2019-2020学年高三数学复习分期付款中的有关计算(2)教学案旧人教版.doc

合集下载

高中数学人教A版必修5《分期付款》教学设计

《分期付款》教学设计一、教学目标：1、让学生了解有关分期付款的知识，体会分期付款在生活中的作用。

2、通过联系生活中的实际问题，让学生将一个分期付款为背景的实际问题转化为数学问题，会根据利率求利息额和本息款。

3、通过解决现实生活中的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。

4、通过有关分期付款问题的解决，了解不同分期付款的利于弊，增强学生应用数学的意识。

二、教学重点、难点：1、会根据利率求利息额和本息款。

2、根据实际情况，合理地选择付款方式。

赵老师购买的一套房子价值30万元，首付10万元，以后每年付一定的数额，十年或五年付清购房的全部款项，但每年付款的同时还要付一定的利息，剩余额20万元的付款方式有三种：①每年付2万元，十年后全部付清，从第1年到第10年利息依次是5％，10％，15％，20％，25％，30％，35％，40％，45％，50％。

请填表：共付利息元，以这种方式购房共花元。

②每年付4万元，5年后全部付清，从第一年到第五年，每年利息额依次是5％，10％，15％，20％，25％，填表。

共付利息元，以这种方式购房共花元。

③剩余款20万元十年后一次付清，同时还要付50％的利息，共付利息元，以这种方式购房共花元。

例 2赵老师准备买辆汽车，就向银行贷款了2.4万元，以后逐月归还贷款，偿还贷款的方式有以下几种：①每月还款2000元，一年还清，每月要付的利息依次是3％、3.5%、4%、4.5%、5％、5.5％、6％、6.5％、7％、7.5％、8％、8.5％。

