江苏省南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(含答案)

合集下载

江苏省南京市高考2017-2018学年数学三模试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N=______．2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为______．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______．5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出______人．7．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是______．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为______m．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为______．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为______．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是______．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为______．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是______．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是______．二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．17．如图，某水域的两直线型岸边l1，l2成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A相距1公里的D处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC（B，C分别在l1和l2上），围出三角形ABC养殖区，且AB和AC都不超过5公里．设AB=x公里，AC=y公里．（1）将y表示成x的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．20．已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．2016年江苏省南京市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．已知集合M={0，2，4}，N={x|x=，a∈M}，则集合M∩N={0，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】把M中元素代入x=确定出N，求出两集合的交集即可．【解答】解：把a=0，代入得：x=0；把a=2代入得：x=1；把a=4代入得：x=2，∴N={0，1，2}，∵M={0，2，4}，∴M∩N={0，2}，故答案为：{0，2}2．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是（1，）．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部为a，虚部为1，知|z|=，再由0＜a＜2，能求出|z|的取值范围．【解答】解：∵复数z的实部为a，虚部为1，∴|z|=，∵0＜a＜2，∴1＜|z|=＜．故答案为：（1，）．3．若直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，则实数m的值为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，因此直线l2的斜率也存在．化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵直线l1：x+2y﹣4=0与l2：mx+（2﹣m）y﹣3=0平行，直线l1的斜率存在，∴直线l2的斜率也存在．∴两条直线的方程可以化为：y=﹣x+2；y=x+．∴，2≠．解得：m=．故答案为：．4．某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件的总数，再找出所要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：甲学生随机选择其中的一个食堂用餐可有两种选法，同理乙，丙也各有两种选法，根据乘法原理可知：共有23=8中选法；其中他们在同一个食堂用餐的方法只有两种：一种是都到第一个食堂，另一种是都到第二个食堂，则他们不同在一个食堂用餐的选法有8﹣2=6；他们不同在一个食堂用餐的概率为=．故答案为：5．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得a=5，S=1满足条件a≥4，执行循环体，S=5，a=4满足条件a≥4，执行循环体，S=20，a=3不满足条件a≥4，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【考点】分层抽样方法．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：257．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是④．（填所有真命题的序号）①若l∥α，l∥β，则α∥β②若α⊥β，l∥α，则l⊥β③若l∥α，α∥β，则l∥β④若l⊥α，l∥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、面面平行线面垂直的判定定理和性质定理对四个命题逐一分析解答．【解答】解：对于①若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②若α⊥β，l∥α，则l与β可能平行；故②错误；对于③若l∥α，α∥β，则l可能在β内，故③错误；对于④若l⊥α，l∥β，由线面垂直和线面平行的性质定理，以及面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故④正确；故选：④8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4m时，测得拱桥内水面宽为16m；当水面升高3m 后，拱桥内水面的宽度为8m．【考点】椭圆的应用．【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．【解答】解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系设其方程为x2=2py（p≠0），∵A（8，﹣4）为抛物线上的点∴64=2p×（﹣4）∴2p=﹣16∴抛物线的方程为x2=﹣16y设当水面上升3米时，点B的坐标为（a，﹣1）（a＞0）∴a2=（﹣16）×（﹣1）∴a=4故水面宽为8米．故答案为：8．9．已知正数a，b，c满足3a﹣b+2c=0，则的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】消去b，结合基本不等式的性质求出最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设t=，由3a﹣b+2c=0可得3a+2c=b，则t===≤==；当且仅当a=c时“=”成立，则t≤，即的最大值为；故答案为：．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为3．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a=，b=3，∴由正弦定理可得：c=2a=2，∴由余弦定理可得：cosB===，可得：sinB==，=acsinB==3．∴S△ABC故答案为：3．11．已知s n是等差数列{a n}的前n项和，若s2≥4，s4≤16，则a5的最大值是9．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由s2≥4，s4≤16，知2a1+d≥4，4a1+6d≤16，所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，由此能求出a5的最大值．【解答】解：∵s2≥4，s4≤16，∴a1+a2≥4，即2a1+d≥4a1+a2+a3+a4≤16，即4a1+6d≤16所以16≥4a1+6d=2（2a1+d）+4d≥8+4d，得到d≤2，所以4（a1+4d）=4a1+6d+10d≤16+20，即a5≤9∴a5的最大值为9．故答案为：9．12．将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x﹣φ）+θ]=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），∴sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，sin（﹣2φ）=，∴﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，不满足条件：0＜φ＜π；或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=﹣kπ﹣，k∈Z，故φ=，故答案为：．13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可以得到△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），利用向量加法的三角形法则，将则向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：∵OA=OB=1，∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，则AB=1，设BP=x，则AP=1﹣x，（0≤x≤1），∴=（+）=+=||•||cos+||•||cos＜，＞=1+（1﹣x）•x•cosπ==（x﹣）2﹣，∵0≤x≤1，∴当x=时，取得最小值为﹣．故答案为：﹣．14．用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（，）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由已知可得a＜0，进而可得若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，解得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax+，∴f′（x）=3x2+a，若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x3+ax+至多有一个零点，此时h（x）不可能有3个零点，故a＜0，令f′（x）=0，则x=±，∵g（1）=0，∴若h（x）有3个零点，则＜1，f（1）＞0，f（）＜0，即，解得：a∈（，），故答案为：（，）二、解答题（共6小题，满分88分）15．在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=，求向量的坐标；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求||的最大值．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（Ⅰ）把θ=代入，求出向量的坐标表示；（Ⅱ）由向量，求出||的表达式，在θ∈[0，]时，求出||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当θ=时，向量=（sin﹣cos，0﹣sin）=（+，﹣×）=（，﹣）；（Ⅱ）∵向量=（sinθ﹣cosθ，﹣sinθ），∴||====；∴当θ∈[0，]时，2θ+∈[，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]，∴sin（2θ+）∈[﹣1，]，∴≤，即||的最大值是．16．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（1）求证：DE∥平面ACF；（2）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用正方形的性质以及中线性质任意得到OF∥DE，利用线面平行的判定定理可证；（2）取EO的中点G，连接CG，可证CG⊥EO，由EC⊥BD，AC⊥BD，可得平面ACE⊥平面BDE，从而利用面面垂直的性质即可证明CG⊥平面BDE．【解答】（本题满分为14分）证明：（1）连接OF由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，所以OF∥DE．…又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，所以DE∥平面ACF．…（2）在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE，证明如下：取EO的中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，所以CG⊥EO．