[答案] 29．(2017·衡水中学检测)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2.令f (h )＝16h＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增．所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] 2 3 三、解答题10．(2017·湖南湘中联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． [解] (1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6.(2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2，∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 11．(2017·合肥模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49. [解] (1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0，于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0，解得－94≤d ≤－95.∵d 为整数，∴d ＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1－2n－2n＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝⎛⎭⎪⎫1－19＝49.12．(2017·长沙模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解] (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a.∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b4a2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2kmk 2＋9＋1＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案] C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32D. 3[解析] 设k ＝yx －2，如图所示，k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k PA ＝－tan ∠OPA ＝－33，且k PA ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B.[答案] B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)[解析] 令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)．作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案] D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)[解析] 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案] B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞[解析] 由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图中阴影部分所示．ba可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a<－12.故选C. [答案] C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析] 设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝x －2＋y ＋32.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析] 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案] (－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，19．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案] 4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解] (1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解] 由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明] (1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24a n 2＝a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n(n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝(8－2π)⎝⎛⎭⎪⎫1－12n<8－2π.跟踪强化训练(三)一、选择题1．(2017·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] 解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D. [答案] C2．(2017·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案] B3．(2017·太原模拟)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析] 每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案] D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2[解析] 当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 1＋b 2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝233.故选B. [答案] B5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1， ∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0. 综上可知，选D. [答案] D6．如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB 1D 1平行的直线有( )A ．18条B ．20条C．21条D．22条[解析] 设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P 平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案] C二、填空题7．(2017·郑州模拟)过点P(3,4)与圆x2－2x＋y2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.由|k－0＋4－3k|k2＋1＝2，得k＝34.此时直线方程为y－4＝34(x－3)，即3x－4y＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析] 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或833.[答案] 43或8339．(2017·深圳模拟)若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18.[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[解] (1)设数列{a n}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，a n＝2；当d＝4时，a n＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a n}的通项公式为a n＝2或a n＝4n－2.(2)当a n＝2时，S n＝2n.显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得S n>60n＋800成立．当a n＝4n－2时，S n＝n[2＋n－2＝2n2.令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当a n＝2时，不存在满足题意的n；当a n＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.12．(2017·唐山模拟)已知函数f (x )＝ax＋ln x －2，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝a x＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x(x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线 y ＝－32x ＋1，∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8.∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)． (2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x2(x >0)．(ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝ae2＋lne 2－2＝a e 2，由ae2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝aa＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.