2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

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2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求A∪B，再根据补集的定义求C U（A∪B）．解答：解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．解答：解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：，∴z=2+3i．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a考点：对数的运算性质．专题：计算题；综合题．分析：利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．解答：解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）考点：复合命题的真假；平行向量与共线向量．专题：简易逻辑．分析：根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．点评：本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．24考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．解答：解：使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．故选：D．点评：本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞0考点：数列的函数特性．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．解答：解：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1﹣a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．解答：解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=﹣2，∴p＞0，=﹣2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B（m，n），则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2（舍去），∴切点B（8，8），又F（2，0），∴直线BF的斜率为，故选D．点评：本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3] A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．解答：解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．解答：解：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，∴m≥，即m的最小值为．故选：B．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷理科数学(2014年辽宁省高考理科数学)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U ＝R ，A ＝{x|x ≤0}，B ＝{x|x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ). A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x<1} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{x|x ≤0或x ≥1}，∴∁U (A ∪B )＝{x|0<x<1}.故选D ． 2.设复数z 满足(z ﹣2i)(2﹣i)＝5，则z ＝( ). A ．2＋3i B ．2﹣3i C ．3＋2i D ．3﹣2i 答案：A解析：∵(z ﹣2i)(2﹣i)＝5，∴z ﹣2i ＝52﹣i.∴z ＝2i ＋52﹣i＝2i ＋5(2＋i )(2﹣i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i .故选A ．3.已知a ＝2﹣13，b ＝log 213，c ＝lo g 1213，则( ).A ．a>b>cB ．a>c>bC ．c>a>bD ．c>b>a答案：C 解析：∵0<a ＝2﹣13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝lo g 1213>lo g 1212＝1，∴c>a>B ．故选C ．4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( ). A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 答案：B解析：对A ：m ，n 还可能异面、相交，故A 不正确.对C ：n 还可能在平面α内，故C 不正确.对D ：n 还可能在α内，故D 不正确.对B ：由线面垂直的定义可知正确.5.设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a ·b ＝0，b·c ＝0，则a·c ＝0;命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( ). A ．p ∨q B ．p ∧q C ．( p )∧( q )D ．p ∨( q )答案：A解析：对命题p 中的a 与c 可能为共线向量，故命题p 为假命题.由a ，b ，c 为非零向量，可知命题q 为真命题.故p ∨q 为真命题.故选A ．6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ). A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 答案：D 解析：插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A 43＝24.故选D ．7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ). A ．8﹣2π B ．8﹣π C ．8﹣π2 D ．8﹣π4答案：B解析：由三视图知，原几何体是棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的四分之一圆柱，故几何体的体积为8﹣2×π×2×14＝8﹣π.故选B ．8.设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ). A ．d<0 B ．d>0 C ．a 1d<0 D ．a 1d>0 答案：C解析：∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n >2a 1an ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1﹣a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d<0.故选C ．9.将函数y ＝3sin (2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ).A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[﹣π6，π3]上单调递减D ．在区间[﹣π6，π3]上单调递增答案：B解析：设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin [2(x ﹣π2)＋π3]＝3sin (2x ＋π3﹣π)＝﹣3sin (2x ＋π3).令2k π﹣π2≤2x＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为[kπ﹣5π12，kπ＋π12]，k ∈Z ，同理得递增区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12]，k ∈Z .从而可判断得B 正确.10.已知点A (﹣2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ).A．12B．23C．34D．43答案：D解析：由题意可知准线方程x＝﹣p2＝﹣2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k>0，则可得切线方程为y﹣3＝k(x＋2).联立方程{y﹣3＝k(x＋2)，y2＝8x，消去x得ky2﹣8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64﹣4k(24＋16k)＝0，解得k＝12或k＝﹣2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8，8)，又焦点F为(2，0)，故直线BF的斜率为43.11.当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是().A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣98]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]答案：C解析：∵当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2＋4x＋3≥0恒成立，即当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3≥x2﹣4x﹣3(*)恒成立.(1)当x＝0时，a∈R.(2)当0<x≤1时，由(*)得a≥x2﹣4x﹣3x3＝1x−4x2−3x3恒成立.设f(x)＝1x −4x2−3x3，则f'(x)＝﹣1x2＋8x3＋9x4＝﹣x2＋8x＋9x4＝﹣(x﹣9)(x＋1)x4.当0<x≤1时，x﹣9<0，x＋1>0，∴f'(x)>0，∴f(x)在(0，1]上单调递增.当0<x≤1时，可知a≥f(x)max＝f(1)＝﹣6.(3)当﹣2≤x<0时，由(*)得a≤1x −4x2−3x3.令f'(x)＝0，得x＝﹣1或x＝9(舍).∴当﹣2≤x<﹣1时，f'(x)<0，当﹣1<x<0时，f'(x)>0，∴f(x)在[﹣2，﹣1)上递减，在(﹣1，0)上递增.∴x∈[﹣2，0)时，f(x)min＝f(﹣1)＝﹣1﹣4＋3＝﹣2.∴可知a≤f(x)min＝﹣2.综上所述，当x∈[﹣2，1]时，实数a的取值范围为﹣6≤a≤﹣2.故选C．12.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0;②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)﹣f(y)|<12|x﹣y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)﹣f(y)|<k恒成立，则k的最小值为().A．12B．14C．12πD．18答案：B解析：不妨令0≤x<y≤1，则|f(x)﹣f(y)|<12|x﹣y|.法一：2|f(x)﹣f(y)|＝|f(x)﹣f(0)＋f(x)﹣f(y)﹣[f(y)﹣f(1)]|≤|f(x)﹣f(0)|＋|f(x)﹣f(y)|＋|f(y)﹣f(1)|<12|x﹣0|＋12|x ﹣y|＋12|y ﹣1|＝12x ＋12(y ﹣x )＋12(1﹣y )＝12，即得|f (x )﹣f (y )|<14，对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )﹣f (y )|<k 恒成立，只需k 大于|f (x )﹣f (y )|的最大值即可.故k ≥14.因此k 的最小值为14.法二：当|x ﹣y|≤12时，|f (x )﹣f (y )|<12|x ﹣y|≤14，当|x ﹣y|>12时，|f (x )﹣f (y )|＝|[f (x )﹣f (1)]﹣[f (y )﹣f (0)]|≤|f (x )﹣f (1)|＋|f (y )﹣f (0)|<12|x ﹣1|＋12|y ﹣0|＝12(1﹣x )＋12y ＝12＋12(y ﹣x )<14，对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )﹣f (y )|<k 恒成立，只需k 大于|f (x )﹣f (y )|的最大值即可.故k ≥14.因此k 的最小值为14.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.执行右侧的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝__________. 答案：299解析：输入x ＝9，则y ＝5，|y ﹣x|＝4>1，执行否，x ＝5，y ＝113，|y ﹣x|＝43>1，执行否，x ＝113，y ＝299，|y﹣x|＝49<1，执行是，输出y ＝299.14.正方形的四个顶点A (﹣1，﹣1)，B (1，﹣1)，C (1，1)，D (﹣1，1)分别在抛物线y ＝﹣x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________. 答案：23解析：由题意可知空白区域的面积为∫1﹣1[x 2﹣(﹣x 2)]d x ＝23x 3|﹣11＝43.又正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为4﹣43＝83，∴所求概率为834＝23.15.已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝__________. 答案：12 解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN|＝2|PF 1|.同理可得可知|BN|＝2|PF 2|. ∴|AN|＋|BN|＝2(|PF 1|＋|PF 2|).根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN|＋|BN|＝12.16.对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a 2﹣2ab ＋4b 2﹣c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a−4b＋5c的最小值为__________. 答案：﹣2解析：要求|2a ＋b|最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值.∵4a 2﹣2ab ＋4b 2﹣c ＝0，∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ﹣3b 2.∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ﹣3b 2＋4ab ＝c ＋6ab ﹣3b 2＝c ＋3b (2a ﹣b )＝c ＋32·2b (2a ﹣b )≤c ＋32[2b ＋(2a ﹣b )2]2＝c ＋32(2a ＋b2)2，即(2a ＋b )2≤85c ，当且仅当2b ＝2a ﹣b ，即3b ＝2a 时取到等号，即(2a ＋b )2取到最大值. 