…又由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以EC⊥BD．…由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，所以BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，…所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，因为CG⊥EO，CG⊂平面ACE，所以CG⊥平面BDE．…17．如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120°，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB=x 公里，AC=y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，将y 表示成x 的函数，由0＜y ≤5，0＜x ≤5，求其定义域；（2）S=xysinA=sin120°=（≤x ≤5），变形，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）由S △ABD +S △ACD =S △ABC ，得，所以x +y=xy ，所以y=又0＜y ≤5，0＜x ≤5，所以≤x ≤5，所以定义域为{x |≤x ≤5}；（2）设△ABC 的面积为S ，则结合（1）得：S=xysinA=sin120°=（≤x ≤5）=（x ﹣1）++2≥4，当仅当x ﹣1=，x=2时取等号．故当x=y=2时，面积S 取最小值\平方公里．答：该渔民总共至少可以围出平方公里的养殖区．18．已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x=﹣2的距离为d 1，到点F （﹣1，0）的距离为d 2，且=．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B（A，B都在x轴上方），且∠OFA+∠OFB=180°．（i）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；（ii）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），则d1=|x+2|，d2=，由此利用=，能求出椭圆C的方程．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），从而k AF=1，k BF=﹣1，直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（ii）k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能推导出直线AB总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=，∴d1=|x+2|，d2=，==，化简，得=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k BF=﹣1，∴直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，代入=1，得3x2+4x=0，解得x1=0，，代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，∴B（﹣，），k AB==，∴直线AB的方程为y=．（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴k AF+k BF=0，设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴k AF+k BF=+=+==0，∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b=2k×﹣（k+b）×+2b=0，∴b﹣2k=0，∴直线AB的方程为y=k（x+2），∴直线AB总经过定点M（﹣2，0）．19．已知函数g（x）=2alnx+x2﹣2x，a∈R．（1）若函数g（x）在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设A，B是函数g（x）图象上的不同的两点，P（x0，y0）为线段AB的中点．（i）当a=0时，g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB是否平行？说明理由；（ii）当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行？说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出g（x）的导数，由题意可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，求出右边函数的最大值，即可得到a的范围；（2）（i）a=0时，求出g（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，结合中点坐标公式，即可得到结论；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．由两直线平行的条件：斜率相等，化简整理，结合中点坐标公式，化为ln=，设t=（0＜t＜1），记函数h（t）=lnt﹣，求出导数，判断单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g（x）的导数为g′（x）=+2x﹣2=，若函数g（x）在定义域上为单调增函数，可得g′（x）≥0对x＞0恒成立，即为a≥x﹣x2对x＞0恒成立，由h（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时，h（x）取得最大值，则a≥；（2）（i）a=0时，g（x）=x2﹣2x，g′（x）=2x﹣2，g′（x0）=2x0﹣2，设A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），（0＜x1＜x2），可得x0=，k AB====x1+x2﹣2=2x0﹣2，则g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行；（ii）当a≠0时，假设存在这样的A，B，使得g（x）在点Q（x0，g（x0））处的切线与直线AB平行．可得g′（x0）=，即+2x0﹣2=，由x0=，可得+x1+x2﹣2=+x1+x2﹣2，即ln =，设t=（0＜t ＜1），记函数h （t ）=lnt ﹣，则h ′（t ）=﹣=≥0，可得h （t ）在（0，1）递增，可得当0＜t ＜1时，h （t ）＜h （1）=0，即方程lnt=在区间（0，1）上无解，故不存在这样的A ，B ，使得g （x ）在点Q （x 0，g （x 0））处的切线与直线AB 平行．20．已知数列{a n }，{b n }满足b n =a n +1﹣a n ，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a 1=1，b n =n ，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n +1b n ﹣1=b n （n ≥2），且b 1=1，b 2=2．（ⅰ）记c n =a 6n ﹣1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a 1应满足的条件．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n +6=b n ，然后求出c n +1﹣c n 为定值，便可证明数列{c n }为等差数列；（ⅱ）数列{a 6n +i }均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a 1应满足的条件．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，有a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1） =a 1+b 1+b 2+…+b n ﹣1=．又因为a 1=1也满足上式，所以数列{a n }的通项为．（Ⅱ）由题设知：b n ＞0，对任意的n ∈N *有b n +2b n =b n +1，b n +1b n +3=b n +2得b n +3b n =1，于是又b n +3b n +6=1，故b n +6=b n∴b 6n ﹣5=b 1=1，b 6n ﹣4=b 2=2，b 6n ﹣3=b 3=2，b 6n ﹣2=b 4=1，（ⅰ）c n +1﹣c n =a 6n +5﹣a 6n ﹣1=b 6n ﹣1+b 6n +b 6n +1+b 6n +2+b 6n +3+b 6n +4=（n ≥1），所以数列{c n }为等差数列．（ⅱ）设d n =a 6n +i （n ≥0），（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k，所以数列为单调增数列；（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP∥AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P．求证：△PAE∽△BDE．【考点】相似三角形的判定．【分析】由题意，根据相似三角形的判定方法，找出两组对应角分别相等，即可证明△PAE ∽△BDE．【解答】证明：∵PA是圆O在点A处的切线，∴∠PAB=∠C．∵PD∥AC，∴∠EDB=∠C，∴∠PAE=∠PAB=∠C=∠BDE．又∵∠PEA=∠BED，∴△PAE∽△BDE．[选修4-2：矩阵与变换]22．变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．（1）点P（2，1）经过变换T1得到点P′，求P′的坐标；（2）求曲线y=x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）变换T1对应的变换矩阵M1==，M1=，即可求得点P在T1作用下的点P′的坐标；（2）M=M2•M1=，由=，求得，代入y=x2，即可求得经过变换T2所得曲线的方程．【解答】解：（1）T1是逆时针旋转角的旋转变换，M1==，M1=，所以点P在T1作用下的点P′的坐标是（﹣1，2）；（2）M=M2•M1=，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M=，=，也就是，即，所以所求的曲线方程为y﹣x=y2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，求AB的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把曲线C1的参数方程化为普通方程，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心距离，即可得出最大值．【解答】解：曲线C1：（θ为参数），消去参数θ化为曲线C1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，曲线C1是以（3，4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2：ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1，是以（0，0）为圆心，1为半径的圆，可求得两圆圆心距|C1C2|==5，∵AB≤5+2+1=8，∴AB的最大值为8．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用|m|+|n|≥|m﹣n|，将所证不等式转化为：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|2a﹣1|，再结合题意a≥2即可证得．【解答】证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得， +λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项式定理计算可知f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7、21、35，通过验证即得结论；（2）通过假设+=2，化简、变形可知（2k﹣n）2=n+2，问题转化为求当n≤2016时n取何值时n+2为完全平方数，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：f（7）的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为=7、=21、=35，∵+=2，即、、成等差数列，∴f（7）具有性质P；（2）解：设f（n）具有性质P，则存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使、、成等差数列，所以+=2，整理得：4k2﹣4nk+（n2﹣n﹣2）=0，即（2k﹣n）2=n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤2016，由于442＜2016+2＜452，所以n的最大值为442﹣2=1934，此时k=989或945．2016年9月28日。

