牙克石一中

圆锥曲线与方程测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,－2), 则k 的值为( )A ． 1B ． －1C ．D ．2.双曲线8222=-y x 的实轴长是( ) A ．2B ． 22C ． 4D ．423.抛物线28y x =的焦点到准线的距离为( )A ． 1B ． 2C ． 4D ． 84．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 22－y 2＝1C ．x 23－y 23＝1D ．x 2－y22＝15．已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛4,27A ，则PM PA +的最小值是( ) A ．27B ． 4C ． 29D ． 56．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在圆22450x y x +--=上,则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．3y x =±D．4y x =± 7．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．如果直线AF的斜率为||PF =( ) A．B ．8C．D ．168．双曲线14222=-y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，P 是双曲线上一点，1PF 的中点在y 轴上，线段2PF 的长为34，则该双曲线的离心率为( )A ．23B ．213 C ．313 D ．313 9．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．01232=-+y xD ．082=-+y x10．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．3316 B ．)32(4- C ．)32(16+ D ． 1611．（理科）点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ． (x －2)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1C ． (x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 11．（文科）设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段12.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则PN PM ⋅的值为( ) A ． 2aB ．2bC ． ab 2D ． 22b a +第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为____________；渐近线方程为____________．14.（理科）直线y=x+3与曲线1492=-xx y 的公共点的个数是 .14．（文科）直线2y x =-与抛物线28y x =相交于B A ,两点，则AB =____________ 15（理科）点(3,0)M -，点(3,0)N ，动点P 满足10PM PN =-，则点P 的轨迹方程是____________15.（文科）点M 到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，则点M 的轨迹方程为16．方程22141x y k k +=--表示的曲线为C ，给出下列四个命题： (1）曲线C 不可能是圆；(2）若14k <<，则曲线C 为椭圆；(3）若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；(4）若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则51.2k <<其中正确的命题是____________ (填上正确命题的序号) ．二、填空题（每题5分，共20分）13、 14、15、 16、 三解答题（17题10分18、19、20、21、22题12分共70分）17．已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，两顶点之间的距离为4，求此双曲线的标准方程。

18.中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221=F F ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。

求这两条曲线的方程。

19.已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A （4，m ）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程； （2）若此抛物线方程与直线2-=kx y 相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.20.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1） 求椭圆C 的标准方程（2） 若直线L ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线L 过定点，并求出该定点的坐标。

21．已知中心在坐标原点、焦点在x 轴上椭圆的离心率33=e ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切. ⑴求该椭圆的标准方程；⑵设椭圆的左，右焦点分别是1F 和2F ，直线21F l 过且与x 轴垂直，动直线y l 与2轴垂直，12l l 交于点P ，求线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型.22．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点(1,2)M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程.（2）已知动直线过点(,)P 30，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l ¢被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l ¢的方程；若不存在，说明理由．ACCBCB BDDBDA13【答案】(±4,0) 3x ±y ＝0 14【理答案】3 文答案1615【理答案】2212516x y += 文答案y 2 =16x16【答案】（3）（4）三、解答题17. 2222y 114416x x y -=-=或 18解：设椭圆的方程为1212212=+b y a x ，双曲线得方程为1222222=-b y a x ，半焦距c ＝13由已知得：a 1－a 2＝47:3:21=a c a c ，解得：a 1＝7，a 2＝3 所以：b 12＝36，b 22＝4，所以两条曲线的方程分别为：1364922=+y x ，14922=-y x 19.1.不妨设抛物线方程为y²=2px则A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而准线方程为x=-p/2 则4+p/2=6 p=4 y²=8x2.联立直线与抛物线的方程，可得 (kx-2)²=8x k²x²+4-4kx=8x k²x²-(4k+8)x+4=0若设A(x1,y1)B(x2,y2) 则x1,x2为方程的解，则x1+x2=-[-(4k+8)]/k²=(4k+8)/k²而AB 中点的横坐标应为(x1+x2)/2=(2k+4)/k²=2则k²-k-2=0, (k+1)(k-2)=0 k=-1,k=2而当k=-1时，原方程的△=0，不符题意，舍去 所以k=2 20.1）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，则3+1=2a ，a=2，3-1=2c ，c=1，b²=4-1=3，椭圆C 的标准方程：x²/4+y²/3=1；（2）y=kx+m 与椭圆C 相交于A.B 两点，解得：x1+x2=-8km/(3+4k²)，x1x2=(4m²-12)/(3+4k²)，(x1-x2)=48(4k²-m²+3)，y1+y2=6m/(3+4k²)，y1y2=(3m²-12k²)/(3+4k²)，(y1-y2)=48k²(4k²-m²+3)/(3+4k²)，AB²=48[4(k²)²+7k²-m²-m²k²+3]/(3+4k²)，AB 中点到椭圆C 的右顶点距离为AB 的一半，则[4km/(3+4k²)+2]²+9m²/(3+4k²)²=12[4(k²)²+7k²-m²-m²k²+3]/(3+4k²)，4k²-16km+7m²=0，(2k-7m)(2k-m)=0，m=2k/7或m=2k ，直线L ：y=k(x+2/7)或y=k(x+2)，定点为(-2/7,0)或(-2,0)，∵点(-2,0)为椭圆C 的左顶点，∴点(-2,0)舍去，直线L 过定点(-2/7,0)。

21【答案】⑴依题意设所求椭圆方程为33)0(12222又它的离心率为>>=+b a by a x得：22223233b a a b a =⇒=- ① 又以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线2+=x y 相切. 即原点到直线2+=x y 的距离为b ，所以,2=b 代入①中得3=a所以，所求椭圆方程为12322=+y x . ⑵由2,3==b a 得1F 、2F 点的坐标分别为)0,1(-，)0,1(，设M 点的坐标为),(y x ，由题意：P 点坐标为),1(y ，因为线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点为M ，所以x y x y x MP MF 4|1|)1(||||2221-=⇒-=++⇒=故线段1PF 的垂直平分线与2l 的交点M 的轨迹方程是x y 42-=， 该轨迹是以1F 为焦点的抛物线.22.解：（1）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =，所以抛物线方程为24y x =，则抛物线的焦点坐标为.由题意知椭圆、双曲线的焦点为F F ()()121,0,1,0,-所以.对于椭圆，a MF MF 1222=+=+所以a 1=+，a (2213=+=+2222b a c =-=+221.对于双曲线，1222a MF MF ¢=-=，所以1a ¢=，23a ¢=-所以2222b c a ⅱ?=-=221.（2）设AP 的中点为C ，l ¢的方程为x a =，以AP 为直径的圆交l ¢于,D E 两点，DE的中点为.H 令()11,,A x y 则113,22x y 骣+÷ç÷ç÷ç÷ç桫C ，所以DC AP 12==，x CH a x a ()11312322+=-=-+，所以()DH DC CH x y x a a x a a [()()22222221111113]2323.44轾=-=-+--+=--+犏臌当2a =时，2462DH =-+=为定值，所以2DE DH ==此时l ¢的方程为2x =.。