2.2复合函数的求导法则

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复合函数求导公式大全

复合函数求导公式大全
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求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。

求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。

首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。

这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。

其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。

再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。

最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。

以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。

学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！复合函数求导公式复合函数求导法则证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0)f'(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。

设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

复合函数的求导法则,反函数的求导法则

数学分析（上）
2 g ( x ) ln x ,求 f ( x ) x 例10 设，
f [ g( x )] f [ g( x )]
解 f ( x ) 2 x

g[ f ( x )] g[ f ( x )]

f [ g( x )] 2 ln x
2 ln x f [ g ( x )] f [ g ( x )] g ( x ) x
2
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2)
x 1 2 x 1 3( x 2)
数学分析（上）
例8 y x ，求 y .
x
解
y x
x

e
x ln x

e
x ln x x ln x x ln x 1 x ln x 1 e
数学分析（上）
注意到:当x 0 时, 由 u ( x ) 的连续性
lim lim 0 可得 u 0, 从而 x 0 u 0
所以,令x 0 , 便有
dy du dy f ( u) ( x ) dx du dx
f [ ( x )] f [ ( x )] ( x )
第二节 §2 复合函数的求导法则反函数的求导法则一、复合函数的求导法则定理1 (链式法则)如果 u ( x ) 在点 x 处可导，而函数 y f ( u) 在对应的点 u 处可导，则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处可导，且
dy f ( u) ( x ) 或 dx
2
1 x 例5 y , 求 y . 1 x
例6 证明双曲函数的求导公式:

复合函数求导公式运算法则

复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。

例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

应用高等数学-2.2 导数的运算(2)

求导法则求导.
练习册第二章练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)，求 y . 解先用复合函数求导公式，再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'，解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定，求 y' . 解对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0

复合函数的求导法则

复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其中F表示外部函数，u表示内部函数的输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导，再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其导数等于被除函数的导数除以除函数的导数。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐函数求导等更深入的数学知识，为后续学习打下基础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变量与常数相乘，并使用乘积法则进行求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导法则，能够快速准确地求出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题中的应用，如经济学、物理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习题，加深对复合函数求导法则的理解和掌握。
表示

复合函数求导公式有哪些

复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。

复合函数求导法则公式

复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。

设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。

链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。

例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。

首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。

其次，求解du/dx=2x。

最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。

2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。

设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。

乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。

根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。

3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。

设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。

商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。

根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。

链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。

(整理)2.2复合函数求导法则.

2.2 复合函数求导法则一、导入新课：上节课我们学习了导数的概念、性质、几何意义和基本初等函数的求导公式，本节课我们要介绍复合函数的求导方法。

二、讲授新课：2.2.1 复合函数的求导法则利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算，只能够求一些比较简单的函数导数，对比较复杂的复合函数，还要利用“复合函数的求导法则”去求。

复合函数求导法则是求导的灵魂，是求初等函数的导数所不可缺少的工具。

引例2.2.1 前面我们已经指出，(sin 2)cos 2x x x '≠，利用导数的四则运算法则求(sin 2)x x '解：(sin 2)(2sin cos )2[(sin )cos (cos )sin ]x x x x x x x x x ''''==+222[cos sin ]2cos 2x x x =-= 引例2.2.2 设32()(2)f x x =+，求()df x dx 解：326352()[(2)](44)612x df x x x x x x dx''=+=++=+ 23326(2)2(2)3x x x x =+=+⨯上面两个例子都表明：“复合函数对自变量的导数等于该函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数之积。

”这个规律是否具有普遍性呢？下面的定理给出了肯定的回答。

定理2.2.1（复合函数的求导法则）如果函数()u x ϕ=在点x 处可导，而函数()y f u =在对应的点u 处可导，那么复合函数[()]y f x ϕ=也在点x 处可导，且有dy dy du dx du dx=或{[()]}()()f x f u x ϕϕ'''= 例2.2.2 求sin 2y x =的导数。

解：(sin )(2)(cos )22cos 2y u x u x '''==⨯=例2.2.4 求函数sin ln 2y x =的导数。

高等数学《复合函数的求导法则》

例 8 设z f ( x2,e2x )，f 可微，求 dz . dx
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数，有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏导数的关系问题.
——全导数公式
证设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t

