对一道课本例题的挖掘

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对一道数学课本例题的拓展探究

原题的两类结论外，还可以写角相等、全等、相似等结论，给了学生很大的思维空间，培养了学生的思维发散能力和综合
分析能力。
拓展２：如图，在原题条件不变的前提下，（１）若ＬＡＰＯ＝
３０￣，点Ｑ为０ｏ上不与点Ａ、Ｂ重合的点，求Ｌ，４ＱＢ的度数。（２）若０Ｏ的半径为５，在（１）的条件下，Ｐ求、船及劣弧所围成的图
Ｐ
点作ＰＯ的垂线ＢＡ，垂足为点Ｄ，交００于点，延长Ａ０
与００交于点ｃ，连接ＢＣ，Ａ（１）求证：直线为００的切
原题（苏教版九年级数学上册）
ｐ
如图１，ＰＡ、ＰＢ是００的两条切线，
对一道数学课本例题的拓展探究
江苏省泰兴市老叶初级中学叶乔平初中数学课本中的例题具有示范性、典型性和探究性，是课本的精髓。浏览近几年全国各地的中考数学试卷，很多试题来源于课本， “ 题在书外，根在书内” 。因此，在中考复习中若能充分发挥课本中例题的潜在功能，适当加以拓展延伸，可以达到发展智力、培养能力的目的。现以苏教版九年级上册课本上的一道例题为例，谈谈本人的一些做法，以期达
ＡＰＡＢ的内心的结论。
课本例题、习题较多，我们也要抓住重点，从各个方面精心挖掘其潜力。只有这样，我们才能真正从题海战术中脱身出来，减轻学生负担，提高复习效率。

对一道课本习题的研究

对一道课本习题的研究通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.高中数学新教材第二册（上）p96练习4：△abc的一边的两顶点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点a的轨迹.这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（p96练习4）. 开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否正确？”师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.很快有学生写出了它的逆命题：已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为b、c，若点a是椭圆上任意一点（异于b、c），求点a与b、点a与c的连线的斜率的积.经过计算得到答案正好是-49.这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了p96练习4的一般形式：△abc一边的两顶点b（0，m）、c（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点a的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材p108习题1：△abc一边的两个端点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点a的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-11.这里面蕴含了什么哲学原理？2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.</e2-1</e2-1（责任编辑黄春香）。

变出课本习题的精彩——对一道课本习题的多角度探究

Ｄ
￣
Ｉ
ＢＤ，ＭＤ：ＢＤ．坼以ＦＭ：ＢＤ听以
２６
３
Ｆ：ＦＭ：Ｊ）ｌ＝２：１：３．
（２）由ＢＦ：ＦＭ：ＭＤ＝２：１：３可得
Ｓ △ Ａ，：ＪＳ △ ＾删：Ｓ △ ＾肼Ｄ＝２：１：３，故可设
图５
Ｃ
Ｓ △ Ａ日Ｆ＝２ｋ，ＳＡＡＦＭ＝ｋ，ＳＡＡＩＭｏ＝３ｋ（＞Ｏ），则
图３
（４）如果ＣＥ：ＢＣ＝ｍ，求Ｆ：ＦＮ：ＮＥ的值（用含ｍ的代数式表示）．
解析（１）６对．（２）由题意可得ＡＦ￣＿＝ＦＮｘＦＥ．教
ＤＨＥＮ
导学生总结出处理三角形面积关系的
两个基本策略．即看两个三角形是否相
：
，
ＡＤＤＨＢＥＥＮ１
一
故
＋
：１。即
。
似或两个三角形是否是同底、同高、等底、等高．
探究３如图３，在ＥＹＡＢＣＤ中．Ｅ是
上却是值得细细品味的一道有研究价值和开发价值的好题．
…
＋一 — ＝—— ．～一一十— 帆７从而可十得一
：
．
１
＋十
ＤＨ
１
ＥＮ
１
ＦＭ
Ｓ △ ＾Ｂ９
ＢＣ上一点．ＡＥ与ＢＤ相交于点Ｆ．延长』４Ｅ交ＤＣ的延长线于点