故3b ＝2a 时，|2a ＋b|取到最大值.把3b ＝2a ，即b ＝2a3代入4a 2﹣2ab ＋4b 2﹣c ＝0，可得c ＝409a 2.∴3a −4b ＋5c ＝3a −423a＋5409a2＝3a −6a ＋98a 2＝98(1a 2﹣83a )＝98(1a ﹣43)2﹣2.∴当1a＝43时，3a−4b＋5c取到最小值﹣2.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>C ．已知BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值;(2)cos(B ﹣C )的值.解：(1)由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2，得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ．又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解{ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝√1﹣cos 2B ＝√1﹣(13)2＝2√23，由正弦定理，得sin C ＝cb sin B ＝23·2√23＝4√29. 因a ＝b>c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝√1﹣sin 2C ＝√1﹣(4√29)2＝79. 于是cos(B ﹣C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13·79＋2√23·4√29＝2327. 18.(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X ). 解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 30·(1﹣0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 31·0.6(1﹣0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 32·0.62(1﹣0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X~B (3，0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1﹣0.6)＝0.72.19.(本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点. (1)求证：EF ⊥BC ;(2)求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值.(1)证明：(方法一)过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ．图1所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC ．又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO. 又EF ⊂面EFO ，所以EF ⊥BC ．图2(方法二)由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B (0，0，0)，A (0，﹣1，√3)，D (√3，﹣1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，√32)，F (√32，12，0)，所以，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32，0，﹣√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，0)，因此EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0. 从而EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以EF ⊥BC ． (2)解：(方法一)在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG.由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥面BDC ．又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG ⊥BF . 因此∠EGO 为二面角E ﹣BF ﹣C 的平面角.在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos30°＝√32，由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BOBC ·FC ＝√34，因此tan ∠EGO ＝EOOG＝2.从而sin ∠EGO ＝2√55，即二面角E ﹣BF ﹣C 正弦值为2√55. (方法二)在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1).设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z ). 又BF⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√32，12，0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，12，√32). 由{n 2·BF ⃗⃗⃗⃗ ＝0，n 2·BE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0得其中一个n 2＝(1，﹣√3，1).设二面角E ﹣BF ﹣C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cosθ＝|cos <n 1，n 2>|＝|n 1·n 2|n 1||n 2||5.因此sinθ＝√52√55，即所求二面角正弦值为2√55. 20.(本小题满分12分)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图).双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2＝1过点P 且离心率为√3.(1)求C 1的方程;(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程.解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则切线斜率为﹣x 0y 0，切线方程为y ﹣y 0＝﹣x0y 0(x ﹣x 0)，即x 0x ＋y 0y＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x0y 0.由x 02＋y 02＝4≥2x 0y 0，知当且仅当x 0＝y 0＝√2时x 0y 0有最大值，即S 有最小值.因此点P 的坐标为(√2，√2).由题意知{2a 2﹣2b 2＝1，a 2＋b 2＝3a 2.解得a 2＝1，b 2＝2.故C 1方程为x 2﹣y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(﹣√3，0)，(√3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 12＋y 2b 12＝1，其中b 1>0.由P (√2，√2)在C 2上，得23＋b 12＋2b 12＝1，解得b 12＝3.因此C 2方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋√3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由{x ＝my ＋√3，x 26＋y 23＝1得(m 2＋2)y 2＋2√3my ﹣3＝0. 又y 1，y 2是方程的根，因此{y 1＋y 2＝﹣2√3mm 2＋2， ①y 1y 2＝﹣3m 2＋2.②由x 1＝my 1＋√3，x 2＝my 2＋√3，得{x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2√3＝4√3m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋√3m (y 1＋y 2)＋3＝6﹣6m 2m 2＋2.④因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2﹣x 1，√2﹣y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2﹣x 2，√2﹣y 2). 由题意知AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以x 1x 2﹣√2(x 1＋x 2)＋y 1y 2﹣√2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤将①，②，③，④代入⑤式整理，得 2m 2﹣2√6m ＋4√6﹣11＝0. 解得m ＝3√62﹣1或m ＝﹣√62＋1.因此直线l 的方程为x ﹣(3√62﹣1)y ﹣√3＝0或x ＋(√62﹣1)y ﹣√3＝0. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(cos x ﹣x )(π＋2x )﹣83(sin x ＋1)，g (x )＝3(x ﹣π)cos x ﹣4(1＋sin x )ln (3﹣2x π).证明：(1)存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0;(2)存在唯一x 1∈(π2，π)，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π.证明：(1)当x ∈(0，π2)时，f'(x )＝﹣(1＋sin x )(π＋2x )﹣2x ﹣23cos x<0，函数f (x )在(0，π2)上为减函数.又f (0)＝π﹣83>0，f (π2)＝﹣π2﹣163<0，所以存在唯一x 0∈(0，π2)，使f (x 0)＝0.(2)考虑函数h (x )＝3(x ﹣π)cosx 1＋sinx ﹣4ln (3﹣2πx)，x ∈[π2，π].令t ＝π﹣x ，则x ∈[π2，π]时，t ∈[0，π2]. 记u (t )＝h (π﹣t )＝3tcost 1＋sint﹣4ln (1＋2πt)，则u'(t )＝3f (t )(π＋2t )(1＋sint ).由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u'(t )>0.当t∈(x0，π2)时，u'(t)<0.在(0，x0)上u(t)是增函数.又u(0)＝0，从而当t∈(0，x0]时，u(t)>0.所以u(t)在(0，x0]上无零点.在(x0，π2)上u(t)为减函数，由u(x0)>0，u(π2)＝﹣4ln2<0，知存在唯一t1∈(x0，π2)，使u(t1)＝0.所以存在唯一的t1∈(0，π2)，使u(t1)＝0.因此存在唯一的x1＝π﹣t1∈(π2，π)，使h(x1)＝h(π﹣t1)＝u(t1)＝0.因为当x∈(π2，π)时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈(π2，π)，使g(x1)＝0，因为x1＝π﹣t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.请考生在第22，23，24三题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径;(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD．由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA．又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A．由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径.(2)连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB．于是∠DAB＝∠CBA．又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC ∥AB ．由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角.于是ED 为直径.由(1)得ED ＝AB ．23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1)写出C 的参数方程;(2)设直线l ：2x ＋y ﹣2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得{x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 12＋y 12＝1，得x 2＋(y 2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为{x ＝cost y ＝2sint(t 为参数). (2)由{x 2＋y 24＝1，2x ＋y ﹣2＝0，解得{x ＝1，y ＝0，或{x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y ﹣1＝12(x ﹣12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ﹣4ρsinθ＝﹣3，即ρ＝34sinθ﹣2cosθ.24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x ﹣1|＋x ﹣1，g (x )＝16x 2﹣8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N.(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝{3x ﹣3，x ∈[1，＋∞)，1﹣x ，x ∈(﹣∞，1)，当x ≥1时，由f (x )＝3x ﹣3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43;当x<1时，由f (x )＝1﹣x ≤1得x ≥0，故0≤x<1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.(2)证明：由g (x )＝16x 2﹣8x ＋1≤4，得16(x ﹣14)2≤4，解得﹣14≤x ≤34.因此N＝{x|﹣14≤x≤34}.故M∩N＝{x|0≤x≤34}.当x∈M∩N时，f(x)＝1﹣x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1﹣x)＝14−(x﹣12)2≤14.。