请填表：共还利息元，本息共还元。

②每月还款4000元，半年还清，每月要付的利息依次是3％、3.5%、4%、4.5%、5％、5.5％。

请填表：共还利息元，本息共还元。

③一年后一次还清2.4万元，要付利息8.5％，共还利息元,本息共还元.试一试按规定个人收入达到一定数额时要纳税，具体方法如下表。

800元以内不纳税800—1300元超过800至1300元的部分按5％纳税。

2019-2020年高考数学重点难点讲解数列综合应用教案旧人教版

2019-2020年高考数学重点难点讲解数列综合应用教案旧人教版纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n －1万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=800×(1－)k－1=4000×［1－()n］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×()k－1.=1600×［()n－1］(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知Sn=1++…+,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n ∈N*)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2.解：∵Sn=1++…+.(n ∈N*)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是关于n 的增函数∴f(n) min=f(2)=∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f(n)＞［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2恒成立只要＞［logm(m －1)］2－［log(m －1)m ］2成立即可由得m ＞1且m ≠2此时设［logm(m －1)］2=t 则t ＞0 于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［logm(m －1)］2＜1解得m ＞且m ≠2.●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d1,d2，…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“xx年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(xx年~xx年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+…+bn；(3)设r=219.2－1，q=，求数列{}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额，试求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必证明)；(2)证明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n和b有关，记为Pn(b),对常数b，当n变化时，求Pn(b).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)xx年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至xx年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至xx年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….(1)写出xn与xn－1、xn－2之间关系式(n≥3);(2)设an=xn+1－xn，计算a1,a2,a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明；(3)求xn.参考答案难点磁场解：(1)设f(x)=a(x－)2－，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n)(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1设{rn}的公比为q，则①②②÷①得q==t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n －1］歼灭难点训练一、1.解析：当a=n 时y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1由｜x1－x2｜=，得dn=，∴d1+d2+…+dn1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n答案：A二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,∴P1(2,2),P2(3,4).∴=(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP 110252221sin ||||21102sin ,102722514||||cos 21212121212121=⨯⨯⨯==∴=∴=⨯=∴∆OP P OP S OP P OP OP OP P P OP 答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)2升，故第n 次有纯酒精a(1－)n 升.答案：a(1－)n4.解析：从xx 年到xx 年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈1xx0(亿元).答案：1xx0三、5.解：(1)由题意得rqn －1+rqn ＞rqn+1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q2－q －1＜0，解得＜q ＜,因q ＞0,故0＜q ＜;(2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a q a q a a a a a b b q a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n .b1=1+r ≠0，所以{bn}是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而bn=(1+r)qn-1.当q=1时，Sn=n(1+r),1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n q r b q q r q S q r q S qq r S q rq q r q S qq r S q r n S 有由所以时当时当.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q n r q n r q r q r b b n n n n,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N*)时，Cn 随n 的增大而减小，故1＜Cn ≤C21=1+=2.25 ①当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N*)时，Cn 也随n 的增大而减小，故1＞Cn ≥C20=1+=－4 ②综合①②两式知，对任意的自然数n 有C20≤Cn ≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25，最小项C20=－4.6.解：(1)第1位职工的奖金a1=，第2位职工的奖金a2=(1－)b ，第3位职工的奖金a3=(1－)2b ，…，第k 位职工的奖金ak= (1－)k －1b;(2)ak －ak+1=(1－)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设fk(b)表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb,故.7.解：设an 表示第n 年的废旧物资回收量，Sn 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) (2)S6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨) ∴从1996年到xx 年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到xx 年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，∴从1996年到xx 年共节约：≈3 平方公里.8.解：(1)当n ≥3时，xn=;a a x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测an=(－)n-1a(n ∈N)证法一：因为a1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以an=(－)n-1a.证法二：用数学归纳法证明：(ⅰ)当n=1时，a1=x2－x1=a=(－)0a,公式成立；(ⅱ)假设当n=k 时，公式成立，即ak=(－)k －1a 成立.那么当n=k+1时，ak+1=xk+2－xk+1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++ .)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式an=(－)n-1a 成立.(3)当n ≥3时，有xn=(xn －xn －1)+(xn －1－xn －2)+…+(x2－x1)+x1=an －1+an －2+…+a1,由(2)知{an}是公比为－的等比数列，所以a.2019-2020年高考数学重点难点讲解直线方程及其应用教案旧人教版直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场(★★★★★)已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c.●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sinACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C(x,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(acos α,asin α)、(bcos α,bsin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： kAC=tanxCA=,.cos sin tan x b b xCB k BC -==αα于是tanACB=ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x x ab b a x x b a ab x b a由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tanACB ≤,当且仅当=x ，即x=时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. ［例2］预算用xx 元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解.解：设桌椅分别买x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(，) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，)所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x ∈N,y ∈N*,故取y=37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p ＞0).一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明：y1·y2=－p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目. 知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时.技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ 的方程为y=k(x －) ①由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px 中，整理，得y2－y －p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2= －p2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M(，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x直线QN 的方程为y=－1,Q 点的纵坐标y2=－1，由题设P 点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P 点坐标为(4，4)将y=－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x=,故N 点坐标为(，－1)由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x+y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M1(x1,y1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x 的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M 关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z=ax+by 的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t 值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)设M=，则M 与N 的大小关系为( )A.M ＞NB.M=NC.M ＜ND.无法判断2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A.15B.30C.36D.以上都不对二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2－4x －4y+7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f(θ)=的最大值为_________，最小值为_________.6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，则x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{an}的前n 项和Sn=na+n(n －1)b ，(n=1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0.(1)证明：{an}是等差数列.(2)证明：以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.(3)设a=1,b=,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案难点磁场证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc －1)x+2－b －c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜b ＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b －c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0f(1)=bc －1+2－b －c=(1－b)(1－c)＞0∴线段y=(bc －1)x+2－b －c(－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A(－1，－1）与B(10xx ，10xx ）及C(10xx ，10xx ）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y=x ，点A 在直线的下方，∴kAB ＞kAC,即M ＞N. 答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x,y ）应在如右图所示区域内当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11;当x=5时，y=7,8,9,10,11.以上共有15个，x,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.答案：P(5，6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x2+y2－4x －4y+7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x+4y －3=0或4x+3y+3=05.解析：f(θ)=表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案： 06.解析：原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m ≤2,则f(－2)＜0,且f(2)＜0.答案：三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1,x2＞1,点A(x1,log8x1),B(x2,log8x2).因为A 、B 在过点O 的直线上，所以,又点C 、D 的坐标分别为(x1,log2x1）、(x2,log2x2). 由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得kOC=kOD,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1∴x2=x13将其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8).9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当n ≥2时，有an=Sn －Sn －1=［na+n(n －1)b ］－［(n －1)a+(n －1)(n －2)b ］=a+2(n －1)b.因此，当n ≥2时，有an －an －1=［a+2(n －1)b ］－［a+2(n －2)b ］=2b.所以{an}是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n ∴所有的点Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通过P1(a,a －1)且以为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)= (x －a),即x －2y+a －2=0.(3)解：当a=1,b=时，Pn 的坐标为(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1由不等式②，得r ＜－或r ＞+由不等式③，得r ＜4－或r ＞4+再注意到r ＞0,1＜－＜4－=+＜4+故使P1、P2、P3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞) ① ② ③。

研究性课题：分期付款中的有关计算的教学实践与体会

峥：丰金为ａ元．利率为０８％，请月．说
明复利计算的含义．
师：察上述方程．号左边有何特点．观等
方程怎么解？等于多少？
生：叠ｄ元过一个月，增值为ａ（＋丰就１ｏ０８一１ｏ８元）再迁一十月，金由．０）．ｏａ（，丰１０８元，值为１Ｏ８ｄ（）等等．．０ａ增．０：元，
维普资讯
２００２年第４期
中学数学
５
研究性课题：分期付款中的有关计算的教学实践与体会
４０６湖北省武昌实验中学丁述舜３０１
高一数学新编教材（验惨订本）编＾了试 “ 究性课题：期付赣中的有关计算” 研分．它的出现，仅是为了解决数列的应用问题，更重要的是要栽们转变传统的教学观念，进原敌有的教学方式和方法．此，这一课题的教为对学．们进行了大胆的尝试．现写出来和同行我
师：第５期付款的
是否增值？达式是什么？表第４期．．１期 … 第
呢？
生：５期付款的元要增值．值为（第增１
＋００８）第４期，，１期付款的ｚ元都要．０， … 第增值，别增值为（ — ００８ … ．１ — 分１．０）．－Ｔ（

“分期付款中的有关计算”的教学设计与思考

一５０００・１０８一．０１００８．～ｚ；
（）计算顺序通常是由前往后，什么会３为
想到由后向前计算？（）分期付款中的规定成立的理由是什４
么？
一
：
第３还款元后，款为＆一＆・．０次欠。：１０８
算 ” 以这样一个实际问题作为研究内容：，
购买一件售价为５００元的商品，用分０采期付款的办法，期付款相同，买后２个月付每购款一次，过２个月第２次付款， … ，买后再 … 购１２个月第６次付款时全部付清，果月利率为如０８，月利息按复利计算，么每期应付款．％每那
重庆・３１・
。６：５０００・１．００一１０８， — １０ｘ８．０２７．０８８
— —
５００・．０：当于５００以０８的０１０８相０元．％
…
…
Байду номын сангаас
—
—
．
利率在银行存了一年；
・
由题意可知，＝０即得 ‰ ，
元有关的方程，出结果为 ≈ ８０８元．解８．（）认为６１ｘ一５００而这样商家吃亏，０，未得到利息；（）认为６２ｘ＝５００１０８）这样顾０（＋．％，

高中数学典型例题研究性课题：分期付款中的有关计算新课标

高中数学新课标典型例题：研究性课题：分期付款中的有关计算【例1】小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； ……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ．解：设每存一年的本利和为A ，则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)三年后取出的本利为y ，则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋1.06＋1.062)=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利共193元．说明这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？解第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金达到2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－×211 16179 3216 21117932x=1000x=1000×∴××x≈424答：每年约扣除消费基金424万元。

2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版

2019-2020年高三数学第一轮复习教案人教版【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法〖例1★ 点评：将点改为函数图象或曲线解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点，求其关于点（或直线）的对称点，再将点的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,问题便迎刃而解.〖例2〗已知函数，则其关于原点对称的函数解析式为；关于直线对称的函数解析式为．答案：；当对称轴斜率为1时，点坐标符合口诀：用代，用代．〖例3〗已知定义在上的奇函数的图象与函数的图象关于点对称，且当时，，求的解析式．解：① 设（）为的图象上的任意一点，则其关于点的对称点（）必在的图象上，故 ∴当时， ② 当时，，且为奇函数∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述，．〖例4〗设函数的定义域为，则下列命题中： ① 若为偶函数，则的图象关于轴对称； ② 若是偶函数，则的图象关于直线对称； ③ 若，则的图象关于直线对称； ④ 若，则的图象关于直线对称； ⑤ 与图象关于直线对称． ⑥ 与图象关于直线对称．其中正确命题的序号为：．答案：④⑥★点评：其中注意④⑤的区别，指的是的图象自身的一种对称关系；而与是函数通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．二、函数图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线对称．推论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．命题2：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．推论：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数的图象关于点对称．三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）命题3：函数与的图象关于直线对称．命题4：函数与的图象关于点成中心对称．下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似．证法一：由知函数为偶函数，其图象关于轴对称思考：情形一中的范围是如何给出的，为何要限定其范围？另一方面，将的图象向右（）或向左（）平移个单位得到的图象，故函数的图象关于直线对称．证法二：由知点与点都是函数上的点，而的中点为，即点关于直线对称，由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．证法三：设点为函数的图象上的任意一点，其关于直线对称的点为． ∵对于一切的，都有∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点也在函数的图象上由点的任意性可知，函数的图象关于直线对称．四、函数的周期性命题5：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．命题6：设函数的定义域为，若对于一切的，都有，则函数是以为周期的周期函数．【课堂小结】1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若前系数互为相反数，则是有关对称性；若前系数相同，则有关周期性．3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，是研究由函数复合变换后得两个新的函数图象间的关系．【教后反思】2019-2020年高三数学第一轮复习教案数列的求和方法及应用[素质教育目标] 一、知识目标要求学生熟练掌握和运用等差、等比数列的前n 项和的公式及一个数列求前n 项和的基本方法和技巧。