优质金卷：江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题(解析版)

1．【解析】分析:先化简集合A,B,再求得解.详解：由题得，，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查集合的化简和并集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)求集合的并集时，相同的元素只能写一次，所以不能写成，这违背了集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模,意在考查学生对复数基础知识的掌握能力及基本的运算能力. (2)复数的共轭复数为.3．【解析】分析：由频率分布直方图，得每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为0.3，由此能求出每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数．详解：由频率分布直方图，得：每天在校平均开销在[50，60]元的学生所点的频率为：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为500×0.3=150．故答案为：150点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.4．【解析】分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．详解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7点睛：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键．点睛：（1）本题主要考查排列组合的知识，考查古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)相邻的问题一般利用捆绑法，先把A和B捆绑在一起，有种捆法，再把捆绑在一起的A和B看成一个整体，和第三个人排列有种排法，共有=4种方法.6．【解析】分析：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点O连线的斜率求解．详解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．的几何意义为可行域内的动点与定点O连线的斜率，∴k OA=2．由解得B（）.∴k OB=．∴则的取值范围是[，2]．故答案为：[，2]点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率，要记住这个差之比的结构表示的是两点所在直线的斜率.7．①③【解析】分析：①，根据线面垂直的性质和面面平行的定义判断命题正确；②，根据线面、面面垂直的定义与性质判断命题错误；③，根据线面平行的性质与面面垂直的定义判断命题正确；④，根据线面、面面平行与垂直的性质判断命题错误．点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的判断证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)类似这种位置关系的判断题，可以举反例或者简单证明，这两种方法要灵活选择.8．【解析】分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．详解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴=2a，∴b=2a，∴e=．故答案为：点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质、离心率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)求双曲线的离心率一般方法是根据已知找关于离心率的方程，所以在求离心率时，要想方设法找到方程.9．【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化简再利用通项公式即可得出．详解：设等比数列{a n}的公比为q，n∈N*，且a1=1，S6=3S3，q=1时，不满足S6=3S3．q≠1，可得，化为：q3+1=3，即q3=2，∴a7=q6=4．故答案为：4点睛：(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（2）等比数列的前n项和，所以在利用等比数列前n项和公式计算时，一般都要就和分类讨论,否则容易出错.点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.11．【解析】分析：设直线l：y=k(x-4).先求出,,再根据求出k的值得解. 详解：由题得圆M的方程为：令y=0得或x=4,所以A(4，0),B(2，0).则圆N的方程为：因为(3)解（1）（2）（3）得k=.所以直线l的方程为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.12．【解析】分析：先建立直角坐标系，设C(2cosa,2sina),D(x,y),再求出x和cosa,最后求的值.详解：建立如下的直角坐标系,所以所以=故答案为：-3点睛：(1)本题主要考查平面向量的数量积和坐标运算、坐标法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. （2）本题的关键有两个，其一是要想到坐标法分析解答，设C(2cosa,2sina),D(x,y),其二是要善于从已知里找到方程求出x和cosa的值.13．【解析】分析：先利用2b=a+c消掉b得到,再令5a+c=x,2a+c=y，消去a,c，利用基本不等式求最小值.详解：因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：点睛：本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的关键是得到后，要想到转化，令5a+c=x,2a+c=y，则所以，把关于a，c的转化成关于新变量x,y的最值问题.转化是高中数学最普遍的数学思想，要灵活运用.14．【解析】分析：先转化为存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求a的最大值和最小值得解.当直线y=ax+b过点且与相切时，最小，设切点为，则切线方程为，此时所以a的最小值为所以的取值范围为.故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出a的最大值和最小值.15．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出cosα＝，再利用二倍角公式求的值.(2)先求出sinβ＝，cosβ＝，再利用差角的正弦求sin(2α－β)的值，最后求的值.详解：（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．16．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明PE ⊥平面ABC，再证明平面平面.(2) 连接CD交AE于O，连接OM，先证明PD∥OM，再利用相似求出的长．详解：（1）证明：如图，连结PE．因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，所以PE⊥BC，且PE＝，同理AE＝．因为PA＝，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC ⊂平面ABC，所以PE ⊥平面ABC．因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．所以PM＝PC＝．点睛：（1）本题主要考查面面垂直的证明和线面平行的性质定理，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)对平面的转化是本题的关键，由线面平行得到线线平行PD∥OM，首先必须找到一个平面经过直线PD，且这个平面和平面AEM相交，再找到这两个平面的交线OM，对这个性质定理，学生要理解掌握并灵活运用.17．（1）；（2）与重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF＝4cosθsin(＋θ)，再求出DE＝AF=4－4，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝cosθ，所以，所以DF＝4cosθsin(＋θ)，且BF＝4，所以DE＝AF=4－4，所以DE＋DF＝4－4＋4 sin(＋θ)= sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3．因为≤θ＜，所以≤2θ－＜，所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－)＋3，再根据≤θ＜，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.18．（1）；（2）.【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C的方程. (2) 设N(n，0)，先讨论l斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．（2）设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，则＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，当l经过左､右顶点时，＝(－2－n)(2－n)＝n2－4．令n2－n－＝n2－4，得n＝4．下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－)＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2＝(k2＋1) －(4＋k2) ＋16＋k2＝＋16＝12．所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l斜率不存在的情况得到n=4,=12，再证明斜率存在时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有＝12．19．（1）；（2）时，；时，；（3）.【解析】分析：（1）利用导数求函数的极大值，再解方程f (x)极大值＝0得到a的值. (2)利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. (3) 设h (x)＝f(x)－f ′(x)＝2x3－3(a＋2)x2＋6ax＋3a－2，先把问题转化为h (x)≥0在有解，再研究函数h(x)的图像性质分析出正整数a的集合.当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0，f (x)单调递增．故f (x)极大值＝f (0)＝3a－2＝0，解得a＝．（2）g (x)＝f (x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），则g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0，1]．①当0＜a≤2时，△＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g (x)在[0，1]上单调递增，则g (x)取得最大值时x的值为1．②当a＞2时，g′(x)的对称轴x＝＞1，且△＝36(a2－4)＞0，g′(1)＝6(2－a)＜0，g′(0)＝6＞0，所以g′(x)在(0，1)上存在唯一零点x0＝．当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g (x)单调递增，当x∈(x0，1)时，g′(x)＜0，g (x)单调递减，则g (x)取得最大值时x的值为x0＝．综上，当0＜a≤2时，g (x)取得最大值时x的值为1；当a＞2时，g (x)取得最大值时x的值为．所以h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，当a∈(0，1＋)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；当a∈(1＋，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，所以t (a)≤0的解集为[m，n]，故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值、最值和利用导数研究不等式有解问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力运算能力.(2)本题的难点在解不等式h()≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．这里由于是高次不等式解答不了，所以要构造函数t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），通过函数的图像性质得到不等式的解.这是一种解题技巧.20．（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出a n＝4n－2，再利用“数列”证明.(2)利用“数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{a n}为等差数列，再转化a n＜a－a＜a n＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t ＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．因为数列{a n}为“T 数列”，所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝a m，即有(m－n) d＝|d|．①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，②若d＜0，则m＝n－1．此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．综上，d≥0．（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，所以数列{a n}为等差数列．设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，由a n＜a－a＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①n(t－2t2)＞2t－t2－1．②若2t2－t＜0，取正整数N0＞，则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，因此2t2－t≥0．同样根据②式可得t－2t2≥0，所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋ (n－1)＝．点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1，① ，n(t－2t2)＞2t －t2－1，② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21．证明见解析.点睛：本题主要考查几何证明选讲等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. 22．.【解析】分析：先求出AB＝，再设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，再求直线的方程．详解：因为A＝，B＝，所以AB＝．设点P0(x0，y0)是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)．因为P0(x0，y0)在直线l: x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①由AB，即，得, 即,②将②代入①得x－4y＋4＝0，所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．点睛：本题主要考查矩阵和矩阵变换下直线方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.23．.【解析】分析：先求出点P的直角坐标，再求出直线与极轴的交点C(2，0)，再求出圆C 的半径PC＝2，最后求圆的极坐标方程．点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力.24．.【解析】分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，即(＋＋)2≤9(a＋b＋c)．因为a＋b＋c＝1，所以(＋＋)2≤9，所以＋＋≤3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立．所以＋＋的最大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(12＋12＋12)[( )2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2，再利用柯西不等式.25．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答. 26．（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．详解：（1）因为f n(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，所以f n(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，g n(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，猜想f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．面用数学归纳法证明：当n＝2时，命题成立；假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，即n＝k＋1时命题也成立．因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．点睛：(1)本题主要考查排列组合的运算，考查求和，考查数学归纳法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)在利用数学归纳法证明时，必须要利用到前面的归纳假设f k(x)＋g k(x)＝(x＋1)(x ＋2)…(x＋k)，否则就不是数学归纳法,为了利用这个假设，后面的f k＋1(x)＋g k＋1(x)必须分解出f k(x)＋g k(x)，f k＋1(x)＋g k＋1(x)=(k+1)[ f k(x)＋g k(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).。