跟踪强化训练(四)一、选择题1．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2[解析] y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.[答案] D2．(2017·沈阳质监)在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a ＋c ＝3b ，则tanA2tan C2的值为( ) A.15 B.14 C.12 D.23[解析] 令a ＝4，c ＝5，b ＝3，则符合题意．则由∠C ＝90°，得tan C2＝1，由tan A ＝43，得tan A 2＝12.∴tan A 2·tan C 2＝12·1＝12，选C.[答案] C3．(2017·山西四校联考)P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF1|－|PF2|＝2×3＝6.要使|PM|－|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可．∴(|PM|－|PN|)max＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝9.故选D.[答案] D4．(2017·保定模拟)函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(1)＝0，当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析] 设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．∵当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0，∴当x<0时，g′(x)>0，∴函数g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x)＝g(x)(x∈R)，∴函数g(x)在R上为偶函数，由f(1)＝0，得g(1)＝0，函数g(x)的图象大致如图所示，∵f(x)<0，∴x≠0，g xx<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <0，g x 或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，g x ，由函数图象知，－1<x <0或x >1.∴使得f (x )<0成立的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．故选B. [答案] B5．(2017·南昌调研)某重点中学在一次高三诊断考试中要安排8位老师监考某一考场的语文、数学、理综、英语考试，要求每堂安排两位老师且每位老师仅监考一堂，则其中甲、乙老师不监考同一堂的概率是( )A.314B.67C.37D.17[解析] 利用间接法，安排8位老师监考某一考场的方法共有C 28C 26C 24C 22种，而安排甲、乙两位老师监考同一堂的方法有C 14C 26C 24C 22，所以甲、乙两位老师不监考同一堂的概率为1－C 14C 26C 24C 22C 28C 26C 24C 22＝1－17＝67，故选B.[答案] B6．(2017·江南十校联考)若α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是( )A ．α>βB ．α＋β>0C ．α<βD ．α2>β2[解析] 令f (x )＝x sin x ，则f ′(x )＝sin x ＋x ·cos x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，f (x )为偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．∴αsin α－βsin β>0⇔f (|α|)>f (|β|)⇒|α|>|β|⇒α2>β2，故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·安徽省合肥市高三二检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________． [解析]因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.[答案] [1，＋∞)8．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．[解析] 因为AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)×AB →·AC →－4λ＋9＝0，AB →·AC →＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3，所以－3(λ－1)－4λ＋9＝0，得λ＝127.[答案]1279．(2017·赣中南五校联考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值为________．[解析] 连接A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开，使与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连接A 1C .则A 1C 的长度就是所求的最小值．易知∠A 1C 1B ＝90°，∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°，在△A 1C 1C 中，由余弦定理可得A 1C ＝5 2.故CP ＋PA 1的最小值为5 2. [答案] 5 2 三、解答题10．(2017·广西南宁月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－fx ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1的区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解] (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，－x ＋2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)如图，过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．12．已知函数f (x )＝ln x －(x ＋1)． (1)求函数f (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．[解] (1)∵f (x )＝ln x －(x ＋1)， ∴f ′(x )＝1x－1(x >0)．令f ′(x )>0，解得0<x <1；令f ′(x )<0，解得x >1.∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f (1)＝－2.(2)证明：由(1)知x ＝1是函数f (x )的极大值点，也是最大值点， ∴f (x )≤f (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)，取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n>ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ，叠加得1＋12＋13＋…＋1n>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·32·43·…·n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n>ln(n ＋1)．跟踪强化训练(五)1．[直接法](2017·济南二模)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为( )A ．96B ．432C ．480D ．528[解析] 当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3×3×2种排法，共有3×3×2×24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4×24种排法，因此共有排法3×3×2×24＋4×24＝528(种)．[答案] D2．[直接法](原创题)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，点B (－1,3)，C (3，－1)，且其“欧拉线”与圆x 2＋(y －2)2＝r 2相切，则该圆的面积为( )A ．π B．2π C．4π D．5π[解析] 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的垂直平分线上，BC 的中点为M (1,1)，直线BC 的斜率为－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y－1＝x －1，即x －y ＝0.圆心(0,2)到直线x －y ＝0的距离d ＝r ＝22＝2，则该圆的面积为πr 2＝2π.[答案] B3．[特例法]计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[解析] 取α＝π12，则原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12cosπ62cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π12＝3×322×34＝1.故选D.[答案] D4．[特例法]已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12[解析] 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →，∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32.故选A. [答案] A5．