浙江省嘉兴市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末考试数学试卷及答案
22、(1)当 a 1时, f x
x
1 1
1
x
1
0
,所以
2x x 1
x 1
1 x 2
x 2
所以
2 x x 1
x
或
1
x x
2 1
x 1,解得 x
1 2
5
或 x
( ) 所以当 a 1时,方程 f
x
= 0 的解集为 1
5 ；
2
(2)由题意令
f (x) = 0 得
x
1
1
a
x a ,记 g x
2
a kc a b ab
4k 6 , 2
解得 k 2 .
20、(1)因为
f
x
a 2x
1 2x
x
R 是偶函数,
所以
f
x
f
x ,即 a 2x
1 2x
a 2x
1 2x
,
化简得
a
1
2x
1 2x
0
,
所以 a 1 ；
(2)结论:
f
x
2x
1 2x
在(0,+∞)单调递增.证明如下：
任取 0 x1 x2 ,则
f
x1 f
x2
2 x1
1 2 x1
2
x2
1 2 x2
2 x1
2x2
2 x2 2 x1
2 x1 2x2
2x1 2x2 2x1 x2 1 2x1 x2
因为 0 x1 x2 ,所以 2x1 2x2 0, 2x1 x2 1 0 ,所以 2x1x2 1 0
所以
A．2
B．3
C． 2
2022-2023学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析
【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】因为 a 1， b
3
，且a与bFra bibliotek的夹角为
6
，
所以 a b a b cos 3 ， 62
因此 a b 2a b 2 a 2 a b b 2 2 3 3 1 . 22
故选：A.
5、D
【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
A. [0, 2]
B.[0, )
C. (0, 2]
D.[2, )
10．曲线
y
Asin x
a( A
0,
0) 在区间
0,
2π
上截直线
y
2
及
y
1 所得的弦长相等且不为
0
，则下列对
A ， a 的描述正确的是
A. a 1 ， A 3
2
2
B. a 1 ， A 3
2
2
C. a 1， A 1
D. a 1， A 1
直线(除 a 2 时外)与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象最多一个公共点，此时 a 0 或 a 2 或 a 不存在， 将 a 2 时的直线(含 a 2 )绕 A 顺时针旋转到直线 y 2 (不含直线 y 2 )的位置， 旋转过程中的直线与函数 y f (x) 在 (0, 5) 上的图象至少有两个公共点，此时 0 a 2 ，
8．若 x log2 3 1，求 3x 3x （）
A. 5
B. 13
2
6
C. 10
D. 3
3
2
9．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (x 2) ，且当 x (1,1] 时， f (x) (1)|x| ，若关于 x 的方程 2
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试卷
浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·阜阳月考) 为等差数列，且，则公差（）A .B .C .D .2. （2分）已知l1的斜率是2，l2过点A(-1，-2)，B(x，6)，且l1∥l2 ，则lo x=（）A .B . -C . 2D . -23. （2分）已知点P在曲线y=上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·南宁模拟) 直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高一上·娄底期末) 直线5x﹣12y+8=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）A . 相离B . 相交C . 相切D . 无法判断6. （2分） (2015高一上·娄底期末) 已知a= 5，b=（）0.3 ， c= ，则（）A . a＜b＜cB . c＜b＜aC . c＜a＜bD . b＜a＜c7. （2分） (2015高一上·衡阳期末) 函数f（x）满足f（x）= ，则f（3）的值为（）A . ﹣1B . ﹣2C . 1D . 28. （2分） (2015高一上·娄底期末) 已知x0是函数f（x）=﹣2x+ 的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0 ，+∞），则（）A . f（x1）＜0，f（x2）＜0B . f（x1）＜0，f（x2）＞0C . f（x1）＞0，f（x2）＞0D . f（x1）＞0，f（x2）＜09. （2分） (2015高一上·娄底期末) 如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2015高一上·娄底期末) 函数y= （1﹣3x）的值域为（）A . （﹣∞，+∞）B . （﹣∞，0）C . （0，+∞）D . （1，+∞）11. （2分） (2015高一上·娄底期末) 一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其侧面积为12 ，则a是（）A .B .C . 2D .12. （2分） (2015高一上·娄底期末) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x1 ，x2∈（0，+∞）都有＜0（x1≠x2），若实数a满足f（log3a﹣1）+2f（ a）≥3f（1），则a的取值范围是（）A . [ ，3]B . [1，3]C . （0，）D . （0，3]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·泰安模拟) 若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为________．14. （1分） (2015高一上·娄底期末) lg +2lg2﹣2 =________．15. （1分） (2015高一上·衡阳期末) 已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上，且AB= ，则棱锥O﹣ABCD的体积为________．16. （1分） (2015高一上·娄底期末) 已知函数f（x）=9﹣2|x| ， g（x）=x2+1，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）的最大值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知等差数列的前项和为，公差不为0，S2=4，且成等比数列，求：数列的通项公式。
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3C ．2D ．223．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设函数1()()21x f x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增 7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位 9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )A ．3B ．33C ．3 D ．3 10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b x ππ--+…对[1x ∈-，3]恒成立，则(a b -= )A ．13B ．23C ．56D ．73二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为 ；若f （a ）2=，则a = ．13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r，则k = ；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- ，sin cos αα= ．15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是 ． 16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg ．17．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟． （Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r． （Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r r k ．20．（12分）已知函数1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞． （Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}【解答】解：由已知条件可得：{1B C =I ，9}， 由A B ⊆，A C ⊆，所以{1A =，9}， 故选：B ．2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3CD ．【解答】解：Q 正方形ABCD 的边长为1，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r，||AC ==u u u r||||AB AD AC ∴+==u u u r u u u r u u u r故选：C ．3．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意，点(sin ,tan )P αα位于第二象限，所以sin 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以α在第三象限；故选：C ．4．（5分）设函数1()()21xf x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【解答】解：20x >Q ，211x ∴+>，∴10121x<<+，即函数的值域为(0,1)． 故选：A ．5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足|||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r【解答】解：Q 平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒， ∴对于22:()(23)234cos30240A a a b a a b +=+=+⨯⨯︒=≠r rr r r r gg ； 对于22:()4423cos30280B b a b b a b +=+=+⨯⨯︒=≠r r r rr r g g； 对于22:()4423cos3020C b a b b a b -=-=-⨯⨯︒=≠r r r rr r g g； 对于22:()(23)234cos300D a a b a a b -=-=-⨯⨯︒=r rr r r r g g； ∴()a a b ⊥-rr r 故选：D ．6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增 【解答】解：由于函数()sin()4f x x π=+，故在(0,)2π上，(44x ππ+∈，3)4π，函数()f x 没有单调性，故排除A ；在(4π，3)4π上，(42x ππ+∈，)π，函数()f x 单调第减，故排除B ；在3(4π，7)4π上，(,2)4x πππ+∈，函数()f x 没有单调性，故排除C ， 在5(4π，7)4π上，3(42x ππ+∈，2)π，函数()f x 单调第增，故D 满足条件， 故选：D ．7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-【解答】解：由图象可知，函数的定义域为R ，故排除C ；由f （1）0=可知，故排除D ； 当x →-∞时，()0f x →，故排除A ； 故选：B ．8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位 C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位 【解答】解：将函数sin 4y x =的图象向左平移524π个单位，得到5sin(4)cos(4)63y x x ππ=+=+的图象， 故选：A ．9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )ABCD【解答】解：建立平面直角坐标系； 因为||||1OA OB ==u u u r u u u r，60AOB ∠=︒，所以(1,0)A ，1(2B；设(,)C x yQ OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴12x y λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒x y y λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；Q 实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，∴0120x y x y y ⎧⎪⎪⎪⎪+⎨⎪⎩…剟…；对应区域如图：；由31(231x yA xy⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩，3)；3(1,3)32x yBx y⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩；3331123122OBD OACS S S∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=阴影；即点C所形成的平面区域的面积为33．