第二章函数导数及其应用章末大盘点
导数及其应用章末总结课件
例1 当x∈(0，π2)时，证明：tanx>x.
分析
构造函数f(x)＝tanx－x.利用导数判断在x∈(0，
π 2
)
上的单调性．
证明 设f(x)＝tanx－x，x∈(0，2π)， 则f′(x)＝csoinsxx′－1 ＝cos2cxo＋s2sxin2x－1 ＝csoins22xx＝tan2x>0. ∴f(x)在(0，2π)上是增函数．
Δy Δx.
(2)公式法：对于较复杂的函数，在求导前应先对解析式
进行化简或变形，再用公式求导．
(3)复合函数的求导方法：运用复合函数的求导法则y′x＝ y′u·u′x，但应注意以下几点：
①利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自 变量的函数，层层求导．
②要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能 混淆，计算到最后，如(cos2x)′＝－sin2x是错的，正确的是 (cos2x)′＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x.
于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) 由f′(x)>0，得x<0，或x>2， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由f′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.
一、导数的应用 1．导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的 求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导 数法则都是用定义得出的． 2．函数求导的常用方法 (1)定义法：用定义求导的一般步骤：
①求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；②求平均变化率ΔΔyx＝
fx＋ΔΔxx－fx；③取极限，得f′(x)＝Δlixm→0
第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。
函数、导数及其应用第二节函数的单调性与最大(小)值
建筑结构设计
02
在建筑结构设计中，利用极值定理可以确定建筑物的最大抗力
和最小截面尺寸，提高建筑物的抗震性能和稳定性。
电子产品设计
03
在电子产品设计中，利用极值定理可以确定电子产品的最大工
作电压和最小工作电流，提高产品的可靠性和稳定性。
最值在生活中的应用
01
物流运输
在物流运输中，利用最值定理可 以确定最优运输路径和最小运输 成本，提高运输效率。
函数最小值
函数在某区间上的最小值是指在该区间上所有函数值中最小的的一个，即对于 任意$x in (a, b)$，有$f(x) geq f(x_{0})$，其中$x_{0} in (a, b)$。
求函数最大(小)值的方法
代数法
通过函数的解析式，利用代数运算求出最大值或最小值的$x$值，再代入解析式求出最大值或最小值 。
04 导数在研究函数中的应用
导数与函数单调性的关系
判断单调增函数
如果函数断单调减函数
如果函数在某区间的导数小于0，则该函数在此区间 单调减。
单调性与导数符号
函数的单调性与其导数的符号变化密切相关，导数的 符号决定了函数的增减性。
导数与函数极值的关系
单调性的数学符号表示
如果函数在某个区间上单调递增，则可以用$f'(x) geq 0$来 表示；如果函数在某个区间上单调递减，则可以用$f'(x) leq 0$来表示。
判断函数单调性的方法
导数判断法
如果函数在某个区间内的导数 大于0，则函数在这个区间内 单调递增；如果导数小于0， 则函数在这个区间内单调递减。
二阶导数测试
当一阶导数为0，二阶导数大于0时，该点为极小值点； 当一阶导数为0，二阶导数小于0时，该点为极大值点。
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
高中数学第二章导数及其应用本章总结提升北师大版选择性必修第二册
当a<-4时,p(0)=2,则p(x)>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),
无单调递减区间.
- 2 -16
当 a>4 时,令 p(x)=2x2-ax+2=0,得 x1=
4
+ 2 -16
,x2=
4
,
由f'(x)>0,即p(x)>0,得0<x<x1或x>x2;
()
f'(x)+ <0,若
1 1
a= f( ),b=2 2
是( B )
A.a<c<b
B.b<c<a
C.a<b<c
D.c<a<b
2f(-
1
1
2),c=(ln )f(ln ) ,则a,b,c的大小关系正确的
2
2
解析 令g(x)=xf(x),
则g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函数.
h'(x)= 3 ,
令 h'(x)>0,得 0<x< e;令 h'(x)<0,得 x> e,
∴h(x)在(0, e)内单调递增,在( e,+∞)内单调递减,∴h(x)max=h(
当 x 趋向于 0 时,h(x)趋向于-∞,当 x 趋向于+∞时,h(x)趋向于 0,
∵g(x)在定义域内有且仅有两个零点,
2
1
∵0<a<1,∴a=2.