对一道课本习题的研究

ｎ６＋２＝２（口＋ｂ），＝１一ａ，
＝，
长为２，正方形ＡＢＣＤ的边长为１，于是
ＰＱ＝ＢＰ＋ＱＤ＝ＱＧ，从而 △ＣＰＱ
△ＣＧＱ，因此
亦即
从而
ＬＰＣＱ＝／＿ＧＣＱ＝２／＿ＰＣＧ＝４５。．
ＰＱ＝２一（口＋ｂ），
使边ＣＢ与ＣＤ重合，则点Ｐ与点Ｇ重合，点Ｑ与点Ｈ重合，于是ＣＰ＝ＣＧ，
ＢＰ＝ＤＧ．ＬＰＣＧ＝９０。．又ＡＡＰＱ的周
所以
即
图１
￣／口＋ｂ＝２一（０＋６），
角线ＢＤ交ＣＰ于点Ｅ，交ＣＱ于点Ｆ，则ＪｓｃＰ０＝
２Ｓ△ＧＦ．
理得 ห้องสมุดไป่ตู้
（口＋ｂ）＝（１一口）＋（１一ｂ），
第４期
Ｙ－４￣￣龙：对一道课本习题的研究
・１７・
正方形边长的２倍．３试题的拓展研究
结论５在正方形ＡＢＣＤ中，若点Ｐ，Ｑ分别在边ＡＢ，ＡＤ上，ＡＡＰＱ的周长是正方形边长的２倍，则Ｓ △ ＋Ｓ △ ｃＤ０＝Ｓ △ ｃＰｏ．如果联结正方形的对角线ＢＤ，ＢＤ截ＡＣＰＱ的２边分出了一个小三角形，那么这个小三角形的面积与原ＡＣＰＱ的面积有怎样的关系呢？经过尝试研究得如下的结论．结论６在正方形ＡＢＣＤ中，从顶点Ｃ引２条

开发教学资源挖掘教学价值--对一道课本例题教学的思考

多大的价值．笔者持不同的观点，学生的这个问题有极高的价
值，就是对这节课的学习也有极高的价值．
笔者听了６节同题异构课（圆的一般方程），这６节课无一
其理由一：学生出现上面的困惑，说明对圆一般方程产生
例外的都只得到了另一种解法：根据三角形外接圆的作法，用的过程没有理解，更没有理解学习圆一般方程的必要性．帮助解三角形两边的垂直平分线的交点，求出圆心坐标，求出圆的半决学生这个问题，会加深学生对圆的一般方程的理解，这样的径，依据圆的标准方程，写出圆的方程．其具体过程为：教学还是围绕圆的一般方程这个中心的．笔者当时的想法：引导学生再次学习圆的标准方程与圆的
因为点Ａ，日，Ｃ在所求的圆上，故有
ｆＤ＋３４Ｅ＋Ｆ＋２５＝０，
｝＋Ｆ＋１＝０．Ｄ
课堂中老师没有关心学生出现的这个问题，就匆忙讲补充
例题了．
『＝一，Ｄ６
【Ｆ＝５．
贝｛Ｄ＋２０５Ｅ＋Ｆ＋２９＝０争Ｅ＝一，，＝｛２
一
￣２线Ａ的点标（，一即孚｝，ｉ：段中坐为）（，）ｄ｛，
直Ｂ的线Ａ斜率为ｋ孚＝＝１所以＝斗一一，线段Ａ的Ｂ垂直平分线）
般方程之间的关系．
圆的一般方程＋＋＋＋Ｆ：０怎样产生的？是
２１年第１２０２ —期
＼
ＪｕｎｌｏｈｎｓｔｅｔｓＥｕａｏｏｒａｆＣｉｅｅＭａｈｍａｉｄｃｔｎｃｉ

