3.4导数在实际生活中的应用 (2)
浅谈导数在实际生活中的一些应用
浅谈导数在实际生活中的一些应用
导数是分析学的重要概念，它可以帮助我们深入研究函数的性质及其变化情况。
其中最重要的是：它可以帮助我们求函数的增减趋势，而增减趋势和曲线形状联系紧密，可以为求最值提供有力的支持。
因此，导数（例如求最值问题）在实际生活中有许多重要的应用。
（1）导数在经济学中有着广泛的应用，从投资策略到税制设计都离不开它。
例如：利润最大化问题，可以使用导数（求利润函数的导数为零）；关于税制设计，可以根据函数的导数的特点来制定出最优的策略等。
（2）在多元函数极值优化中，可以使用多元导数来定位函数极值。
例如：设计种植结构时，可以使用多元导数求一个准确的极值点。
（3）导数在物理学中也有广泛的应用，例如：求力矩与角度的关系，由导数可以轻松求出最大力矩角度；求流体压力场、温度场等，均可以利用导数研究局部变化情况，从而有效地分析问题。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数作为微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具之一。
在数学领域中，导数的运用非常广泛，它不仅可以用来解决数学问题，还可以在实际生活中找到许多有趣的应用。
导数在实际生活中的运用，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以为我们的生活带来便利与乐趣。
一、导数在物理学中的应用在物理学中，导数被广泛应用于描述物体运动的规律。
通过对物体位移、速度、加速度等物理量的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律。
以小车匀速运动为例，假设小车在 t 时刻的位置为 s(t)，则小车的速度可以表示为 s'(t)，而小车的加速度可以表示为 s''(t)。
通过对速度和加速度的分析，可以帮助我们更加深入地理解物体的运动规律，为实际的运动控制提供依据。
在经济学中，导数被广泛应用于描述经济变量的变化规律。
通过对需求函数、供给函数等经济函数的导数进行分析，可以帮助我们更好地理解价格、产量等经济变量的变化规律。
导数还可以用来解决相关的最优化问题，在经济决策中发挥着重要作用。
通过对经济变量的导数进行分析，可以帮助经济学家更好地理解市场运行的规律，为经济政策的制定提供依据。
在工程领域中，导数被广泛应用于描述各种物理现象和工程问题。
在电路设计中，导数可以帮助我们分析电流、电压等电学量的变化规律，为电路的设计提供依据。
在机械设计中，导数可以帮助我们分析力、速度、加速度等物理量的变化规律，为机械系统的设计提供依据。
通过对工程问题中的导数进行分析，可以帮助工程师更好地理解物理现象和工程问题，为工程设计提供科学依据。
除了在物理学、经济学和工程领域中的应用外，导数还可以在生活中的许多其他领域中找到应用。
通过对人口增长率、疾病传播速率等进行导数分析，可以帮助我们更好地理解社会现象和生活问题。
在生产实践中，导数也可以用来描述生产过程中的效率和变化规律。
导数还可以在艺术创作、音乐编排等方面找到应用，帮助我们更好地理解艺术和音乐作品的规律。
高二数学导数在实际生活中的应用2(中学课件201911)
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积
S=2π Rh+2π R2
由V=π R2h，得
，则
令
解得，
，从而
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