故选：B．10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b xππ--+…对[1x∈-，3]恒成立，则(a b-=) A．13B．23C．56D．73【解答】解：当113x-剟或733x剟时，cos()023xππ+…；当1733x剟时，cos()023xππ+„，∴当113x-剟或733x剟时||0x a b--…；当1733x剟时，||0x a b--„，设()||f x x a b =--，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 且()f x 的图象关于直线x a =对称， 17()()033f f ∴==，1782333a ∴=+=，即43a =，又774()||0333f b =--=，故1b =．41133a b ∴-=-=． 故选：A ． 二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g 1 ，lga lgb += ． 【解答】解：2log 3a =Q ，3log 2b =， 则32123lg lg a b lg lg ==g g ， 10lga lgb lgab lg +===．故答案为：1，0．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为 0 ；若f （a ）2=，则a = ．【解答】解：根据题意，函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…，则0(0)1110f e =-=-=，若f （a ）2=，当1a <时，f （a ）12a e =-=，解可得31a ln =>，舍去；当1a …时，f （a ）2lna ==，解可得2a e =，符合题意； 故2a e =， 故答案为：0，2e ，13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r ，则k = 32；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．【解答】解：Q (,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r， ∴(4,7)AB OB OA k =-=--u u u r u u u r u u u r ，(4,5)CB OB OC k =-=+-u u u r u u u r u u u r ，Q 若||||AB BC =u u u r u u u r ，∴32k ==， A Q 、B 、C 三点共线，(5)(4)(7)(4)0k k ∴-⨯---⨯+=，解得23k =-．故答案为：32；23- 14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- 5 ，sin cos αα= ．【解答】解：sin 3cos tan 3235sin cos tan 121αααααα+++===---，222sin cos tan 22sin cos 1415sin cos tan αααααααα=∴===+++， 故答案为：5，25． 15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是3[,)2-+∞ ． 【解答】解：根据()f x 的解析式作出其图象如图所示：由图可知当()3f x =-时仅有一解3x =，当()3f x =时仅有一解32x =-．令f （a ）t =，则(f f （a ）)30+…，即()3f t -…，3t ∴„，即f （a ）3„，32a ∴-…． a ∴的取值范围为3[,)2-+∞．故答案为：3[,)2-+∞．16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg 36 ．【解答】解：连接DE ；Q 3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，//DE BC ∴且13DE BC =；∴2233()3334324cos6036BC OE DE OE OE OD OE OE OE OD ==-=-=⨯-⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ；故答案为：3617．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 (0,1) ． 【解答】解：根据解析式可得f （a ）a =-，由题意得，关于x 的方程()f x tf =（a ）有三个不相等的实数根即()f x at =-有三个不相等的实数根；即()y f x =与y at =-有三个不同的交点； 22(1),()(1),x a x x af x x a x x a ⎧-+=⎨-+-<⎩…， （1）当12a <„时，1122a a a -+剟，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 故21(1)()24a a f x f --⎛⎫==⎪⎝⎭极大值，()f x f =极小值（a ）a =-， 所以需满足(1)2/4a ata sup sup at -<-⎧⎪⎨-<><>>-⎪⎩对任意(1,2)a ∈恒成立，解得01t <<；（2）当11a -<<时，1122a a a -+<<，则()f x 在1(,)2a --∞上单调递增，在1(2a -，1)2a +上单调递减，在1(2a +，)+∞上单调递增， 故21(1)()24a a f x f --⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，21(1)()24a a f x f ++⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值， 则需22(1)(1)44a a at +--<-<对任意11a -<<恒成立， ①当0a =时，11044-<<成立，此时t R ∈，②当01a <<时，112244a a a a t ++-+-<-<恒成立，解得01t 剟， ③当10a -<<时，112244a a a a t ++-+<<-恒成立，解得01t 剟， 综上01t 剟， 结合（1）（2）得(0,1)t ∈， 故答案为(0,1)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟． （Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，{|24}B x x =-剟，{|26}A x x =-剟， 所以{|2U C B x x =<-或4}x >， 所以(){|46}U A B x x =<I „ð． （Ⅱ）[4A B =-Q U ，6]，∴242226a a -=-⎧⎨-+⎩剟，即222a a =⎧⎨-⎩剟，解得2a =．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r ． （Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r rk ．【解答】解：（Ⅰ）因为(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r， 所以(32,56)xb yc x y x y +=-+r r， 又a xb yc =+r r r ， 所以322564x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得57114x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1114x y +=（Ⅱ）由题意知(1,1),(22,46)a b a kc k k -=--+=-+r r r r，所以||)()(22)(46)46a b a kc a b k k k -+-=---+=--r rr r r r g， 因为a kc +r r在a b -r r，()()||a kc a b a b +--rr r r g rr 解得2k =-20．（12分）已知函数1()2()2x x f x a x R =+∈g 是偶函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论． 【解答】解：（Ⅰ）因为1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数， 所以()()f x f x -=，即112222x xx xa a --+=+g g ， 化简得1(1)(2)02x xa --=，所以1a = （Ⅱ）结论：1()22x xf x =+在(0,)+∞单调递增．下证之． 任取120x x <<，则2112121212121212121122(22)(21)()()2(2)2222222x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++----=+-+=-+=g因为120x x <<，所以1212220,210x x x x +-<>>， 所以12210x x +>>所以121212(22)(21)02x x x x x x ++--<，即12()()f x f x <所以1()22x x f x =+在(0,)+∞单调递增．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，所以(0)sin 3f A π=，解得2A =又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π得4T π=， 又由2T πω=，得12ω=， 所以1()2sin()23f x x π=+结合函数sin y x =的单调性， 令122()2232k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得54433k x k ππππ-++剟， 所以函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈， （Ⅱ）由题意知222010m m m ⎧-+⎨-+⎩……，所以01m 剟，[0,1] 由函数()f x 的单调递增区间是5[4,4]()33k k k Z ππππ-++∈知，()f x 在[0，1]上单调递增，又f f >，所以>，解得12m >， 结合01m 剟，得112m <„． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞． （Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值． 【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，1()|1|101f x x x =--+=-，所以2||11xx x -=-- 所以12211x x x x <<⎧⎪-⎨=-⎪-⎩或2211x x x x ⎧⎪-⎨=-⎪-⎩…，解得x =x ∈∅所以当1a =时，方程()0f x =的解集为⎪⎪⎩⎭（Ⅱ）由题意令()0f x =得1||1a x a x -=--， 记1()||,()1g x a h x x a x =-=--， 作函数()g x 与()h x 的图象，由函数()y f x =在定义域(1,)+∞内恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <， 可知0a „不合题意，故0a >如图所示，要使函数()y f x =恰有两个不同的零点，则应有直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切或者直线y x a =-经过点1(1,0)a+， （1）当直线y x a =-与函数1()||1g x a x =--的图象相切时， 联立方程11y x a y a x =-⎧⎪⎨=-⎪-⎩，消去y 得2(21)210x a x a -+++=，由△0=得2(21)4(21)0a a +-+=，所以12a =-（舍去）或32a =此时22x =，直线32y x =-，联立1312y x =--，解得115x +=所以1255x x ++=（2）当直线y x a =-经过点1(1,0)a +时，有101a a=+-，所以210a a --=，得15a += 此时直线方程为11515,y x x ++=-=联立151511y x y x ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩，消去y 解得235x +=，所以1225x x +=+． 综上所述，当32a =时，1255x x ++=；当15a +=时，1225x x +=+．。
浙江省嘉兴市2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题 Word版含解析