1
a=2.
专题三
导数的综合应用
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第二章函数导数及其应用 第四节指数与指数函数
考点一 实数指数幂的化简与求值
[例] (1)化简4 16x8y4(x＜0，y＜0)的结果为( )
A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
1
11
1
1
[解析] 4 16x8y4＝(16x8y4)4＝[24(－x)8·(－y)4]4＝24·4·(－x)8·4·(－y)4·4＝2(－x)2(－y)
1．根式 (1)根式的概念
[基础梳理]
①若___x_n_＝__a___，则 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N＋.式子n a叫作根式， 这里 n 叫作根指数，a 叫作被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N＋)．
②n
a，n为奇数， an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，
[四基自测]
1 1．(基础点：有理数指数幂运算)化简[(－2)6]2－(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
答案：B
2．(基础点：指数函数图像)函数 f(x)＝1－ex 的图像大致是( ) 答案：A
3．(基础点：指数函数解析式)若函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像经过点 A2，13， 则 f(－1)＝________． 答案： 3 4．(易错点：指数函数性质)函数 y＝(ax＋1)ex 过定点________． 答案：(0，1)
当 x＞1 时，y＝e－(x－1)为减函数，排除 A.
故选 B.
[答案] B
(2)函数 f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
[解析] f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于 y 轴对称， 又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为(－∞，0]， 因此排除 B、C、D，只有 A 满足． [答案] A
导数及其应用章末检测试题(理)
导数及其应用测试题一:选择题1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f xB ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）3．下列说法正确的是 ( )A ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极大值B ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极小值C ．当f ′(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x)的极值D ．当f(x 0)为函数f(x)的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 4．已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ ）A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定5．曲线321x y =在点⎪⎭⎫⎝⎛41,8R 的切线方程是（ ）A ．02048=-+y xB ．48200x y ++=C ．48200x y -+=D ．4200x y --=6．已知曲线)1000)(100(534002≤≤-++=x x x y 在点M 处有水平切线，则点M 的坐标是（ ）．A ．（-15，76）B ．（15，67）C ．（15，76）D ．（15，-76） 7．已知函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增 D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减8．（2007年福建卷）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，9．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．2π5B ．43 C.32 D ．π210．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）y x O y xO yx O yxO A ． B ． C ． D ．1- yxO11A ．14 B ．15 C ．16 D ．17二、填空题11．函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．12．若一物体运动方程如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+=)2( )3()3(329)1( )30(2322t t t t s则此物体在1=t 和3=t 时的瞬时速度是________．13．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．14．（2006年湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)’＝2πr ○1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
导数及其应用-知识点整理(完整,清晰)
导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.4 幂
∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
2．[课本改编]设 α∈－1，1，21，3，则使函数 y＝xα
的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(
)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
解析 α＝－1,1,3 时幂函数为奇函数，当 α＝－1 时定 义域不是 R，所以 α＝1,3，故选 A.
