〖中考零距离-新课标〗2018年江西省萍乡市中考数学第二次模拟试题及答案解析

2018年江西省萍乡市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．﹣2016的倒数是（）A．2016 B．2016 C．D．2．如图所示几何体的俯视图是（）A． B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．2a（3a﹣1）=6a3﹣1 C．（3a2）2=6a4D．2a+3a=5a4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°5．如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形6．如图，在△ABC中，点E在AC上，点G在BC上，连接EG，AE=EG=5，过点E作ED⊥AB，垂足为D，过点G作GF⊥AC，垂足为F，此时恰有DE=GF=4．若BG=2，则sinB的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北，据统计，2015年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为．8．函数y=的自变量x取值范围是．9．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为．10．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为．11．如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A，B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）（）﹣1﹣+（5﹣π）0+6tan60°．（2）如果k是数据﹣3，5，﹣1，﹣2，8中的中位数，求关于x的方程+=1的解．14．先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．15．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC边上取一点E，使BE=4，连结AE，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）求四边形AEFD的两条对角线的长．16．请你按照下列要求用无刻度的直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，请你作一条直线（但不过A、B、C、D四点）将平行四边形的面积平分；（2）如图2，在平行四边形ABCD中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．17．某地区在一次九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解答题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查从全区抽取了份学生试卷；扇形统计图中a= ，b= ；（2）补全条形统计图；（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解答题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）19．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：=1.4，=1.7，=2.4）．20．在一次徒步活动中，有甲、乙两支徒步队伍．队伍甲由A地步行到B地后按原路返回，队伍乙由A地步行经B地继续前行到C地后按原路返回，甲、乙两支队伍同时出发．设步行时间为x（分钟），甲、乙两支队伍距B地的距离为y1（千米）和y2（千米）．（甲、乙两队始终保持匀速运动）图中的折线分别表示y1、y2与x之间的函数关系，请你结合所给的信息回答下列问题：（1）A、B两地之间的距离为千米，B、C两地之间的距离为千米；（2）求队伍乙由A地出发首次到达B地所用的时间，并确定线段MN表示的y2与x的函数关系式；（3）请你直接写出点P的实际意义．21．如图，在平面直角坐标系中，⊙P过原点O和y轴上的点A，点C（1，3）也在⊙P上，A、B两点的坐标分别为（0，2）和（﹣5，0），点P（2，a）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连接BC．（1）求反比例函数的解析式．（2）探究以下两个论断的正确性：①直线OP∥BC；②BC与⊙P相切．五、（本大题共1小题，共10分）22．如图，二次函数y=kx2﹣3kx﹣4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．（1）求点A坐标和抛物线的解析式；（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D 作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．六、（本大题共1小题，共12分）23．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连结EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．﹣2016的倒数是（）A．2016 B．2016 C．D．【考点】倒数．【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2016的倒数是，故选D2．如图所示几何体的俯视图是（）A． B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据几何体确定出俯视图即可．【解答】解：根据题意得：几何体的俯视图为，故选C3．下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6 B．