巧讲课本例题拓展轻杆问题——对一道课本例题的分析和挖掘

对０的力一定是拉力，钢索方向指向Ａ点。沿
②类比法判断
将钢索类比于绳。根据绳的拉力总是沿着绳而指向绳收缩的方向来判定。【计说明】复习判别弹力方向的假设法，设同时承上启下，为轻杆弹力方向的判别作出铺垫。探究３：为什么硬杆对０的力沿硬杆方
有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为ｍ、ｏ
电荷量为口的带正电粒子从板内ａ孔处静止释放，电场加速后进入磁场。磁场中运动时间经在死后恰能再从ａ进入电场加速。该粒子的质孔现
１
（目编辑邓磊）栏
关键词：杆；展；题轻拓解
中图分类号：３．Ｇ６３７文献标识码：Ａ文章编号：０３６４（０２６Ｓ－０６２１０ — １８２１）（）０７－
课本例题具有极强的典型性和示范性。师教在对课本例题的讲解过程中，如果能引导学生对
Ｖｏ．０１Ｎｏ．４３４４
物理教学探讨ＪｕｎｌｏＰｙｉｅｃｉｇｏｒａｆｈｓｓＴａｈｎｃ
第３０卷总第４４期４２１第６（半月）０２年期上
（）６０２．６Ｓ．１７２
巧讲课本例题拓展轻杆问题
本文就人教版高中物理必修Ｉ８第６页例题
１。谈谈笔者在教学过程中是如何引导学生对此例题进行分析探究，及通过此例题及其变式，对

对一道课本习题的探究挖掘与链接

ＡＧ＝凹
２探究
探究１若点Ｅ不是ＢＣ的中点，是移动到中点而
的右侧如图３结论是否成立？，
分析
根据原题的证明，此时显然应作ＡＧ＝Ｅ，Ｃ证
Ｅ
明过程与原题便完全一样．仔细观察发现此时点Ｇ移动
＼＼／Ｇ＼／
探究２若点Ｅ移动到ＢＣ的延长线上结论是否成
立呢？（如图５）
．
ＢＢＥＣＢＥＣ
ＣＥ
Ｂ
ＣＥ
图５
图６
图１
图２
分析
证明根据提示：Ａ的中点Ｇ连结Ｅ取Ｂ，Ｇ如图２．
由探究１得到的结论：Ｅ向右移动则点Ｇ点
△ ＥＣＦ
＝
ＢＧ＝５Ｅ４。
ＡＥ＝ＥＦ
厶４＝ｌ５３。
脚＝ｌ５３。
ＦＣ＝Ｅ
Ｇ从而问题得证．，
探究３若点Ｅ移动到ＣＢ的延长线上结论是否成立呢？（如图７，此时过点Ｅ作Ａ）则Ｅ的垂线只能与正方形的外角平分线的反向延长线相交，如图７所示．
是否依然成立？这个问题仍然留给读者朋友完成．当你
探究完毕小结一下：对于任意的一个正方形和任意一个等腰直角三角形均可拼成一个正方形．挖掘３由于一个等腰直角三角形可以拼成一个正
・
解题研究・
中‘ ７（ｌ第期・中）７般・２ｏ２初版ｏ年
＝＼＝Ｊ
ｌ３
对一道课本习题的探宄挖掘与链搐衄Ａ

对一道课本例题的深入挖掘

（２）本例的结论＝
推论４对空间任一点０和不共线的３个点Ａ，Ｂ，ｃ，点Ｐ与点，Ｂ，ｃ共面的充要条件是：存在
实数，Ｙ，满足
— — －
０，终点为直线Ａ上一点Ｐ的向量Ｄ户可以用向量
，
表示．这时可以引发学生思考：２个不共线其实，用不共线的向量，０百可以表示平面内
一
例１如图１，在ＡＯＡＢ中，
求证：
ＯＰ：— ＯＡ＋ＡＯＢ
＿
．
Ｐ为直线ＡＢ上一点，ＡＰ＝Ａ肋（Ａ∈ Ｒ，Ａ≠ 一１），
ＯＰ：（１一￡）Ｏ＿Ａ＋ｔ蔬
不难推得：当￡ ≠１时，点Ｐ分有向线段的比
Ｉ删Ｉ的最小值为— — ．
分析
，
由
＝口ＯＡ＋
且ｎ＋＝ｌ，知点
过原点０），则Ｓ。。＝ — — ．
Ａ，Ｂ共线，因此求ｌｌ的最小值转化为求点 Ⅳ
厅
分析
Ｉｓ。。：
要求Ｊｓ。。，根据等差数列的求和公式
意识与实践能力．
ｒ
条件．
＋ｆ
，则便是点，Ｂ，ＪＰ共线的必要
还可以得到以下的推论：
推论１若平面向量，不共实验教科书《数学・必修４》 “ ２．２．３向量的数乘 ” 这一节中，课本定义了向量的数乘并给出了