嘉兴市2018～2019学年第一学期期末检测高一数学试题卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.）1.已知全集，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义直接求解:是由所有属于集合但不属于的元素构成的集合.【详解】是由所有属于集合但不属子的元素构成的集合,因为全集，所以有且仅有2，4，5符合条件,所以，故选C.【点睛】本题考查了补集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.2.( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合诱导公式求解三角函数值即可.【详解】由题意可得：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下列函数中，其图像既是中心对称图形又在区间上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的函数是否满足题意即可.【详解】函数图像是中心对称图形，则函数为奇函数，考查所给函数的性质：A.，函数为奇函数，函数在区间上不具有单调性；B.，函数为奇函数，函数在区间上不具有单调性；C.，函数为奇函数，函数在区间上单调递增；D.，函数为偶函数，函数在区间上单调递增；综上可得，满足题意的函数为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数图像的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设函数，则( )A. 0B. 2C.D. 1【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得：，则.本题选择B选项.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．5.已知平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】试题分析：,所以是等腰三角形，故选A.考点：1.向量的几何运算；2.向量数量积的几何意义.6.为了得到的图像，可以将函数的图像向右平移．．．．（）个单位长度，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定所给函数的最高点坐标，然后结合函数图象确定函数需要平移的长度即可.【详解】令可得函数的图像最高点横坐标为，令可得函数的图像最高点横坐标为，绘制函数图象如图所示，易知图中A,B两点之间的距离即的最小值，在中，令可得，在中，令可得，据此可得：的最小值为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查三角函数的对称轴，三角函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图，在中，，，若，则( )A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，，据此可知.本题选择A选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．8.函数在区间上的值域为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数的解析式和性质确定函数的值域即可.【详解】由题意可得：，结合对勾函数的性质和函数的单调性绘制函数图象如图所示，且，，结合函数图象可得函数的值域为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.如图，已知矩形中，，，该矩形所在的平面内一点满足，记，，，则（）A. 存在点，使得B. 存在点，使得C. 对任意的点，有D. 对任意的点，有【答案】C【解析】以为原点，以所在直线为轴、轴建立坐标系，则，，且在矩形内，可设，，，，，，错误，正确，，，错误，错误，故选C.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，，二是坐标形式，（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.10.存在函数满足对任意都有( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意逐一考查所给的解析式是否符合题意即可.【详解】对于选项A，令可得，令可得，不符合函数的定义，选项A 错误；对于选项B，令可得，令可得，不符合函数的定义，选项B错误；对于选项C，令可得无意义，则函数不是定义在R上的函数，选项C错误；对于选项D，，则，即存在函数满足，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的定义与应用，函数解析式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）11.16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，则__________.【答案】2∵，∴，∴故答案为212.已知集合，，则__________．【答案】【解析】【分析】分别求得集合A,B，然后进行交集运算即可.【详解】由题意可得：，结合交集的定义可知：.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________．【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合诱导公式求解的值即可.【详解】由三角函数的定义可得：，结合诱导公式有：.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知、是同一平面内两个互相垂直的单位向量，且，，，如果三点共线，则实数的值为__________．【答案】-8【分析】由题意首先求得向量，然后结合三点共线的充分必要条件求解实数k的值即可.【详解】由题意可得：，三点共线，则向量与向量平行，故存在实数满足，即：，据此可得：.【点睛】本题主要考查向量的加法，向量共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知是定义在上的奇函数，当时，，若，求实数的取值范围__________．【答案】【解析】【分析】由题意首先确定函数的单调性，然后结合函数的单调性求解实数的取值范围即可.【详解】由题意可知当时函数单调递增，又函数为奇函数，故函数是上的单调递增函数，故等价于，求解关于实数m的不等式可得实数的取值范围是.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.16.已知，则的值是__________．【答案】-1【解析】【分析】由题意首先求得，的值，然后利用同角三角函数基本关系求解的值即可.【详解】由题意可得：，解得：，则.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.已知平面向量，，，，，若向量满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量的运算法则和向量三角不等式求解的最大值即可.【详解】∵，∵，而，等号成立条件为向量与向量同号，故的最大值为.【点睛】本题主要考查向量模的计算，向量三角不等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.函数，若函数图像与直线有两个不同的交点，求的取值范围__________．【答案】或【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分类讨论和两种情况确定实数a的取值范围即可.【详解】当时，在时与至多一个交点，而在时与时无交点，所以不满足题意；当时，若，此时在时与有一个交点，则此时需在时也与有一个交点，则且，综上所述；若在时与无交点，即，则在时与有两个交点，则，则；综上，或【点睛】分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑.三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）19.已知函数，（）的最小值为1.（1）求的值及取此最小值时的值；（2）求函数的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）m=3,此时；（2）最小正周期为，单调递增区间为【解析】【分析】(1)由题意首先求得m的值，然后确定x的值即可；(2)由三角函数的性质确定函数的最小正周期和单调递增区间即可.【详解】（1）由得，，此时，解得；（2）最小正周期，由，解得，所以单调递增区间【点睛】本题主要考查三角函数的周期公式，三角函数的最值，三角函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知向量，，，.（1）若，求的值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】(1)首先求得向量，然后由向量垂直的充分必要条件求解实数k的值即可；(2)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质确定其最小值即可.【详解】（1）因为，由得解得（2），，所以的最小值为2.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，向量模的求解，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数，若函数为函数值不恒为零的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】(1)由题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得a的值；(2)由题意结合函数的单调性即可求得实数t的取值范围.【详解】（1）若函数，（）为奇函数，则对于定义域内任意，都有，从而得，而时函数值恒为零，所以.（2）由（1）得，令，为增函数，所以在为增函数，故，所以.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．22.已知函数.（1）若函数在区间上的最大值记为，求；（2）若函数在区间上存在零点，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意利用二次函数轴动区间定的特征确定的解析式即可；(2)由题意结合韦达定理放缩之后利用换元法结合函数的单调性确定的最小值即可. 【详解】（1）当，即时，，当，即时，，所以.（2）因为函数在区间上存在零点，设方程得两根为，，令，则，，，令，则令，此时，【点睛】本题主要考查二次函数最值的求解，韦达定理的应用，换元法求函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
浙江省嘉兴市高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义域排除 ，求出 的值，可以排除 ，考虑 排除 .
【详解】根据函数图象得定义域为 ，所以 不合题意；
选项，计算 ，不符合函数图象；
对于 选项， 与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
应选：B
【点睛】此题考查根据函数图象选择适宜的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
故答案为：
点睛】此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，表达数形结合思想.
16.如下图, ,那么 =______.
【答案】36
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算法那么， ， 即可计算求解.
【详解】 ,
.
故答案为：36
【点睛】此题考查平面向量的根本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.
.
(1)假设 ,求方程 的解集；
(2)假设函数 恰有两个不同的零点 ,求 的值.
【答案】(1) ；(2)当 时, ；当 时, .
【解析】
【分析】
〔1〕分类讨论解方程 即可；
〔2〕将 转化为讨论函数 的公共点问题,分类讨论求解.
【详解】(1)当 时, ,所以
所以 或 解得 或
所以当 时,方程 的解集为 ；
【详解】由题： ，
，即 .
应选：B
【点睛】此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.
的边长为1,那么 =( )
A.2B.3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
正方形中根据向量的加法法那么 ，即可得解.
【详解】由题正方形 的边长为1,根据向量加法法那么，
浙江省嘉兴市重点名校2022-2023学年数学高一上期末含解析
，即
BP
2PC
，得点
P
为线段
BC
上靠近
C
点的三等分点，又因为 AQ 3 AB 1 AC ，所以 3 ( AQ AB) 1 ( AC AQ) ，即 3BQ QC ，得点 Q 为线段 BC
44
4
4
上靠近 B 点的四等分点，所以 PQ
5
S BC ，所以 APQ 与 ABC 的面积之比为
APQ
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．设角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若角 的终边上一点 P 的坐标为 (1, 3) ，则 cos
的值为__________
12．在平面直角坐标系中，正三角形 ABC 的边 BC 所在直线的斜率是 0，则 AC，AB 所在直线的斜率之和为________
1．已知函数
f
(x)
3sin
2
x
6
，若函数
y
f
2(x) (m 1) f (x) m 在[0，π ]上有 3 个零点，则 m 的取值范围 2
为（ ）
A.
3 2
,
3
B.
3 2
,
3
C.
3 2
,
3 2
D.