1.2.2复合函数求导法则

那么这个“复合”过程可表示为y f u =f g x = ln x 2
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
“复合”得到的.
例如,y
2
x
32
可以看成是由
y u2 和u 2x 3“复合”而成.
1.复合函数的概念:
一般地，对于两个函数 y = f (u)， u = g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y = f (u)和 u = g(x)的复合函数，记作y = f (g (x))
（1） y 1 (2 5x)10 x
(2) y sin3 x sin x3
(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.
检测提升
检测提升
小结
（1）运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。
ux (1 x2 ) 2x
所以
yx 2
1 (1 x2 )
(2x)
x 1 x2
练习:求下列函数的导数
（1） y = sin2 x
?
(2) y = sinx2 （1）将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
（2）求导后必须把引进的中间变量代换成原来自变量的式子，熟练后可不必写出中间变量，直接：“由外向内、逐层求导”。
以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！
17
（2）将 y = sin x2 看成是由 y = sin u，u = x2复合而成.

1.2.2复合函数的求导法则(第二课时)

1 8. (ln x ) . x
'
2. 导数的运算法则:
1. f x g x ' f ' x g ' x ; 2. f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
y y u (e u )' 0.05 x 1 ' 0.05 x 1 u ( 0.05) 0.05e . e
' x ' u ' x
例2 求下列函数的导数
1 y 2 x 3 ; 2 y e 0.05 x 1 ; 3 y sin x 其中 , 均为常数 .
U∈D
2.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) f x[ ( x)] f (u) ( x). 的导数间关系为 yx y u ux ; 或注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2, 2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12 2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
推论: [c f ( x )]' c f ' x
f ' x g x f x g ' x f ( x) g x 0 . 3. [ ]' 2 g( x ) g x
复合函数的求导法则
二、新课——复合函数的导数：
复习回顾
1. 基本初等函数的导数公式:
1. c ' 0

3-2.2复合函数求导法则

1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
= f ′(u )ϕ ′( x)
推广设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
(7) (sec x)′ = sec x tan x (9)
(a )′ = a ln a
x x
′ = ex (e )
x
1 (11) (log a x)′ = x ln a 1 (13) (arcsin x)′ = 1 − x2 (15) (arctan x)′ = 1 1 + x2
1 (ln x)′ = x
1 特别地 (ln x )′ = . x
dy 例8 设y = arshx( x ∈ R ), 求 . dx 解 y = arshx是双曲正弦x = shy的反函数，
由反函数求导定理得 1 1 1 1 (arshx)′ = = = = 2 2 ( shy )′ chy 1 + sh y 1+ x
所以
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，

微积分第三章(复合函数,隐函数求导,对数求导法则)

又x=cosy在(0,π )内单调、连续、可导，且
d x = (cos y)′ = − sin y ≠ 0 dy
故 y′ = (arccos x)′ = d y = 1 = 1 d x d x (cos y)′ dy
=− 1 =−
1
=− 1
sin y
1 − cos2 y
1− x2
(−1< x <1)
为 y=f(x) 连续，所以 x = ϕ(y) 也连续。因此当 Δy → 0 时
Δx →
0。从而lim Δy→0
Δx Δy
=
lim
Δx→0
Δx Δy
=
lim
Δx→0
1 Δy
=
1 f ′( x)
即 x = ϕ(y) 在点 y 处可导，且
φ′( y) =
1 f ′( x)
Δx
例15 y = arcsin x (−1 < x < 1) , 求 y′。
=
cotα
=
1 tanα
=
1 ϕ ′( x)
(ϕ′(x) ≠ 0 )
反函数的导数是其直接函数导数的倒数.
定理2.3 （反函数的导数）
设函数 y = f ( x) 在开区间 (a,b) 内是严格单调
的连续函数，如果在 (a,b) 内某点 x 处函数 f (x) 可
导，且 f ′( x) ≠ 0，则其反函数 x = φ[ y] 在对应的点
2)、在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的。函数由里到外逐层复合，求导时由外到里逐层求导。注意一定要到底，不要遗漏。
2
2011-11-7
三.反函数的导数
β 是 x = f (y) y 的图形切线与y 轴正向的夹角.

复合函数求导公式

复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。

复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。

二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。

链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。

三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。

解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。

根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。

【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。

解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。

2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。

【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。

解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。

根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。