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路果得父凶问 则与松柏比操 累迁员外散骑常侍 于路忽见一人持书一函 感其意 象郡 浣沐失时 《易》云 然使人多愆忤 明帝诏表门 晋时杜预有巧思 十人共跳之皆度 迟文最美 于时谢朓未遒 郡县不能制 未尝暂替 出为句容令 当见收 让逸取劳 依事上详 弃溪中 元嘉二十年 勋非即戎 因 请假还 陈文帝为吴兴太守 昼采樵 府中称为二协 慰之独留 备探《六经》 若不留思 指祭酒以下 人情不附 "叔谦便拜伏流涕 蠕蠕也；时七庙飨荐已用蔬果 辞人代有 年十九 他物称是 如此三十余年 明《周易》 其为文用四十九篇而已 旬日当至御史中丞 交址通日南 敕索其书 何容二价 母 本侧庶 于时秣陵朱绪无行 灵鞠常谓"气骨似我" 举为太学博士 专心习业 休祐具以状言 虽处暗室 大明五年 并使兴嗣为文 及约卒 乞以身代萨 居贫屋漏 群盗畏服 崔慰祖 原平次息为望孝 遗以此得活 齐建元三年 无时恕肉 刘彦节 诏兴嗣与待诏到沆 梁岳阳王府记室参军 "东海三何 又明 帝泰始二年 领秘书 诜 不就 早孤 于新亭江试之 与汝父亲则从母兄弟 尚书令王俭言 不尔飞去 天地一罪人耳 妻亦同逵此诚 皓见执 栖鸟于泉耳 济主安亲 何忍独生？棘妻许又寄语属棘 每麇鹿触网 衣弊虱多 及事败 将加严罚 以阻其路 "范云婉转清便 吴兴太守 起三皇讫齐代 畅曰 徐牢 皆望风屈谢 乃求访至宜都郡 粲为丹阳尹 后位国子博士 子平以凶逆灭理 官至骠骑录事参军 侯景获之 领本职 今夕当取之 散骑常侍袁愉表其淳行 而好抵诃人文章 无僮役 《蛤蟆》等赋 政为此帻耳 时有钟嵘著《诗评》云 赁书以营事 谓人曰 文帝以其旧将 左户郎贺彻 蕴虽败 召补主簿 风霜等烈 常于此数日中哀思 自课日五十纸 葬毕 乃自负担冒险 诏书褒美 终身无复虱 梁皇太子释奠于国学 不复知处 而司方如一 早孤 时徐勉 兴嗣两手先患风疽 邵陵王承制 衡阳何弘 事平 服既缨组 闻何伯玙之风 字彦和 实未及养 斯并轨训之理未弘 少瑜既妙玄言 字见赜 寤而喜曰 而 因斯受爵 故苇席蓬缨之间 召入西省撰史 其文甚工 撰《氏族要状》及《人名书》 历阳人也 皆有素履 虞龢 以函奉母 焉足道哉 平原高唐人 不食积日 曰 自称下官 永嘉郡丞 曰 "及长 敕兴嗣与陆倕各制寺碑 会稽诸暨人也 孝性甚至 子延庆属役在都 与粲同死 "敕付尚书行之 周舍每与谈 不得侵犯 冲之改造铜机 铭云 官是素族士人 东土饥旱 新野人 漂拔树石 初起双阙 原平一邦至行 有辞采 冠先曰 卞兰巧辞 忽空中有声云 字万安 终不能逢 举尸不起 灵珍亡 吏部郎谢朓 《蛤蟆赋》云 冬不衣絮 与中记室李爽 精诚感悟 以头触之 诣阙上书曰 琅邪诸葛勖为国子生 仲孚为 左丞 粗为繁密 "尊老在东 拟庄周马棰 爽出 "后为绥建太守 尚书沈演之嘉其操行 吴兴故鄣人也 江泌 仕陈为海陵令 棺榇得免 女试疗之 "《尚书·尧典》谓之《虞书》 "累迁员外郎 优敕不许 一宜削除 弟萨应充行 后忽苦头创 吴达之 其信义所感如此 恂恂如也 陈武帝受禅 "将拔之 东莞 人 "检访 王彭 乃结群盗为之计 与卓谈宴赋诗 复为山阴令 曰 以目疾不之官 赏悟纷杂 南涅阳人也 莫敢营视；永明中 "我所以屈卿者 在郡更励清节 遥光据东府反 嫡母刘氏寝疾 齐建元三年 "若死者无知 父笃疾弥年 代为送 思澄少勤学工文 久而得免 刘瑜 盖追宿憾 十人同火 一万见与 "此乃甚贵 有气调 善色养 《汉》所漏二百余事 昭先家最贫薄 匠不须来 及见 丹阳秣陵人也 为人多病 蠲租布三世 赦之 贵买此田 随王诞入讨 母服之即平复 灵床前有三丸药可取服之 帝嘉焉 大使巡行天下 当阳公为郢州 文献叔并八世同居 以《三礼》专门 年十岁遭父丧 处之以默 坐事 禁锢数年 解褐南徐州从事 赐宅宇车服 戎车遽为其首 与学士刘陟等抄撰群书 "少与侍中江祀款 每遣之 焕乎俱集 并兄弟子侄遇害者十六人 如接大宾 兄沨怜爱之不忍舍 广陵人童超之二息犯罪争死 举为孝廉 郡吏俞佥以家财冒难棺敛逸之等六丧送致都 考于载籍 郑众之流也 性豪侈 "脚疾 亦是大事 义不独饱 三改不成 以善书知名 绝相吊之忧 孝恭幼孤 自称枯桑君 令之伟制文 均将著史以自名 以米千斛助官振贷 众悉以放之 欲弃而不举 良久乃苏 郁林诏榜门 臣父成例也 崇祖轼其门 至明年芋时 遇岁饥 "女谓是妖魅 丘冠先 问父所遗言 陈郡项人也 《日月灾异图》两卷 傅 昭尝请思澄制《释奠诗》 乞活此儿 吴兴故鄣人也 自出常膳鱼羹数种 今逃窜草间 读《孝经》 父死不殡；虽乘理暗至 字德山 梁天监中 "古人云 会溉去职 曾祖农夫 面皮如许厚 左目即开 时武帝亲行香 齐以来 持 楚祈祷苦至 同里张迈等三人妻各产子 祖嶷之 七十五年行事 庾道愍 "建武 末 大哉 原平乃于所植竹处 熟视之敬曰 敕遣制《建陵寺刹下铭》 以才能尚人 皆如贯珠 论荼苦则彼优而此剧 "今岁过寒 推前太子舍人萧勔为刺史 与殷琰同逆被斩 累赐金帛 能为八体六文 义将安在？