3 2
,
3
2．已知集合 A {x | x2 x 0}，集合 B {x N | 1 x 3} ，则下列结论正确的是
PQ
5
，选择 B
12
S ABC BC 12
【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行
加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A B ⊆，A C ⊆，{2B =-，0，1，9}，{1C =，3，6，9}，则集合A 可以为( ) A ．{1，3}B ．{1，9}C ．{2，0}D ．{2，3}2．（5分）已知正方形ABCD 的边长为1，则||(AB AD +=u u u r u u u r )A ．2B ．3C ．2D ．223．（5分）若点(sin ,tan )P αα在第二象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设函数1()()21x f x x R =∈+，则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞5．（5分）已知平面向量,a b r r 满足||23,||4a b ==r r ，且,a b rr 的夹角为30︒，则( )A ．()a a b ⊥+r r rB ．()b a b ⊥+r r rC ．()b a b ⊥-r r rD ．()a a b ⊥-r r r6．（5分）函数()sin()4f x x π=+，则()(f x )A ．在(0,)2π上单调递增B ．在3(,)44ππ上单调递增C ．在37(,)44ππ上单调递增 D ．在57(,)44ππ上单调递增 7．（5分）函数()f x 的图象如图所示，则它的解析式可能是( )A ．21()2xx f x -=B ．()2(||1)x f x x =-C ．()||||f x ln x =D ．()1x f x xe =-8．（5分）为了得到函数cos(4)3y x π=+的图象，可以将函数sin 4y x =的图象( )A ．向左平移524π个单位 B ．向右平移524π个单位C ．向左移动56π个单位 D ．向右平移56π个单位 9．（5分）已知||||1OA OB ==u u u r u u u r ，60AOB ∠=︒，OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，其中实数λ，μ满足12λμ+剟，0λ…，0μ…，则点C 所形成的平面区域的面积为( )A ．3B ．33C ．3 D ．3 10．（5分）若不等式(||)cos()023x a b x ππ--+…对[1x ∈-，3]恒成立，则(a b -= )A ．13B ．23C ．56D ．73二、填空题：11．（6分）若2log 3a =，3log 2b =，则a b =g ，lga lgb += ．12．（6分）设函数1,1,(),1,x e x f x lnx x ⎧-<=⎨⎩…则(0)f 的值为 ；若f （a ）2=，则a = ．13．（6分）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，若||||AB BC =u u u r u u u r，则k = ；若A ，B ，C 三点共线，则k = ．14．（6分）若tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα+=- ，sin cos αα= ．15．（5分）设函数22,0,()2,0,x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩„若(f f （a ）)30+…，则实数a 的取值范围是 ． 16．（5分）如图所示，2OD =，4OE =，60DOE ∠=︒，3,3AB AD AC AE ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则BC OE =u u u r u u u rg ．17．（5分）设()||f x x x a x =--，对任意的实数(1,2)a ∈-，关于x 的方程()f x tf =（a ）共有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知集合2{|4120|}A x x x =--„，{|222|}B x a x a =-+剟． （Ⅰ）若1a =，求()U A B I ð；（Ⅱ）若[4A B =-U ，6]，求实数a 的值．19．（12分）已知平面向量(2,4),(3,5),(2,6)a b c ===-r r r． （Ⅰ）若a xb yc =+r r r，求x y +的值；（Ⅱ）若a kc +r r在a b -r r k ．20．（12分）已知函数1()2()2x xf x a x R =+∈g 是偶函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论．21．（12分）已知函数()sin()(0,0)3f x A x A πωω=+>>的图象经过点，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及它的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得不等式f f >成立？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（13分）已知函数1()||1f x a x a x =--+-，(1,)x ∈+∞． （Ⅰ）若1a =，求方程()0f x =的解；（Ⅱ）若函数()y f x =恰有两个不同的零点1x ，212()x x x <，求12x x +的值．。
2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣，则A B ⋃=（ ） A ．(1,0]- B ．(1,2)- C ．[0,1) D ．(0,1)【答案】B【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解：因为{02},{11}A xx B x x =≤<=-<<∣∣， 所以A B ⋃={12}xx -<<∣，即A B ⋃=(1,2)-. 故选：B2．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan θ的值为A ．35B ．45C ．43-D ．34-【答案】C【解析】根据三角函数的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得445tan 335y x θ===--.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．已知命题:,100p a N a ∃∈≥，则¬p 为（ ） A ．,100a N a ∃∈≤ B ．,100a N a ∃∈< C ．,100a N a ∀∈≤ D ．,100a N a ∀∈<【答案】D【分析】根据特称命题与全称命题的关系，即可得到结果. 【详解】∵命题:,100p a N a ∃∈≥， ∴¬p ：为,100a N a ∀∈< 故选：D4．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果. 【详解】由0a b >>得110b aa b ab --=<，则11a b<； 若1a =-，1b =，则11a b<，但不能推出0a b >>； 因此“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．将函数sin2y x =的图象向左平移3π个单位，得到函数f （x ）的图象，则（ ） A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据正弦函数图象变换的性质进行求解即可. 【详解】因为函数sin2y x =的图象向左平移3π个单位，得到函数f （x ）的图象， 所以()2sin[2()]=sin 233f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 故选：C6．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；【详解】解：因为()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以定义域为R ，且()()()221sin 1sin 11x xf x x x f x e e -⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时，222210111e e e--=<++，sin 20>，所以()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ； 故选：A7．设函数()()224,4log 4,4x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234122x x x x +++的最小值为（ ） A ．312B ．16C ．332D ．17【答案】B【分析】作出函数()f x 的大致图象，可知124x x +=，由()y f x =与y t =的图象有四个交点可得()024t f <<=，计算2log (4)4t x =-=求得x 的值即可得4x 的范围，根据()()4232log 4log 40x x -+-=可得3x 与4x 的关系，再根据基本不等式计算34122x x +的最小值即可求解.【详解】作出函数()f x 的大致图象，如图所示：当4x ≤时，()24f x x x =-+对称轴为2x =，所以124x x +=，若关于x 的方程()f x t =有四个实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则()024t f <<=， 由2log (4)(2)4t x f =-==，得6516x =或20x ，则4520x <<，又2423log (4)log (4)x x -=--，所以()()4232log 4log 40x x -+-=， 所以()()43441x x -⋅-=，所以43144x x =+-，且44(1,16)x -∈，所以()4434441121224241412204x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝+-⎭+=++-2101210≥+==， 当且仅当()4412424x x -=-，即46x =时，等号成立， 故123414x x x x +++的最小值为16. 故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 8．已知a ，b ，c 都是正实数，设a b c M a b b c c a=+++++，则下列判断正确的是（ ） A ．01M <≤ B ．312M <≤C ．322M ≤< D ．12M <<【答案】D【分析】根据正数的性质，结合放缩法进行判断即可. 【详解】因为a ，b ，c 都是正实数，所以有： 1a b c M a b c a b c a b c >++=++++++，又2a c b a c bM a b c a b c a b c+++<++=++++++，故选：D. 二、多选题9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()22,f t t g x x ==B ．()()cos ,sin 2f x x g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭C ．()()()20,(0)x x f x g x x x ⎧≥==⎨-<⎩D ．()()4lo ,log f x g x g x ==【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】()()22,f t t g x x ==对应关系和定义域显然相同，故A 正确；B 选项中，因为()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以B 正确；C 选项中，()2f x =的定义域为[0,)+∞，()g x 的定义域为R ，故C 不正确；D 选项中，显然()(),f x g x 的定义域都为(0,)+∞，又()24221lo log log 2f x g x x x ===，()12221log log l 2og x x g x ===，故D 正确. 故选：ABD10．血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压140mmHg ≥或舒张压90mmHg ≥，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点起，0=t ），他的血压()p t （单位：）与经过的时间t （单位：h ）满足关系式()11622sin 63p t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．