2a（3a﹣1）=6a3﹣1 C．（3a2）2=6a4D．2a+3a=5a【考点】单项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；B、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、a3•a2=a5，本选项错误；B、2a（3a﹣1）=6a2﹣2a，本选项错误；C、（3a2）2=9a4，本选项错误；D、2a+3a=5a，本选项正确，故选：D4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°【考点】平行线的性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选：A．5．如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可．【解答】解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，由垂径定理得：DM=DE，KQ=KH，FN=FG，∵DE=FG=HK，∴DM=KQ=FN，∵OD=OK=OF，∴由勾股定理得：OM=ON=OQ，即O到三角形ABC三边的距离相等，∴O是△ABC的内心，故选A．6．如图，在△ABC中，点E在AC上，点G在BC上，连接EG，AE=EG=5，过点E作ED⊥AB，垂足为D，过点G作GF⊥AC，垂足为F，此时恰有DE=GF=4．若BG=2，则sinB的值为（）A．B．C．D．【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【分析】首先证明Rt△ADE≌Rt△EFG，推出∠DEG为直角；然后过点G作GH⊥AB于点H，则四边形DEGH为矩形；最后在Rt△BGH中，利用三角函数定义求出sinB的值．【解答】解：在Rt△ADE与Rt△EFG中，∴Rt△ADE≌Rt△EFG（HL）．∴∠A=∠GEF．∵∠A+∠AED=90°，∴∠GEF+∠AED=90°，∴∠DEG=90°．如右图，过点G作GH⊥AB于点H，则四边形DEGH为矩形，∴GH=DE=4．在Rt△BGH中，sinB===．故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北，据统计，2015年“快的打车”账户流水总金额达到47.3亿元，47.3亿用科学记数法表示为 4.73×109．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：47.3亿=4.73×109，故答案为：4.73×109．8．函数y=的自变量x取值范围是x≤3 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：3﹣x≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．9．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为﹣1＜m＜3 ．【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，可得m﹣3＜0，m+1＞0，求不等式组的解即可【解答】解：∵点在第二象限，∴点的横坐标是负数，纵坐标是正数，即：，解得：﹣1＜m＜3，故答案为：﹣1＜m＜3．10．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为45°．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．【解答】解：连接AC．根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=，∵+=，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故答案为：45°．11．如图，⊙O的直径AB=8，P是圆上任一点（A，B除外），∠APB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是4．【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．【分析】由于PC平分∠APB，易得，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由于M、N是AC、BC的中点，因此MN是△ABC的中位线，根据平行线分线段成比例定理可得：OD=CD=OC=2．连接OE，可在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．【解答】解：∵PC是∠APB的角平分线，∴∠APC=∠CPB，∴弧AC=弧BC；∴AC=BC；∵AB是直径，∴∠ACB=90°．即△ABC是等腰直角三角形．连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；∵M、N是AC、BC的中点，∴MN∥AB；∴OC ⊥EF ，OD=OC=2．连接OE ，根据勾股定理，得：DE=2，EF=2ED=4．故答案为：4．12．如图，平面直角坐标系中，已知点A （4，0）和点B （0，3），点C 是AB 的中点，点P 在折线AOB 上，直线CP 截△AOB ，所得的三角形与△AOB 相似，那么点P 的坐标是 （0，），（2，0），（，0） ．【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】分类讨论：当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA ，易得P 点坐标为（0，）；当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO ，易得P 点坐标为（2，0）；当PC ⊥AB 时，如图，由于∠CAP=∠OAB ，则Rt △APC ∽Rt △ABC ，得到=，再计算出AB 、AC ，则可利用比例式计算出AP ，于是可得到OP 的长，从而得到P 点坐标．