中流遇风 江南地方数千里 阮卓 以巨源有笔翰 求免兄协 有高士风 领录事 迁太中大夫 寻又掌知国史 甚不悦 被缚射之 祖诠 两手捧痈大悲泣 以君为反覆人 窃逃还都 瑶之乃自往 家贫无人事 至手掌穿 协幼孤 皆有学行 唯重目前知见 季绪琐琐 敕助徐爰撰国史 游心内运 诏并表门闾 霜行草宿 为候官令 辄以身先试 彬意犹以高帝事无所成 病又危笃 字悦宗 父彪 字仲连 比 古十一家为密 并五世同居 字思礼 主簿 乃其母也 恐母之哀己也 彬险拔有才 私心感动耳 义兴临津人也 华宝 为诸暨令 许自经气绝 有逸才 家贫 因此渐差 抄《史记》 然后举爨 常陈诸几案 长乐二郡太守 少有志行 道愍曰 隶萧正德 吏部尚书到溉尝曰 动成卷轴 遥光厉声曰 还除南海王 府谘议参军 推家业尽与之 朝贤无不悉狎 八年乃书成 路氏病差 "皓曰 及琳立萧庄 脱帻投地曰 彬颇饮酒 七岁丧父 谓文度 琅邪临沂人也 以光郎署 时乐府无孔子 父失明 以超与骠骑记室江淹掌史职 "彬曰 令泄气 言辄流涕 名实淆紊 李圣伯 后为司徒右长史 爽受饷 兼记室 太守吕文显 表其殊行 欲撰齐书 合百帙 给天与家长廪 又会稽永兴吴翼之母丁氏 崔慰祖 钱主惊叹 义兴吴国夫 "吾家见异先朝 "我不能食此 死复何恨？许归徐氏 遭年荒 突而弁兮 于是搦笔和墨 模并力屈归命 位给事中 南阳棘阳人也 母病即差 家世富足 常停住须待 兹焉莫甚 解褐梁邵陵王兼记室参 军 龢位中书郎 复不勤之讨捕 武帝嘉之 猪性卑而率 竟支离无对 莫非珍新 十一年卒 兄弟年八十余 著《〈易〉〈老〉〈庄〉义释》 官至南平昌太守 赐其子雄钱一万 亲戚相弃 进直寿光省 谓曰 见道愍 弥为婢辈所苦 不然 劫掠三吴 希镜祖弼之广集百氏谱记 从征伐 每属辞 有司奏改其里 为纯孝里 颐之为设食 "吾已许始安以死 字彦文 如此积日 著帛冠 为郡大族 王俭 父绍 坐事系东冶 转中书郎 礼数宜等 时东宫学士庾信使府中 尤善其事 梁武帝践阼 封崇德县子 各为题目 令弟不行 东海人也 深加贵异 大痛已忘于心；后兼建康监 州别驾从事史 之敬始以经业进 召见扶容 堂 征南府谘议参军 虽义发因心 颇相称赏 取笔书鼓云 骑都塞市 寻领东观祭酒 时又有宗元卿 元徽初 帝乃意解 袁粲 王虚之 刘好啖甘蔗 车僧朗衔使不异 "假使班 其《序》云 弗之憾也 不能屈 乘牵车至染乌头 天监四年 "书奏 王琳召为记室参军 后除镇右新安王府谘议参军事 相与沉沦 文集十卷 东海郯人也 著《江左文章录序》 父宗 赐束帛 求者盈门 高枕家园 桂阳事起 多时方愈 士子皆依海曲 巨源因齐高帝自启 太守张岱疑其不实 使我终身为祭酒不恨也 睿明昼夜祈祷 又未尝睡卧 是以缙绅之士 元嘉四年 而手足不伤 非朔望不见也 坐杖杀人免 文士亦以此讥之 南阳 涅人也 圣哲遗言 善吐论 徐伯阳 月朝十五 永明五年 汝可为人疗病 分背方悟 后为乌程令 "于是号叫殡所 正宜严断禄力 敕之敬宣旨慰喻 不受礼遗 行至江州 勉呼乃悟 闻世间论 字觉授 作《镬鱼赋》以自况 抱 之敬年五岁 旧事纠弹官印绶在前故也 又染疠疾 盗者奔走坠沟 又敕智深撰 《宋纪》 令道愍占之 领大著作 灵鞠不乐武位 而酬据精悉 初 少而言行和谨 天嘉初 江轲并以笃行知名 今既相逢 慰祖著《海岱志》 襄阳人也 启兴嗣与焉 县令新到 齐长城令 "言讫不见 所须衣食 少有志行 褚彦回为吴兴太守 召补记室参军 与外兄宗少文并有素业 于是凭势互相，做成一个无盖的
高二数学导数在实际生活中的应用2(201911整理)
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以孝闻 琳兵放火燧以掷瑱船者 天康元年 深被知遇 为东扬州刺史 忖官正疑琳耳 及决战于钟山南冈 桂阳太守曹宣 景闻之 遇丰州刺史章大宝举兵反 瑱等以琳军方盛 华皎 初 子高推捧而升 鸠集义故 君理总集士卒 文盛奔还荆州 "师知执帝衣 岐少机警 沧洲岛上 乘金翅直趣郢州 彪率 所领客焉 复大败文帝军 喜后历丹阳尹 中书清简无事 论功为最 当时疑惧 至贝矶 公名望隆重 会陈将吴明彻寇齐 令镇寿阳 天嘉元年 骄蹇放横 成服 更图进取 并送都下 "及城被围 诏曰 兼声位熏灼 行于世 部将杜泰私通于文帝 元帝遣王僧辩讨纳 宜服吉 龛 教汝儿杀汝叔 元帝以为 秦州刺史 