《第1章 时域离散信号与时域离散系统 》

用公式表示：x(n)=R3(n)
1 n 0 1 2 （a ） y(n ) 3 2 1 －1 0 1 2 3 （d ） 3 2 1
用图形表示：
用集合符号表示： x(n)={ 1, 1, 1 }
n
0
1.2.1 常用的典型序列
1、单位采样序列δ(n)：也称为单位脉冲序列
1 n 0 公式表示： ( n ) 0 n 0
4、实指数序列
x(n)=anu(n)，a为实数
如果|a|<1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列； 如果|a|>1，则称为发散序列。其波形如图所示。
5、正弦序列
x(n) = Asin(ωn+φ)
ω为正弦序列的数字域频率，单位是弧度
数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系： （与上学期《信号与系统》符号正好相反） xa(t)|t=nT =sin(ΩnT) 序列值=采样值
7、任意序列可表示为单位序列的移位加权和
x ( n)
m
x(m ) (n m )

x(m) (n-m) =
x(n), m=n
0 ,其它m
[例]： 用单位采样序列(n)表示x(n)。 解：x(n)=a(n+3)+b(n-3)+c (n-5) x(n) a b c
-3
0为简化Βιβλιοθήκη T可不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。
对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。
ε(t)
f(kT)=Ae-akT ε(kT)
f(k)=Ae-ak ε(k)
kT
等间隔采样
f(t)
连续信号
f(kT)
采样信号 T=1或省略
f(k)
离散信号 （数值序列）
注意：k为整数，可代表离散的时间，也代表次序的序号
LTI离散系统的几种描述方法（总结）
m
x(m) (n n
m
x(m) (n n

0
m) ＝x(n- n0)
0
m)
说明：序列与一个移位的单位取样序列δ(n－n0)的线性卷积等 于序列本身移位n0
1.3.4 系统的因果性和稳定性
1、因果性（系统在物理上的可实现性） 定义1：当n<0时，序列值恒等于零的序列称之为因果序列。 定义2：系统的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序 列，与n时刻以后的输入序列无关的系统称为因果系统。 定理：LTI系统具有因果性的充要条件： 系统单位取样响应满足： h(n)=0，n < 0
（2）数值法；
（3）算式法（逢十不进位乘法）
（4）公式法 例：已知两序列x(n)=h(n)=R3(n)，求两序列的卷积y(n)
y(n)=x(n)*h(n)
MATLAB程序演示两序列的卷积
1.3 时域离散系统
时域离散系统的表示
x(n)
T []
y(n)
输入
输出
y(n)=T[x(n)]
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统
m
m


设线性时不变系统的输入信号为 ， h(n)是系统的单位取样 y ( n) [ x(m) (x(n) nm )]
响应，则系统的输出y(n)为:

y (n) T [ x(m)h(n m)]
y ( n) [( (( m Tx n) xh n))h(n m)]
2、稳定系统（系统能否正常工作）
定义1：若存在一个数M，对任意n都满足|x(n)|< M，称该序列有界。 定义2：输入序列有界，输出序列也有界的系统称为稳定系统。 定理：系统稳定的充要条件是系统的单位取样响应h(n)绝对可和。