【解答】解：当PC ∥OA 时，△BPC ∽△BOA ，由点C 是AB 的中点，所以P 为OB 的中点，此时P 点坐标为（0，）；当PC ∥OB 时，△ACP ∽△ABO ，由点C 是AB 的中点，所以P 为OA 的中点，此时P 点坐标为（2，0）；当PC ⊥AB 时，如图，∵∠CAP=∠OAB ，∴Rt △APC ∽Rt △ABC ，∴=，∵点A （4，0）和点B （0，3），∴AB==5，∵点C 是AB 的中点，∴AC=，∴=，∴AP=，∴OP=OA﹣AP=4﹣=，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．故答案为（0，），（2，0），（，0）．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）（）﹣1﹣+（5﹣π）0+6tan60°．（2）如果k是数据﹣3，5，﹣1，﹣2，8中的中位数，求关于x的方程+=1的解．【考点】解分式方程；实数的运算；中位数．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出数据的中位数确定出k的值，代入计算即可求出解．【解答】解：（1）原式=4﹣3+1+6=5+3；（2）已知数据排列为﹣3，﹣2，﹣1，5，8，得到中位数k=﹣1，原方程变为+=1，方程两边都乘以（x﹣2），得1﹣x+1=x﹣2，解得：x=2，经检验：x=2为原方程的增根，原方程式无解．14．先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．【考点】分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=，当x=2时，原式=4．15．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=3，在BC边上取一点E，使BE=4，连结AE，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCF的位置，拼成四边形AEFD．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）求四边形AEFD的两条对角线的长．【考点】矩形的性质；菱形的判定；平移的性质．【分析】（1）根据平移的性质得到AE∥DF，AE=DF，则由此判定四边形AEFD是平行四边形；然后由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得结论；（2）根据勾股定理，可得答案．【解答】（1）证明：由平移的性质得：AE∥DF，AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠DCE=90°，∴AE===5=AD，∴四边形AEFD是菱形（2）解：连结DE、AF，如图所示：在直角△ABF中，BF=BE+EF=4+5=9，由勾股定理得到：AF===3，在直角△DCE中，CE=BC﹣BE=5﹣4=1，由勾股定理得到：DE===．16．请你按照下列要求用无刻度的直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，请你作一条直线（但不过A、B、C、D四点）将平行四边形的面积平分；（2）如图2，在平行四边形ABCD中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．【分析】（1）先画出平行四边形的对角线的交点O，然后过点O任意作直线l即可；（2）先分别画出矩形和平行四边形的对角线的交点M和N，则直线MN满足条件．【解答】解：（1）如图1，直线l为所作；（2）如图2，直线MN为所作．17．某地区在一次九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解答题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查从全区抽取了240 份学生试卷；扇形统计图中a= 25 ，b= 20 ；（2）补全条形统计图；（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解答题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用得0分24人对应的分率是10%用除法求得抽取学生试卷数，再求得3分试卷数量，进一步求得3分和8分试卷数量占总数的分率得出a、b的数值即可；（2）利用（1）中的数据补全条形统计图；（3）利用加权平均数的计算方法得出平均得分，利用所占总数的百分数得出得8分的有多少名考生．【解答】解：（1）24÷10%=240份，240﹣24﹣108﹣48=60份，60÷240=25%，48÷240=20%，抽取了240份学生试卷；扇形统计图中a=25，b=20；（2）如图：（3）0×10%+3×25%+5×45%+8×20%=4.6分，4500×20%=900名．答：这道8分解答题的平均得分是4.6分；得8分的有900名考生．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率则为×=．（2）画出树形图，找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率．【解答】解：（1）答：P （恰好是A ，a ）的概率是=； （2）依题意画树状图如下：孩子家长ab ac bcAB AB ，ab AB ，ac AB，bcAC AC ，ab AC ，ac AC ，bcBC BC ，ab BC ，ac BC ，bc共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB ，ab ），（ AC ，ac ），（ BC ，bc ）3种，故恰好是两对家庭成员的概率是P==．19．