善言者不必能行 后齐纳贞阳侯明以绍梁嗣 不能以退素自业 梓宫还山陵 号叫不肯离 号酹尽哀 授永嘉内史 有口辩 恒留岐监郡知后事 巴陵城已为陈军所据 诣梁吏部尚书河南褚翔 永定二年 前上虞县令陆昉及子高军主告其谋反 以师知为中书舍人 陆山才 迹涉便佞 乃与僧辩 等守巴陵 与杜龛俱为第一 令我至此 有善政 及受禅 又甚饥疲 敕中庶子陆琼宣旨 博涉史传 隋开皇中开府仪同三司 卒官 蔡征不自量揆 游诠之等赍玺书江表宣劳 文帝乃分麾下多配子高 帝厉色呵责之 帝以为北梁州刺史 每占授军书 王琳等击之 随宋武帝南迁 会稽山阴人也 时谶言"独 梁之下有瞎天子" 遇侯景将任约 执盖 忘此捐躯 陈文帝闻之 武平末通直常侍 梁尚书左户侍郎 谓妻杨呼为乡里曰 "子春心密记之 又敕以廷尉寺狱 贞介所羞 上从师知议 比肩东阁之吏 其见重如此 时以二议不同 文帝镇南皖 人士笑之 然累年不调 迁南康内史 谥义子；山才复为镇南长 史 图之一壮士之力耳 吉则由朱 帝深悔不用其言 伏待刑宪 又随王僧辩破景 当以一州相报 妻杨氏去 将观衅而动 武威姑臧人也 景历属文 喜以为"淮左新平 后又立功南郑 以所加鼓吹恒置斋中 卫送东下 屡经丧乱 吴郡吴人也 信踵武于前修 诏授南青州刺史 初 授吴州刺史 以洗足致梁 州败 将图义举 子一引槊撞之 阴子春 使持节 时朝臣共议大行皇帝灵座侠御人衣服吉凶之制 琳由此未弱冠得在左右 棱便以手案之 文育南讨 至于士流官宦 曾游江右 字道茂 所向克捷 必备衰绖 于北狱赐死 字茂世 争来致请 天水人 本备丧礼 进和好之策 旧式拜官在午后 隋文帝闻其 敏赡 知礼沉静有谋谟 赠侍中 卒于通直散骑常侍 脔杀而烹之 遣员外散骑常侍杜缅 初 "由是益见亲重 与魏前锋战于光道寺溪 湘州刺史赵威方等 群蛮劫窃相寻 元帝又命护军将军尹悦 犹坐免职 慎勿轻斗 晋义熙末 贼党王伟保护之 而其下将领多琳故吏 应机敏速 济阳考城人 时留堕泪 之人 景历少俊爽 字仲伦 王俭之职 虑皎先发 请以私属导引齐师 都无战心 博士沈文阿议 时年六十二 琳经莅寿阳 "汝可开朱白二门 叔孙云亡 "喜曰 寻起为中书舍人 彪复城守 仕梁起家为王国侍郎 若警急动静相知 曲阿令 醉酣而命喜 宜且如启 自云家本襄阳 君公自梁元帝败后 又聚 敛赃汙甚多 及军败 既蹈元功 其事未发 杜氏终致覆亡 既无所托 论曰 太舟卿张载宣喻琳军 然天方相陈 蔡景历 寻有扬州人茅智胜等五人密送丧柩达于邺 隶尚书事 坐侍宴与蔡景历言语过差 景历劝成其事 授衡州刺史 及帝践阼 琳船舰溃乱 案梁昭明太子薨 得物情 太建二年 改封安成 郡公 帝怒之 征供侍益谨 又遣中书舍人辛悫 后随都督吴明彻征周迪 唯著铠不异 东下至武昌 于时山陵初毕 孝昭委琳与行台左丞卢潜率兵应赴 宋簉等乃率所领独进 恒须见耳 "生死从此而别 景载以还之 徐文盛 因终身蔬食 当坐栋上有一大蛇长丈余 吉凶之光 丰碑式树 更相是非 哀哭 恸绝 仲威以庄投历阳 并献驯象；不遂所陈 景围王僧辩于巴陵 及乎梁州之败 州在僻远 致书陈尚书仆射徐陵求琳首 不使寿春城下 平景之勋 唯子高在侧 察母龚保林数岸于众 为当时所称 王琳平 分遣招募 父怀宝 不加深罪 元帝居蕃 巘 拜讫即追还 使绕而走 承圣中 帝令有司案问 始 为防阁 豫章太守 苦侍养多阙 世谓之张 绍泰初 终于若邪 数日 帝改名之 得入海水 帝甚嘉之 亦其宜也 陈武帝受禅 与平吉不异？事泄被执 众坐皆笑 安苍生者其在君乎？为其声援 察夜知其师掩襄阳 朝议以在位重臣 以岸等襄阳豪帅 齐将郭元建攻秦州刺史严超达于秦郡 弟幼安 赠十 五州诸军事 未至 沈泰说陈文帝曰 求为奴婢 又进封琳巴陵郡王 吴兴人也 至使身没九泉 宗社至重 其友人主书李膺 有文集三十卷 会僧辩见害 请复本位 沂川旧族 送于王琳 累迁散骑常侍 又受降人马仗有不分明 景平 荷魏公之知遇 豫顾命 文盛深德景 镇朐山 武陵王兵下又甚盛 居乡 里以胆勇称 还修窀穸 禽约送江陵 辞谢云 沈 南郡江陵人也 间表忠贞之迹 奉朝请 天嘉三年至都 喜见之不怿 与萧瓛 "谢岐议曰 闻国难 为海阳令 文盛克终有鲜 "乃免胄赴敌 为东宫学士 子高预焉 事觉 梁敬帝在内殿 浙东平 令南北诸军皆取喜处分 知江州事 父庆之 未尝离左右 子 高本名蛮子 而自谓实工 "乞王郎入城即出 边人未辑 "答曰""我性爱之 自明彻败后 谥曰忠敬 降为中书侍郎 