2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版(II)

a b 【教学目标】1.掌握平面基本性质的三条公理及公理3的三条推论，能运用它们证明空间的共点、共线、共面问题.2.了解空间两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定和性质.3.掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）. 【知识梳理】 1.平面的基本性质 2.. 空间两条直线的位置关系3. 异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）画法：异面直线判定：①用定义（多用反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。

θ∈Oab 600(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。

空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。

异面直线的公垂线及距离：（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分（3）异面直线间的距离（即公垂线段的长）注：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。

②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。

4.等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

5.平行公理：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

【点击双基】1、若a 、b 是异面直线，则只需具备的条件是…………（） A.a 平面α， b 平面β，a 与b 不平行 B. a 平面α， b 平面β，，a 与b 不公共点 C.a ∥直线c ，，b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条直线2、如图，直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600，过点O 与a 、b 都成600角的直线有（）A.1 条B.2条C.3条D.4条 3、(xx 年北京朝阳区模拟题)如图，正四面体S-ABC 中，D 为SC的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是…………（）A. 33B. 23C. 36D. 264、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么（1）哪些棱所长的直线与直线BA 1成异面直线？。

高一数学教案课题内容：分期付款中的有关计算(二).doc

课题：分期付款中的有关计算（二）教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点：将实际问题转化为数学问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果教学过程：一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=mn mmp p p a x 二、例题讲解例1 一般地，购买一件售价为a 元的商品采用分期付款时要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n(n 是m 的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为1)1(]1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 推导过程：设每次付款x 则：第1期付款x 元（即购货后n m 个月时），到付清款时还差nm m 2-个月，因此这期所付款连同利息之和为：nm m p x 2)1(-+……第n 期付款（即最后一次付款）x 元时，款已付清，所付款没有利息. 各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：nm m nm n m p x p x p x x -+++++++)1()1()1(2货款到m 个月后已增值为mp a )1(+ 根据规定可得：m nm m nm nm p a p p p x )1(])1()1()1(1[2+=+++++++-即：m nm m p a p p x )1(1)1(1)1(+=-+-+⋅解之得：1)1(1)1[()1(-+-++=mnm mp p p a x 例2 某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大需做好长远的储蓄买房计划，打算在2010年的年底花50万元购一套商品房，从2001年初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从2001年开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在2001年初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在2001年初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到2010年要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到2010年年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？ ——设为x 搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每年利息按复利计算,即上年利息要计入下年本金.例如,由于年利率为1.98%，,款额a 元过一个年就增值为a(1+1.98%)=1.0198a(元);再过一个月又增值为1.0198a(1+1.98%)=1.01982a(元)独立探究方案1可将问题进一步分解为： 1. 商品售价增值到多少？2. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，房屋售价与各期付款额有什么关系？提出解答,并给答辩：按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为： 3×10%)98.11(++3×9%)98.11(++…+3×1%)98.11(+=%)98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310+-+-+⨯≈33.51（万元）设每年存入x 万元，在2010年年底能够存足50万则：50%)98.11(1]%)98.11(1[%)98.11(10=+-+-+∙∙x解得x=4.48（万元）通过方案1让学生了解了银行储蓄的计算，也初步掌握了等比数列在银行储蓄中的应用，储蓄买房时间长久，显然不切合我的实际，于是引出分期付款问题；独立探究方案2：分析方法1：设每年还x ，第n 年年底欠款为n a ，则 2001年底：1a =50（1+4.425%）–x。