对一道课本题的解法探究

解题研究十。

7歆．7(2008年第7期4高中版)19对一道课本题的解法探究222067连云港市开发区中云中学蒋长彦苏教版数学教材选修1一l P船第8题，原题如下：如图，已知海岛A与海岸的路B c的距离A日为50km，日，c间距离为100km．从A到c先乘船，船速为25kI n／h，再乘汽车，车速为50km／h，问登陆点选在何处，所用时间最少?此题在“导数”一章的总复习题中出现，自然用导数解答．教参上是这样解答的：解法1设登陆点(记县为D)距离日处菇km，则距离c处(100一茗)knLAA D=∥醑．再设从A到c所用总时间为f，则图lt=驾≯+等co<川oo，‘2』万一+1矿(o<石<100)对互求导，得庄。

志一击50~／502+鼻)u3茗2+2石(100—H)一(Ⅱ2—200u)=O．由于方程有实数解，它的判别式△≥0，得u≥100+50梅或u≤100—50怕．由此得到t≥2+√3或￡≤2一√3，(由于I>1，舍去t≤2一怕)．因此t的最小值为2+万，代入方程得菇：罂复c解法4数形结合由解法2得，t=2一竺岩吕(o<一<詈)．令l|}=竺等；，求t的最小C o SF—U值转化为求后的最大值．由||}的表达式知：就是求过尸(O．2)与令z’=。

，得石=±等乒(负数舍去)．易验证：当菇=塾扫，f取极小值，也是最小值．点评此解法是常规解法，需用复合函数求导法则求导，不在文科学生所学知识范围，除非另外向学生介绍，或用导数定义求导．解法2记登陆点为D，设￡鼢D=口，(0<口<詈)。

从A到c用的总时间为t．图2CAD=曼，肋=50t卸p，C oS口∞=oo一50t柚a z=等+等=2+毛警．对8求导崩；=等△I，_o'得p=詈C O S F u易验证：当日=詈时，￡取极小值，也是最小值．点评此法虽用导数解，但在所学知识范围内，学生易掌握．当然，还可设二A加=口，但不如设￡鲥D=日直接．解法3判别式法设自变量，列函数表达式同解法1令“=嘉，则u=2石02+并2+100一石，移项，两边平，化简得，l VjP(O，2)，争?／”．琳一．{j D y＼j、．图3单位圆(第一象限内)上的点连线的斜率最大值．由图知：当连线是圆的切线时，斜率最大．由图知：p=詈，肋=学户2+缸解法5化斜为直’1由于汽车运送货物在C D段的速度是船在A D段速度的2倍，相当于把C D段缩短一半用船运．可作￡曰cE=詈，在曰c上任取图4一点D作地上凹于E，则有胞=÷cD．问题就转化为在A D和加段都用船运．要使所用时间最少，速度一定，只要加+舾最短．过A作A D上CE，垂足为E，则垂线段A E=佃+脚最短．此时A鲁要，肋：华’本题可推广如下：1．若运送货物在仰段的速度(记为t'。

挖掘课本习题资源提升数学课堂效率

挖掘课本习题资源提升数学课堂效率习题是高中数学教材的重要组成部分，是学生进行有效学习的重要载体。

在实践中，有些教师只重视例题的教学，却对教材习题及练习设计缺乏研究，缺少对习题深度的挖掘，以致习题的潜在功能没有被挖掘出来。

课堂练习从哪里找题目？其实，教材是最好的材料，课本的例题和习题有丰富的内涵和广阔的外延，对巩固知识、培养能力和解题策略的形成都具有重要的作用。

笔者认为，有效的课堂练习设计的关键是用“好”、用“活”课本的例题和习题。

一、渗透延伸、拓展知识，培养学生的创新能力数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解放出来，关键在于挖掘习题的潜在内容。