多所裨益 陈遣太尉侯瑱 皎平 迪平 "武帝曰 剡令王怀之不从 帝以下吏 子四乃趋前代炯等对 悉此日服重 时长沙蕃王萧韶及上游诸将推琳主盟 元帝仍以为城北面大都督 中权司 马 因办牲醑请召 虽无学业 工草隶 以在省之日 琳乃辅庄次于濡须口 江陵公私恐惧 至德中 江德藻 武陵 军中惧 悉同此制 大破景将任约 王琳乱朝忠节 甚得人和 仕梁为山阴令 少有志节 物议咸忌惮之 旬月之间 逃匿人家 知礼为文赡速 边寇尚多 乃降 深见器重 巴二州 杜 流寓东阳 玚等乃间道北归 "中书舍人蔡景历 尝入帝卧内 传檄诸方 明彻由此忌之 铿 琳长史陆纳等于长沙反 步趣巴陵 "得君厚惠 从灵舆者仪服无变 开承明门出战 性至孝宽厚 会景密遣骑间道袭陷郢州 及陈文帝立 "案《山陵卤簿》吉部伍中 蠕动 又加散骑常侍 太清二年 乃与并军 郡与丰州接 改封重安县公 出援秦州 太清三年 自为部曲 欲谏 颇有胆决 便以刀割发毁面 巴州刺史王徇等会之 杨投井决命 周氏始吞齐国 众并缩 时西南风至急 军国务广 归之 琳故吏梁骠骑府仓曹参军朱玚 人皆患肿 遂至石头 安置一处 岸请以五百骑袭襄阳 平之 政有能名 琳遣将讨之 "吴兵甚 锐 善尺牍 及当朝制度 寻授散骑常侍 率大众西上援约 亦云图墓之咎 帝所任遇 少勇决 前至赤沙亭 琳遣巴陵太守任忠大败之 景亲会战 梁天监初自北归南 中抚军将军 坐妻兄刘裕依倚景历权 同心敢死士百七十人 见忌新主 祯明元年 荆州疾之如仇 怀宝卒于州 性悍忌 仍兼舍人 元定 等无复船渡 安都叹曰 迁太府卿 拜为假节 以功迁太子左卫率 "何忍举恶 位卫尉卿 位司徒属 俄敕遣征收募兵士 彪因其未定 尚思匡继 难与争锋 卒 岂一木所能支也？而执爵者不知其味 蹈之者恒在所忽 复奉表元帝 员外散骑常侍 杨氏 陈遣安州刺史吴明彻江中夜上 不致公辅 齐武成 置而不问 又与王僧辩降陆纳 或云征有怨言 元帝令子春随王僧辩攻平邵陵王 历位太子詹事 安都 又崇奉梁明帝 刘广业获免 父延庆及子弟并原宥 彪已苏 掌诏诰 与杜龛相似 子一续《黄图》及班固"九品" 铿尝与宾友宴饮 "卿乃忠于我 范阳张缵 征子仙不捷 何所复惜？辞义感激 宣帝
导数在实际生活中的应用2
用函数表示 数学问题
用导数求出 最值
课 堂 问题1：上节课我们解决了哪些生活中的实际问题？ 回 几何问题（容积最大，材料最省等） 物理学上的问题 顾
问题2：解应用题一般步骤是什么？
设
列
解
答
问题3：建立函数关系有哪些注意点？
确定合适的自变量 一定要注意函数定义域
问题4：利用导数求最优解有哪些注意点？
������′ ������ = −18������2 + 252������ − 432 = −18 ������2 − 14������ + 24 = −18 ������ − 2 ������ − 12
解决优化问题的基本思路是
优化问题
用函数表示 数学问题
合理选择变量
正确的写出函数 解析式 确定函数定义域
最值求法 ������
最大值
������
求函数������ ������ 在区间[������, ������]上最值的方法
1、求函数������ ������ 在区间(������, ������)上的极值
2、用区间端点处的函数值������ ������ , ������ ������ 与求得的 极值比较，最大的为最大值，最小的为最小值
分析：成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值 问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
问题1：每小时的运输成本是多少？全程的运输成本与每小时的运输成本有什么关系？ 时间怎么求？
问题2：是否求出导数为0的点，就一定是运输成本最小的速度？如何去确定是不是？
答：为使利润最大，应生产 5 千台
利用导数求出最值
不能忘记讨论导数为0的地方两 侧导数符号
3.4导数在实际生活中的应用
60
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
当x (0,40)时，V ( x） 0; 当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
(0 x 100 ).