高中数学：数列在分期付款中的应用教案北师大版必修

教案：高中数学——数列在分期付款中的应用教学目标：1. 理解等差数列的概念及其特征。

2. 掌握等差数列的通项公式和求和公式。

3. 能够将分期付款问题转化为等差数列问题，并应用数列知识解决实际问题。

教学重点：1. 等差数列的概念及其特征。

2. 等差数列的通项公式和求和公式。

3. 分期付款问题的数列模型建立及求解。

教学难点：1. 等差数列的通项公式和求和公式的灵活应用。

2. 分期付款问题的数列模型建立及求解。

教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括等差数列的概念、特征、通项公式和求和公式等。

2. 教师准备分期付款的实际案例，用于引导学生解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾等差数列的概念和特征。

2. 提问：等差数列的通项公式和求和公式是什么？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解等差数列的通项公式和求和公式。

2. 通过实例讲解如何将分期付款问题转化为等差数列问题。

三、案例分析（10分钟）1. 学生分组讨论，分析给出的分期付款案例。

2. 各小组汇报分析结果，教师点评并讲解。

四、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成练习题，检测对等差数列知识的理解和应用。

2. 教师批改练习题，及时反馈并进行讲解。

五、课堂小结（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享学习收获。

2. 教师点评学生总结，强调重点知识。

教学反思：本节课通过讲解等差数列的概念、特征、通项公式和求和公式，使学生掌握了分期付款问题的数列模型建立及求解方法。

在案例分析环节，学生能够积极参与，分组讨论，提高了合作意识和解决问题的能力。

在练习与巩固环节，学生独立完成练习题，检测了对知识的掌握程度。

整体来说，本节课达到了预期的教学目标。

六、应用拓展（10分钟）1. 学生分组讨论，尝试解决更复杂的分期付款问题。

2. 各小组汇报讨论结果，教师点评并讲解。

七、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享学习收获。

2. 教师点评学生总结，强调重点知识。

2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版

2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如xx年高考试题中的3、5、7、9题，xx年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，xx年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y= f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；（3）当函数y = f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联． 3．函数的奇偶性如果对于函数y = f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) = – f (x )[ f (-x ) = f (x )] ，那么函数f (x )就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断． 4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2) [f (x 1)＞f (x 2)]，则称在区间D 上为单调函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a ，b )上恒有f '(x )＞0[f '(x )＜0]，则称f (x )在区间(a ，b )上是增（减）函数，(a ，b )为f (x )的单调增（减）区间． 5．函数的周期性设函数y = f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得任何x ∈D ，都有f (x + T ) = f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y = f (x )的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．考题名师诠释【例1】设函数f (x ) = - x1 + |x |（x ∈R ），区间M = [a ，b ](a ＜b ），集合N = {y |y = f (x )，x ∈M }，则使M = N 成立的实数对(a ，b )A ．0个B ．1个C ．2个D 解析由f (-x ) = -f (x )，可得f (x ) = - x1 + |x |是奇函数，故f (x )的图象关于原点成中心对称．当x ＞0时，f (x ) = -x1 + x，据此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2+ 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围．解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)．设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率．由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围．深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围．答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减．故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数．评述本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（xx 年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立．（1）当D = R 时，f (x ) = x cos+ sin[∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？（2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由．（1）解设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos| = |cos|| x 1 – x 2|，∵∈(0，π)，∴|cos|∈[0，1）．又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立．故f (x ) = x cos+ sin ，∈(0，π)属于M D ．（2）证明当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ．而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|． ∴f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2．若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|=a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．（注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确）考能提升训练一、选择题1．（xx 年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （） A ．1B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1）（2）（3）（4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(xx 年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x xx ) = 8，则f (x 12) + f (x 22)+ … + f (x xx 2)的值等于………………………………… （） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（） A ．12B ．2C ．4D ．145．(xx 年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x的取值范围是 A ．(-∞，0) B ．(0，+∞) C ．(-∞，log a 3) D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(xx 年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(xx 年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式；（2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．129．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。