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（分）已知全集✞，✌⌧⌧≤ ❝， ⌧⌧≥ ❝，则集合∁✞（✌∪ ）（）✌． ⌧⌧≥ ❝ ． ⌧⌧≤ ❝ ． ⌧≤⌧≤ ❝ ． ⌧＜⌧＜ ❝．（分）设复数满足（ ﹣ ♓）（ ﹣♓） ，则 （）✌．  ♓ ． ﹣ ♓ ． ♓ ． ﹣ ♓．（分）已知♋，♌●☐♑ ，♍●☐♑，则（）✌．♋＞♌＞♍ ．♋＞♍＞♌ ．♍＞♋＞♌ ．♍＞♌＞♋．（分）已知❍，⏹表示两条不同直线，↑表示平面，下列说法正确的是（）✌．若❍∥↑，⏹∥↑，则❍∥⏹ ．若❍⊥↑，⏹⊂↑，则❍⊥⏹．若❍⊥↑，❍⊥⏹，则⏹∥↑ ．若❍∥↑，❍⊥⏹，则⏹⊥↑．（分）设，，是非零向量，已知命题☐：若❿ ，❿ ，则❿ ；命题❑：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）✌．☐∨❑ ．☐∧❑ ．（￢☐）∧（￢❑）．☐∨（￢❑）．（分）把椅子排成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）✌．  ．  ．．．（分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）✌． ﹣ ⇨ ． ﹣⇨ ． ﹣ ． ﹣．（分）设等差数列 ♋⏹❝的公差为♎，若数列 ❝为递减数列，则（）✌．♎＜．♎＞．♋ ♎＜．♋ ♎＞．（分）将函数⍓ ♦♓⏹（ ⌧）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）✌．在区间☯，上单调递减．在区间☯，上单调递增．在区间☯﹣，上单调递减．在区间☯﹣，上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年辽宁省高考数学试卷理科