[排除法](2017·重庆一诊)若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－1,2)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] 当a ＝0时，P (1,1)，Q (3,0)，因为k PQ ＝0－13－1＝－12<0，此时过点P (1,1)，Q (3,0)的直线的倾斜角为钝角，排除C ，D ；当a ＝1时，P (0,2)，Q (3,2)，因为k PQ ＝0，不符合题意，排除B ，选A.[答案] A6．[排除法](2017·武汉汉中二检)函数f (x )＝sin2x ＋e ln|x |图象的大致形状是( )[解析] 因为f (x )＝sin2x ＋e ln|x |，所以f (－x )＝－sin2x ＋e ln|x |. 显然f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )，所以函数f (x )为非奇非偶函数，可排除A ，C.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1＋π4<0，可排除D.选B.[答案] B7．[图解法]已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°[解析] 如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.[答案] B8．[图解法](2017·东北三校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝－2cosπx ，令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.[答案] C9．[估算法]图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )[解析] 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.[答案] B10．[估算法]已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积是( )A.36B.26C.23D.22 [解析] 容易得到△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V <13×34×2＝36，立即排除A 、C 、D ，答案选B.[答案] B11．[概念辨析法](2017·南昌一模)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若α＝2π＋π6，β＝π6，α>β，但sin α＝sin β，若α＝π3，β＝2π＋π6，sin α>sin β，但此时α>β不成立，因而“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．[答案] D12．[概念辨析法](2017·襄阳调研)非空集合A 中的元素个数用(A )表示，定义(A －B )＝⎩⎪⎨⎪⎧A －B ，A B ，B －A ，AB若A ＝{－1,0}，B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，且(A －B )≤1，则实数a 的所有可能取值为( )A ．{a |a ≥4}B ．{a |a >4或a ＝0}C ．{a |0≤a ≤4}D ．{a |a ≥4或a ＝0}[解析] 因为A ＝{－1,0}，所以集合A 中有2个元素，即(A )＝2.因为B ＝{x ||x 2－2x －3|＝a }，所以(B )就是函数f (x )＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝a 的交点个数，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可知，(B )＝0或(B )＝2或(B )＝3或(B )＝4.①当(A )≥(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≥(A )－1，所以(B )≥1，又(A )≥(B )，所以1≤(B )≤2，所以(B )＝2，由图可知，a ＝0或a >4；②当(A )<(B )时，又(A －B )≤1，则(B )≤(A )＋1，即(B )≤3，又(A )<(B )，所以2<(B )≤3，所以(B )＝3，由图可知，a ＝4.综上所述，a ＝0或a ≥4，故选D. [答案] D跟踪强化训练(六)1．[直接法]对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.[解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102－1＝－2425. [答案] －24252．[直接法]已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．[解析] 因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.[答案] 33．[特例法]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________．[解析] 令a n＝n，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.[答案] 13 164．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．[解析] 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB ＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝35，S2＝210，S3＝13，故S3<S2<S1.[答案] S3<S2<S15．[图解法]设方程1x＋1＝|lg x|的两个根为x1，x2，则x1·x2的取值范围________．[解析] 分别作出函数y＝1x＋1和y＝|lg x|的图象如图，不妨设0<x 1<1<x 2，则|lg x 1|>|lg x 2|， ∴－lg x 1>lg x 2，即lg x 1＋lg x 2<0，∴0<x 1x 2<1. [答案] (0,1)6．[图解法]不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，其中－2≤x ≤2.如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点．由图可知k AC ＝0－－－2－0＝－12，k BC ＝0－－2－0＝12. 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞7．[构造法]如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π8．[构造法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________．[解析] 由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1，故a n ＝3n－12.[答案] a n ＝3n －129．[归纳推理法](2017·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为________．[解析] 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．[答案] (4,9)10．[归纳推理法]若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b2.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO为该棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是M ________N ．(填>，<或＝)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·PA ·PB ·PC ，所以M ＝1PO 2＝S 2△ABCS 2△ABCPO 2＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC14PA 2·PB 2·PC 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N .[答案] ＝11．[正反互推法]给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则p (－1<ξ<0)＝0.6.则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．[解析] ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确．②命题不能保证sin x ，1sin x 为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确； ④P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误．。

2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：30Word版含解析

两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，
由此可判断罪犯是 ( )
A ．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[ 解析 ] 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设
乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
推断 f(x)＝ccosx 为奇函数
B ．由 a1＝1， an＝ 3n－ 1，求出 S1，S2， S3，猜出数列 { an} 的前 n
项和的表达式
C．由圆
x2＋ y2＝ 1 的面积
S＝πr 2，推断：椭圆
x2 y2 a2＋b2＝ 1 的面积
S＝ πab
D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
[ 解析 ] 由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特
m＋2i
3＋2i |3＋2i|
－m＝0 且 3m＋ 1≠0，得 m＝3，故复数 1－i 的模为 1－i ＝ |1－ i|
32＋22
26
＝ 12＋－ 1 2＝ 2 ，故选 D.