血压()p t 的最小正周期为6B ．当天下午3点小王的血压为105C ．当天小王有高血压D ．当天小王的收缩压与舒张压之差为44【答案】BCD【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算出()9p 的值，可判断B 选项；计算出()p t 的最大值和最小值，结合题干条件可判断C 选项；计算出()()max min p t p t -，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，血压()p t 的最小正周期为2126ππ=，A 错；对于B 选项，下午3点时，即9t =，可得()3911622sin 11622cos 105233p πππ⎛⎫=++=-= ⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，因为()max 11622138140p t =+=<，()min 116229490p t =-=≥，所以，当天小王有高血压，C 对；对于D 选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为()()max min 1389444p t p t -=-=，D 对. 故选：BCD.11．已知函数()()2ln 1f x x ax a =---，下列说法正确的有（ ）A ．不存在实数a ，使f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）一定有最小值C ．对任意正实数a ，f （x ）的值域为RD ．若函数f （x ）在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是(,1)-∞ 【答案】ACD【分析】A. 根据f （x ）的定义域为R ，由210x ax a --->，利用判别式判断；B. 取0a =判断；C.令21u x ax a =---，根据u 的值域判断；D.由2222210aa a ⎧≤⎪⎨⎪--->⎩求解判断.【详解】A. 若f （x ）的定义域为R ，则对于不等式210x ax a --->，()()()224120a a a ∆=-++=+<不成立，故正确；B. 当0a =时，()()2ln 1f x x =-，因为21u x =-能取遍()0,∞+所有的数，所以()f x R ∈，故错误；C.2221124a a u x ax a x a ⎛⎫=---=---- ⎪⎝⎭，因为2104a a ---<，所以u 能取遍()0,∞+所有的数，所以f （x ）的值域为R ，故正确；D. 若函数f （x ）在区间[2,)+∞上单调递增，则2222210aa a ⎧≤⎪⎨⎪--->⎩ ，即41a a ≤⎧⎨<⎩，解得 1a <，所以实数a 的取值范围是(,1)-∞，故正确.故选：ACD12．已知正实数x ，y 满足22x y +=，若不等式222326240x m xy y x y -+++>恒成立，则实数m 的值可以为（ ） A ．4- B ．2- C ．1 D ．3【答案】BC【分析】参变分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果. 【详解】∵()22424x y x y +==+，∴()2222222236236244104252,222x y x y x y x y x y xy x ym xy xy xy y x++++++++<===++而25x yy x+≥则22m <， 故选：BC . 三、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一，意思是：将直径乘以弧长再除以4.则此问题中，扇形的面积是___________平方步.【答案】120【分析】将扇形的直径乘以弧长再除以4，可得结果. 【详解】由题意可知，该扇形的面积为30161204S ⨯==（平方步）. 故答案为：120.14．计算：()0131lg4127lg502π-+++=___________.【答案】4【分析】根据对数计算公式lg lg lg M N MN +=及指数计算公式进行计算.【详解】解：()1301lg4127lg502π-+++12=lg413lg50-++ =2+lg2lg50+()=2lg 2504+⨯=故答案为：415．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()60f x f x ++=，且函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，则()2022f =___________. 【答案】0【分析】求出函数的周期为12，即可得到()()20220f f =-，又()00f =即可得解. 【详解】()()60f x f x ++=，()()6f x f x ∴+=-，()()()126f x f x f x ∴+=-+=，所以函数()f x 是以12为周期的函数， ()()()()202212168660f f f f ∴=⨯+==-又函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，利用函数图像平移知， 函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即()00f =，所以()20220f = 故答案为：0 16．设函数()(0af x x a x=->），若存在实数1x ，2x ，满足1212x x <<<，使()()124f x f x +≥成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3a >【分析】原问题等价于()(){}max 1,22,f f >分类讨论即可得到结果. 【详解】由题知，(0)ay x a x=->在()1,2上单调递增，只需()(){}()()max 1,22,1|1|,2|2|2a f f f a f >=-=-（1）当2a ≥即4a ≥时，()()12f f >，则12,3a a ->>，所以4a ≥； （2）当12a <<即14a <<时，若()()12f f ≥，即12,22aa a -≥-≥时，12,3a a ->>，所以34a <<；若()()12f f <，即2a <时，22,02aa -><，所以a 无解； （3）当1a ≤即01a <≤时，()()12f f <，则22,02aa -><，所以a 无解； 综上所述，3a >. 故答案为：3a >四、解答题17．已知集合{}260A x x x =--≤，集合{}122x aB x -=>.(1)若1a =，求A B ； (2)若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x <≤； (2)2a ≥.【分析】（1）当1a =时，求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得结果； （2）求出集合B ，可得出集合RB ，再利用集合的包含关系可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. (1)解：当1a =时，{}{}{}1122112x B x x x x x -=>=->=>，又因为{}{}26023A x x x x x =--≤=-≤≤，因此，{}23A B x x ⋂=<≤.(2)解：{}{}{}12211x aB x x x a x x a -=>=->=>+，故{}R 1B x x a =≤+，因为RA B ⊆，则13a +≥，解得2a ≥.18．已知1tan 3α=，(0,2πα∈）.(1)求sin 3cos 2cos sin αααα+-的值；(2)若()cos αβ-=，求cos β的值. 【答案】(1)2(2)cos β=或cos β=【分析】（1）由1tan 3α=得到cos 3sin αα=，代入求解；另解：分子分母同除以cos α求解；.（2）根据1tan 3α=，得到sin ,cos αα，再根据()cos αβ-=，得到()sin αβ-，然后由cos cos[()]βααβ=--求解. (1)解：解法一：由题意，cos 3sin αα=， 所以原式sin 9sin 10sin 26sin sin 5sin αααααα+===-.解法二：原式tan 322tan αα+==-.(2) 因为1tan 3α=，所以sin αα==又()cos αβ-=，所以()sin αβ-=， 所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-⎛ ⎝⎭.所以cos β=或cos β=. 19．已知定义在R 上的函数()(1)x xk f x a a --=-（0a >且1a ≠）是奇函数.(1)求实数k 的值；(2)若函数f （x ）满足()10f <，且对任意1x >，不等式()()2log 2log 20x f x f t ++-<恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)2k = (2)4t <【分析】（1）利用奇函数定义得到参数的值；（2）由()10f <，可知()x xf x a a -=-在R 上递减，结合奇偶性，原不等式等价于221log 2log x t x++>对x ∈R 恒成立，利用均值不等式得到结果. (1)因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()0010a k a ---=则2k =.经检验满足题意， ∴实数k 的值为2； (2)由（1）知，()x xf x a a -=-，因为1(1)0f a a -=-<，又0a >且1a ≠，所以01a <<；所以()x xf x a a -=-在R 上递减，且f （x ）为奇函数，所以()()22log 2log 2,log 2log 2x x f x f t x t +<-+>-， 即221log 2log x t x++>对x ∈R 恒成立， 而1x >时21og 0x >，所以221log 2,2log x x x+≥=时取等号， 所以4t <20．已知函数()44cos cos sin f x x x x x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取得最值时x 的值.【答案】(1)最小正周期为π，单调增区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (2)当12x π=时，()f x 的最大值为0，当3x π=时，()f x 的最小值为2-【分析】（1）由三角恒等变换得()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求函数的最小正周期和单调区间；（2）由题知42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再整体代换求解即可得答案. (1)解： ()()()()222424cos sin cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x =--=+-cos22cos 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 所以最小正周期为22T ππ==， 令2222,3k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调增区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2) 解：因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当232x ππ+=时，()f x 的最大值为0，当23x ππ+=时，()f x 的最小值为2- 所以当12x π=时，()f x 的最大值为0，当3x π=时，()f x 的最小值为2- 21．我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x 万度，今年的受损效益S (x )(万元)满足()250,0440*******,420x x S x x x x ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩.为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z (x )(万元)满足()()(),04800520,420S x x x Z x S x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩，政府为鼓励企业节能，补贴节能费()100n x x =万元.