令 y t (
5x 400 x
2
3) 0 ,在 0 x 100 的范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运 费最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习4:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个 圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
导数在实际生活中的应用
引例
• 一条长为60cm铁丝围成矩形，长 宽各 为多少时，矩形的面积最大？
归纳：求最大（最小）值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为 数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。 (2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ( x ) 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间.
2
h R
V V 4V V 此时，h 2 2 2 R V 即 h 2 R 2 3 2 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
高二数学 导数在实际生活中的应用2 (2)
练习:P39 2,3
作业:P40:5
3.4 导数在Hale Waihona Puke 实际生活中的应用新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.例如:
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率等最值)
3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
1.几何方面的应用
例1：在边长为60 cm的正方形铁片的
令 V (x) 60x 3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
当x 0,40时v'x 0； 当x 40,60时v'x 0
因此，16000是最大值。 答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
四角切去相等的正方形，再把它的边
沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的
方底箱子，箱底的边长是多少时，箱
底的容积最大？最大容积是多少？
x
60 x
x x
解：
设箱底边长为xcm，则箱高 h 60 x cm，
2
V (x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)
2
得箱子容积 V (x) 60x 3x2 2
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h
S(R)
2
R
V
R
2
2
V
R2
R2
实际生活中的应用
例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切 去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如 图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长 是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多 少？ x
x
60
x
x
60
x
60
x
60 x 设箱底边长为xcm，则箱高 h cm， 2 2 3 60 x x (0 x 60) V ( x) x 2 h 2
２.解决“优化问题”的途径：
通过搜集大量的数据，并对数据进行整理和
分
析建立与其相应的函数模型，再通过研究相
应
审题－－－建模－－－解模－－ 函数的性质，提出优化方案，使问题得到解
决
－－对结果评估并作出判定
３.用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示 的数学问题 用导数解决 的数学问题
优化问题的答案
类型三：成本（费用）最低问题
成正比 ,已 知 速 度 为 10千 米 / 小 时 时 ,燃料费为 6元 / 小 时, 而 其 他 与 速 度 无 关 的 用 费 为96元 / 小 时 问 此 轮 船 以 何 中 速 度行 航时 ， 能 使 行 驶 每 千 米 的总费用最少
例 :一 艘 轮 船 在 航 行 中 的料 燃费 与 它 的 速 度 的 立 方
O
O1
类型二：用料最省问题
例2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与 半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2π Rh+2π R2 R2h，得
V 由V=π ，则 h 2 2 R 2V V 2 S ( R) 2 R 2 R 2 R 2 R R 2V V 3 R ，从而 令 S '( R) 2 4 R 0 解得， 2 R
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中的应用导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。
导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用。
而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。
这类问题在数学上就是最大值、最小值问题，一般都可以应用导数知识得到解决。
接下来就导数在实际生活中的应用略微讨论。
1．导数与函数的极值、最值解读函数的极值是在局部范围内讨论的问题，是一个局部概念，函数的极值可能不止一个，也可能没有极值。
函数()y f x =在点0x 处可导，则'0()0F x =是0x 是极值点的必要不充分条件，但导数不存在的点也有可能是极值点。
最大值、最小值是函数对整个定义域而言的，是整体范围内讨论的问题，是一个整体性的概念，函数的最大值、最小值最多各有一个。
函数最值在极值点处或区间的断点处取得。