2018年5月江苏省南京师大附中2018届高三年级模拟考试数学试题参考答案

南师大附中2018届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1．{0，1}2．－213．104．55．1076．47．3328．120522=-y x 9．－2ln210．充分不必要11．912．)23,6[]623 -(-，13．2314．(，)451二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15．(本小题满分14分)解：(1)因为1=⋅n m ，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即1cos sin 3=-A A ，………2分则1)21cos 23(sin 2=⋅-⋅A A ，即216sin(=-πA ，………4分又π<<A 0，所以5666A πππ-<-<，故66ππ=-A ，所以3π=A ．………6分(2)由题知3sin cos cos sin 2122-=-+BB BB ，整理得cos 2cos sin sin 22=--B B B B ………8分易知0cos ≠B ，所以02tan tan 2=--B B ，所以2tan =B 或1tan -=B ，………10分而1tan -=B 时0sin cos 22=-B B ，不合题意舍去，所以2tan =B ，………12分故)tan()](tan[tan B A B A C +-=+-=πtan tan 81tan tan 11A B A B ++=-=-．………14分16．(本小题满分14分)证明：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB //CD ．………2分又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以AB //平面PDC ，………4分又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ，所以AB //EF ．………7分(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD ．………8分因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB //EF ，所以AB ⊥AF ，………9分又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，………12分又AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．………14分17．(本小题满分14分)解：(1)在ABC ∆中，6=AB ，︒=∠60A ，︒=∠75APB 由正弦定理，ABPAPB AB sin sin =∠，即644BP -===-，故PB 的距离是92－36千米．………4分(2)甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为()t f ，要保持通话则需要()9≤t f ．︒1当10≤≤t 时，()()()()︒-⋅⋅--+=60cos 31262312622t t t t t f 9=≤，………6分即071672≤+-t t ，解得71587158+≤≤-t ，又[]1,0∈t 所以17158≤≤-t ，………8分时长为7115-小时．︒2当41≤<t 时，()()()︒-⋅--+=60cos 31262312362t t t f 9=≤，………10分即0362≤+-t t ，解得6363+≤≤-t ，又]4,1(∈t 所以41≤<t ，………12分时长为3小时．3＋7115-＝207(小时)．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是207小时．………14分(注：不答扣1分)18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，b ＝3，又因为ca ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.………4分(2)因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12×F 1F 2×r 12×(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)×r ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＋F 1F 2＝c a ＋c ＝13.………8分(3)若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点(52，0)，………9分下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，k (x －1)，＋y 23＝1化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以△＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.………11分由题意，D (4，y 1)，E (4，y 2)，直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×(52－4)＝2(x 1－4)y 2＋3(y 2－y 1)2(x 1－4)＝2(x 1－4)k (x 2－1)＋3k (x 2－x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2kx 1x 2－5k (x 2＋x 1)2(x 1－4)＝8k ＋2k ·4k 2－123＋4k 2－5k ·8k 23＋4k 22(x 1－4)＝8k ·(3＋4k 2)＋2k ·(4k 2－12)－5k ·8k 22(x 1－4)(3＋4k 2)＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝40k 3－40k 32(x 1－4)(3＋4k 2)＝0，所以点T (52，0)在直线AE 上，同理可证，点T (52，0)在直线BD 上.………16分所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T (52，0).19．(本小题满分16分)解：(1)'11()ax f x a x x-=-=，0x >，当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；………2分当0a >时，1(0,x a∈'()0f x >，()f x 在1(0,a上单调递增；1(,),x a ∈+∞'()0f x <，()f x 在1(,),a +∞上单调递减，函数有极大值1(ln 1f a a a=--，无极小值．………4分(2)由(1)知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a ＞0时，函数有极大值1()ln 1f a a a=--，令()ln 1g x x x =--(x ＞0)，11'()1x g x x x -=-=，(0,1)x ∈，'()0g x <，()0g x <在(0，1)上单调递减；(1,)x ∈+∞，'()0g x >，()g x 在(1，＋∞)上单调递增，函数()g x 有最小值(1)0g =．要使若函数()f x 有两个零点时，必须满足01a a >≠且，………6分下面证明01a a >≠且时，函数有两个零点．因为(1)0f =，所以下面证明()f x 还有另一个零点．①当01a <<时，1()ln 10f a a a=-->，222112ln 12ln 1()2ln a a a a a a f a a a a a a-+--+=-+-==-，令2()2ln 1h a a a a =-+(01a <<)，'()2(ln 1)22(ln 1)0h a a a a a =+-=-+<，()h a 在(0,1)上单调递减，()(1)0h a h >=，则21()0f a <，所以()f x 在211(,a a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在211(,a a 上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．②当1a >时，1(ln 10f a a a=-->，111(0a a a f a a a a e e e=--⨯+=-⨯<，易证ae a >，可得11a e a <，所以()f x 在11(,a e a 上有零点，又()f x 在1(,)a +∞上单调递减，所以()f x 在11(,a e a上有惟一零点，从而()f x 有两个零点．综上，a 的范围是(0,1)(1,)+∞ ． (10)分(3)证明：121221()()ln ln ()f x f x x x a x x -=-+-，12122112121212()()ln ln ()ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又'11()ax f x a x x -=-=，'12122(2x x f a x x +=-+， (12)分'121212112121212212111222ln ln 2()21([ln ]22(1)1[ln ]1x x x x x x x f k x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=-=-+--+-=--+不妨设0＜x 2＜x 1，t ＝x 1x 2，则t ＞1，则1211222(1)2(1)ln ln 11x x x t t x x t x ---=-++．令2(1)()ln 1t h t t t -=-+1)(t >，则22(1)'()0(1)t h t t t-=-<+，因此h (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (1)＝0.又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0，所以f ′(x 1＋x 22)－k ＜0，即f ′(x 1＋x 22)＜k ．………16分20．(本小题满分16分)解：(1)设等差数列的公差为d (d ≠0)，等比数列在公比为q (q ≠1)，由题意得：222141112332411144()(3)4444a a a a d a a d b b b b q b q b q ⎧⎧=+=+⇒⎨⎨=+=+⎩⎩，，解得d ＝1，q ＝2，………4分所以1,2n n n a n b -==.(2)由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有2m n i m j n k a a b a b a b =+，即1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅，由于i j k <<，且为正整数，所以1,2j i k i -≥-≥，所以22224j ik i mn m n m n --=⋅+⋅≥+，………6分可得2mn m n ≥+，即211m n +≤，①当1≤m ≤2时，不等式211m n+≤不成立；②当42m n =⎧⎨=⎩或33m n =⎧⎨=⎩时1112222i j k mn m n ---⋅=⋅+⋅成立；………8分③当4n ≥时，01>n ，12<m，即2>m ，则有6>+n m ；所以n m +的最小值为6，当且仅当1=-i j ，2=-i k 且42m n =⎧⎨=⎩或33m n =⎧⎨=⎩时取得．………10分(3)由题意得：1221(1)22c p c =++123311(1)323c c p c +=+++123123111(1)()23111(1)23n nn nS p p p p c c c c n T n=++++=++++++++=++++ ………11分123n nT c c c c =++++ (1)1211112222n n T c c c =+++ (2)(1)—(2)得1111111224822n n n n T -=+++++- 1122((22n n n =--，………12分求得114(2)(42n n T n -=-+<，所以1114(1)23n S n <++++ ，设1()ln 1(1)f x x x x =+->，则22111()0x f x x x x-'=-=>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，有()(1)0f x f >=，可得1ln 1x x>-.………14分当2k ≥，且k ∈N*时，11kk >-，有11ln11k k k k k ->-=-，所以12131ln ,ln ,,ln 21321n n n <<<- ，可得1112311ln ln ln1ln 23121nn n n ++++<++++=+- ，所以1114(1)4(1ln )23n S n n<++++<+ .………16分南师大附中2018届高三年级校模考试数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以ACBC＝AMBM．又AC＝12AB，所以ABBC＝2AMBM①……………4分因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即ABBC＝BNBM②……………8分由①、②可知2AMBM＝BNBM，所以BN=2AM．……………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝|λ－1－2－2λ－x|＝(λ－1)(λ－x)－4． (3)分因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．……………6分由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．……………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆C：ρ＝22cosθ直角坐标方程为x2＋y2－22x＝0，即(x－2)2＋y2＝2．直线l：θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．……………6分圆心C到直线l的距离d＝|2－0|2＝1．……………8分所以AB＝2． (10)分D．选修4—5：不等式选讲证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以(12a＋1＋42b＋1)[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋2b＋12a＋1＋4(2a＋1)2b＋1≥5＋22b＋12a＋1×4(2a＋1)2b＋1＝9． (8)分而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94． (10)分证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得(1 2a＋1＋42b＋1)[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(12a＋12a＋1＋42b＋12b＋1)2＝(1＋2)2＝9．……………8分由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94．……………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)解：(1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C36种不同选法，其中S＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝32)＝12C36＝35.……………3分(2)S的所有可能取值为34，32，334.S＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝34)＝6C36＝310.……………5分S＝334的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，11所以P (S ＝334)＝2C 36＝110.……………7分又由(1)知P (S ＝32)＝12C 36＝35，故S 的分布列为S 3432334P31035110所以E (S )＝34×310＋32×35＋334×110＝9320.……………10分23．(本小题满分10分)解：(1)若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}，则A ＝∅，{a 1}，{a 2}，则(A ，B )的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有12C 种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅，此时(A ，B )的个数为12C ×1＝2.综上，(A ，B )的个数为5.…………3分(2)集合M 有2n 子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1).…………5分若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B )的个数为C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C nn －1)＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ).…………7分又(x ＋1)n (x ＋1)n 的展开式中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2，且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，所以(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时，有序集合对(A ，B )的个数为C n 2n －2n .…………9分所以，A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B )的个数为2n (2n －1)－(C n 2n －2n )2＝22n －C n 2n2.…………10分。

南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加卷

南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2018.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中， AC ＝12AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ，求证：CM 是∠ACB 的平分线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，求直线l 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．A(第21A 题图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2．（1）求p 的值；（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1An －i n x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A nn ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．(第22题图)。