(1)减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？(2)减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？【答案】(1)减少用电量5万度时，增效效益达到544万元;(2)当减少用电8万度时，企业总效益最大.【分析】（1）首先求出()Z x ，令()544Z x =解出x 的值即可；（2）首先根据题意求出企业总收益Q (x )，然后只需要求分段函数Q (x )的最大值即可.(1)易知()25004400300620420x x Z x x x x ≤≤⎧⎪=⎨--+<≤⎪⎩，，， 因为04x ≤≤时，()50200Z x x =≤， 所以由2400300620544x x--+=，得219751000x x --=，解得5x =； 即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元.(2)设企业总收益为Q (x )万元，则()()()()225015004400100120420x x x Q x Z x S x n x x x x ⎧-+≤≤⎪=-+=⎨-++<≤⎪⎩，，， 当04x ≤≤时，()232253225502222Q x x Q ⎛⎫⎛⎫=--+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当420x <≤时，()()2115055054008844Q x Q x ⎛⎫=--+≤= ⎪⎝⎭， 因为22550524<，所以()382Q Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 综上知，当减少用电8万度时，企业总效益最大.22．已知函数2()2(,,,0)f x ax bx c a b c a =++∈≠R .(1)若20a b c ++=，且(0)(1)0f f ⋅>，求c a的取值范围； (2)若()f x 在[1,1]-上有零点，求证：当1a ≥-时，|||1|c b a ≤+-.【答案】(1)01c a<< (2)证明见解析【分析】（1）由题知()20c a b c ++>，再结合已知得()0c c a -<，进而解得01c a <<. （2）根据题意0[1,1]x ∃∈-，满足02020ax bx c ++=，进而分0a >和10a -≤<两种情况求解即可.(1)解： ()()0(1)20f f c a b c ⋅=++>， 由于20a b c ++=，则()0c c a -<，解得01c a<<. (2)解：由条件知，0[1,1]x ∃∈-，满足02020ax bx c ++=. ①当0a >时，20002|||||1|c ax bx bx b b a =--≤-≤≤+-， 当且仅当10a -=，2020ax -=，0||c bx b =-=，即01,0,0a x b c ====时取等号； ②当10a -≤<时，2000222|||||1|c ax bx a bx a b b a =--≤--≤-+≤+-. 当且仅当1c a c ≤++，2022ax a -=-，0bx b -=，21a a -=-时取等号，即201,1a x =-=时取等号.。
浙江省嘉兴市高一数学上学期期末试卷(含解析)
浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如果M={1，2，3}，N={3，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{3，5} D．{3}2．（4分）2lg2+lg25=（）A．1 B．2 C．10 D．1003．（4分）不等式x2+5x﹣6＜0的解集为（）A．（﹣6，1）B．（﹣∞，6）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，3）∪（2，+∞）4．（4分）平面向量与的夹角为60°且=2，=1，则向量+2的模为（）A．B．12 C．D．105．（4分）已知函数f（x）=x+，则下列说法正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数（4分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，且|BD|=2|DC|，点E在线段AD上，且|AE|=2|ED|，6．设=，=，若=m+n，则m+n=（）A．﹣B．C．﹣3 D．37．（4分）函数f（x）=log a x+x﹣b（2＜a＜3＜b＜4）的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个9．（4分）如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足=，当取到最小值时，λ的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知f（x）=log2（其中x＞1），g（x）=x2﹣2ax+a2+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（）A．f（g（a﹣1））＞f（g（a））B．f（g（））＞f（g（））C．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0且a）D．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知2∈，则m=．12．（3分）函数f（x）=log2（2x+3）的定义域为．13．（3分）已知幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，则f（6）=．14．（3分）若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=．15．（3分）已知奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，则=．16．（3分）已知定义在上的奇函数f（x）=a x﹣a﹣x（其中0＜a＜1），若m满足f（m2﹣4m）≥0，则m的取值范围为．17．（3分）已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则的最大值为．18．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））≤0，则实数a的取值范围是．三、解答题（共4小题，满分36分）19．（8分）已知全集为U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x（3﹣x）＞0}，M={x|2x﹣a ＜0}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若（A∪B）⊆M，求实数a的取值范围．20．（8分）已知在Rt△ABC中，其中∠A为直角，向量=+，=2+3，=（2m+1）+（m﹣3），其中，是互相垂直的两个单位向量．（1）求实数m的值；（2）过A作AE⊥BC于E，延长AE至D，使四边形ABDC为直角梯形（其中AC、BD为底边），用，表示．21．（10分）已知函数f（x）=a﹣，x∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）令g（x）=，若函数y=g（x）的图象始终在直线y=1的上方，求实数a的取值范围．22．（10分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（3a﹣b）x+c，其中a＞0，f（1）=﹣a，若函数y=f（x）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1∈（﹣1，），x2∉（﹣1，）；（1）求证：﹣＜＜；（2）若函数y=f（x）的顶点为C，当|AB|取得最小值时，△ABC为等腰直角三角形，求此时的二次函数y=f（x）的解析式．（3）当x∈时，函数y=f（x）的最小值为﹣b，求的值．浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）如果M={1，2，3}，N={3，5}，则M∩N=（）A．{1，2，3，5} B．{1，2，3} C．{3，5} D．{3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据交集的定义进行求解．解答：解：∵M={1，2，3}，N={3，5}，∴M∩N={3}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）2lg2+lg25=（）A．1 B．2 C．10 D．100考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算法则求解即可．解答：解：2lg2+lg25=2lg2+2lg5=2．故选：B．点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．3．（4分）不等式x2+5x﹣6＜0的解集为（）A．（﹣6，1）B．（﹣∞，6）∪（1，+∞）C．（﹣3，﹣2） D．（﹣∞，3）∪（2，+∞）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用二次不等式的求法，求解即可．解答：解：不等式x2+5x﹣6＜0，化为：（x﹣1）（x+6）＜0．不等式的解集为：x∈（﹣6，1）．故选：A．点评：本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．4．（4分）平面向量与的夹角为60°且=2，=1，则向量+2的模为（）A．B．12 C．D．10考点：平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模．专题：计算题．分析：由与的夹角为60°且=2，=1，知+2|==，由此能求出结果．解答：解：∵与的夹角为60°且=2，=1，∴+2|====2．故选A．点评：本题考查平面向量的数量积及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5．（4分）已知函数f（x）=x+，则下列说法正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）是减函数C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的性质进行判断即可．解答：解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，故选：C点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．（4分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，且|BD|=2|DC|，点E在线段AD上，且|AE|=2|ED|，6．设=，=，若=m+n，则m+n=（）A．﹣B．C．﹣3 D．3考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的减法，共线向量基本定理，向量的加法便容易得到，所以根据平面向量基本定理可得到．解答：解：根据已知条件，==；∴；又；∴根据平面向量基本定理得：m+n=．故选A．点评：考查向量减法、加法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．7．（4分）函数f（x）=log a x+x﹣b（2＜a＜3＜b＜4）的零点所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由2＜a＜3＜b＜4可判断f（2）=log a2+2﹣b＜0，f（3）=log a3+3﹣b＞0；从而可得f（2）f（3）＜0；从而判断零点的区间．解答：解：函数f（x）=log a x+x﹣b在定义域上连续，又∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜log a2＜1，1＜log a3，﹣2＜2﹣b＜﹣1，﹣1＜3﹣b＜0；∴f（2）=log a2+2﹣b＜0，f（3）=log a3+3﹣b＞0；故f（2）f（3）＜0；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．8．（4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”共有（）A．10个B．9个C．8个D．7个考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由|log2x|=1，|log2x|=2分别求出x的值，然后写出所有解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的定义域得答案．