湘教版高考数学必修4同步教案备课 9.4 分期付款问题中的有关计算

9.4 分期付款问题中的有关计算[学习目标] 1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．[知识链接]1．与日常经济生活有关的基本概念 (1)增长率＝增长量增长前的量.(2)优惠率＝购买商品获得的优惠额商品标价.(3)存款利率＝利息存款额.(4)利息＝本金×存期×利率． 2．什么情况下需要建立数列模型？答当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型． [预习导引] 1．单利和复利用符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金与利息的和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S ＝P(1＋nr)；若按复利计算，到期的本利和S ＝P(1＋r)n . 2．零存整取模型若每月存入金额为x 元，月利率r 保持不变，存期为n 个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx 元，各月利息和为n (n ＋1)r 2x 元，全部取出的本利和为nx ＋n (n ＋1)r2x 元．3．定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P 元存款，定期利率为r ，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n 年后，储户所得本利和为P(1＋r)n . 4．分期付款问题在分期付款问题中，贷款a 元，分m 个月付清，月利率为r ，每月付x 元，货款a 元m 个月后本息和为a(1＋r)m ；从第一个月开始每次付款x 元，m 个月后本息和为从而有：x[(1＋r)m ，∴x ＝ar (1＋r )m(1＋r )m －1.要点一等差数列模型例1 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }，则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×(－15)2＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．跟踪演练1 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解设共有n 个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x 1，x 2，…，x n . 由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1， ∴数列{x n }成等差数列，每个水龙头1 min 放水124n (这里不妨设水池的容积为1)，∴124n ·(x 1＋x 2＋…＋x n )＝1，∴n (x 1＋x n )2＝24n ， ∴x 1＋x n ＝48.又∵x n ＝5x 1，∴6x 1＝48，∴x n ＝40，故最后关闭的水龙头放水40 min. 要点二等比数列模型例2 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)解方法一设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a. 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0， a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.因为1.016＝1.061，所以a ＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝a[(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.得a ≈1 739.故每月应支付1 739元．规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪演练2 陈老师购买工程集资房92 m 2，单价为1 000元/m 2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③) 注 ①分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和． ②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.解设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x ×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x ×1.075元，第十年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510(元)，所以x ＝48 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈48 800×2.061×7.068×10－2≈7 109(元)．∴每年需付款7 109元．要点三等差、等比数列在经济生活中的综合应用例3 某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元) 解因为扩大生产急需的资金共有 40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)；已经筹集到的资金为125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)；资金缺口为：255－155＝100(万元)．设每次向银行还款x 万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元．第一次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)4万元；第二次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)3万元；第三次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)2万元；第四次还款到第五年的本利和为x(1＋9%)万元；第五次还款(无利息)为x万元．由题意得x＋x(1＋9%)＋x(1＋9%)2＋x(1＋9%)3＋x(1＋9%)4＝100(1＋9%)5，即x(1.095－1)1.09－1＝100×1.095，∴x≈25.7(万元)．跟踪演练3 据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？(2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8 192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a×25＝262 144a.1．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为( )A．7 260B．8 000C．7 200D ．6 000 答案 A解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．故选A. 2．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m 倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是( ) A.m 11 B.m 12 C.11m －1D.12m －1答案 C解析设1月份产量为a ，则12月份产量为ma ，设月增长率为x ，则a(1＋x)11＝ma ， ∴x ＝11m －1.3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a 吨．由此预测，该区2019年的垃圾量为________吨．答案 a(1＋b)5解析由于2014年产生的垃圾量为a 吨，由题意，得2015年的垃圾量为a ＋a·b＝a(1＋b)，2016年产生的垃圾量为a(1＋b)＋a(1＋b)·b＝a(1＋b)2，由此得出该区2019年的垃圾量为a(1＋b)5.4．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________．答案 13[(1＋r)3－1]解析设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1＋r)3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q>(1＋r)3－1.即q>13[(1＋r)3－1]．数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d(常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋xr)．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：a n ＋1－a na n×100%＝q(常数)．例如：银行储蓄复利公式y ＝a(1＋r)x .产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N(1＋p)x .(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．一、基础达标1．