3．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a
(2)在 比较幂值的 大 小时，必须结 合幂值的特点 ，选择 适当的函数，借助其单调性进行比较．
幂值的大小比较方法还有： (1)转化为同底：①当底数>1 时，指大值大；②当 0<底 数<1 时，指大值小． (2)转化为同指：①指数>0 时，底大值大；②指数<0 时， 底大值小． (3)引入中间量 0 或 1 或由一个幂的底数和另一个幂的指 数组成的幂．
2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中 a≠0，顶点坐标为(－h， k))． (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中 a≠0，x1、x2 是二 次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断 下 列结 论 的 正误 ． (正 确 的 打“√”， 错 误的 打 “×”) 1．幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) 2 ． 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(x ∈ R)， 不 可 能 是 偶 函 数．( × ) 3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈ [a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a .( × )
导数及其应用 章末归纳总结 课件
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法 与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)中求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个 值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在 区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这 一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最 大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；在[－1－ a，＋∞)上单调递增．
(3)①当a≥0时，由(2)可知，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调 递增．此时，(a，a＋1)⊆(－1，＋∞)，故f(x)在(a，a＋1)上为 增函数．
②当a<0时，由(2)可知，函数f(x)在[－1－a，＋∞)上单调 递增．
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论． 6．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函 数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导．数．为．零．的．点．不．一． 定．是．极．值．点．．． (4)极值是一个局．部．概念，极大值不．一．定．比极小值大．
y0－y1＝f ′(x1)(x0－x1)① 又y1＝f(x1)② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程． [解析] (1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y －4＝0.
导数及其应用 章末归纳总结
[方法规律总结 ]
本题结合函数极值的求法，用待定系数
法求出函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区 间．在求最值时切记不要简单地在极值中找出最值作为结果，
一定要考虑函数在区间端点处取得的函数的大小．本题主要体
现了化归思想的应用．
导数的实际应用
某工厂生产一种仪器的元件， 由于受生产能力和 技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率 P 与日产量 x(万件)之间大体满足关系： 1 6－x1≤x≤c P＝ 2x>c 3
2
解集为 －∞，
－3a －3a ∪集为 －
－3a －3a . ， 3 3
所以函数 y＝x3＋ax 的增区间是
－∞，－ －3a －3a ， ，＋ ∞ ， 3 3
专题探究
导数的几何意义 由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)，就是曲线y＝f(x)在 点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x
－x0)．因此关于曲线的切线问题可用导数的方法解决．
已知曲线 y＝2 x＋1，问曲线上哪一点处的切 线 与 直 线 y ＝ － 2x ＋ 3 垂 直 ？ 并 写 出 该 点 处 的 切 线 方 程 . 导学号 92600760
f′1＝0 ∴ f1＝－1 3－6a＋2b＝0 ，即 1－3a＋2b＝－1
，
1 a＝3 解得 b＝－1 2
.
∴f(x)＝x3－x2－x, f′(x)＝3x2－2x－1.
1 令 f′(x)＝0，即 3x －2x－1＝0，解得 x＝－3或 1.
2
1 当 x>1 或 x<－3时， f′(x)>0； 1 当－3<x<1 时， f′(x)<0. 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，3)和(1，＋∞)，单调 1 递减区间是(－3，1)．
第二章 函数、导数及其应用精品
回 的映射是“求余弦”，与 A 中元素 60°相对应的 B 中的 提
扣
升
主 干 知
元素是____；与 B 中元素 23相对应的 A 中的元素是
．
学 科 素
识
解析：∵cos 60°＝12，∴与 A 中元素 60°相对应的 B 中的 养
突
演
破 热
元素是12.
练 知
点
能
题 型
又∵cos 30°＝
23，∴与 B 中元素 23相对应的 A 中的元
突
演
破 数 y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于 练
热
知
点 函数 f(x)＝1 的定义域为 R，函数 g(x)＝x0，的定义域为 能
题
检
型 {x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是 2.
测
答案：B
数学(6省专版)
第一节 函数及其表示
2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的
定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．
数学(6省专版)
第一节 函数及其表示
回 扣
1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什
提 升
主 干 知 识
么？ ①f1：y＝xx；f2：y＝1.②
1，x≤1， f1：y＝2，1<x<2，
3，x≥2；
学 科 素 养
突
演
破 热
f2：
练 知
检 测
到集合B的一个函数 A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
数学(6省专版)
第一节 函数及其表示
回
提
扣
导数及其应用章末总结课件
－ 1
ln(2n＋
1)<2，
n∈
N*
.