解答：解：由|log2x|=1，得log2x=±1，当log2x=1时，x=2，当log2x=﹣1时，x=；由|log2x|=2，得log2x=±2，当log2x=2时，x=4，当log2x=﹣2时，x=．∴满足解析式为f（x）=|log2x|，值域为{1，2}的“孪生函数”的定义域有：{2，4}、{2，}、{，4}、{，}、{2，，4}、{2，，}、{2，4，}、{，4，}、{2，，4，}共9个．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题．9．（4分）如图，已知△ABC中，A=90°，B=30°，点P在BC上运动且满足=，当取到最小值时，λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A．（0≤x≤4）．可得=．利用二次函数的单调性可得当x=时，取到最小值．利用=，即可解出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设BC=4，P（x，0），则A．（0≤x≤4）．∴=•（4﹣x，0）=（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣7x+12=．当x=时，取到最小值．∴=，∴=λ（﹣4，0），∴，解得λ=．故选：D．点评：本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（4分）已知f（x）=log2（其中x＞1），g（x）=x2﹣2ax+a2+b（其中x∈R，a＞0，b＞1），则下列判断正确的是（）A．f（g（a﹣1））＞f（g（a））B．f（g（））＞f（g（））C．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0且a）D．g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）考点：命题的真假判断与应用；对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据复合函数的单调性，先求出函数f（x）与g（x）的单调区间，再分别利用函数的单调性进行判断即可．解答：解：∵f（x）=log2=log2（1+），设t=1+，则t在（1，+∞）上单调递减，∴y=f（x）在（1，+∞）上单调递减，∵g（x）=x2﹣2ax+a2+b=（x﹣a）2+b，∴g（x）=（x﹣a）2+b，在（﹣∞，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，对于A，∵g（a﹣1）﹣g（a）=1＞0，且g（a）＞1，∴g（a﹣1）＞g（a）＞1，∵y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（g（a﹣1））＜f（g（a），故A不正确对于B．∵g（）＜g（），且g（）＞1，∴f（g（））＞f（g（）），故B正确对于C，=1+，则1＜≤2，∴f（）＞f（3），∵f（3）=1，f（）＞1，∴无法比较g（f（））与g（f（3））的大小，对于D，=1+，则1＜≤3，∴f（）≥（f（3）），∵f（3）=1，f（）≥1∴无法比较g（f（））＞g（f（3））（其中a≠0，且a≠1）的大小，故选：B．点评：本题考查了利用函数的单调性比较大小，关键是求出函数f（x）与g（x）的单调区间，属于中档题．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）已知2∈，则m=．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：利用2∈{2m﹣1，﹣2}，可得2m﹣1=2，即可求出m的值．解答：解：∵2∈{2m﹣1，﹣2}，∴2m﹣1=2，∴m=，故答案为：．点评：本题考查元素与集合关系，考查学生的计算能力，比较基础．12．（3分）函数f（x）=log2（2x+3）的定义域为（﹣，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则2x+3＞0，即x＞﹣，故函数的定义域为（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．（3分）已知幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，则f（6）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（4）=2列出方程求出a的值，即可求出函数的解析式，再求出f（6）的值．解答：解：因为幂函数f（x）=x a，且f（4）=2，所以4a=2，解得a=，则=，所以f（6）=，故答案为：．点评：本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、函数值，属于基础题．14．（3分）若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=﹣8．考点：向量的共线定理．专题：计算题．分析：先求出，利用A，B，D三点共线，=，求出k即可．解答：解：=（2﹣）﹣（+3）=﹣4因为A，B，D三点共线，所以=，已知=2+k，=﹣4所以k=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题考查向量的共线定理，考查运算能力，是基础题．15．（3分）已知奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，则=﹣1．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得，由此能求出=﹣1．解答：解：∵奇函数y=f（x）满足当x＜0时，f（x）=x2，∴，∴f（1）=﹣1，f（f（1））=f（﹣1）=1，f（f（f（1）））=﹣1，…其规律是法则为奇数层时为﹣1，为偶数层时函数值为1∴=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．16．（3分）已知定义在上的奇函数f（x）=a x﹣a﹣x（其中0＜a＜1），若m满足f（m2﹣4m）≥0，则m的取值范围为∪．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是奇函数，定义域关于原点对称求出t的值，然后研究函数f（x）的单调性，则即可列出关于m的不等式组解之即可．解答：解：因为原函数为奇函数，所以t﹣4+3t=0，解得t=1，所以定义域为，且f（0）=0又，因为0＜a＜1，所以lna＜0，所以f′（x）＜0，所以函数在上递减，则由f（m2﹣4m）≥0得f（m2﹣4m）≥f（0），即﹣3≤m2﹣4m≤0，解得∪．故答案为∪．点评：本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题，要注意在列不等式组时不可忽视了定义域．17．（3分）已知△ABC是边长为2的正三角形，以AC为直径作半圆O（如图），P为半圆上任一点，则的最大值为5．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，），O，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M．设P（x，y），则．可得=2x．即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取BC的中点D（1，0），A（1，），O，作⊙O的垂直于x轴的切线MN，切点为M．设P（x，y），则．则=（2，0）•（x，y）=2x=5．故答案为：5．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、直角三角形的边角关系、圆的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．18．（3分）已知函数f（x）=，若f（f（a））≤0，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令t=f（a），则f（t）≤0，讨论t≤1，t＞1，解不等式可得﹣1≤f（a）≤1，再由a≤1，a＞1，结合二次不等式的解法和对数不等式的解法，求并集即可得到．解答：解：令t=f（a），则f（t）≤0，当t≤1时，有2t2﹣2≤0，解得﹣1≤t≤1；当t＞1时，lgt≤0，解得0＜t≤1，不成立．即有﹣1≤f（a）≤1，当a≤1时，﹣1≤2a2﹣2≤1，解得≤a≤或﹣≤a≤﹣，则有≤a≤1或﹣≤a≤﹣；当a＞1时，有﹣1≤lga≤1，解得≤a≤10，则有1＜a≤10．综上可得a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查分段函数的运用，考查不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查换元法及运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题（共4小题，满分36分）19．（8分）已知全集为U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x（3﹣x）＞0}，M={x|2x﹣a ＜0}．（1）求A∩（∁U B）；（2）若（A∪B）⊆M，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）求出集合A，B，根据集合的基本运算即可求A∩（∁U B）；（2）根据（A∪B）⊆M，建立条件关系即可求实数a的取值范围解答：解：（1）A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x（3﹣x）＞0}={x|0＜x＜3}，∁U B={x|x≥3或x≤0}，则A∩（∁U B）={x|﹣1＜x≤0}；（2）A∪B={x|﹣1＜x＜3}，M={x|2x﹣a＜0}={x|x＜}若（A∪B）⊆M，则，解得a≥6，则实数a的取值范围分析：（1）奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0，即可得到a；（2）判断g（x）为偶函数，则有g（x）＞1等价为f（x）＞1在时，函数y=f（x）的最小值为﹣b，求的值．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）代入x=1，求得c=a﹣b，再由f（﹣1）＞0，f（）＜0，解不等式即可得证；（2）运用韦达定理和弦长公式，配方求得最小值2，进而得到a=b，c=0，再由△ABC为等腰直角三角形，求得C（1，﹣1），即可得到f（x）的解析式；（3）由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在的最小值，可能为顶点或两端点．分别求f（0）=﹣b，或f（1）=﹣b，或f（）=﹣b，再检验对称轴和区间的关系，即可判断．解答：（1）证明：f（1）=﹣a，可得a﹣（3a﹣b）+c=﹣a，化简得c=a﹣b，由x1∈（﹣1，），可得f（﹣1）＞0，f（）＜0，即有a+（3a﹣b）+c＞0且a﹣（3a﹣b）+c＜0，即5a﹣2b＞0，且﹣a﹣2b＜0，解得﹣＜＜；（2）解：由f（x）=0的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1x2=，则|AB|=|x1﹣x2|===，当=1∈时，|AB|取得最小值，且为2，即有f（x）=ax2﹣2ax+c=ax（x﹣2），即有A（0，0），B（2，0），则C的横坐标为1，由△ABC为等腰直角三角形，则C（1，﹣1），则有﹣1=a•（1﹣2），解得a=1，故f（x）=x2﹣2x；（3）解：由于f（x）的图象的开口向上，则f（x）在的最小值，可能为顶点处或两端点处．若f（x）的最小值为f（0）=﹣b，即为c=﹣b=a﹣b，解得=，则f（x）的对称轴为x==∈，则区间不为增区间，舍去；若f（x）的最小值为f（1）=﹣b，即为a﹣3a+b+c=﹣b，代入c=a﹣b，解得=，则f（x）的对称轴为x==∈，则区间不为减区间，舍去；若f（x）的最小值为f（）=﹣b，即为=﹣b，代入c=a﹣b，解得=2或，则f（x）的对称轴为x==∈，或∈，故成立．综上可得=2或．点评：本题考查二次函数的解析式的求法和最值的求法，主要考查二次方程的韦达定理和单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，注意求最值时，讨论最值取得的可能之处，是简化解题的策略．。
2022-2023学年浙江省嘉兴市南湖区第一中学高一上数学期末统考试题含解析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
5、C
【解析】对于 ，当 ，故错误；对于 ，由题可知对于任意 ， 为增函数，所以 与 的正负相同，则 ，故错误；对于 ，由 ，得对于任意 ，都有 ；对于 ，当 时， ，故错误.
