高考热点集训一

高考热点集训一
集合与常用逻辑用语、函数与导数、不等式 1．当x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0
(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的
最大值为12，试求k 的值．
【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)
当直线y ＝－13x ＋1
3z 经过区域中的点A 时，截距最大． 又⎩⎨⎧
y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3. ∴点A 的坐标为(－k 3，－k
3)， 则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－4
3k ， 令－4k
3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.
2．(2012·吉林质检)已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数． (1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 【解】 (1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝m .
故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增．
∴当x＝m时，f(m)为极小值，也是最小值．
令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，有f(x)≥0，
即对任意x∈R有f(x)≥0成立，m的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m>1时，f(m)＝1－m<0.
∵f(0)＝e－m>0，f(0)·f(m)<0，
∴f(x)在区间(0，m)上有唯一零点．
又f(2m)＝e m－2m，令g(m)＝e m－2m，
当m>1时，g′(m)＝e m－2>0，
∴g(m)在区间(1，＋∞)上单调递增，
∴g(m)>g(1)>0，即f(2m)>0.
故f(m)·f(2m)<0，
∴f(m)在(m,2m)上有一个零点．
因此f(x)在区间[0,2m]上有两个零点．
3．(2012·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.
【解】(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝12(x－a
6)(x＋
a
6)，
此时函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－a
6]和[
a
6，＋∞)，
单调递减区间为[－a
6，
a
6]．
(2)证明由于0≤x≤1，故当a≤2时，
f(x)＋|2－a|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.
当a>2时，f(x)＋|2－a|＝4x3＋2a(1－x)－2 ≥4x3＋4(1－x)－2
＝4x3－4x＋2.
设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则
g′(x)＝6x2－2＝6(x－
3
3)(x＋
3
3)，
于是g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
所以，当0≤x≤1时，2x3－2x＋1>0.
故f(x)＋|2－a|≥4x3－4x＋2>0.
4．已知函数：f(x)＝x－(a＋1)ln x－a
x(a∈R)，g(x)＝
1
2x
2＋e x－x e x.
(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；
(2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)<g(x2)恒成立，求a的取值范围．
【解】(1)依题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f′(x)＝(x－1)(x－a)
x2(a∈R)，
∴①当a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)≥0，f(x)为增函数，
f(x)min＝f(1)＝1－a.
②当1<a<e时，x∈[1，a]，f′(x)≤0，f(x)为减函数，x∈[a，e]，f′(x)≥0，f(x)为增函数，
f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)·ln a－1.
③当a≥e时，x∈[1，e]，f′(x)≤0，f(x)为减函数，
f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－a e.
综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；
当1<a<e时，f(x)min＝a－(a＋1)ln a－1；
当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－a e.
(2)当a<1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)<g(x2)恒
成立，
即f (x 1)min <g (x 2)min .
由(1)可知，x 1∈[e ，e 2]，f ′(x )>0，f (x )为增函数， ∴f (x 1)min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－a
e ，
g ′(x )＝x ＋e x －x e x －e x ＝x (1－e x )，当x 2∈[－2,0]时g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x 2)min ＝g (0)＝1，
∴e －(a ＋1)－a
e <1，即a >e 2－2e e ＋1，
∴a 的取值范围为(e 2－2e
e ＋1
，1)．。