专题四 定积分的计算与应用 定积分的计算一般考虑用微积分基本定理求解，当被积函 数有明显的几何意义但其原函数不易找到时，应考虑利用 定积分的几何意义来计算．对于定积分的应用，主要考查 求面积问题．
例5 (1)已知函数 y＝f(x)的图象是折线段 ABC，其中
A(0,0)、B
2x2，0≤x＜1， 2
∴y＝xf(x)＝ －2x2＋2x，1≤x≤1，
2 xf(x)(0≤x≤1)的图象如图(2)所示．
作出函数 y＝
(1)
(2)
函数 y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形如图(2)阴 影部分，
(2)①∵f(x)＝sin(ωx＋φ)，∴f′(x)＝ωcos(ωx＋φ).
章末专题整合
专题一 导数的几何意义 导数几何意义的应用主要在研究曲线的切线问题上，关 键在于应用切点的三条性质来解决．有三个常见类型: (1)在某点处的切线；(2)过某点的切线(此点不一定是切 点，需设切点求解)；(3)两曲线的公切线(常通过写出两 条切线，使其重合求解)．
例1 设点 P 在曲线 y＝1ex 上，点 Q 在曲线 y＝ln(2x) 2
当 φ＝π6时，f′(x)＝ωcosωx＋π6.
又该函数过点
P0，32
3
，
故3 2
3＝ωcosπ6.
∴ω＝3.
②设 A(x0,0)，则 ωx0＋φ＝π2，∴x0＝2πω－ωφ.
又 y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为2ωπ，
∴ |AC|＝ωπ ， C2πω－ωφ ＋ ωπ ， 0.
依题意曲线段 与 x 轴围成的面积为
上点
(x0，
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[领悟] 二次函数在区间(x1，x2)内有两个根，要考虑端 点函数值的符号、判别式及对称轴与x1、x2的关系，从 以上三个方面列式求解.
第二章函数导数及其应用章末大盘点
2.方程思想 【示例2】 若函数f(x)＝ 求实数a，b的值.
的最大值为4，最小值为－1，
第二章函数导数及其应用章末大盘点
1.函数思想
【示例1】 已知关于x的方程x2＋
x+m2
－1＝0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0,2]内，
求m的取值范围.
第二章函数导数及其应用章末大盘点
[解] 设函数f(x)＝x2＋
＋m2－1，由图知，方程
的两根都在区间[0,2]内的充要条件为
第二章函数导数及其应用章末大盘点
故m的取值范围为
象为：
要使f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，
只要
或a4<1.
即a>
或0<a<1.
第二章函数导数及其应用章末大盘点
[领悟] 函数极值的主要应用之一是求与该函数有关的 方程根的问题，求解时可画出函数的图象帮助解题.
要使y＝1与f(x)有两个交点只需f(－2a)<1<f(a)或f(0)<1，
即
或a4<1.
第二章函数导数及其应用章末大盘点
[领悟] 解决此问题的关键在于把求值域的问题与解一元二 次不等式联系在一起，最后由不等式的解集(函数的值域)确 定参数a，b的值.本题属函数定义域和值域中逆向思维解题， 是一个难点.从解法上看体现了等价转化的数学思想，它是 解决数学综合问题的桥梁.
第二章函数导数及其应用章末大盘点
故函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，0)和(0,2).