高三数学-2018届江苏省南京市高三质量检测数学试卷精

江苏省南京市2018届高三质量检测数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第lI 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答卷纸的密封线内．每题答案写在答卷纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上．考试结束，将答卷纸交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么正棱锥、圆锥的侧面积公式 P （A +B ）=P （A ）+P （B ）S 锥侧=21cl 如果事件A 、B 相独立，那么其中c 表示底面周长，l 表 P （A·B ）=P （A ）·P （B ）示斜高或母线长如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那球的表面积公式么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率S 24R π= P n （k ）=C k n P k（1-P ）kn -其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、择题题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选顶中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ={1,2,3, 4,5,6}，集合P ={1,2,3,4}，Q ={3,4,5,6}，则P )(Q C UA ．{1,2}B ．{3,4}C ．23D ．12．已知a =（cos40°，sin40°），b +（sin20°，cos20°），则a ·b 的值为A ．22B ．21 C ．23 D ．13．将函数y =sin2x 的图象按向量a =（-,06π）平移后的图象的函数解析式为 A ．y =sin （2x +3π） B ． y =sin （2x -3π） C ． y =sin （2x +6π） D ． y =sin （2x -6π）4．已知双曲线191622=-y x ,双曲线上的点P 到左焦点的距离与点P 到左准线的距离之比等于A ．54 B ．34 C ．47 D ．45 5．（2x +x ）4的展开式中的x 3系数是A ．6B ．12C ．24D ．486．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．y =x1 B ．y =2x- C ．y =lgxx+-11D ．||x y -=7．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层，第二层，第三层…，则第6层正方体的个数是A ．28B ．21C ．15D ．118．设γβα,,为两两不重合的平面，n m ,为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若βγα,⊥∥γ，则βα⊥； ②若βγα,⊥∥γ，则α∥β； ③若,,a n a m ∥∥；∥则n m④若βγα,⊥⊥γ，γβ⊥=m m a ，则．其中真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．49．若的是，则：q p x xq x x p 0|1|1,02:2>-+<--A ．充分不必要条件B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．如果一条直线与一个平面平行，那么，称此直线与平构成一个“平行线面线”．在一个平行六面体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面线”的个数是A ．60B ．48C ．36D ．24第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上．11．一个电视台在因特网上就观众对其某一节止的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为15000人，其中持各种态度的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取选出150人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在“喜爱”这类态度的观众中抽取的人数为_____________12．已知=)(x f log )2(2+x ,函数g （x ）的图象与函数f （x ）的图象关于直线y=x 对称，则g （1）=____________13．已知圆044222=+-++y x y x 关于直线y=2x+b 成轴对称，则b=_________． 14．函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是______________．15．一个正四棱柱的顶点都在球面上，底面边长为1，高为2，则此球的表面积为________． 16．已知抛物线)1,0(,22P y x 过点=的直线与抛物线相交于),(),(221,1y x B y x A 两点，则21y y +的最小值是___________．三、解答题：本大题5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分，第一小问满分6分，第二小问满分6分）已知数列（n a ）是等差数列，（n b ）是等比数列，且a 1=b 1=2,b 4=54,a 1+a 3=b 2+b 3．（1）求数列{n b }的通项公式（2）求数列{n a }的前10项和S 10．18．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的4个黑球和3个红球，某人一次从中摸出2个球。