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣2πB．8﹣πC．8﹣D．8﹣8．（5分）设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a1d＜0 D．a1d＞09．（5分）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年高考理科数学辽宁卷及答案

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()U A B =ð （）A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x ＜＜ 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =（）A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则（）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .c a b ＞＞D .c b a ＞＞4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是（）A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=,b c 0=,则a c 0=；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是（）A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（）A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（） A .82π- B .8π-C .π82-D .π84-8.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n a a 为递减数列,则（）A .0d ＜B .0d ＞C .10a d ＜D .10a d ＞9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数（） A .在区间π7π[,]1212上单调递减 B .在区间π7π[,]1212上单调递增C .在区间ππ[,]63-上单调递减D .在区间ππ[,]63-上单调递增10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（）A .12B .23C .34D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是（） A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y --＜.若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -＜恒成立,则k 的最小值为（）A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.执行如图所示的程序框图,若输入9x =,则输出y =________.14.正方形的四个顶点(1,1)A --,(1,1)B -,(1,1)C ,(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.15.已知椭圆C ：22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________.16.对于0c ＞,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a c ＞.已知2BA BC =,1cos 3B =,3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos()B C -的值.18.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列、期望()E X 及方差()D X .19.（本小题满分12分）如图,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E BF C --的正弦值.20.（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P （如图）.双曲线1C ：22221x y a b-=过点P.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+,2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πxg x x x x =--+-.证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0g x =,且对（Ⅰ）中的0x ,有01πx x +＜.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC BD =,求证：AB ED =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+.记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x MN∈时,证明：221()[()]4x f x x f x +≤.数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可知，{|01}A B x x x =≤≥或，所以(){|01}U AB x x =<<ð.故选D. 【提示】先求AB ，再根据补集的定义求()AB ð.【提示】把给出的等式两边同时乘以2i-，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z【提示】利用指数式的运算性质得到01a <<，由对数的运算性质得到0b <，1c >，则答案可求.【考点】对数的基本运算 4.【答案】B【解析】由题可知，若m α∥，n α∥则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故C 错误.若m α∥，m n ⊥，则n α∥或n α⊥或n 与α相交，故D 错误.故选B.【提示】A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断. 【考点】空间直线与直线，直线与平面的位置关系 5.【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0b ≠时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题.故p q ∨为真命题.故选A.【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】向量的平行与垂直，真假命题的判定 6.【答案】D【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，333424A C =.故选D.【提示】几何体是正方体切去两个4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的【提示】由于数列1{2}n a a 为递减数列，可得111212n a d a a +=<，解出即可.【提示】由题意先求出准线方程2x =-，再求出p ，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB 的斜率，再由两点的斜率公式得到方。

2014年高考数学真题辽宁【理】试题及答案

2014高考数学辽宁【理】一．选择题.1．已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b =，0b c =，则0a c =；命题q ：若//,//a bb c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π- 8．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增10. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C大洼高中的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12．已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<恒成立，则k 的最小值为（） A ．12 B ．14 C ．12π D ．18二．填空题13．执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14. 正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15．已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段 MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三．解答题17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.18．（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.日销售量/个C20. （本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.P23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 2014辽宁【理】参考答案一．选择题二．填空题三、解答题17．【解析】 (Ⅰ) 由12cos 2,cos 63BA BC c a B B ac ⋅=⇒⋅⋅===又所以, 由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+，又3b =所以 2292213a c +=+⨯=,解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得2,3a c ==或3,2a c ==, 因a c >，所以3,2a c ==,(Ⅱ)在△ABC 中，sin B = 由正弦定理，得2224sin sin 3c C B b ===.因a =b >c ，所以C 为锐角，因此7cos 9C =于是，1723cos()cos cos sin sin 3927B C B C B C -=+=⋅+=.18.【解析】(Ⅰ)设1A 表示事件“日销售量不低于100个”, 2A 表示事件“日销售量低于50个” B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个” 因此 ()()10.0060.0040.002500.6P A =++⨯=,()20.003500.15P A =⨯=()220.60.150.108P B =⨯⨯=(Ⅱ)由已知X 的可能取值为0,1,2,3。

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)附送答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学理