第二章函数导数及其应用章末大盘点
(2)由(1)知f′(x)＝2x－ ①若a≤1，则f′(x)>0在区间(1,2]上恒成立，f(x)在区间[1,2] 上单调递增，函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)＝4＋ a； ②若1<a<8，则在区间(1， )上，f′(x)<0，函数f(x)单调 递减，在区间( ，2)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1)，f(2)中的较大者， f(1)－f(2)＝1＋2a－4－a＝a－3，故当1<a≤3时，函数f(x) 的最大值为f(2)＝4＋a，当3<a<8时，函数f(x)的最大值为 f(1)＝1＋2a；
[解] 设
去分母，得yx2－ax＋y－b＝0，
y＝0显然在函数值域[－1,4]内； y≠0时，x∈R，∴Δ＝a2－4y(y－b)≥0， 即4y2－4by－a2≤0，解得－1≤y≤4. 因而方程4y2－4by－a2＝0的两根为－1,4. 由根与系数的关系，知b＝－1＋4＝3， ＝－1×4. ∴a＝4，b＝3或a＝－4，b＝3.
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[领悟] 本题的(2)中首先利用等价转化思想，即函数f(x) 在区间[1,2]上的最大值小于或等于a2－2a＋4，尽而利用 分类讨论思想求f(x)在[1,2]上的最大值.
取值范围.
[解] (1)由f′(x)＝x3＋ax2－2a2x＝x(x＋2a)(x－a)， 令f′(x)＝0得，x1＝－2a，x2＝0，x3＝a， 由a>0，知－2a<0<a，则
第二章函数导数及其应用பைடு நூலகம்末大盘点
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞， －2a)
－2a (－2a,0)
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三、分类讨论思想 一些有关指数函数、对数函数的题目，若函数的底数
没有确定，要注意分类讨论，二次函数求最值时，有时要 对对称轴及区间要进行分类讨论.
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【示例4】 已知函数 (1)求函数f(x)的图象在x＝1处，且垂直于直线x－14y＋13＝0 的切线方程，并求此时函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值 范围.
0
(0，a)
a
(a，＋∞)
f′(x) －
0
＋
0－
0
＋
f(x)
极小值
极大 值
极小值
第二章函数导数及其应用章末大盘点
所以f(x)的单调递增区间为(－2a,0)与(a，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(－∞，－2a)与(0，a).
(2)由(1)得f(x)极小值＝f(－2a)＝
f(x)极小值＝f(a)＝
，f(x)极大值＝f(0)＝a4，f(x)的大致图
第二章函数导数及其应用章末大盘点
[解] (1)∵f(x)＝x2＋
∴f′(x)＝
，
根据题意有f′(1)＝2－2a＝－14，解得a＝8，此时
切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y－17＝－14
(x－1)，即14x＋y－31＝0.
当a＝8时，f′(x)
令f′(x)>0，解得x>2，令f′(x)<0，解得x<2且x≠0，
第二章函数导数及其应用章末大盘点
③当a≥8时，f′(x)<0在区间[1,2)上恒成立，函数f(x)在区间 [1,2]上单调递减，函数f(x)的最大值为f(1)＝1＋2a. 综上可知，在区间[1,2]上，当a≤3时，f(x)max＝4＋a； 当a>3时，f(x)max＝1＋2a. 不等式f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立等价于在区 间[1,2]上，f(x)max≤a2－2a＋4，故当a≤3时，4＋a≤a2－2a ＋4，即a2－3a≥0，解得a≤0或a＝3；当a>3时， 1＋2a≤a2－2a＋4，即a2－4a＋3≥0，解得a>3. 故a的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞).
二、数形结合的思想 数形结合的思想在这一章中用处最多，利用图象研究
函数的性质，讨论方程的解的个数，求一些参数的范围等.
第二章函数导数及其应用章末大盘点
【示例3】 已知函数f(x)＝
－a2x2＋a4(a>0).
(1)求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝1恰有两个交点，求a的
第二章函数导数及其应 用章末大盘点
2020/12/10
第二章函数导数及其应用章末大盘点
一、函数与方程的思想 本章内容为函数，有一些题目把函数的问题利用方程
求解，而有的方程利用函数求解，例如讨论一些方程解的 情况；已知解范围，求方程中参数的范围等，都习惯利用 函数思想.
第二章函数导数及其应用章末大盘点