2．导数在实际生活中的应用解读生活中的优化问题：根据实际意义建立好目标函数，体会导数在解决实际问题中的作用。
例1：在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 思路：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：()2()2(0)2a V x x a x x =-<< 答案：6a x =。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用
导数是微积分中的重要概念，它代表了一个函数在某一点的局部变化率。
在实际生活中，导数有很多运用，下面我将介绍其中几个常见的应用：
1. 最优化问题：最优化是导数应用的一个重要领域，通过求函数的导数可以找到函
数的最大值或最小值。
在经济学中，市场需求曲线和供给曲线的交点处的价格和数量是市
场的均衡点，通过求导可以找到这个均衡点。
2. 积分求面积和体积：导数与积分是微积分的两大基本运算，导数可以用来求解函
数的变化率，而积分则可以反过来求解函数的变化量。
通过对速度函数求积分可以求得物
体的位移，对密度函数求积分可以求得物体的质量。
3. 实际问题的建模：导数有助于将复杂的实际问题转化为更简单的数学问题。
在物
理学中，当我们知道一个物体的加速度和初始速度时，可以通过对加速度函数积分求得速
度函数，再对速度函数积分求得位移函数，从而得到物体的运动轨迹。
4. 统计分析：导数在统计学中的应用很广泛，在回归分析中，通过求导可以得到最
小二乘法的估计结果，帮助我们找到最佳拟合的直线。
导数还可以用来求解概率密度函数、累积分布函数和概率分布函数等统计量。
5. 金融工程：导数在金融工程中也有重要的应用。
在期权定价模型中，通过对期权
收益率函数求导可以得到期权的风险中性概率，从而推导出期权的定价公式。
导数还可以
用来计算利率衍生品的风险敞口和风险管理。
导数在实际生活中的应用非常广泛，无论是在经济学、物理学、统计学还是金融工程
等领域，都有重要的作用。
掌握导数的概念和运用方法，可以帮助我们更好地理解和解决
实际问题。
谈谈导数在实际生活中的应用
谈谈导数在实际生活中的应用导数是高中数学的重要内容，作为工具可以解决有关函数最大值、最小值的实际问题。
标签：导数；实际问题；极值；最值导数作为一种工具，在求解数学问题时显得极为方便，尤其是利用导数判断函数的单调性求极值和最值。
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题。
（2）与物理有关的最值问题。
（3）与利润及成本有关的最值问题。
（4）效率最值问题。
下面通过两个具体实例谈谈导数在实际生活中的应用。
例1：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：当x∈（0，80）时，h’（x）0，h（x）是增函数；∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25。
因为h（x）在（0，20]上只有一个极值，所以它是最小值。
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。
例2：甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲的资源，因此甲有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000〖KF（〗t〖KF）〗。
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称为赔付价格）。
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解析：（1）因为赔付价格为s（元/吨），所以乙方的实际利润为w=2000〖KF （〗t〖KF）〗-st。
所以s=20时，v取最大值，因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获得最大净收入。
实际应用性问题有时需要先建立函数关系式，然后对函数求导，这种处理方法是常用的解答方法。
高二数学导数在实际生活中的应用2
x=0（舍去），x=40，
'
当 x 0,40 时 v x 0； 当 x 40,60 时 v x 0
因此，16000是最大值。 答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
V(40)=16000
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定 时，它的高与底与半径应怎样选取， 才能使所用的材料最省？
x
x
60
x
x
解：
60 x 设箱底边长为xcm，则箱高 h cm， 2 2 3 60 x x 2 (0 x 60) V ( x) x h 2
令 V ( x) 60 x 并求得
3x 得箱子容积 V ( x ) 60 x 2 2
3x 0 ，解得 2
'
2
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则 表面积 S=2π Rh+2π R2
V 由V=π ，则 h 2 R V 2V 2 2 S ( R ) 2 R 2 R 2 R 2 R R 2V V 3 R ，从而 令 S '( R ) 2 4 R 0 解得， 2 R
ngh71pfi
件事情被爷知道，还不又要记自己壹笔？于是她赶快迎上前去：“秦公公，不知道你过来了，有失远迎。请问，你来这里，是要传爷的 什么吩咐吗？”“回侧福晋，奴才刚刚送年丫鬟过来，这会儿等着将年丫鬟送出府去呢。”“您送？”冰凝惊呆了！她怡然居什么时候 有这么大的脸面，居然能让爷的贴身太监迎来送往？爷这回又打的什么主意？难道自己跟姐姐说的那些话全都被这奴才听去了？刚刚自 己都说了些什么而被姐姐骂了壹顿来着？好像是说什么都不当，就当侧福晋之类的话。冰凝对自己的轻敌大意而懊悔不已！这个秦顺儿， 什么时候进的院子？自己居然都没有察觉，真是被胜利冲昏了头脑，麻痹大意，放松警惕，这回可真是壹个足够深刻的教训！听冰凝这 么壹说，玉盈才知道这个跟了自己壹天的小太监姓秦，又见冰凝分外小心的样子，断定这个小太监别看年龄不大，职位肯定不低。再壹 见冰凝沉思恍神儿的样子，以为妹妹对这么高职位的秦公公送自己出府起了疑心，于是赶快解围道：“妹妹别站在这里愣神儿了，姐姐 这就走了。”玉盈的话语使冰凝立即回过神儿来，她想提醒姐姐，可又怕被秦公公知道传到爷的耳朵里，急得她张口结舌半天，终于想 出来壹个法子：“噢，姐姐，妹妹有句话要告诉姐姐。”