其方法有：拓展练习；一题多解；改变成开放题、探索题等。

例如，已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，-2√2），求它的标准方程。

不少教师认为该题简单，只需设抛物线方程为y2=2p某（p>0），再将点M代入即可，因而一带而过。

其实在教学中若能积极加以引导，合理拓展，学生将有更大的收获。

教师可以深入研究本题，给出拓展练习。

【拓展】如何改变上述问题中的条件，使得其解法分别是设抛物线的标准方程为y2=-2p某（p>0）、某2=2p某（p>0）、某2=-2p某（p>0）。

此问题并不难，能激发学生观察分析和概括，让学生参与问题的拓展设计。

【深入】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，2√2），求它的标准方程。

有了上面的铺垫，学生能想到用分类讨论手段解决。

【延伸】已知抛物线关于某轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（a，b）（ab≠0），求它的标准方程。

此时学生仍可利用分类讨论解决，但在教师的引导下，通过对照结果概括出此时抛物线的方程可设为y2=2m某（m≠0），以避免分类讨论。

通过一题多变的练习和阶梯式的问题设计，分散了难点，使学生将所学的知识融会贯通，便于提高学生思维的灵活性和创新性，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索勇于创新的发散思维能力。

对一道教材习题的解法探究

发展学生的思维能力，大大提高学习效率，收到事半功倍的
效果．
关键词：教材习题
一
构造法
发散思维
什么要从结论出发呢？笔者认为是 “ 构造 ” 方法的渗透．在选修４ — ５不等式选讲中，从绝对值的三角不等式到基本不等式在到柯西不等式和排序不等式，无不体现“ 构造法 ” 在解题中的优越性，同时构造法也是数学中的一种重要的方法．教材是学生学习的根，是思维方法的源，仔细研究教材，体会编者的意图．在教学中加以渗透，既能加深学生对知识的理解，又能锻炼学生的思维能力．三、一题多解 — — 发散学生思维
又因为ａ＋ｂ＋ｃ＝ｌ。所以ａ－＋ｂ ‘ ＋ｃ ≥ ．
的乘积之差）记做Ｃ；这种延伸运算可以记做
ｃ－ａ＝Ｂ
２． “ ｘｌ ≠ｘ２，Ｙｌ ≠ｙ２ ” 型
ｃ＝ｌＴ（一）Ｉ＝ａｄ — ｂｃ
１１１
．
３
３
’
题目：已知ａ，ｂ．ｃ ∈Ｒ．，ａ＋ｂ＋ｃ＝ｌ，求证：ａ ‘ ＋ｂ＋ｃ ≥ ．
。
《教师用书》证法：３（ａ２＋ｂ２＋０２）：２（ａ２＋ｂ＋ｃ）＋（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）
ｌａ

对一道课本习题的探索和反思

如果已知动点Ｐ在椭圆（双曲线）上。或是否
愚＞０时。点轨迹类型为双曲线Ｉ动
ｋ：一１时，动点轨迹类型为圆Ｉ南＜０ｋ≠一１时，，动点轨迹类型为椭圆．
存在两定点，使得点Ｐ与它们的连线的斜率之积为定值？如果存在。有几对这样的点？为便于研究，以椭圆为例．设动点＿Ｐ是＋
点评类似地，若要证明１１十＋１＋ … ＋
√２ √３
年广东第２１题：已知曲线Ｃ：一２ｘ＋Ｙｎｚｎ一Ｏｎ一１２（，，）从点Ｐ（１０，－，）向曲线Ｃ引斜率为ｋ（＞忌（）数列｛与｛｝１求ｚ．）的通项公式；
在ｚ轴上是否存在两定点Ａ。使得直线Ｐ朋Ｂ，Ａ，
之差的绝对值为÷” ．
分析设Ａ（），。由题意有
的斜率之积为定值？若存在。求出定值，并求出所有满足条件的定点Ｉ若不存在。说明理由．请分析假设存在两定点Ａ（，）Ｂ（，）使ｓＯ，Ｏ，得椭圆上的点Ｐ（）除长轴两端点）Ａ。ｘ，（与Ｂ连
（）明：。ｚ・・￣２１２证ｚ・。ｌ … Ｘ＜ｚｒｖ＿－Ｘ＿ｎ
切去２时以造数（一＋１０）的切线ｚ，点为Ｐ（，）．讥，构函，）１１～＜可厶十
＋ … ＋一２，
（＋１一）
如果我们试着改变一下题目的条件，其所得
２
为双曲线，除ｚ轴上的点．剔１探索