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)=( )A. {x|x≥0}B. {x|x≤1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|0＜x＜1}解析：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U(A∪B)={x|0＜x＜1}，答案：D.2.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5，则z=( )A. 2+3iB. 2-3iC. 3+2iD. 3-2i解析：由(z-2i)(2-i)=5，得：，∴z=2+3i.答案：A.3.已知a=，b=log2，c=log，则( )A. a＞b＞cB. a＞c＞bC. c＞a＞bD. c＞b＞a解析：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b. 答案：C.4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：A.若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D.若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错.答案：B.5.设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是( )A.p∨qB. p∧qC. (￢p)∧(￢q)D. p∨(￢q)解析：若•=0，•=0，则•=•，即(-)•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，(￢p)∧(￢q)，p∨(￢q)都为假命题，答案：A.6. 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24解析：3人全排，有=6种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种.答案：D.7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8-2πB. 8-πC. 8-D. 8-解析：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23-2××π×12×2=8-π.答案：B.8.设等差数列{a n}的公差为d，若数列{}为递减数列，则( )A. d＜0B. d＞0C.a1d＜0D. a1d＞0解析：∵等差数列{a n}的公差为d，∴a n+1-a n=d，又数列{2}为递减数列，∴=＜1，∴a1d＜0.答案：C.9.将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间[，]上单调递减B. 在区间[，]上单调递增C. 在区间[-，]上单调递减D. 在区间[-，]上单调递增解析：把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2(x-)+].即y=3sin(2x-). 由，得.取k=0，得.∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增.答案：B.10.已知点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.解析：∵点A(-2，3)在抛物线C：y2=2px的准线上，即准线方程为：x=-2，∴p＞0，=-2即p=4，∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，设切点B(m，n)，则n=2，又导数y′=2，则在切点处的斜率为，∴即m=2m，解得=2(舍去)，∴切点B(8，8)，又F(2，0)，∴直线BF的斜率为，答案：D.11.当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A. [-5，-3]B. [-6，-]C. [-6，-2]D. [-4，-3]解析：当x=0时，不等式ax3-x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3-x2+4x+3≥0可化为a≥，令f(x)=，则f′(x)==-(*)，当0＜x≤1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上单调递增，f(x)max=f(1)=-6，∴a≥-6；当-2≤x＜0时，ax3-x2+4x+3≥0可化为a≤，由(*)式可知，当-2≤x＜-1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当-1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min=f(-1)=-2，∴a≤-2；综上所述，实数a的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2].答案：C.12.已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)=f(1)=0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k恒成立，则k的最小值为( )A.B.C.D.解析：依题意，定义在[0，1]上的函数y=f(x)的斜率|k|＜，不妨令k＞0，构造函数f(x)=(0＜k＜)，满足f(0)=f(1)=0，|f(x)-f(y)|＜|x-y|.当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f(x)-f(y)|=|kx-ky|=k|x-y|≤k|-0|=k×＜；当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f(x)-f(y)|=|kx-(k-ky)|=|k(x+y)-k|≤|k(1+)-k|=＜；当y∈[0，]，且y∈[，1]时，同理可得，|f(x)-f(y)|＜；当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f(x)-f(y)|=|(k-kx)-(k-ky)|=k|x-y|≤k×(1-)=＜；综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜，∵对所有x，y∈[0，1]，|f(x)-f(y)|＜k恒成立，∴k≥，即k的最小值为.答案：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（） A ．144 B ．120 C ．72 D ．247.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．82π- B ．8π- C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．4311.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（）A ．12 B ．14 C ．12π D ．18第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .14.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .16.对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()BC -的值. 18. （本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P （1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x ππ=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的x 0有01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x MN ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 参考答案一、选择题1. D [解析] 由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．2. A [解析] 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i，故z ＝2＋3i.3. C [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4. B [解析] B [解析] 由题可知，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊥α或n 与a 相交，故D 错误． 5. A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6. D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 34＝24.7. B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分⎝⎛⎭⎫占圆柱的14后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×14×π×2＝8－π8. C [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d <1，所得a 1d <0.9. B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增10. D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p ＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m ＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43. 11. C C [解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3，令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a ≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，g (x )恒成立．当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，令个g (x )＝x 2－4x －3x 3(0<x ≤1)，则g ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故g (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a ≤－2.解法一：12. B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.解法二：解法三：解法四：13.299[解析] 当x ＝9时，y ＝5，则|y －x |＝4；当x ＝5时，y ＝113，则|y －x |＝43；当x ＝113时，y ＝299，则|y －x |＝49<1.故输出y ＝299.14.23[解析] 正方形ABCD 的面积S ＝2×2＝4，阴影部分的面积S 1＝2⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝83，故质点落在阴影区域的概率P ＝834＝23. 15. 12 [解析] 取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.16. 2- [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2，当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.17.（Ⅰ）由2BA BC ⋅=得，cos 2c a B ⋅=，又1cos 3B =，所以ac =6.由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+.又b =3，所以2292213ac +=+⨯=.解22613ac a c =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得a =2，c =3或a =3，c =2. 因为a >c ,∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在ABC ∆中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c CB b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos9C===.于是cos()cos cos sin sinB C B C B C-=+=1723393927⋅+⋅=.18.（Ⅰ）设1A表示事件“日销售量不低于100个”，2A表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A=++⨯=.2()0.003500.15P A=⨯=.()0.60.60.1520.108P B=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C==⋅-=,333(3)0.60.216P X C==⋅=,分布列为19.（Ⅰ）证明：（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=2π，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，又EF⊂面EFO，所以EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得B （0,0,0），A (0，-1，),D(,-1,0)，C (0,2,0),因而11(0,),,,0)22E F ,所以33(,0,),(0,2,0)22EF BC =-=，因此0EF BC ⋅=,从而EF BC ⊥，所以EF BC ⊥. （Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角；在△EOC 中，EO =12EC=12BC ·cos 30°，由△BGO ∽△BFC 知，BO OG FC BC =⋅=,因此tan ∠EGO =2EO OG =,从而sin ∠EGO，即二面角E -BF -C （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BEF 的法向量2(,,)n x y z =，又311(,,0),(0,,)2222BF BE ==,由220n BF nBE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得其中一个2(1,n =，设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则121212cos |cos ,|||||||5n nn n n n θ⋅=<>==⋅因sin θ即二面角E -BF -C 20.（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为0000()x y y x x y -=--，即004x x y y +=，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当00x y =时00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为，由题意知222222213a ba b a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得221,2a b ==，故1C 方程为2212y x -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C的焦点坐标为(，由此2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >.由P 在2C 上，得22112213b b +=+，解得b 12=3，因此C 2方程为22163x y += 显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my1122(,),(,)A x y B x y由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)30m y ++-=，又12,y y 是方程的根，因此1212232y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩①②，由12,3x y x m=+=+得12122221212122()266()32x x m y y m m x x m y y y y m ⎧+=++=⎪⎪+⎨-⎪=+++=⎪+⎩③④因1122(2,2),(2)AP x y BP x y =--=-由题意知0A P B P ⋅=，所以12121212))40x x x x y y y y ++++=⑤，将①，②，③，④代入⑤式整理得22110m -+=，解得12m =-或12m =-+，因此直线l 的方程为1)0x y --=，或1)0x y +-=. 21.（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2'()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π=-++--<，函数()f x 在(0,)2π上为减函数，又2816(0)0,()0323f f πππ=->=--<，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =. （Ⅱ）考虑函数3()cos 2()4ln(3),[,]1sin 2x x h x x x x ππππ-=--∈+，令t x π=-，则[,]2x ππ∈时，[0,]2t π∈，记3cos 2()()4ln(1)1sin t t u t h t t t ππ=-=-++，则3()'()(2)(1sin )f t u t t t π=++ ，由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，'()0u t >，当0(,)2t x π∈时，'()0u t <.在0(0,)x 上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0,]t x ∈时，()0u t >，所以()u t 在0(0,]x 上无零点. 在0(,)2x π上()u t 是减函数，由0()0,()4ln 202u x u π>=-<，存在唯一的10(,)2t x π∈ ，使1()0u t =.所以存在唯一的10(,)2t x π∈使1()0u t =.因此存在唯一的11(,)2x t πππ=-∈，使111()()()0h x h t u t π=-==.因为当(,)2x ππ∈时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1(,)2x ππ∈，使1()0g x =.因1110,x t t x π=->，所以01x x π+<请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（Ⅰ）因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA ,又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径. (Ⅱ)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA ,AC =BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA . 又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .由于,,AB EP DC EP DCE ⊥⊥∠所以为直角于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .23.（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得112x x y y =⎧⎨=⎩ 由22111x y +=得22()12y x +=，即曲线C 的方程为2214y x +=.，故C 得参数方程为 cos 2sin x t y t ⎧⎨⎩＝＝（t 为参数）.(Ⅱ)由2214220y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得：10x y =⎧⎨=⎩，或02x y =⎧⎨=⎩. 不妨设12(1,0),(0,2)P P ,则线段12PP 的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-，化极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即34sin 2cos ρθθ=-.24.（Ⅰ）33,[1,)()1,(,1)x x f x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4MN x x =≤≤.当x MN ∈时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +⋅=+2111()(1)()424x f x x x x =⋅=-=--≤.。