[ 答案 ] D
3．(2017 ·大连模拟 )下列推理是演绎推理的是 ( )
A ．由于 f(x)＝ccosx 满足 f(－x)＝－ f(x)对任意的 x∈R 都成立，
跟踪强化训练 (三十 )
一、选择题
1．若复数 z 满足 z(2－i) ＝11＋7i(i 为虚数单位 )，则 z 的共轭复
－数 z ＝( )
A ．3＋5i
B．3－5i
C．－ 3＋5i
D．－ 3－5i

2018年高考理科数学试题及答案详细解析(全国卷1、2、3卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试全国卷1 理科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第II卷3至5页.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4、考试结束后，将本试题和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设121iz i i-=++，则z = A. 0 B. 12C. 1D.解析：2(1)22i z i i -=+=，所以|z |1=，故答案为C.2. 已知集合{}220A x x x =-->，则R C A = A. {}12x x -<<B. {}12x x -≤≤ C.}{}{2|1|>⋃-<x x x xD.}{}{2|1|≥⋃-≤x x x x解析：由220x x -->得(1)(2)0x x +->，所以2x >或1x <-，所以R C A ={}12x x -≤≤，故答案为B.3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：由已知条件经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，37%274%⨯=，所以尽管种植收入所占的比例小了，但比以往的收入却是增加了.故答案为A.4. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A. 12- B. 10- C. 10 D. 12解析：由323s s s =+得3221433(32=2242222d d d ⨯⨯⨯⨯+⨯++⨯+）即3(63)127d d +=+，所以3d =-，52410a d =+=- 52410a d =+=-，故答案为B.5. 设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x =解析：由()f x 为奇函数得1a =，2()31,f x x '=+所以切线的方程为y x =.故答案为D. 6. 在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.AC AB 4143- B. AC AB 4341- C.AC AB 4143+ D.AC AB 4341+ 解析：11131()22244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC=-=-=-⋅+=-故答案为A.7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A. 172B.52C. 3D. 2解析：如图画出圆柱的侧面展开图，在展开图中线段MN 的长度52即为最短长度，故答案为B.8.设抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点()0,2-且斜率为32的直线与C 交于N M ,两点，则=⋅A. 5B.6C. 7D. 8解析：联立直线与抛物线的方程得M(1，2),N(4,4)，所以=⋅FN FM 8，故答案为D.9.已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x a =++.若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A.[)1,0-B.[)0,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞解析：∵()()g x f x x a =++存在2个零点，即()y f x =与y x a =--有两个交点，)(x f 的图象如图，要使得y x a =--与)(x f 有两个交点，则有1a -≤即1a ≥-，故答案为 C.10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AC AB ,.ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为321,,p p p ，则 A. 21p p = B.31p p = C. 32p p = D. 321p p p +=解析：取2AB AC ==,则BC =∴区域Ⅰ的面积为112222S =⨯⨯=，区域Ⅲ的面积为231222S ππ=⋅-=-，区域Ⅱ的面积为22312S S π=⋅-=，故12p p =.故答案为A.11.已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为N M ,.若OMN ∆为直角三角形，则=MN A.23B. 3C. 32D. 4解析：渐近线方程为：2203x y -=，即y x =，∵OMN ∆为直角三角形，假设2ONM π∠=，如图，∴NM k =，直线MN方程为2)y x =-.联立32)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴3(,)22N -，即ON =，∴3M O N π∠=，∴3MN =，故答案为B.12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.433 B.332 C.423 D. 23解析：由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面α中存在平面与平面11AB D 平行（如图），而在与平面11AB D 平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面EFGHMN ，而平面EFGHMN的面积162S =⨯.故答案为A.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_______________.解析：画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2,0)时取得最大值，max 32206z =⨯+⨯=.故答案为6.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_______________.解析：由已知得1121,21,n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩作差得12n n a a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，又因为11121a S a ==+，所以11a =-，所以12n n a -=-，所以661(12)6312S -⋅-==--，故答案为-63.15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种。