乌鲁木齐八中20102011学年高二第二学期期末

乌鲁木齐八中2010—2011学年高二第二学期期末
数学理科试卷
班级 姓名
一 选择题（4⨯12=48分）
1 已知集合{}
01/2≥-=x x A ，{}1/==x x B ，则=⋂B A （ ）
{}11/:-≤≥x x x A 或 {}11/:≤≤-x x B {}1,1:-C Φ:D 2复数i
i
z +-=
11，则2z 的虚部是（ ） 1:A 1:-B i C : 0:D
3 E D C B A ,,.,.,五人站成一排，若A 必须站在B 的左边的不同站法的种数是（ ） 60:A 80:B 90:C 120:D
4 在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（ ）
:A 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 ； :B 解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上；
:C 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上； :D 可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上。

5 函数2
1x y =和函数x y =围成的图形的面积是（ ）
31:A 41:B 51:C 6
1:D 6一个篮球运动员在比赛时投球命中率为，他在5次投球中2次不中的概率是（ ）
32258.02.0:⨯⨯C A 32458.02.0:⨯⨯C B 23258.02.0:⨯⨯C C 321
58.02.0:⨯⨯C D
7 若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比是2:3，则双曲线的离心率是（ ）
3:A 5:B 3:C 5:D
8 若函数x b x a x f c o s
s i n )(-=对任意的实数x 都有)4
(
)4
(x f x f -=+π
π
，则直02=+-c by ax 的斜率是
（ ）
2:-A 2:B 55:
C 5
5
:-D 9 正方体1111D C B A ABCD -中，BD 和平面11D ABC 所成角的大小是（ ）
6:
πA 4:πB 3:πC 2
:πD 10 设n
x x )5(312
1
-的展开式的各项系数之和是M ，二项式系数之和是N ，
且992=-N M ，则n 的值是（ ）
4:A 5:B 6:C 7:D
11箱子里有5个黑球4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球则放回箱子中，重新取球；若取出白球，则停止取球，则在第四次取球后停止取球的概率是（ ）
4
5
1
4
35:
C C C A ⋅ 94)95(:3⨯B 4153:⨯C 9
4)95(:31
4⨯⨯C D
12 已知函数1
1
)(-=
x x f ，则函数)]([x f f 的定义域是（ ） {}1/:≠x x A {}2/:≠x x B {}21/:≠≠x x x C 且 {}21/:≠≠x x x D 或
二 填空题（44⨯=16分）
13 已知{}n a 是等比数列，4
1
,252=
=a a ，则公比q 等于 14 在1032)1(......)1()1(x x x ++++++的展开式中2x 的系数是 15 设曲线1
1
-+=
x x y 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则=a 16 若方程b x x +=-21有两个不等的实根，则b 的取值范围是
三 解答题（56分）
17 （8分）已知数列{}n a 中，2
2,211+=
=+n n
n a a a a ；（1）求数列{}n a 的通项公式; (2)令1+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前项和n T 。

18 （9分）已知c b a ,,是ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，向量
)sin ,(cos ),1,3(A A n m =-=
，若n m ⊥且C c A b B a sin cos cos =+，求角B 的大小。

19（9分） 如图，在三棱锥ABC S -中，侧面SAB 与侧面SAC 均是边长为a 的正三角形， 90=∠BAC ，o 是BC
的中点，（1）求证：⊥SO 平面ABC ;(2)求二面角B SC A --的余弦值
20（10分） 体育课进行篮球投篮达标测试。

规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若即便后面投篮全中，也不能达标（前3次投中0
次）则也停止投篮。

同学甲投篮命中率是3
2
，且每次投篮互不影响。

（1）求同学甲测试达标的概率； （2）设测试同学甲投篮次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE 。

21（10分） 已知函数)0()
1ln(1)(>++=
x x
x x f （1）判断函数)(x f 在区间),0(+∞上的单调性；（2）若当0>x 时，1
)(+>x k
x f 恒成立，求正整数k 的最大值。

22（10分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，其相应于焦点)0,2(F 的准线方程是4=x ；（1）求椭圆C 的方
程；（2）已知过点)0,2(1-F 倾斜角为θ的直线交椭圆C 于B A ,两点，求弦AB 的长度。

（3）过点)0,2(1-F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点B A ,和D C ,，求DE AB +的最小值
高二数学期末考试参考答案（理科）
一：选择题：CDABD ADAAB BC
二：填空题：13：
2
!
14：165 15：2-=a 16：[)
2,1 三：解答题：17：（1）n a n 2=;(2)1
4+=n n
T n ; 18:6π=B
19:(1)证明略；（2）二面角B SC A --的余弦值是3
3。

20：（1）81
64)32()31()32(31)3
2(323
421
33
=⨯⨯+⨯⨯
+=C C P ； （2）ξ的取值为3，4，5 ； 3
1
)31()32()3(33=+==ξP
2710)31(32)32(31)4(31
3313=⨯⨯+⨯⨯==C C P ξ
278)32()31()5(222
4=⨯⨯==C P ξ， 27
107=ξE
21 （1）)]1ln(1
1[1)]1ln(11[
1)(22'
+++-=+--+=x x x x x x x x f ，
0)(,0)1l n (,01
1
,
0,0'2
<∴>+>+>∴>x f x x x x ； )(x f ∴在()+∞,0上是减函数；
（2）当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立，即k x
x x x h >+++=
)]
1ln(1)[1()(对0>x 恒成立，即)(x h 在0>x 的最小值大于k ；
,)
1ln(1)(2
'
x x x x h +--=
记)0(),1ln(1)(>+--=Φx x x x 则∴>+=+-
=Φ,01
111)('
x x x x )(x Φ在()+∞,0上单调增，又 02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=Φ<-=Φ，0)(=Φ∴x 存在唯一实数根a ，且满足
)1ln(1),3,2(++=∈a a a
由
a x >时，0)(,0)('>>Φx h x ；a x o <<时0)(,0)('<>Φx h x 知)(x h 的最小值是
()4,31)]
1ln(1)[1()(∈+=+++=
a a
a a a h 正整数k 的最大值是3.
22 (1)解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222242c
b a
c a c ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒48
22
b a 椭圆方程是14822=+y x ； （2）当2
π
θ≠时，记θtan =k ，则AB 的方程)2(+=x k y
联立⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=++=148
)2(2
2y x x k y 消去y ，0)1(88)21(2222=-+++k x k x k ， 设),(),,(2211y x B y x A ，2
221222121)
1(8;218k k x x k k x x +-=+-=+
]21)
1(32)218)[(1(]4))[(1(2
22222
212
212
k k k k k x x x x k AB +--+-+=-++=
2
221)1(24k k ++=
，把θ2
2tan =k 代入上式，化简得 θ
2cos 22
4-=
AB 。

当2
π
θ=
时，22=AB 仍然满足θ
2cos 22
4-=
AB 。

（3）设AB 的倾斜角是θ，由DE AB ⊥，由（2）知
θ
2
cos 22
4-=
AB ， θ2sin 224-=
DE ；=
+DE AB θ2cos 224-+θ2sin 224-=θ
θ22cos sin 22
12+ θ2sin 4
122122+=
，当4πθ=或43πθ=时，DE AB +取得最小值32
16。