“什么话？”“《管子•君臣下》：古者有二言……”说到这里，冰凝不再说 了，玉盈的功课不如冰凝，虽然依稀记得师傅教过《管子》中的许多名篇，但是这壹篇，她确实壹点儿印象也没有，不过既然冰凝点出 来了《君臣下》，又引出来“古者有二言”这壹句，却不再往下说，当然是在暗示自己什么。于是她赶快接口道：“好的，姐姐回去就 知晓了！”冰凝知道姐姐读书不够灵光，接不上来下壹句也是意料之中，但也只能如此了，希望出府门的这壹路太太平平，别出什么乱 子。秦顺儿陪着玉盈主仆两人从王府的侧门出来，只见年府的马车早就停好了。怡然居离王府的大门最远，但离侧门很近。坐在马车上， 翠珠好奇地问丫鬟：“丫鬟，这么大半天，您去了哪里？怎么这么晚才见到二丫鬟？”“嗯，二丫鬟临时被宫里的娘娘叫去了，四福晋 陪着说了会子话，在王府里转了转，又等了壹会儿，壹接到二丫鬟回来的消息，就赶快过去了。”“唉，二丫鬟要是早些给个信儿就好 了！也不至于咱们等了这么大半天！还好二丫鬟回来还早，否则咱们今天就是白跑壹趟呢。”虽然翠珠只是像往常那样口无遮拦地抱怨 了壹下二丫鬟，可是在玉盈的耳朵里听来却是那么的令人惊心动魄。刚刚那壹番话，是王爷早早就体贴地为玉盈想好的理由，她壹直默 不作声地听着他的吩咐，并牢记在心。事已至此，她只有听从，否则她怎么向年府的壹大家子人去交代？只是当她按照他的意思说出
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分广泛。
在物理学中，导数被应用于描述运动的速度和加速度，帮助工程师设计出更高效的机械系统。
在经济学中，通过导数可以计算出边际效益，指导决策者进行资源配置。
工程学中的优化问题也常常需要用到导数，以找到最优解决方案。
医学领域中的生物动力学则利用导数来研究生物体的运动和力学特性。
而在计算机科学中，算法优化更是离不开导数的帮助。
导数在各个领域中都扮演着重要角色，学习导数对解决实际问题至关重要。
导数的运用不仅使生活更加便利和高效，还推动了科技和社会的发展。
【关键词】导数、实际生活、物理学、运动学、经济学、边际效益、工程学、优化问题、医学、生物动力学、计算机科学、算法优化、重要作用、解决实际问题、便利、高效。
1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远，它是微积分的重要概念之一，通过对函数的变化率进行研究，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
导数的应用涵盖了物理学、经济学、工程学、医学和计算机科学等多个领域。
在物理学中，导数被广泛运用于运动学的研究中。
通过对位置、速度和加速度的导数进行推导，可以得到物体的运动状态，从而更准确地预测其未来的运动轨迹。
在经济学中，导数被用来研究边际效益。
通过对边际成本和边际收益的导数进行计算，可以帮助企业决定最优化的生产方案，提高效益和降低成本。
在工程学中，导数被广泛应用于优化问题的求解。
通过对函数的导数进行分析，可以找到最优解，实现工程设计和生产过程的高效运行。
在医学中，导数在生物动力学的研究中发挥重要作用。
通过对生物体内部各种生理变量的导数进行分析，可以帮助医生更好地理解疾病的发展过程，并制定更有效的治疗方案。
在计算机科学中，导数被运用于算法优化。
通过对算法的导数进行计算，可以提高算法的效率和准确性，加快计算速度，实现更快速的数据处理和分析。
导数在各个领域中都发挥着重要作用，学习导数对于解决实际问题具有重要意义。
高中数学知识点精讲精析 导数在实际生活中的应用 (2)
1.4 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）与几何有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本有关的最值问题；（4）效率最值问题。
而要求最值，首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值1．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
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盐城市盐阜中学 高一年级 数学 学科导学案
格言警句：
执笔人：胥 开 审核人： 2010 年 4 月 2 日
3.4导数在实际生活中的应用 （2） 第 13 课时
一、学习目标
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的
变量y 与自变量x ，把实际问题转化为数学问题；
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.
二、学法指导
在实际问题中，有()0f x '=常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）
值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值
三、范例讲解
例题1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张
如图所示的竖向
张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空
2dm,左、右两边各空1dm 。
如何
设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值.
解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为
128x
dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x
=++-=++>。
求导数，得
'2512()2S x x
=-。
令'2512()20S x x
=-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'
()S x >0. 因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
所以，当版心高为16dm ，
宽为8dm 时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm ，宽为8dm 时，海报四周空白面积最小。
【探究】在实际问题中，由于()'f x =0常常只有一个根，因此若能判断该函
格言警句：。