把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一份的量为( ) A ．2 B ．13 C ．24 D ．35答案 A解析设公差为d(d>0)，则5份分别为24－2d,24－d,24,24＋d,24＋2d ，则7(24－2d ＋24－d)＝24＋(24＋d)＋(24＋2d)，解得d ＝11，最小的一份为24－2×11＝2.2．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月答案 C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1 ＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5] ＝130(－n 2＋15n －9)． a n >1.5，即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5,6<n<9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)3．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有的蜜蜂数为( )A ．46 656B ．46 006 C. 7 776 D ．58 765 答案 A解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a 1＝6(只)，q ＝6只，∴第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a 6＝66＝46 656(只)．4．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间为( ) A ．14秒 B. 15秒 C ．13秒 D ．10秒答案 B解析设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列．由求和公式得na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n(n －1)＝240，解得n ＝15.5．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A ．6秒钟 B ．7秒钟 C ．8秒钟 D ．9秒钟答案 B解析设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴2n －1≥100，∴n ≥7.6.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________. 答案 14解析根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， ∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×(22)6＝14. 7．某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年起，每年年初到银行新存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？解从2012年年初到2013年年初有存款b 1＝a(1＋p)元，设第n 年年初本息有b n 元，第n ＋1年年初有b n＋1元，则有b n ＋1＝(b n ＋a)(1＋p)．将之变形为b n ＋1＋a (1＋p )p ＝(1＋p)[b n ＋a (1＋p )p ]，其中b 1＋a (1＋p )p ＝a (1＋p )2p.∴{b n ＋a (1＋p )p }是以a (1＋p )2p 为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是b n ＝ap [(1＋p)n ＋1－(1＋p)]．即这个家庭到2022年年初本利可达ap [(1＋p)11－(1＋p)]元．二、能力提升8．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 就会降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温是26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是( )A ．1 500 mB ．1 600 mC ．1 700 mD ．1 800 m 答案 C解析由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，公差为－0.7 ℃的等差数列，记此数列为{a n }，a 1＝26 ℃，d ＝－0.7 ℃，令14.1＝26＋(n －1)×(－0.7)，解得n ＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m)．9．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是( ) A ．33 B ．64 C ．65 D ．127 答案 C解析由a n ＝2a n －1－1＝2(2a n －2－1)－1＝…＝2n a 0－(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝2n ＋1－2n ＋1，a 6＝27－26＋1＝65. 10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还________万元．答案 aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1解析设每年偿还x 万元，第一年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为a(1＋y)－x ，第二年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为[a(1＋y)－x](1＋y)－x ＝a(1＋y)2－x(1＋y)－x ，第五年的年末偿还x 万元后剩余的贷款为a(1＋y)5－x(1＋y)4－x(1＋y)3－…－x ，由于第5年还清，所以x ＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，∴x ＝aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.11．某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列{a n }． ∴a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， ∴a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1) (1≤n ≤20，n ∈N *)．∴{a n }是以60为首项，以－12为公差的等差数列，∴a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5，∴S 20＝12(a 1＋a 20)×20＝10(60＋50.5)＝1 105.∴实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．所以第10个月应付55.5万元，实际共付1 255万元．12．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房． (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)解 (1)第一年末的住房面积为a·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)．第二年末的住房面积为(a·1110－b)·1110－b ＝a·(1110)2－b(1＋1110)＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为[a·(1110)2－b(1＋1110)]·1110－b ＝a·(1110)3－b[1＋1110＋(1110)2]，第四年末的住房面积为a·(1110)4－b[1＋1110＋(1110)2＋(1110)3]，第五年末的住房面积为a·(1110)5－b·[1＋1110＋(1110)2＋(1110)3＋(1110)4]＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b. 依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a 20m 2. 三、探究与创新13．某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b ，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 2＝0.3)解设a 1，a 2，…，a 20表示从今年开始的各年年末木材存量，且a 0＝3 300，则a n ＝a n －1(1＋25%)－b.∴a n ＝54a n －1－b ，a n －4b ＝54(a n －1－4b)，即数列{a n －4b}是等比数列，公比q ＝54. ∴a 20－4b ＝(a 0－4b)·(54)20. 令t ＝(54)20，则lg t ＝20lg 54＝20(1－3×0.3)＝2. ∴t ＝100，于是a 20－4b ＝100(a 0－4b)，∴a 20＝100a 0－396b ，由a 20≥4a 0，得100a 0－396b ≥4a 0，b ≤833a 0＝800. 故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米．。