2014年高考理科数学辽宁卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共45页）数学试卷第2页（共45页）数学试卷第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()UA B = （）A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x ＜＜ 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =（）A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则（）A .a b c ＞＞B .a c b ＞＞C .c a b ＞＞D .c b a ＞＞4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是（）A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p ：若a b 0=,b c 0=,则a c 0=；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是（）A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为（）A .144B .120C .72D .247.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（） A .82π- B .8π-C .π82-D .π84-8.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n a a 为递减数列,则（）A .0d ＜B .0d ＞C .10a d ＜D .10a d ＞9.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数（） A .在区间π7π[,]1212上单调递减B .在区间π7π[,]1212上单调递增C .在区间ππ[,]63-上单调递减D .在区间ππ[,]63-上单调递增10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（）A .12B .23C .34D .4311.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是（）A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y --＜. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -＜恒成立,则k 的最小值为（）A .12B .14C .12πD .18第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.执行如图所示的程序框图,若输入9x =,则输出y =________.14.正方形的四个顶点(1,1)A --,(1,1)B -,(1,1)C ,(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________.15.已知椭圆C ：22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________.16.对于0c ＞,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共45页）数学试卷第5页（共45页）数学试卷第6页（共45页）三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a c ＞.已知2BA BC =,1cos 3B =,3b =.求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos()B C -的值.18.（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列、期望()E X 及方差()D X .19.（本小题满分12分）如图,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F 分别为AC ,DC 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E BF C --的正弦值.20.（本小题满分12分）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P （如图）.双曲线1C ：22221x y a b-=过点P 且离心率为3.（Ⅰ）求1C 的方程；（Ⅱ）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点,直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ,B 两点.若以线段AB 为直径的圆过点P ,求l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数8()(cos )(π2)(sin 1)3f x x x x x =-+-+,2()3(π)cos 4(1sin )ln(3)πxg x x x x =--+-.证明：（Ⅰ）存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0g x =,且对（Ⅰ）中的0x ,有01πx x +＜.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC BD =,求证：AB ED =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .（Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：220x y +-=与C 的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+.记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N . （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x MN ∈时,证明：221()[()]4x f x x f x +≤.3 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可知，{|01}A B x x x =≤≥或，所以(){|01}UA B x x =<<.故选D.【提示】先求AB ，再根据补集的定义求()UAB .【提示】把给出的等式两边同时乘以12i-，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z 可求.【提示】利用指数式的运算性质得到01a <<，由对数的运算性质得到0b <，1c >，则答案可求. 【考点】对数的基本运算 4.【答案】B【解析】由题可知，若m α∥，n α∥则m 与n 平行、相交或异面，所以A 错误；若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故C 错误.若m α∥，m n ⊥，则n α∥或n α⊥或n 与α相交，故D 错误.故选B.【提示】A.运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B.运用线面垂直的性质，即可判断；C.运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断. 【考点】空间直线与直线，直线与平面的位置关系 5.【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当0b ≠时，a ，c 一定共线，故命数学试卷第10页（共45页）数学试卷第11页（共45页）数学试卷第12页（共45页）题q 是真命题.故p q ∨为真命题.故选A.【提示】根据向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】向量的平行与垂直，真假命题的判定 6.【答案】D【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，333424A C =.故选D.【提示】使用“插空法”根据分步计数原理可得结论.【提示】几何体是正方体切去两个14圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.【提示】由于数列1{2}n a a 为递减数列，可得11112212n na a a d a a +=<，解出即可.5 / 15【提示】由题意先求出准线方程2px =-，再求出p ，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB 的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF 的斜率.数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）【提示】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论. 【提示】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出||||AN BN +的值.7 / 15【提示】首先把：224240a ab b c +-=-，转化为222343(2)4a b a b +≥+，再由柯西不等式得到|2|a b +，分别用b 表示a ，c ，在代入到345a b c-+得到关于b 的二次函数，求出最小值即可. （Ⅰ）由2BA BC =得，cos 2c a B =2222cos a c b B +=+. 29213c +=+⨯.解2ac a =⎧⎨+⎩，2c =2224339=22799⎫=⎪⎪⎭. 17224223sin 393927B C =+=数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简2BA BC =，将cos B 的值代入求出6ac =，再利用余弦定理列出关系式，将b ，cos B 以及ac 的值代入得到2213a c +=，联立即可求出ac 的值；（Ⅱ）由cos B 的值，利用同角三角函数间基本关系求出sin B 的值，由c ，b ，sin B ，利用正弦定理求出sin C 的值，进而求出cos C 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值.033(10.6)-=130.6(10.6)-2230.6(10.6)-3330.60.216=0 0.064因为~(3,0.6)X B ，所以期望为()30.6 1.8E X =⨯=，方差()30.6(10.6)0.72D X =⨯⨯-=.【提示】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件1A ，2A 的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（Ⅱ）写出X 可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X 取每一个值的概率；列出分布列.根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望()E X 及方差()D X . 【考点】频率分布直方图，随机事件的概率随机变量的期望和方差19.【答案】（Ⅰ）证明：方法一，过点E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连接OF 。