江苏省南京市2018届高三考前模拟检测数学试题及答案详解

ABNMD C A 南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ．其中是真命题的有．（填所有真命题的序号）2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为．3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为．4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq的值是．6．已知函数f (x )＝－34x ＋1x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，l 2之间的距离的最大值是．7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右焦点，直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝b 24相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离心率为．8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是．9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →＝1，则AB →·MN →＝．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点A ，B 使得AP →＝2PB →，则r 的取值范围是．11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是．12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是．13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b 取最小值时，b 的值为．14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．二．解答题15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π4)的值．16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝3．求证：（1）P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离．18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A 点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．PABCDABC岸边30°rr h19. 某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元. （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知圆O 1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．（1）求圆O 1的标准方程；（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得的弦长分别为d ，d 1．若dd 1＝2，求证：直线l 过定点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ．①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，求实数a的取值范围．24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝ax1＋x2，a∈R．（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．25．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，则称数列{a n }具有性质P ．（1）若数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n }是否具有性质P ；（2）若正项等差数列{b n }具有性质P ，求数列{b n }的公差；（3）已知正项数列{c n }具有性质P ，c 2＝3，且任意n ∈N *，有c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，求数列{c n }的通项公式．26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n；（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n ，求证：数列{a n }是等差数列．DCBA P三．理科附加题 27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为12，前两次考试相互独立，第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考试达到优秀的概率为23，否则为12．（1）求该同学没能达到优秀的概率；（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AB ＝23，BC ＝6．（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．29．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝4，且对于任意n∈N*有a n＋4＝a n＋3＋a n＋1＋a n．（1）求证：任意n∈N*，a2n＋1＝a2n＋a2n－1；（2）求证：任意n∈N*，a2n a2n＋2为整数．30．已知m∈N*，数列T：a1，a2，a3，…，a3m＋1满足如下条件：①a1，a2，a3，…，a3m＋1是1，2，3，…，3m＋1的一个全排列；②数列a1，a2，a3，…，a3m＋1的前n(1≤n≤3m＋1，n∈N*)项和S n均不能被3整除．（1）当m＝1时，写出所有符合条件的数列T；（2）写出满足条件的数列T的个数f (m)．南京市2018届高三数学考前综合题答案解析一．填空题1．【答案】④．【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．2．【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立．所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±bax ，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1，可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，即a ＝b ，于是e ＝2．【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．【答案】38．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23AC →由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →，则⎩⎨⎧λ＝m3，μ＝2m 3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也可通过坐标法解决．5．【答案】2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝，因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ．因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1，所以d ＝2a ，从而daq＝2．【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力． 6．【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，因为f ′(x )＝－34－1x 2，切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1x 22，因此有x 1＝－x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2x 2，于是l 1，l 2之间的距离d ＝|2x 1－2x 2|(－34－1x 12)2＋1＝4x 1(－34－1x 12)2＋1＝42516x 12＋1x 12＋32≤452＋32＝2，当且仅当x 1＝255时取等号，于是d 的最大值为2．【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．7．【答案】53．【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ，因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点，所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，可得b a ＝23，所以e ＝53．【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解． 8．【答案】[－223，223]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2－tx ＋t 2－1＝0，则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等比数列，则公差d 的最小值是．转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1．9．【答案】6．DCA【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →)＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →＝－2－OA →·MN →＝－2＋12AB →·MN →＝1所以AB →·MN →＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想． 10．【答案】(2，32]．【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →，可得A (3－2x 0，3－2y 0)，则有(1－2x 0)2＋(3－2y 0)2＝r 2，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 24，又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r2≤(2－12)2＋(32)2≤r ＋r2，解得：2≤r ≤32，易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，从而r ∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化． 11．【答案】4＋43．【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4³BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD，于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2³2³4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43，从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数． 12．【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值．结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋22，对任意k ＞0恒成立，ABNM即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2k ＋1－1≥22－1，当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－1，所以a 的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可． 13．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝13，从而b ＝ln3－13．【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化，利用图像快速解决问题． 14．【答案】a ＞3518．【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3，易得函数f (x )在(－∞，－a 3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a 3，a3)上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (a3)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＝0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a3)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者⎩⎨⎧f (23)≥0，a 3＜23，解得a ＞3518．【说明】本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题．二．解答题 15．解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π6)．所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2．函数F (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．（2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝13．于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x)＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2x1＋tan 2x＝22·2³13＋1－(13)21＋(13)2＝7210．【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质，注意公式和性质的熟练掌握．16．解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0．由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，故cos B ＝－12．因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π3．（2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即12＝a 2＋c 2＋ac ．因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，所以→AB ·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，所以→AB ·CB →的最小值为－2．【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂． 17．（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2）解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ． V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13³(12³2³3)³1＝33．因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ．又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．PA BDrrh于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13³(12³3³5)h ＝156h ．因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝255．即点C 到平面PBD 的距离为255．【说明】考查直线与平面位置关系的判断；考查空间几何体体积的计算，点到平面距离的计算． 18．解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2－2×2×12t cos30°，整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2t －63)2＋36.由于0＜t ≤14，所以2t≥8，所以，当2t ＝63即t ＝39时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6.答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时. （2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°，两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )mt ＋v 2－64＝0设mt＝k ，0＜k ＜1，则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解，则必有△＝(128－163v )2－4³192×(v 2－64)≥0，解得0＜v ≤1633，当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633.答：小船的最大速度为1633千米/小时.【说明】本题利用余弦定理解决简单的三角形问题，其中第二问，需要注意的是：要能利用方程有解，求参数的最值． 19.解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π3，故h ＝23(32r 2－r )，由于h ≥2r ，因此23(32r2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2，所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)³3＝π(2c －1)r 2＋128πr ，定义域为(0，2].（2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－642c －1)r 2，当642c －1≥8即3＜c ≤92时，y ′≤0恒成立，此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小；当642c －1＜8即c ＞92时，令y ′＝0得r ＝3642c －1∈(0，2)，当0＜r ＜3642c －1时，y ′＜0；当3642c －1＜r ＜2时，y ′＞0，所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128πr在(0，3642c －1)上单调递减，在(3642c －1，2)上单调递增，所以r ＝3642c －1时，总建造费用y 最小. 综上所述，当3＜c ≤92时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；当c ＞92时，总建造费用y 最小时，r ＝3642c －1m . 【说明】注意解决应用题时必要的讨论．20．解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －1＝1000³0.98n －1．设第n 区的面积为c n 平方米，则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)，又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)，因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25³105π(2n －1)³0.98n －1(千克)．（2）a n ＋1－a n ＝25³105π(2n ＋1)³0.98n －25³105π(2n －1)³0.98n－1＝25³105π[(2n ＋1)³0.98－(2n －1)]³0.98n －1＝25³105π(－0.04n ＋1.98)³0.98n －1．当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1，当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1，所以，当n ＝50时，a n 最大．答：第50区火山灰的总重量最大．【说明】关注数列应用题．21．解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．（2）x ＝5，y ＝－940x ＋498．（3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k 2，从而d ＝264－(m )21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2．由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4，整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )，即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ，因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论． 22．解：（1）x 22＋y 2＝1．（2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，于是AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22＋22k 21＋2k 2，同理CD ＝22＋22(－12k )21＋2(－12k)2＝42k 2＋22k 2＋1，于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋22k 2＋1＝32．②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k1＋2k 2，所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k 1＋2k 2)，所以MN 的中点为T (12，0)，于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12³|k|1＋2k2＝12³11|k |＋2|k|≤28，当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为28．【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，简化面积的运算，值得注意．23．解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0．（2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0，所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．③当－1＜a ＜1时，f (x )＝⎩⎨⎧x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )＝a 3．综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3；当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0．设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x ．设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2＋3－15a 2x，因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2x 2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递增，所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增，所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0；所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增．所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意．综上，0＜a ≤1．【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类． 24．解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )(1＋x 2)2，所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)．（2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )， f (n )－g (n )＝n －n ln n －2nn 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n )设φ(n )＝n 2－1n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1，则φ'(n )＝－(n 2－1)2n (n 2＋1)2＜0，所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0，所以n 2－1n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )，又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝ax1＋x 2，因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a1＋x 2在(0，＋∞) 有唯一的实数解，即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1x ．设m (x )＝2x ln x －x ＋1x，因为m'(x )＝2ln x －1x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0，因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增，从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增．因为h (e)＝a ，h (e 1－a )＝－a e 2－2a，① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数解．【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学会利用导数来研究函数的图象和性质．25．解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d2)n ．又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d 2m 2＋(1－d 2)m ][d 2n 2＋(1－d2)n ]，即d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d 2(1－d 2)mn 2＋(1－d2)2mn ，因为上式关于m ，n 恒成立，所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2，解得d ＝0或d ＝2．（3）同（2）可知c 1＝1，因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ，因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，于是c 2－c 1≤2， c 3－c 2≤2， …… c n ＋1－c n ≤2，累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2，又c 1＝1＝2³1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *．因为S 2n ＝S 2S 2n －1＝4S 2n －1，所以数列{S 2n －1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ．因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2．又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －1≤k ＜2m ，所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2³2m －1)＝k 2，因此S k ＝k 2．所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又c 1＝1＝2³1－1，所以c n ＝2n －1．经检验c n ＝2n －1满足题设条件，从而c n ＝2n －1．【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．26．证明：（1）设数列{a n }公差为d ，于是2S m ＋nm ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)2d ]m ＋n＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，a m ＋a n ＋a m －a n m －n ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n．（2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a nm －n， ①在①中令m ＝n ＋1得，2S 2n ＋1 2n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n1＝2a n ＋1， ②由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1m －n －1，令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋13， ③由②得2S 2n ＋5 2n ＋5＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋12，于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－12(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)，所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12)n －1( a 4＋a 2－2a 3)，DCBA P在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 12，即a 2＋a 4＝2a 3，于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 33＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2，因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，从而数列{a n }为等差数列．【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注．三．理科附加题27．解：（1）16．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13³12³13＋23³12³13＋23³12³12＝13；P (ξ＝2)＝13³12³13＋13³12³23＋23³12³23＝718；P (ξ＝3)＝13³12³23＝19；故随机变量ξ的概率分布为3错E (ξ)＝0³16＋1³13＋2³718＋3³19＝139．【说明】本题考查独立事件的概率．28．解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ，则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →＝(23，6，0)，所以cos ＜PB →，AC →＞＝PB →²AC →|PB →|²|AC →|＝77，即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为77．（2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →＝(－23，a ，0)，设平面PBD 的法向量→n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD →²→n ＝0PB →²→n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→n ＝(3，6a ，2)．又平面BCD 的一个法向量→m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3，所以|→m ·→n|→m |·|→n ||＝12，即|23＋36a2＋4|＝12，解得a ＝2．经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π3．【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算．29．证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1，则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1，即n ＝k ＋1时，命题也成立，因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15，猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，证明：当n ＝1时，命题成立；假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1，则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12 ＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1 ＝a 2k ＋3，即n ＝k ＋1时，命题也成立，所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n ＋1，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．30．解：（1）满足条件的数列T 有：1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定，因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2．数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法，故满足条件的数列T 共有：C m 3m×m !×m !³(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个，因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!．【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．。