对一道教材习题的深度挖掘

第48卷第12期2019年12月《丫恂电了麺学参考习题研究对一道教材习题的深度挖掘刘贻斌(湖南省武冈市第二中学湖南武冈422400)文章编号:1002-218X(2019)12-0058-02中图分类号:G632. 479 文献标识码：B摘要：通过对一道教材习题的深度挖扳，指出在平时教学中若能对教材习题进行变式教学，旨在提高学生的思维品质，提高学生的核心素养。

关键词：变式教学；思维岛质；核心素养物理问题是学生知识建构和思维发展的落脚点，在高中物理教材中，有很多基础、经典的物理习题，它是教材物理知识的直接运用。

如果教师在平时的教学中能够深度挖掘教材，对物理习题的条件、情景、设问进行“变式”，可以大大提高学生对物理知识的理解与掌握，提高学生的思维品质，进而提高学生的核心素养。

现以教材中的一道习题为例，予以深度挖掘。

题目(人教版物理选修3-1) 用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球的质量为1.0X10" kg,所带电荷量为+ 2.0X107(3。

现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与铅垂线成30°角(如图1所示)，求这个匀强电场的电场强度(g=10 m/s 2)0方法2小球做初速度为0的匀加速直线运动, 运动方向与竖直方向成30°角，小球运动位移5 =為，小球加速度a gcos 30° °由公式『=2as,解得20 V33方法3小球做初速度为0的匀加速直线运动,竖直分位移h = 5 m,水平分位移z=/itan 30°=m,变式1若匀强电场的大小、方向均可变化，小球依然在原位置静止，则电场强度最小值多大？解析小球受三力平衡，当电场力与绳拉力垂直时，电场强度最小，此时满足Eq = mg S in 30°解得 E=2. 5X106 N/C评析变式1较好地考查了共点力平衡中动态三角形的运用。