2019_2020学年高中数学模块复习课学案新人教B版必修3

模块复习课一、算法初步1．算法、程序框图、程序语言(1)算法的概念：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题．(2)程序框图：程序框图由程序框组成，按照算法进行的顺序用流程线将程序框连接起来．结构可分为顺序结构、条件分支结构和循环结构．(3)算法语句：基本算法语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构．用基本语句编写程序时要注意各种语句的格式要求．2．算法案例本章涉及的更相减损术是用来求两个正整数的最大公约数的，秦九韶算法可以计算多项式的值．对这些案例，应该知其然，还要知其所以然，体会其中蕴含的算法思想．二、统计1．抽样方法(1)抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样．(2) 应用三种抽样方法时需要搞清楚它们的使用原则．①当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法．②当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数表法．③当总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样．④当总体容量较大，样本容量也较大时适宜于系统抽样．2．用样本估计总体(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．(2)茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到；二是便于记录和表示．(3)样本的数字特征样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．3．变量间的相关关系(1)两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)．(2)求回归方程的步骤： ①先把数据制成表，从表中计算出②计算回归系数a ^，b ^.公式为③写出回归方程y ^＝bx ＋a .三、概率1．随机事件的概率(1)事件有必然事件、不可能事件、随机事件三种．(2)概率与频率：对于一个事件而言，概率是一个常数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率．2．频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率．3．求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．4．古典概型(1)判断试验是否具有有限性和等可能性．(2)要分清基本事件总数n 及事件A 包含的基本事件数m ，利用公式P (A )＝m n 求解．(3)常用列举法、列表法、树状图法求基本事件总数． 5．几何概型(1)几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．(2)几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．(3)理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[易错易混辨析]1．处理框用表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框．(√)2．条件结构不同于顺序结构的特征是输入、输出框．(×)[提示] 条件结构不同于顺序结构的特征是判断框．3．对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的．(×)[提示] 判断框内的条件不是唯一的，例如a＞b也可以写成a≤b但其后步骤需相应调整．4．输入语句的作用是计算．(×)[提示] 输入语句可以给变量赋值，并且可以同时给多个变量赋值．5．输出语句的作用是实现算法的输出结果功能．(√)6．赋值语句的作用是把赋值号左边的值赋值给右边．(×)[提示] 赋值语句的作用是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量．7．在while循环语句中，表达式为真时终止循环．(×)[提示] 表达式为真时执行循环体．8．条件结构的两种形式执行结果可能不同．(×)[提示] 条件结构的两种形式执行的结果是相同的．9．求最大公约数的方法除“更相减损之术”之外，没有其他方法．(×)[提示] 还有辗转相除法(即欧几里得算法)10．简单随机抽样可以是有放回抽样．(×)[提示] 简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本，是不放回抽样．11．采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．(√)12．简单随机抽样就是抽签法．(×)[提示] 简单随机抽样包括抽签法和随机数表法．13．当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样．(√)14．系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时，余数是几就剔除前几个数．(×) [提示] 剔除多余个体时，应保证每个个体被剔除的可能性相同．15．频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．(√)16．频率分布直方图中，各小矩形的面积之和大于1.(×)[提示] 频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.17．用茎叶图来比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等方面比较．(√) 18．数据的离散程度可以用方差或标准差来描述，一般地方差越大，这组数据围绕平均数波动越小．(×)。

高中数学新湘教版精品学案《分期付款问题中的有关计算》

分期付款问题中的有关计算
【学习目标】
1．掌握分期付款、复利等相关术语。

2．会用数列与分期付款的有关知识结合来解决实际问题，进一步巩固数列的相关知识与运算能力。

3．通过合作探究、分析问题。

解决问题以及计算能力，认识事物之间的相互联系，培养应用意识、创新能力。

【学习重难点】
重点：分期付款问题的探究与讨论。

难点：理解概念并构造方程，建立数学模型。

【学习过程】
一、新课学习
知识点一：分期付款概念的认识。

购买商品时可以分期将款逐步还清，分期付款中规定每期所付款额相同，每月利息按复利计算。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．八戒享用分期付款的方式向银行贷款24000元，两年还清，月利率为%，请计算按照分期付款的方式，每月应当换多少钱？
知识点二：复利计算。

复利计算：指上月利息要计入下月本金。

例如：若月利率为%，款额a元，过一个月增值为a1+0.8%=1.008a
（）（元），再过一个月则又要增值为（1）=（元）
根据前面的知识做一做：
练习：
1．若爸爸每月存款5000元，连续存3年，月利率为%，到期时一次可支取本息多少元呢？
二、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测
1．某位顾客购买一件售价为50000元的商品，如果采取分期付款的方式，他采取的付款方式为每月支付，在一年内付清，规定每月月利率为%，每月利息按复利计算。

请问他这一年应付款总额是多少？。