第九章 动量矩定理

第九章 动量矩定理

一、目的要求

1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。

2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。

3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。 二、基本内容

1．质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。

1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩

c c c i i i i i L v m r v m r v m m L )(00

ir i c i i i c v m r v m r L

为质点系对质心C 的动量矩。 z z i i i i z z L v m m v m m L ][)]([)(00

，z 是过定点O 的轴。

2）平动刚体对某定点O 的动量矩

c c v r M L 0 3）绕定轴转动刚体对转轴z 的动量矩

z i i z J r m L )(2

4）平面运动刚体对运动平面内定点O 的动量矩

c c c J v Mr L sin 0

ir i v v

,分别为第i 个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的

速度，c v

为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，c z J J 、分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯量， 为定点O 到质点系质心的矢径与质心速度的夹角， 为刚体转动的角速度。

（4）转动惯量

1）定义 dm r r m J m

i i z 22

2）引入回转（惯性）半径 2z z m J

z 为刚体对转轴的回转半径 3）平行轴定理 2Ml J J c z z

l 为轴Z 和轴Z c 间的距离 4）组合法（分割法）

n z z z

z J J J J

2．主要公式

（1）动量矩定理

n i (e)i F M dt L d 1

00

)( （a ） i i i i i v m r v m m L

)(00是质点系对定点O 的动量矩

n i e i i e i F r F m 1

)

()(0)( 是外力系对O 点的主矩

（2）刚体绕定轴转动微分方程

)(i z z

M dt

d J F

（b ） 2i i z r m J ，是刚体对转轴z 的转动惯量 （3）质点系相对于质心的动量矩定理

)()(e i c c

c F M dt L

d J

（4）刚体平面运动微分方程

)()(1)(1

)(e i c c n

i e iy cy n

i e ix cx M J F Ma F Ma F （c ）

式中 2i i C r m J ，是平面运动刚体对质心C 的转动惯量。/

)()(e i c M F 是外力系对质心C 的主矩。

三、重点难点

1．重点：

（1）质点系（刚体、刚体系）动量矩、转转惯量的计算。 （2）质点系的动量矩定理和刚体绕定轴转动微分方程。 2．难点：

（1）质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）动量矩的概念及计算方法。 （2）相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程的应用。 四、学习建议

（1）强调动量矩中所用到的速度、角速度均为绝对速度、绝对角速度。 （2）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。 （3）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。

（4）通过复习力对点之矩的计算引出动量对点之矩——动量矩的概念。 （5）刚体对定点（轴）的动量矩的计算与刚体的运动有关。

（6）强调应用动量矩定理、刚体绕定轴转动微分方程解题的关键是会正确地构造出等式两端的各项，多做相应的练习。

（7）清楚相对于质心的动量矩定理的引出及力学意义。

（8）清楚如何选取研究对象建立刚体的平面运动微分方程，如何利用运动学条件加列补充方程。