最新南京市2018届高三年级第三次模拟考试及答案

南京市2018届高三年级第三次模拟考试1 数学 2018.052一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题3 纸的指定位置上）4 1．集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =▲________．52．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________．63．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校7 平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如8 图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．9 10 11 1213 14 15 1617 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．18 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为19 ▲________． 206．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则yx 的取值范围为▲________．21S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：22 ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； 23 ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 24 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．258．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离26 为2a ，则该双曲线的离心率为▲________．279．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________． 28 10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的29 值为▲________．30 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其31 中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若32 D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．3312．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC→34 的值为▲________．3513．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b＋b a ＋2c的最小值为▲________．36 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2]，使得函数f (x )＝e x －ax －b 在37 [1，3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．38 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把39 答案写在答题卡的指定区域内）4015．(本小题满分14分)41 在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单42 位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314．43（1）求cos2α的值； 44 （2）求2α－β的值.4546 47 4849 50 515253 16.（本小题满分14分）54如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，55 BC 的中点．56 （1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ； 57 （2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长． 585960 61 6263(第15题(第16题AC B MDEP64 65 6667 17．(本小题满分14分)68如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 69 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，70再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ71 （1）试用θ表示BD 的长；72 （2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.73 74 75 76 77 78 7980 18．(本小题满分16分)81如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为32. 已82知过点M (25，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．83（1）求椭圆C 的方程；84（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存85(第17题在，请说明理由.868788899091929394959697989919．(本小题满分16分)100已知函数f (x)＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），记f'(x)为f(x)的导函数．101（1）若f (x)的极大值为0，求实数a的值；102（2）若函数g (x)＝f (x)＋6x，求g (x)在[0，1]上取到最大值时x的值；103（3）若关于x的不等式f(x)≥f'(x)在[a2，a+22]上有解，求满足条件的正整数a的集合．104105 106 107 108 109 110 11120．(本小题满分16分)112 若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”． 113（1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； 114（2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；115（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n }116的通项公式．117118119120121122123124125126127128129130131南京市2018届高三年级第三次模拟考试 132数学附加题 2018.05133B ．选修4—2：矩阵与变换134 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 0 1 ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直135线l 1，求直线l 1的方程．136137138139140141C ．选修4—4：坐标系与参数方程142 在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线sin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，143 求圆C 的极坐标方程． 144145 146 147 148 14915022．(本小题满分10分)151在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 152上一点，且AF ＝2． 153（1）求p 的值；154（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且．记点M ，N 到直线2的距离分别为155d 1，d 2，求d 1d 2的值．156157158159160161162163·F164 16516616723．(本小题满分10分)168已知f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A n n ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N*且169n ≥2．170（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；171（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合． 172173174175 176177178179180181182183184185186187188189190191192南京市2018届高三年级第三次模拟考试193数学参考答案194一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题195纸的指定位置上）1961．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[211，2] 7． ①③1978． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．259 14．[e 2，1984e]199二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请200把答案写在答题纸的指定区域内） 20115．(本小题满分14分)202解：（1）因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277， ……2203 分204所以cos2α＝2cos 2α－1＝17． ……4分205（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314． ……6分 206又因为β为锐角，所以cos β＝1314． ……8分 207 因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝217，因此sin2α＝2sin αcos α＝437， …208 10分209所以sin(2α－β) ＝437×1314－17×3314＝32． …12分 210 因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2，211又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π3． ……14分 212 16．(本小题满分14分)213 （1）证明：如图1，连结PE ．因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，214所以PE ⊥BC ， ……2分215且PE ＝3，同理AE ＝3．216因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE ．……4分 217 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC平面ABC ，218所以PE ⊥平面ABC ．219 因为PE平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……7分220（2）解法一221 如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．222因为PD ∥平面AEM ，PD平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，223(图1)OP ACB MDE所以PD ∥OM ， …………9分224 所以PM PC ＝DODC． …………11分 225 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，所以O 为ABC 重心，所以DO DC ＝13，226 所以PM ＝13PC ＝23． ………14分227解法二228如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 229因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点，230所以DN ∥AE ． 231 又DN平面AEM ，AE平面AEM ，232所以DN ∥平面AEM ．233 又因为PD ∥平面AEM ，DN平面PDN ，PD平面PDN ，DN ∩PD ＝D ，234所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 235 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，236所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NENC． ………………………………11分237因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝23． …………14分 238 17．(本小题满分14分) 239 ………240(图2)P AMDECB N解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3， 241 所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23． ………2分242因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2，所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． …………4分 243 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ， 244 所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BD sin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋245 θ)， ……………6分246 且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， …………8分247所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋2483． ………12分249因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，250此时E 与C 重合． …13分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………14分 25118．(本小题满分16分)252解（1）离心率e ＝ca ＝32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2＝12a ， ………………2分 253 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1．254因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋925b2＝1，255所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． …………………………………4分256（2）解法一257设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，258则NA→NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45， …………6分259 当l 经过左､右顶点时，NA→NB →＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．260令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． ………………8分261下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA→NB →＝12．262 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，263所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………10分264所以NA→NB →＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2265 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25)266＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 ……………12分267＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2)165k 24k 2＋1＋16＋425k 2268＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋16269＝－16k 2－44k 2＋1＋16＝12．270所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →NB →为定值． ………………16分271 解法二272设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －25)，273设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，274由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －25)，消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，275所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625k 2－44k 2＋1， ……………6分276所以NA→NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25)277 ＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2＋425k 2278＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 24k 2＋1＋n 2＋425k 2 ………………8分279＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2＋1)4k 2＋1＋n 2 280＝(－165n －165)k 2－44k 2＋1＋n 2． ………………12分 281若NA→NB →为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－44k 2＋1＝λ，λ为常数，282则(－165n －165)k 2－4＝4λk 2＋λ对任意的实数k 恒成立， 283 所以⎩⎪⎨⎪⎧－165n －165＝4λ，－4＝λ，所以n ＝4，λ＝－4，此时NA →NB →＝28412． …………14分285当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－(25)24＝2425，286所以NA→NB →＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425＝12，287 所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →NB →为定值． ………………………………16分28819．(本小题满分16分)289解：（1）因为f (x )＝2x 3－3ax 2＋3a －2（a ＞0），290 所以f'(x )＝6x 2－6ax ＝6x (x －a )．291令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………2分292当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增； 293当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 294当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．295故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝23． ………………4分296（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3－3ax 2＋6x ＋3a －2（a ＞0）， 297则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2－ax ＋1)，x ∈[0，1]．298①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2－4)≤0，299所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，300则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分301②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a2＞1，且△＝36(a 2－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6302＞0，303所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝a －a 2－42．304 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 305 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，306则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝a －a 2－42． ………………………………8分307 综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；308 当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为a －a 2－42． ……………………………9分309 （3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3－3(a ＋2)x 2＋6ax ＋3a －2，310 则h (x )≥0在[a 2，a ＋22]有解． ………………………………10分311h′(x)＝6[x2－(a＋2)x＋a]＝6[(x－a＋22)2－a2＋44]，312因为h′(x)在(a2，a＋22)上单调递减，所以h′(x)＜h′(a2)＝－32a2＜0，313所以h (x)在(a2，a＋22)上单调递减，314所以h(a2)≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分315设t (a)＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′ (a)＝3a2－6a－6，316当a∈(0，1＋2)时，t′ (a)＜0，t (a)单调递减；317当a∈(1＋2，＋∞)时，t′ (a)＞0，t(a)单调递增．318因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a)存在一个零点m∈(0，1)，…………………14分319因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a)存在一个零点n∈(4，5)，320所以t (a)≤0的解集为[m，n]，321故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分32220．(本小题满分16分)323解：（1）当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，324又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以a n＝4n－2． (2)325分326所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{a n}的第n＋1项，327因此数列{a n}为“T 数328列”．…………………………………4分329（2）因为数列{a n}是公差为d的等差数列，330所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．331因为数列{a n}为“T 数列”，332所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1)d＋|d|＝a m，即有(m－n)d＝|d|． (333)6分334①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，335②若d＜0，则m＝n－1．336此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．337综上，d≥0．……………………………………8分338（3）因为a n＜a n＋1，所以a n＋|a n＋1－a n＋2|＝a n＋a n＋2－a n＋1．339又因为a n＜a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋2－(a n＋1－a n)＜a n＋2，且数列{a n}为“T数列”，340所以a n＋a n＋2－a n＋1＝a n＋1，即a n＋a n＋2＝2a n＋1，341所以数列{a n}为等差数列． (342)10分343设数列{a n}的公差为t(t＞0)，则有a n＝1＋(n－1)t，344由a n＜a2n＋1－a2n＜a n＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋345nt，………………………………12分346整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1，①347n(t－2t2)＞2t－t2－1．②348若2t2－t＜0，取正整数N0＞t2－3t＋1 2t2－t，349则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N*恒成立相矛盾，350 因此2t 2－t ≥0．351同样根据②式可得t －2t 2≥0，352所以2t 2－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12．353经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N*恒成立，354所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12． (16)355分356B ．选修4—2：矩阵与变换357解：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1． (4)358分359设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )． 360因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ① 361由AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 20 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，362得⎩⎪⎨⎪⎧2 x 0＋2 y 0＝x ，y 0＝y ， ………………6分即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x －y ，y 0＝y ．② 363将②代入①得x －4y ＋4＝0，所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ……………10分 364365C ．选修4—4：坐标系与参数方程366解：解法一367 在直线sin(θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得＝2.368 所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． …………4分 369因为圆C 经过点P (2，π3)，所以圆C 的半径PC ＝22+22－2×2×2×cosπ3＝2， ………………370 6分371所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ． ……10分372解法二373 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系， 374则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，375令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4376 分377所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2+(0－3)2=2， ………………………………6分 378所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， (8379)分380所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ. (10)381分382【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 38322．（本小题满分10分）384解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，38521所以p2＋1＝2，所以p ＝2. …………3分386（2）解法一387由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．388因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． …………4分389设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．390 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0，391 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分392 因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4m－2， ……………………………8分393所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4m)|＝16． ……………………………10分394解法二395 由(1)得抛物线方程为y 2＝4x ．396因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分397设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分398又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2＝4x 上， 399所以(y 21－4) (y 22－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0， 400即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．401因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分402所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分 4032223．（本小题满分10分）404 解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A n －in x (x ＋1)…(x ＋i －1)，405所以f n (1)＝i ＝1∑n －1A n －i n ×1×…×i ＝i ＝1∑n －1n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A nn ＋1×2×…×n ＝2×n !，406所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 407（2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，408f 3(x )＋g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)， 409猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 410下面用数学归纳法证明： 411当n ＝2时，命题成立；412假设n ＝k (k ≥2，k ∈N*)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，413因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑kA k ＋1－ik ＋1x (x ＋1)…(x ＋i －1)414＝i ＝1∑k －1(k ＋1)A k －i k x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)415＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，416所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋417k )418 ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) 419＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) 420＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )421＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，422423即n＝k＋1时命题也成立．424因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．…………………9分425所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为426{－1，－2，…，－n}．……………………………10分42723。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