变式2 若小球离地面高度A = 5 m.把绳剪断，求：(1) 求小球落地时间；(2) 求小球落地速度大小。

挖掘课本例习题,引导学生思考

挖掘课本例习题，引导学生思考作者：罗晓锋来源：《中学生数理化·教与学》2013年第01期在数学教学中，由于书本知识具有局限性，因此紧靠单纯的书本教学是远远不够的.数学教学中，教师不仅仅是一个教学者，还应该是一个引导者.教师应通过对课本上例习题的讲解，引导学生自主探究，反思解题方法和解题思路，注重学生深层次思维的培养，从而得到结论的扩展、引申和推广，深化学生对课本例习题的理解，完善学生的认知结构，从而提高学生的自主探究的学习模式，以达到提高课堂的学习效果.一、数学思维品质的基本内涵分析作为新时期的教育工作者，不单单要给学生传授知识，更重要的是能够培养学生自主创新、主动思考问题的能力.自主探索可以有效地提高学生的全面素质，学生自主学习、独立思考、举一反三能力的培养在教学上显得尤其重要.在数学课本中，知识的传授往往是以习题和例题的形式出现的，很少有文字的阐释.例题往往是知识点的结合，有着明确的示范和导向作用.所以教师就要充分利用课本中的例习题的教学价值，让学生学习借鉴例习题的方法，自己进行独立思考，探索研究，这样有利于培养学生的发散思维，进而学到得到更多新的知识和学方法.要想促进和深化中学数学课堂教学改革，提升学生的自主学习、思考能力，必须运用现代化数学教学思想和理论，在探索数学课本上例题、习题的基础上，丰富学生的数学思维品质，逐步培养学生数学思考的能力.二、引导学生的发散性思维这种思维模式可以反映出学生在根据题目所给的信息中，是否可以做到信息的各种可能的扩散，不局限在题目所给的限定的条件.也就是说可以根据题目所给的现有的条件来把自己的思路打开，依据书本中现有的定理和数学公式，通过自己发散的思维来找出解此类题目的关键因素，并实现对由此问题延伸出的一系列相关问题的正确解答.如果学生的发散性思维得到开发，学生本身就会很乐意自己去学习，并且还会在这种思维变通中，体会到学习的乐趣，以此达到更好的学习效果，这对教师本身来讲也是一种教学的成功.在教学过程中，教师要对课本的例习题进行深入的挖掘和研究，变换其中的条件，把教材中的例习题讲得精一点、深一点.例如，如图1 ，利用关于原点对称点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.图1 图2以此问题为例，分析可知若△ABC关于原点对称的图形为△A′B′C′，要想作出△A′B′C′，首先必须引导学生掌握以下关键因素：（1）关于原点对称也就是两个图形上任何一点都必须关于原点相互对称；（2）△A′B′C′的形状由其三个顶点位置来决定，因此作图过程中，找出△ABC三个顶点关于原点对称的三个点即可确定△A′B′C′三个顶点；（3）根据关于原点对称点的规律，可将△ABC关于原点对称点的三个顶点坐标确定.经过分析，教师可引导学生找出该类题型的解题规律.通过以上分析，该题作为一道作图题，学生不难得出该类题型的解题关键是根据“两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数”的基本规律，以此来确定△ABC的三个顶点关于原点对称点的坐标，进而可方便地画出△ABC关于原点对称的图形.紧接着教师可将此题“变形”来发散学生思维.变式1：变化通行位置，求出关于原点对称点的坐标.例如，参照图2所示，△PQR是△ABC经过某种变化得到的图形.若△ABC边上任意一点M坐标为（a，b），那么M经过这种变化后的对应点N的坐标为________________________________________.引导学生解题思路分析：关于原点对称的两个图形也就是指两个图形上任何一组对应点均关于原点对称，然后根据“两点关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数”的基本规律我们不难得到，M（a，b）对应点N的坐标为N（-a，-b）.变式2：变换图形的位置，作出关于原点对称的图形.例如，△ABC在平面直角坐标系中各顶点均在格点上，其位置可参照图3所示.（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，同时写出C1的坐标.（2）作出△ABC关于直角坐标系原点O对称的△A2B2C2，同时写出点C2的坐标.图3引导学生解题思路分析：（1）由于所求的△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，所以可结合“两点关于y轴对称，它们纵坐标不变，横坐标相互为相反数”这一规律得出A1、B1、C1三点坐标；（2）由于△A2B2C2与△ABC关于原点对称，因此可结合“两点关于原点对称，则它们横、纵坐标均互为相反数”的规律来得出A2、B2、C2三点坐标.由此分析，学生自然可作出如图4所示的结果，且求得C1的坐标为（-3，2），C2的坐标为（-3，3）.数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力.通过对例题不断变式探索，可有效地培养学生对新问题的探索精神，同时也发散了思维，不会再因触及到新题目，而感到一片茫然.教师作为问题的引导者，一定要充分发挥其应有的积极作用，鼓励学生积极主动去探索新的问题，解题后要引导学生进行反思，培养他们的发散性思维及发现问题解决问题的能力.尤其是到了初中阶段之后，随着年龄的不断增长，学生的这种思维也逐步呈现出加速的趋势.课本例习题作为学生数学学习的基础，有些例习题的条件含而不露，弦外有音，这就为理解片面，审题马虎的学生设置了障碍.因此，我们应有效的培养学生多角度思维模式，努力培养学生养成深入研究问题的好习惯.三、挖掘隐含条件，灵活的将问题进行转化有些数学题目条件较为隐蔽，若教师不进行充分挖掘，学生必将思维受阻.如有的例习题隐去了某些结论条件，一旦在解题过程中稍不注意，很容易出现错误.也有一些习题由于表述抽象、复杂，看后很难立刻理解其中的意思.这就要求教师应充分引导学生正确挖掘习题中的隐含条件，帮助学生理解问题实质，实现灵活解题，通过联想、类比等推出习题中含而未露的条件，使问题巧妙地得以转换、解决，从而有效地培养学生数学思维的灵活性.总之，数学课本中的例习题虽然简单，但是教师对例习题的深度挖掘，引导学生有效地思考，也是很有必要的.必须在引导学生充分挖掘课本例习题的基础上，培养学生的学习兴趣，提高其数学思维.对数学思维品质的培养，需要一个不断深化、发展的过程，需要教师“耐心+智慧”来引导学生.在教学中，教师应注重教学方法和对学生积极引导的能力，通过对书本上的数学例习题的深化讲解，来引导学生自主探究，以得到数学结论的扩展和推广，培养学生的发散思维，以达到课堂学习效果的提高.。