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据： =1.4， =1.7， =2.4）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】本题可通过作辅助线构造直角三角形来解决问题，（1）如果延长BA 交EF 于点G ，那么BG ⊥EF ，∠CAE=180°﹣∠BAC ﹣∠EAG ，∠BAC 的度数以及确定，只要求出∠GAE 即可．直角三角形GAE 中∠E 的度数已知，那么∠EAG 的度数就能求出来了，∠CAE 便可求出．（2）求树折断前的高度，就是求AC 和CD 的长，如果过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD 和ACH 便可求出AD 、CD 的值．【解答】解：（1）延长BA 交EF 于点G ．在Rt △AGE 中，∠E=23°，∴∠GAE=67°．又∵∠BAC=38°，∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ．在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．sin∠ADC=，∴AH=2．在Rt△ACH中，∵∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，CH=AH=2，∴AC=2，CH=AH=2．∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．20．在一次徒步活动中，有甲、乙两支徒步队伍．队伍甲由A地步行到B地后按原路返回，队伍乙由A地步行经B地继续前行到C地后按原路返回，甲、乙两支队伍同时出发．设步行时间为x（分钟），甲、乙两支队伍距B地的距离为y1（千米）和y2（千米）．（甲、乙两队始终保持匀速运动）图中的折线分别表示y1、y2与x之间的函数关系，请你结合所给的信息回答下列问题：（1）A、B两地之间的距离为 5 千米，B、C两地之间的距离为 1 千米；（2）求队伍乙由A地出发首次到达B地所用的时间，并确定线段MN表示的y2与x的函数关系式；（3）请你直接写出点P的实际意义．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）当x=0时，y的值即为A、B两地间的距离，观察队伍乙的运动图象可知线段MN段为队伍乙从B地到C地段的函数图象，由此可得出B、C两地间的距离；（2）根据队伍乙的运动为匀速运动可根据路程比等于时间比来求出点M的坐标，设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），再由M、N点的坐标利用待定系数法求出线段MN的解析式；（3）设队伍甲从A地到B地运动过程中离B地距离y与运动时间x之间的函数解析式为y=mx+n（m≠0），由点（0，5）、（60，0）利用待定系数法即可求出m、n的值，再令x﹣5=﹣x+5，求出交点P的坐标，结合坐标系中点的坐标意义即可解决问题．【解答】解：（1）当x=0时，y=5，∴A、B两地之间的距离为5千米；观察队伍乙的运动图象可知，B、C两地之间的距离为1千米．故答案为：5；1．（2）乙队伍60分钟走6千米，走5千米用时分钟，∴M（50，0），N（60，1），设直线MN的解析式为y=kx+b（k≠0），则有，解得：．∴线段MN表示的y2与x的函数解析式为y2=x﹣5（50≤x≤60）．（3）设队伍甲从A地到B地运动过程中离B地距离y与运动时间x之间的函数解析式为y=mx+n（m≠0），则点（0，5）、（60，0）在该函数图象上，∴有，解得：．∴当0≤x≤60时，队伍甲的运动函数解析式为y=﹣x+5．令x﹣5=﹣x+5，解得：x=，将x=代入到y=﹣x+5中得：y=．∴点P的意义为：当x=分钟时，甲乙距B地都为千米．21．如图，在平面直角坐标系中，⊙P过原点O和y轴上的点A，点C（1，3）也在⊙P上，A、B两点的坐标分别为（0，2）和（﹣5，0），点P（2，a）在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，连接BC．（1）求反比例函数的解析式．（2）探究以下两个论断的正确性：①直线OP∥BC；②BC与⊙P相切．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）首先过点P作PQ⊥y轴于点Q，由垂径定理知：点Q为AO中点，则可求得点P的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式；（2）①首先作PN⊥x轴于点N，设BC交y轴于点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，则可证得∠DBO=∠PON，则可得OP∥BC．②首先连接CP并延长交x轴于点E，作CM⊥x轴于点M，则有CM∥PN，可得△CME ∽△PNE，继而证得△BDO∽△BEC，可得∠BCE=∠BOD=90°，即可得BC与⊙P相切．【解答】解：（1）过点P作PQ⊥y轴于点Q，由垂径定理知：点Q为AO中点．∵A（0，2），∴OA=2，即有OQ=1，∴P（2，1）．把x=2，y=1代入中，得k=2．∴反比例函数的解析式为．（2）①作PN⊥x轴于点N，设BC交y轴于点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，据题意可得，解得，∴直线BC的解析式为．令x=0，有．∴，即．∵OB=5，ON=2，PN=1，∴，∴∠DBO=∠PON，∴OP∥BC．②连接CP并延长交x轴于点E，作CM⊥x轴于点M，则有CM∥PN，∴△CME∽△PNE，∴．又∵C（1，3），∴CM=2，OM=1，∴MN=1．即，得，∴而由勾股定理可求得，，∴，∵∠CBE是公共角，∴△BDO∽△BEC，∴∠BCE=∠BOD=90°，∴BC与⊙P相切．五、（本大题共1小题，共10分）22．如图，二次函数y=kx2﹣3kx﹣4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．