带电粒子在电场中的直线运动

带电粒子在电场中的直线运动

例1：如图所示：在一对带电平行金属板所形成的匀强电场中，两板间距为d ，两板间的电

势差为U ，带电量为+q ，质量为m 的粒子由A 板静止释放。忽略带电粒子所受重力的影响，

试分析带电粒子运动情况，有几种方法可以计算粒子到B 板的速度。

拓展1：在上述装置中加上如图所的电压，其U-t 图象如图。设A 、B 板的距离足够的大。

试分析该粒子的运动情况。

例2. 如图示，水平放置的A 、B 两平行金属板相距为d ，带有等量异种电荷，有一质量为

m ，带电量为+q 的小球在B 板之下h 处以初速度为V 0，竖直向上从小孔中射入电场，欲使

小球不能射到A 板，U A B 应取何值？

例3、如图9－4－11所示，为平行金属板，A ．B 两极相距为d ， 分别与电源两极相连，两板的中央各有一小孔M 和N 。今有一带 电质点，自A 板上方相距为d 的P 点由静止自由下落（P 、M 、N

在同一竖直线上）空气阻力忽略不计，到达N 孔时的速度恰好为零， 然后沿原路返回。若保持两极板间的电压不变，则 （ ）

A ．把A 板向上平移一小段距离，质点自P 点自由下落后仍然返回 图9－4－11

B ．把A 板向下平移一小段距离，质点自P 点自由下落后将穿过N 孔继续下落

C ．把B 板向上平移一小段距离，质点自P 点自由下落后仍然返回

D ．把B 板向下平移一小段距离，质点自P 点自由下落后将穿过N 孔继续下落

例4、N 个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图9—3—3所示

(图中画出了六个圆筒，作为示意).各筒和靶相间地连接到频率为ν，最大电压值为U 的正

弦交流电源的两端.整个装置放在高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔.现有一电量为

q 、质量为m 的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间及靶间的缝隙处受到电场力的作用而

加速(设圆筒内部没有电场).缝隙的宽度很小，离子穿过缝隙的时间可以不计.已知离子进入

第一个圆筒左端的速度为v 1，且此时第一、二两个圆筒间的电势差U 1-U 2=-U .为使打在靶上

的离子获得最大能量，各个圆筒的长度应满足什么条件?并求出在这种情况下打到靶子上的

离子的能量.

U AB t

－U 0

只有当离子在各圆筒内穿过的时间都为t =T /2=1/(2ν)时，离子才有可能每次通过筒间缝

隙都被加速.这样第一个圆筒的长度l 1=v 1t =v 1/2ν.当离子通过第一、二个圆筒间的缝隙时，

两筒间电压为U ，离子进入第二个圆筒时的动能就增加了qU ，所以

E 2=mv 22/2=mv 12/2+qU ,v 2=m qU v /22

1+. 第二个圆筒的长度l 2=v 2t =(m qU v /221+)/2ν.

如此可知离子进入第三个圆筒时的动能E 3=mv 22/2+qU =mv 12/2+2qU ,

速度v 3=m qU v /)4(21+.

第三个圆筒的长度l 3=(m qU v /)4(21+)/2ν

离子进入第N 个圆筒时的动能E N =mv 12/2+(N -1)qU ,

速度v N =m qU N v /)1(221-+,

第N 个圆筒的长度

l N =(m qU N v /)1(221-+)/2ν

此时打到靶上离子的动能E k =E N +qU =mv 12/2+NqU .

本题可进一步思考：上面算出的筒长条件，实际上是离子在最短时间内获得最大能量的

条件，当离子穿过每个圆筒的时间只要等于半周期的奇数倍，都能使离子获得最大能量.因

此，第N 个筒长l N 的更一般表达式应为

l N =(2k -1)v N ·

2T =(2k -1)v v N 2, 故l N =(2k -1)2

1)1(221

v m qU

N v +- 例5．静止在太空的飞行器上有一种装置，它利用电场加速带电粒子，形成向外发射的粒子

流，从而对飞行器产生反冲力，使其获得加速度。已知飞行器的质量为M ，发射的是2价氧

离子，发射功率为P ，加速电压为U ，每个氧离子的质量为m ，单位电荷的电量为e ，不计

发射氧离子后飞行器质量的变化，求：

（1）射出的氧离子速度

（2）每秒钟射出的氧离子数

（3）射出氧离子后飞行器开始运动的加速度 〖解析〗（1）．以氧离子为研究对象，由动能定理：△eU qU mv E k 22120===

所以，氧离子的速度为：m eU

v 2=

（2）．设每秒钟射出的氧离子数为，则发射功率可表示为：P =N ·△E k =2NeU

所以，氧离子数为：N=P/2eU

（3）．以氧离子和飞行器为系统，设飞行器的反冲速度为，由动量受恒定律：

N △tmv －MV =0 ，即：N △tmv =MV 所以，飞行器的加速度为eU m M P M Nmv t V a ===

例6．在图9－6－2（a ）中，A 和B 表示在真空中相 距为d 的两平行金属板。加上电压后，它们之间的电场可视

为匀强电场，图9－6－2（b ）表示一周期性交变电压的波形，

横坐标代表时间t ，纵坐标代表电压u 。从t =0开始，电压为

一给定值U 0，经过半个周期，突然变为－U 0；再经过半个周

期，由突然变为U 0……如此周期性地交替变化。

在t =0时，将上述交变电压u 加在A 、B 两板上，使开始时A 板电势比B 板高，这时在

紧靠B 板处有一初速度为零的电子（质量为m ，电量为e ）,在电场作用下开始运动，要想使

这电子到达A 时具有最大的动能，问所加交变电压的频率最大不能超过多少？

〖解析〗由题意，电子开始做匀加速直线运动，其动能不断增大。若频率很高，即周

期很短，在电子尚未到达A 板之前，交变电压已过了半个周期而开始加反向电压，故电子

将沿原方向做匀减速直线运动；再过半个周期后，其动能又减小到零。接着又变为匀加速运

动，半个周期后又做匀减速运动，这样交替进行下去，最后电子到达B 板。

在匀减速直线运动过程中，电子动能减少，因此，要想使电子到达A 板时具有最大

的动能，必须使电子从B 到A 的过程中始终做加速运动，就是说，要使交变电压的半周期

不小于电子从B 极处于一直加速到A 板处所需的时间，即频率不能大于某一值。

设电子的电量和质量分别为e 和m ，在电场力的作用下，电子的加速度a 为：。md eU a 0

= 设t 为电子从B 一直加速到A 所需的时间，则221

at d =→a d t 2=

令T 表示交变电压周期，f 表示其频率，依题意，应满足以下要求：t ≤T /2, 即 f ≤1/2t

由上面各式可得20

8md eU f ≤

，