20．(本小题满分 16 分) 若数列{an}满足：对于任意 n∈N*，an＋|an＋1－an＋2|均为数列{an}中的项，则称数列{an}为“ T 数列”．（1）若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2，n∈N*，求证：数列{an}为“ T 数列”；（2）若公差为 d 的等差数列{an}为“ T 数列”，求 d 的取值范围； 2 （3）若数列{an}为“ T 数列”，a1＝1，且对于任意 n∈N*，均有 an＜an2 ＋1－a n ＜an＋1，求数列{an}的通项公式．
(第 3 题图)
(第 4 题图)
学
2018.05
4．根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为________ ▲ ． 5．已知 A， B， C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为________ ▲ ．
x－y－3≤0， y 6．若实数 x，y 满足x＋2y－5≥0，则的取值范围为________ ▲ ． x y－2≤0，
D．选修 4—5：不等式选讲已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，求 2a＋b＋ 2b＋c＋ 2c＋a的最大值．
5 南京清江花苑严老师
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 A(1，a) (a＞0)是抛物线 C 上一点，且 AF＝2．（1）求 p 的值；（2）若 M，N 为抛物线 C 上异于 A 的两点，且 AM⊥AN．记点 M，N 到直线 y＝－2 的距离分别为 d1， d2，求 d1d2 的值． y M A · OF x
……………………………10 分 ……………………………12 分
4 3 13 1 3 3 3 × － × ＝． 7 14 7 14 2
因为 α 为锐角，所以 0＜2α＜π．
7 南京清江花苑严老师
π 又 cos2α＞0，所以 0＜2α＜， 2 π π π 又 β 为锐角，所以－＜2α－β＜，所以 2α－β＝． 2 2 3 16．(本小题满分 14 分) （1）证明：如图 1，连结 PE．因为△PBC 的边长为 2 的正三角形，E 为 BC 中点，所以 PE⊥BC，且 PE＝ 3，同理 AE＝ 3．因为 PA＝ 6，所以 PE2＋AE2＝PA2，所以 PE⊥AE．……4 分因为 PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC 平面 ABC，所以 PE ⊥平面 ABC．因为 PE平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 ABC．（2）解法一如图 1，连接 CD 交 AE 于 O，连接 OM．因为 PD∥平面 AEM，PD平面 PDC，平面 AEM∩平面 PDC＝OM，所以 PD∥OM， PM DO 所以＝． PC DC 因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，CD∩AE＝O， DO 1 所以 O 为ABC 重心，所以＝， DC 3 1 2 所以 PM＝ PC＝． 3 3 解法二如图 2，取 BE 的中点 N，连接 PN．因为 D，N 分别为 AB，BE 的中点，所以 DN∥AE．又 DN平面 AEM，AE平面 AEM，所以 DN∥平面 AEM．又因为 PD∥平面 AEM，DN平面 PDN，PD平面 PDN，DN∩PD＝D，所以平面 PDN∥平面 AEM． ………………………………9 分
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分 14 分) 2 7 解：（1）因为点 P 的横坐标为，P 在单位圆上，α 为锐角， 7 所以 cosα＝ 2 7 ， 7 ………………………………2 分 ………………………………4 分 ………………………………6 分 ………………………………8 分
x2 y2 8．在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a，则 a b 该双曲线的离心率为________ ▲ ． 9．若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，n∈N*，且 a1=1，S6=3S3，则 a7 的值为________ ▲ ．
P M
A D B E
C
17．(本小题满分 14 分)
(第 16 题图)
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段 AB，AC 和以 BC 为直径的半圆弧⌒ BC 组成，其中 AC 为 2 π 百米，AC⊥BC，∠A 为．若在半圆弧⌒ BC ，线段 AC，线段 AB 上各建一个观赏亭 D，E，F，再修两 3 π π 条栈道 DE，DF，使 DE∥AB，DF∥AC. 记∠CBD＝θ（ ≤θ＜）． 3 2 （1）试用 θ 表示 BD 的长；（2）试确定点 E 的位置，使两条栈道长度之和最大.
N
(第 22 题图)
23．(本小题满分 10 分) 已知 fn(x)＝ ∑ A
i ＝1 n －1
n －i n n x(x＋1)…(x＋i－1)，gn(x)＝An＋x(x＋1)…(x＋n－1)，其中
x∈R，n∈N*且 n≥2．
（1）若 fn(1)＝7gn(1)，求 n 的值；（2）对于每一个给定的正整数 n，求关于 x 的方程 fn(x)＋gn(x)＝0 所有解的集合．
南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试数
注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．．一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．集合 A＝{x| x2＋x－6＝0}，B＝{x| x2－4＝0}，则 A∪B=________ ▲ ． 2．已知复数 z 的共轭复数是－ z ．若 z(2－i)＝5，其中 i 为虚数单位，则－ z 的模为________ ▲ ． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了 500 名学生，他们的每天在校平均开销都不低于 20 元且不超过 60 元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为________ ▲ ． S←1 I←1 Whil Print S
1 所以 cos2α＝2cos2α－1＝． 7 3 3 3 3 （2）因为点 Q 的纵坐标为，所以 sinβ＝． 14 14 13 又因为 β 为锐角，所以 cosβ＝． 14 因为 cosα＝ 2 7 21 ，且 α 为锐角，所以 sinα＝， 7 7 4 3 ， 7
因此 sin2α＝2sinαcosα＝所以 sin(2α－β) ＝
6 南京清江花苑严老师
南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试数学参考答案
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．{－3，－2，2} 8． 5 9．4 2． 5 10．2 3．150 11．x＋2y－4＝0 4．7 2 5． 3 12．－3 2 6．[ ，2] 11 2 5 13． 9 7． ①③ 14．[e2，4e]
M A
B
N (第 21A 题图)
C
B．选修 4—2：矩阵与变换
1 2 已知矩阵 A＝ 0 1 求直线 l1 的方程．
，B＝2 0 ，若直线 l: x－y＋2＝0 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到直线 l ， 1 0 1
C．选修 4—4：坐标系与参数方程 π π 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P（2，），圆心 C 为直线sin(θ－ )＝－ 3与极轴的交点，求圆 C 的 3 3 极坐标方程．
x ＋x＋a，0≤x≤2， 10．若 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，且 f(x)＝则 f(a+1)的值为________ ▲ ．－6x＋18，2＜x≤3，
2
11．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0 与 x 轴的两个交点分别为 A，B，其中 A 在 B 的右侧，以 AB 为直径的圆记为圆 N，过点 A 作直线 l 与圆 M，圆 N 分别交于 C，D 两点．若 D 为线段 AC 的中点，则直线 l 的方程为________ ▲ ． 2 → → →→ →→ 12．在△ABC 中，AB=3，AC=2，D 为边 BC 上一点．若 AB · AD ＝5， AC · AD ＝－，则 AB ·AC 的值为 3 ▲ ． ________ c b 13．若正数 a，b，c 成等差数列，则＋的最小值为________ ▲ ． 2a＋b a＋2c 14．已知 a，b∈R，e 为自然对数的底数．若存在 b∈[－3e，－e2]，使得函数 f (x)＝ex－ax－b 在[1，3]上存在零点，则 a 的取值范围为________ ▲ ．二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 α，β 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的正半轴，终边与单位圆 O 2 7 3 3 的交点分别为 P，Q．已知点 P 的横坐标为，点 Q 的纵坐标为． 7 14 （1）求 cos2α 的值；（2）求 2α－β 的值.