2014高考辽宁理数Word版含答案

14年高考真题——理科数学(辽宁卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =，{}|0A x x =≤，{}|1B x x =≥，则集合()U AB =ð( )（A ）{}|0x x ≥ （B ）{}|1x x ≤ （C ）{}|01x x ≤≤ （D ）{}|01x x <<2．设复数z 满足()()225z i i --=，则z =( )（A ）23i + （B ）23i - （C ）32i + （D ）32i -3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则( ) （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>4．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ （C ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//a b ，//b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是 ( )（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为( ) （A ）144 （B ）120 （C ）72 （D ）247．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) （A ）82π- （B ）8π- （C ）82π-（D ）84π-8．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( ) （A ）0d < （B ）0d > （C ）10a d < （D ）10a d >9．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应函数( ) （A ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减（B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减（D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10．已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）4311．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )（A ）[]5,3-- （B ）[]6,9-- （C ）[]6,2-- （D ）[]4,3--12．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①()()010f f ==；②对所有[],0,1x y ∈，且x y ≠，有()()1||||2f x f y x y -<-。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题(理科)解析版

【答案】C
【解析】
a
=
-1
23
∈
(
1 2
，1),
b
=
log
2
1 3
∈
(-2，-1),
c
=
log
1 2
1 3
∈
(1,2).∴
c > a > b.选C.
4.已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）
A．若 m / / , n / / , 则 m / /n
B．若 m ， n ，则 m n
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集U R, A {x | x 0}, B {x | x 1} ，则集合 CU (A B) （
若 a / /b,b / /c ，则 a / /c ，则下列命题中真命题是（）
A． p q B． p q C． (p) (q) D． p (q)
【答案】A 【解析】命题 p 为假，命题 q 为真，所以 A 正确。选 A
6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）
8.设等差数列{an} 的公差为 d，若数列{2a1an } 为递减数列，则（）
A． d 0 B． d 0 C． a1d 0 D． a1d 0
【答案】C 【解析】
由同增异减知，a1an递减,即a1an+1 < a1an.分情况解得 : a1 > 0且d < 0;或a1 < 0且d > 0. ∴ a1d < 0.选C.

2014年辽宁省高考数学试卷(理科)(含解析版)

2014年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（）A．2+3i 3．（5分）已知a= A．a＞b＞c B．2﹣3i，b=log2，c=logB．a＞c＞bC．3+2i，则（）C．c＞a＞b D．c＞b＞aD．3﹣2i4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m⊥α，nα，则m⊥n D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144B．120C．72D．247．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8﹣2πB ．8﹣πC ．8﹣D ．8﹣8．（5分）设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{A ．d ＜09．（5分）将函数应的函数（）A ．在区间[C ．在区间[﹣，，]上单调递增]上单调递减B ．在区间[B ．d ＞0C ．a 1d ＜0的图象向右平移}为递减数列，则（）D ．a 1d ＞0个单位长度，所得图象对，，]上单调递减]上单调递增D ．在区间[﹣10．（5分）已知点A （﹣2，3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）当x ∈[﹣2，1]时，不等式ax 3﹣x 2+4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[﹣5，﹣3]B ．[﹣6，﹣]C ．[﹣6，﹣2]D ．[﹣4，﹣3]12．（5分）已知定义在[0，1]上的函数f （x ）满足：①f （0）=f （1）=0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f （x ）﹣f （y ）|＜|x ﹣y |．若对所有x ，y ∈[0，1]，|f （x ）﹣f （y ）|＜m 恒成立，则m 的最小值为（）A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(辽宁卷带解析)试题

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（辽宁卷）数学试题1、【题文】已知全集，则集合（）A．B．C．D．2、【题文】设复数z满足，则（）A．B．C．D．3、【题文】已知，，则（）A．B．C．D．4、【题文】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5、【题文】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．6、【题文】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．247、【题文】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8、【题文】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．9、【题文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增10、【题文】已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．11、【题文】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）C．D．A．B．12、【题文】已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（）A．B．C．D．13、【题文】执行右侧的程序框图，若输入，则输出 .14、【题文】正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .15、【题文】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .16、【题文】对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .17、【题文】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.18、【题文】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.19、【题文】如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.20、【题文】圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为. （1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.21、【题文】已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.22、【题文】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（1）求证：AB为圆的直径；（2）若AC=BD，求证：AB=ED.23、【题文】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24、【题文】设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.。