（1）求点A坐标和抛物线的解析式；（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D 作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）只需令y=0就可求出点A、B的坐标，由OC=OA可得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；（2）只需分∠ACP=90°或∠CAP=90°两种情况讨论，就可求出点P的坐标；（3）易证四边形OEDF是矩形，则有EF=OD．要使EF最短，只需OD最短，只需OD ⊥AC，由此可求出DF即y Q，然后只需把y Q代入抛物线的解析式就可解决问题．【解答】解：（1）当y=0时，kx2﹣3kx﹣4k=0∵k≠0，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4∴B（﹣1，0），A（4，0），∵OA=OC，∴C（0，4）；把x=0，y=4代入y=kx2﹣3kx﹣4k，得k=﹣1，则抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；（2）①当∠PCA=90°时，过点P作PM⊥y轴于M，如图1，∴∠MCP+∠ACO=90°．∵∠OAC+∠ACO=90°，∴∠MCP=∠OAC．∵OA=OC，∴∠MCP=∠OAC=45°，∴∠MCP=∠MPC=45°，∴MC=MP．设P（m，﹣m2+3m+4），则PM=CM=m，OM=﹣m2+3m+4，∴m+4=﹣m2+3m+4，解得：m1=0（舍去），m2=2，∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）；②当∠PAC=90°时，过点P作PN⊥y轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，则有PN∥x轴，∴∠FPN=∠OAP．∵∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，∴∠FPN=45°，AO=OF=4，∴PN=NF，设P（n，﹣n2+3n+4），则PN=﹣n，ON=n2﹣3n﹣4，∴﹣n+4=n2﹣3n﹣4，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），∴﹣n2+3n+4=﹣6，即P（﹣2，﹣6）．综上所述：点P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）当点Q的坐标是（，2）或（，2）时，EF最短．提示：如图3，∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°，∴四边形OEDF是矩形，∴EF=OD．∴当线段EF的长度最短时，OD最小，此时OD⊥AC．∵OA=OC，∴∠COD=∠AOD=45°，CD=AD．∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，∴==，∴DF=OC=2，∴y Q=2，解﹣x2+3x+4=2，得x1=，x2=，∴点Q的坐标是（，2）或（，2）．六、（本大题共1小题，共12分）23．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连结EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，连结EG、FG．（1）求证：△AME≌△DMF；（2）在点E的运动过程中，探究：①△EGF的形状是否发生变化，若不变，请判断△EGF的形状，并说明理由；②线段MG的中点H运动的路程最长为多少？（直接写出结果）（3）设AE=x，△EGF的面积为S，求当S=6时，求x的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠EAM=∠FDM=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）①过点G作GH⊥AD于H，通过条件可以证明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，进而得出∠EGM=45°，再由（1）的结论可以得出∠EGF=90°，从而得出结论；②当点E运动到A时，G为BC的中点，当点E运动到B时，点G与C重合，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（3）在Rt△AME中，AE=x，AM=2．根据勾股定理EM2=x2+4，根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠MDF=90°，∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△AME与△DMF中，，∴△AME≌△DMF；（2）①△EGF的形状不发生变化，始终是等腰直角三角形．理由：过点G作GH⊥AD于H，如图2，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形．∴GH=AB=2．∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．∴△AEM≌△HMG．∴ME=MG．∴∠EGM=45°．由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．∵MG⊥EF，∴GE=GF．∴∠EGF=2∠EGM=90°．∴△GEF是等腰直角三角形；②线段MG的中点H运动的路程最长为1，如图3，当点E运动到A时，MG⊥AD，∴MG⊥BC，∴G为BC的中点，当点E运动到B时，点G与C重合，∴CG=BC=2，∴HH′=CG=1，∴线段MG的中点H运动的路程最长为1；（3）在Rt△AME中，AE=x，AM=2．根据勾股定理，得EM2=AE2+AM2=x2+4．S=S△EGF=EF•GM=EM2=x2+4，即x2+4=6．∴x1=，x2=﹣（舍去）．∴当x=时，S=6．2016年6月5日。