善待意外生成精彩—一道课本例题的教学案例与反思

善待意外生成精彩—一道课本例题的教学案例与反思
薛圣架
【期刊名称】《快乐阅读(上旬刊)》
【年(卷),期】2011(000)002
【摘要】“动态生成”是《新课标》所提倡和一个重要的教学理念,它强调课堂的创新和开发过程,重视师生活动的多样性,真正体现学生的主体性.本案例通过对一道课本例题的深入挖掘,认识到只要善待课堂中的“意外”,便能生成教学的精彰.【总页数】4页(P84-87)
【作者】薛圣架
【作者单位】浙江省苍南县宜山一中
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用智慧善待意外，让意外生成精彩——从＂m＂和＂mm＂引发的思考 [J], 周贤萍
2.善待错误生成精彩——《能被3整除的数的特征》教学案例与反思 [J], 沈宗标;夏代忠
3.用智慧善待意外,让意外生成精彩——从“m”和“mm”引发的思考 [J], 周贤萍
4.一道课本例题的创新性拓展——以课本例题为载体开展探究性学习教学案例 [J], 林燎
5.巧借意外生成精彩——《小狗包弟》教学案例 [J], 徐金星
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充分挖掘教材例题的潜能

充分挖掘教材例题的潜能教材中例题的典型性、示范性是无容质疑的，作为一线的教师如何发挥教材中例题的潜在功能，笔者从教材中一道例题的“一题多变”谈一下自己体会：人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第100页例3：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。

以P为圆心作一个圆与⊙O 外切，这个圆的半径应是多少？以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？解：（1）设⊙P1与⊙O外切于点A，则PA=OP-OA=8-5=3；所以⊙P1的半径是3cm。

（2）设⊙P2与⊙O内切于点B，则PB=OP+OB =8+5=13；所以⊙P2的半径是13cm。

变式一：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。

以P为圆心作⊙P与⊙O 相切，这个圆的半径应是多少？解：（1）当⊙P与⊙O外切于点A时，则PA=OP-OA =8-5=3。

（2）当⊙P与⊙O内切于点B时，则PB=OP+OB =8+5=13。

所以，综合（1）、（2）⊙P的半径是3cm或13cm。

分析：此变的目的是将原题的两个问题合成一个问题，这样在解题时就要进行分类讨论，从而更有效地培养学生分类讨论的数学思想。

变式二：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。

以P为圆心作⊙P与⊙O 相交、外离、内含，⊙P的半径分别是多少？解：（1）当⊙P与⊙O 相交时，则|R○P-5|＜OP＜R○P+5，即|R○P-5|＜8＜R○P+5，所以⊙P的半径为3＜R○P＜13。

（2）当⊙P与⊙O 外离时，则OP＞R○P+5，即8＞R○P+5，得R○P＜3，所以⊙P的半径为0＜R○P＜3。

（3）当⊙P与⊙O 内含时，则OP＜R○P-5，即8＜R○P-5，所以⊙P的半径为RP＞13。

分析：此变的目的是进一步巩固圆与圆的几种位置关系，培养学生数形结合思想及观察、分析能力。

变式三：如下图，⊙O的半径为5cm，点P是⊙O内一点，OP=3cm，以P为圆心作⊙P与⊙O 相切、相交、外离、内含，⊙P的半径分别是多少？解：（1）当⊙P与⊙O外切时，则OP=5+ R○P3=5+R○PRP=-2（舍去）（2）当⊙P与⊙O内切时，则OP=|5-R○P|3=|5-R○P|得RP=2或8所以，综合（1）、（2）⊙P与⊙O相切时，⊙P的半径是2cm或8cm。