高考辽宁理科科数学试题及答案word解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁)数学（理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年辽宁，理1，5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合U ()A B =（）(A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ （C){|01}x x ≤≤ (D ）{|01}x x << 【答案】D【解析】{}10A B x x x =≥≤或，∴{}U ()01A B x x =<<,故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．（2)【2014年辽宁，理2,5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=，则z =( ）（A ）23i + （B ）23i - (C)32i + （D ）32i - 【答案】A【解析】由(2i)(2i)5z --=,得:()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+，∴23i z =+,故选A ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．(3)【2014年辽宁,理3，5分】已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则（）（A ）a b c >> （B)a c b >> （C)c a b >> （D)c b a >>【答案】C【解析】∵1030221a -<=<=，221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=,∴c a b >>，故选C ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．（4）【2014年辽宁，理4，5分】已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥（C)若m α⊥，m n ⊥，则//n α （D ）若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】A ：若//m α，//n α，则m ,n 相交或平行或异面,故A 错;B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥,故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α,m n ⊥,则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错，故选B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5）【2014年辽宁,理5,5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0=a b ，0=b c ，则0=a c ;命题q ：若a b ，b c ，则a c ，则下列命题中真命题是（）（A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()()p q ⌝∧⌝ （D ）()p q ∨⌝ 【答案】A 【解析】若0=a b ,0=b c ，则a b =b c ，即()0-=a c b ，则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b ，b c ，则a c ,故命题q 为真命题,则p q ∨,为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题，故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．(6）【2014年辽宁，理6，5分】6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）（A ）144 （B ）120 (C)72 (D ）24 【答案】D【解析】3人全排，有336A =种方法，形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，根据乘法原理可得所求坐法种数为6×4=24种，故选D ．【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．（7）【2014年辽宁,理7，5分】某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为（ )（A ）82π-（B ）8π-（C ）82π-(D)84π-【答案】B【解析】由三视图知:几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-，故选B ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． (8）【2014年辽宁，理8，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( )(A)0d < （B)0d > (C ）10a d < （D ）10a d > 【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=，又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <,故选C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．(9）【2014年辽宁，理9，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ )（A)在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减（B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C)在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减（D ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【解析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+，得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =，得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．（10）【2014年辽宁,理10,5分】已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ）（A)12 （B)23 （C ）34 （D ）43【答案】D【解析】∵点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，即准线方程为：2x =-，∴0p >，22p-=-即4p =，∴抛物线C ：28y x =，在第一象限的方程为22y x =，设切点(),B m n ,则22n m =，又导数12y '=,∴32n m -=++=-，= （舍去)，∴切点()8,8B ，又()2,0F ，∴直线BF 的斜率为804823-=-，故选D ．【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等,是一道基础题．（11）【2014年辽宁,理11，5分】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ )(A ）[5,3]-- （B)9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D ）[4,3]--【答案】C【解析】当0x =时,不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时,32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--,令()23143f x x x x=--，则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-（*)，当01x <≤时，()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-;当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--,由(*)式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当10x -<<时,()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-,∴2a ≤-；综上所述,实数a 的取值范围是62a -≤≤-,即实数a 的取值范围是[6,2]--，故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集．(12）【2014年辽宁，理12，5分】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足：①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-．若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（）（A ）12 （B)14 (C ）12π （D ）18【答案】B【解析】依题意,定义在[0,1]上的函数()y f x =的斜率12k <，不妨令0k >，构造函数()kx f x k kx ⎧=⎨-⎩102k ⎛⎫<<⎪⎝⎭，满足()()010f f ==,()()12f x f y x y -<-．当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1110224f x f y kx ky k x y k k -=-=-≤-=⨯<；当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()()111224k f x f y kx k ky k x y k k k ⎛⎫-=--=+-≤+-=< ⎪⎝⎭；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且10,2y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，同理可得,()()14f x f y -<；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()()()111224k f x f y k kx k ky k x y k ⎛⎫-=---=-≤⨯-=< ⎪⎝⎭；综上所述，对所有[],0,1x y ∈,()()14f x f y -<,∵对所有[],0,1x y ∈,()()f x f y k -<恒成立，∴14k ≥，即k 的最小值为14,故选B ．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力,属于难题．第II 卷(共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分（13）【2014年辽宁，理13,5分】执行右侧的程序框图,若输入9x =，则输出y = ．【答案】299【解析】由程序框图知：第一次循环9x =，9253y =+=，5941-=>；第二次循环5x =,511233y =+=，1145133-=>；第三次循环113x =，1129299y =+=．1111421939+-=<，满足条件1y x -<，跳出循环，输出299y =．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．(14)【2014年辽宁，理14，5分】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是．【答案】23【解析】∵(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----，∴正方体的ABCD 的面积224S =⨯=，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积()12311111148212211233333S x dx x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=---+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是82343=．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．（15）【2014年辽宁，理15，5分】已知椭圆C :22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】12【解析】如图：MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =，∵Q 在椭圆C 上，∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用,基本知识的考查．（16)【2014年辽宁,理16，5分】对于0c >，当非零实数,a b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c -+的最小值为．【答案】2-【解析】∵224240a ab b c -+-=,∴222211542416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,由柯西不等式得，222222156156222416441515b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-+⋅=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故当2a b +最大时, 有15446215b a b-=,∴32a b =,210c b =，∴2223453451121122310222a b c b bb b b b ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12b =时，取得最小值为2-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年辽宁，理17,12分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求： (1）a 和c 的值;（2）cos()B C -的值．解:（1）由2BA BC =得cos 2ac B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅．又因为3b =,所以22a c +=21326133+⨯⨯=．解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩．因为a c >，32a c =⎧∴⎨=⎩．（2）在ABC ∆中,2sin 1cos B B =-21221()33=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=，所以222sin 3sin 3c B C b⨯==429=．因为a c >，所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=． cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+1722423939=⨯+⨯2327=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．(18）【2014年辽宁，理18，12分】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；(2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X ．解：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”, 2A 表示事件“日销售量低于50个"，B 表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个"．1()(0.0060.0040.002)50P A =++⨯0.6=，2()0.003500.15P A =⨯=．()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=．(2)X 可能取的值为0,1,2,3．相应概率为0033(0)0.60.40.064P X C ==⨯⨯=；123(1)0.60.40.288P X C ==⨯⨯=； 223(2)0.60.40.432P X C ==⨯⨯=;3303(3)0.60.40.216P X C ==⨯⨯=．X 的分布列为：X0 1 2 3 P 0.0640.288 0.432 0。