湖北省沙市中学2016届高三数学下学期第三次半月考试题 理(无答案)

2015—2016学年下学期高三年级第三次半月考理数试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}
{}240,25,A x x x B y y x x A =-<==-∈,则A B 于（ ）
A ．∅
B ．()0,3
C ．()5,4-
D ．()0,4 2．若复数z 满足()2
1212i z i +=-,则其共轭复数z 为（ ）
A ．
1122525i + B ．1122525i -- C ．1122525i -+ D ．112
2525
i - 3．设命题p ()0:0,x ∃∈+∞,0032016x x +=,命题q ():0,,()()a f x x ax a R ∃∈+∞=-∈为偶函数，那么下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝
4．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的表达式中正确的是（ ）
A ．2sin ()x
f x x
= B ．()(ln )cos 2f x x x =
C ．()(ln )sin 2f x x x =
D ．()(ln )cos f x x x =
5．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m =( )
A ．0
B ．5
C ．45
D ．90
6．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次 随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次 检测出的是正品的概率为( )
A ．16
B ．310
C ．35
D ．56
7
．已知圆C ：2
2
2410x
y x y +--+=上存在两点关于直线l
：10x my ++= 对称，经过点(,)M m m 作圆的两条切线，切点分别为P ，Q ，则||PQ =A ．3 B ．
C D 8．在斜ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,sin cos()0a B b B c ++=，
sin sin()2A B C C +-=,且ABC ∆的面积为1，则a 的值为（ ） A ．2 B
C
D
9．如图所示，函数()sin()(0,||)2
f x x π
ωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最
大值点均在抛物线231
122
y x x =-++上，则()f x ＝（ ） A ．1
()sin()6
3f x x π
=+ B ．1()sin()23
f x x π
=+ C ．()sin(
)23f x x π
π=+ D ．()sin()26
f x x ππ
=+ 10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．8+16π B ． 24+8π C ．16+8π D ．
64
+83
π 11．双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点
为12,B B ，两焦点为12,F F .若以12A A 为直径的圆内切于菱形 1122F B F B ,则双曲线的离心率是( )
12．已知函数*1ln (),()()1x k
f x
g x k N x x
+=
=∈-,对任意的1c >,存在实数,a b 满足0a b c <<<,使得()()()f c f a f b ==,则k 的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13.已知函数23,1
()lg(1),1a x x f x x x x ⎧
+-≥⎪=⎨⎪+<⎩
，若(1)(3)f f =-,则a = . 14．24
51(1)(
)x x x +-的展开式中1
x
的系数为 . 15.在锐角∆ABC 中已知B =3
π，AB AC -
=2,则AB AC 的取值范围是 .
16. 已知数列{}n a 满足1
111,2(,2)n n n a a a n N n --=--=∈≥，且{}21n a -是递减数列，{}2n a 是递增
数列，则2016a = ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，
AC =5CD =,2BD AD =.
（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：
已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．
（Ⅰ）求m ，n 的值，并求这100名学生月消费金额
的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表）；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350,450），[550,650）内的两组学生中抽取
10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人
数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，,1AB CD AD DC CB === ,120BCD ∠=︒,四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ,1BF =.
(1) 求证：AD ⊥平面BFED ;
(2) 点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE
所成的锐二面角为θ,试求θ的最小值.
20.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，A 和B 分别为椭圆2
2122:1(0)y x C a b a b
+=>>和
22
222:1(0)y x C m n m n +=>>上的动点.已知1C 的焦距为2，点T 在直线AB 上，且OA OB ⋅=
0AB OT ⋅=
,又当动点A 在x 轴上的射影为1C 的焦点时，点A 恰在双曲线点2221y x -=的渐近线上. (I)求椭圆1C 的标准方程；
(II)若1C 与2C 共焦点，且1C 的长轴与2C 的短轴长度相等，求2
AB 的取值范围； （III ）若,m n 是常数，且
22
1112m n -=-,证明：OT 为定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数()x f x e ax b =--，其中,, 2.71828a b R e ∈=⋅⋅⋅为自然对数的底数. (I)当b a =-时，求()f x 的极小值；
(II)若(1)0f x a ++≥对x R ∈恒成立，求ab 的最大值；
（III ）当0,a b a >=-时，设'()f x 为()f x 的导函数，若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，且12x x <.
求证: '12122(3ln )()x x
f a f x x >+
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AB AC =，圆O 是ABC ∆的外接圆，CD AB ⊥，
的
切线交AC 的延长线于点F ． （Ⅰ）求证：AB CB CD CE ⋅=⋅；
（Ⅱ）若BC BF =ABC ∆的面积．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,
)3
B π
． （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数221
()||||(0)f x x x x x x
=--+≠. （Ⅰ）求证：()2f x ≥； （Ⅱ）若[]1
1,3,()ax x f x x
+∃∈≥
使成立，求实数a 的取值范围.。