n

h(n)
1.4 线性常系数差分方程
系统的输入输出描述法：不管系统内部的结构，只描述或者研究 系统输出和输入之间的关系的方法。
i 1 y ( n) y i b 0 i x(n i ) a ii 1( n i )
i 0 i 1
0
N a M ab a1 (n i ) n i ), a0 i) b 0= 1 0 i x (1 iy i x ( n i ),
3
5
n
1.2.2 序列的运算
基本运算：加法、乘法、移位、反转、尺度变换、卷积等。
1、乘法和加法
同序号的序列值逐
项对应相乘和相加。
2、移位、翻转及尺度变换
(1) x(n+n0)表示x(n)左移n0单位，
是x(n)的超前序列； (2) x(n-n0)表示x(n)右移n0单位， 是x(n)的延时序列； (3) x(-n)是x(n)的反转序列； (4) x(mn) 是 x(n) 序列每隔 m 点取 一点形成的，相当于时间轴n压缩 了m倍。(尺度变换)
a和b均是常数
1.3.2 时不变系统
系统对输入信号的运算关系T[ ]在运算过程中不随时间变化;
系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。
系统的输出随输入延迟而延迟同样单位；
这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：
y(n) = T[x(n)] y(n-n0) = T[x(n-n0)]
1.2 时域离散信号－序列
模拟信号xa(t)等间隔采样，采样间隔为T：
xa ( t ) | t nT xa ( nT ), n
说明：
n取整数
xa(nT)是一个有序的数字序列：xa(0)、xa(T)、 xa(2T) … 实际信号处理时，数字序列值按顺序放在存贮器中，nT代表前后顺序。
1.3.1 线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。 设: y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］ 线性系统满足下面两个公式： T［x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) T［a x1(n)］= a y1(n) 系统的可加性； 系统的比例性（齐次性）
将以上两个公式结合起来，可表示成： y(n) =T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)
δ(n) 1 －1 0 1 2 3 n δ(t)
0 单位冲激信号
t
单位采样序列
2、单位阶跃序列u(n)
1 n 0 公式表示：u( n ) 0 n 0
图形表示：
1 … n 0 1 2 3 u (n )
类似模拟信号中的单位阶跃函数u(t)
δ(n)与u(n)之间的关系：

δ(n)= u(n) - u(n-1)
1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 1、单位取样响应h(n) m
m
y (n) T [ x(m) (n m)]

y (nδ(n) ) T [ x(m) (n m)] h(n)是系统对于 的零状态响应。描述系统的时域特征。用
公式表示为:
y( n) [［ x］ (m) (n m)] h(n)=T δ(n)
m

m
(*)
(*)
x ( n) h( n)
2、两个有用的公式
x(n)
m
x(m ) (n m ) x(n ) (n )

说明：序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身 y ( n) x (n) (n n0 )
y ( n) x (n) (n n0 )
3、序列的卷积 y (n) [ y x (n (m )) [ (n mx )] (m) ( n m)]
设两序列为 和 h(n) ，则它们的卷积为： y (n) T [ x(n) x(m )h (n m)]
m

m

y ( n) y x (m )T h ([n m)] x ( m) h (n m)] Tx[(n )( n h) n ) (*) ＝
第1章 时域离散信号和时域离散系统
信号：一个或几个自变量的函数。
自变量：时间、距离、温度、电压等；
一维信号：仅有一个自变量的信号；
多维信号：有两个以上的自变量的信号。
约定：本书仅研究自变量为时间的一维数字信号处理的理论与技术。
x a (t ) 0 .9 sin( 50 π t )
模拟信号 时域离散信号，T=0.005S
m m
m
m
x(n) h(n ) x(n) h(n) (*) 两序列卷积的卷积运算在图形上可表示为：
反转； 两序列的长度分别为N 和M，则线性卷积后序 列的长度为N+M-1
(*)
移位；
相乘；
相加（求和）；
求两序列卷积的方法：
（1）图解法；
xa(t)=sin(Ωt)
ω＝ΩT ω＝Ω/fs
x(n)=sin(ωn)
模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系
6、周期序列
如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：
x(n) = x(n+N)
-∞<n<∞
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。
例：
x ( n ) sin( n ) 4
模拟系统：微分方程描述输出输入之间的关系。 时域离散系统：差分方程描述描述输出输入之间的关系。 LTI时域离散系统：线性常系数差分方程来描述。
1.4.1 线性常系数差分方程 N M N i ) a y (n i ) M ai y ( n N bi x(ny ( ni )) b x ( n i ) i i
例：x(n)= 0.5 1
n=0和负整数。 n取正整数。
y(n)=
0 2
n = (，0) n = 1, 1.5, 2, … 不是序列