故选C
D对任意 ，都有
6、D
【解析】A不正确，也有可能 ；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
18、（1） ，
（2）
【解析】（1）利用三角函数诱导公式将 化简，将 代入求值即可；
（2）利用 将 变形为 ，继而变形为 ，代入求值即可.
小问1详解】
则
【小问2详解】
由（1）知，
则
19、（1） ， ；（2）
【解析】（1）根据已知的关系式以及函数的奇偶性列出另一个关系式，联立求出函数 和 的表达式；
嘉兴市重点中学2022-2023学年高一上数学期末学业水平测试试题含解析
令正方形 的外接圆圆心为 ，由球面的截面小圆性质知 是直角三角形，且有 ，
而 与对角线 的夹角为45°，即 是等腰直角三角形，球O半径 ，
所以球 体积为 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.
(3）如果 ，求x的取值范围.
20．已知函数 的图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当 时，求函数 的最大值和最小值.
21．已知全集 ，集合
（1）若 ，求
（2） ．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
12、
【解析】利用同角的基本关系式，可得 ，代入所求，结合辅助角公式，即可求解
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，故答案为
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题
13、
【解析】求出 的反函数即得
【详解】因为函数 的图象与 的图象关于 对称，所以 是 的反函数，
C. ， D. ，
6．用二分法求方程的近似解，求得 的部分函数值数据如下表所示：
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
-6
3
-2.625
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1时，方程 的近似解可取为
A. B.
C. D.
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2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．已知函数，则的值是（）A．B．9 C．﹣9 D．﹣3．若非零向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．5．函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）6．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，点E为线段AD的中点，，则λ=（）A．B． C．D．7．函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．[2，+∞）8．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（）A．B．C．D．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．设函数，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）11．= ．12．已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x，则= ．13．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是．14．设向量不平行，向量与平行，则实数λ=．15．若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是．16．如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则= ．17．设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围．18．已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f （x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）19．已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数，x∈[0，9]的值域为集合B，（1）求A∩B；（2）若C={x|3x＜2m﹣1}，且（A∩B）⊆C，求实数m的取值范围．20．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．21．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值．2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1．已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用直接法求解，分别求出两个集合的交集与并集，观察两个集合的包含关系即可．【解答】解：M∩N={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}故选C．【点评】本题主要考查了集合的交集与子集的运算，属于容易题．2．已知函数，则的值是（）A．B．9 C．﹣9 D．﹣【考点】函数的值．【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（）==﹣2，∴=3﹣2=．故答案为：．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．若非零向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】对两边平方求出数量积与模长的关系，代入夹角公式计算．【解答】解：设=t，则2t2+2=t2，∴=﹣，∴cos＜＞==﹣．∴＜＞=．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，夹角计算，属于基础题．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+e x B．C．D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（﹣x）与±f（x）的关系，即可判断出奇偶性．【解答】解：A．其定义域为R，关于原点对称，但是f（﹣x）=﹣x+e﹣x≠±f（x），因此为非奇非偶函数；B．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），因此为奇函数；C．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==﹣f（x），因此为奇函数；D．定义域为x∈R，关于原点对称，又f（﹣x）==f（x），因此为偶函数；故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域求法、函数奇偶性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．函数f（x）=x﹣3+log3x的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（3，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解【解答】解：∵y1=x单调递增，y2=log3x单调递增∴f（x）=x﹣3+log3x单调递增又∵f（1）=1﹣3+0＜0，f（3）=3﹣3+1=1＞0∴当x∈（0，1）时，f（x）＜f（1）＜0，当x∈（3，4）或x∈（4，+∞）时，f（x）＞f（3）＞0∴函数f（x）=x﹣3+log3x的零点在（1，3）内故选B【点评】本题考查函数的零点，要求熟练掌握零点的性质．属简单题6．在△AB C中，已知D是BC延长线上一点，若，点E为线段AD的中点，，则λ=（）A．B． C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】由=， =，，，代入化简即可得出．【解答】解： =， =，，，代入可得： =+=+，与，比较，可得：λ=．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．C．D．[2，+∞）【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由零点分段法，我们可将函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|的解析式化为分段函数的形式，然后根据分段函数分段处理的原则，画出函数的图象，进而结合图象数形结合，可得实数a的集合【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|=，其函数图象如下图所示：由函数图象可得：函数f（x）=（1﹣x）|x﹣3|在（﹣∞，a]上取得最小值﹣1，当x≥3时，f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣1，解得x=2+，当x＜3时，f（x）=x2﹣4x+3=﹣1，解得x=2，实数a须满足2≤a≤2+．故实数a的集合是[2，2+]．故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据分段函数图象分段画的原则，画出函数的图象是解答本题的关键．8．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且，则不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（）A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可以得到f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，且，f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而不等式x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0可变成xf（x）＜0，从而可得到，或，根据f（x）的单调性便可解出这两个不等式组，从而便求出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上为增函数；∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数；∵f（）=0，∴；由x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0得，2xf（x）＜0；∴xf（x）＜0；∴，或；即，或；根据f（x）的单调性解得，或；∴原不等式的解集为．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，两个因式乘积的不等式转化成不等式组求解的方法，根据增函数的定义解不等式的方法．9．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，设D（x，0）则E（x+，0），则可表示为关于x的函数，根据x的范围求出函数的值域．【解答】解：以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则E（x+，0），﹣1≤x≤．∴=（x，﹣1），=（x+，﹣1），∴=x2+x+1=（x+）2+．∴当x=﹣时，取得最小值，当x=﹣1或时，取得最大值．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是常用解题方法，属于中档题．10．设函数，则满足f（f（a））=2f（a）的a取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式进行讨论进行求解即可．【解答】解：当a≥3时，f（f（a））=f（2a）=，所以a≥3符合题意；当时，f（a）=3a﹣1≥3，所以f（f（a））=f（3a﹣1）=23a﹣1=2f（a），所以符合题意；当时，f（a）=3a﹣1＜3，所以f（f（a））=f（3a﹣1）=9a﹣4=23a﹣1，结合图象知：只有当时符合题意；综上所述，a的取值范围为．故选：D【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）11．= 0 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数运算法则求解．【解答】解：==log21=0．故答案为：0．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质、运算法则的合理运用．12．已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x，则= ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先由函数是偶函数得f（﹣x）=f（x），再利用x＞0时，f（x）=0.001x，即可求出．【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵x＞0时，f（x）=0.001x，∴=f（）=．故答案为：．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个基础题．13．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是（﹣2，﹣2）．【考点】指数函数的图象变换．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】令x+2=0，则由a0=1恒成立可得答案．【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，y=﹣2，故y=a x+2﹣3的图象恒过定点（﹣2，﹣2），故答案为：（﹣2，﹣2）【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，熟练掌握不论a为何正实数，a0=1恒成立，是解答的关键．14．设向量不平行，向量与平行，则实数λ=．【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量平行的共线定理，列出方程求出λ的值．【解答】解：∵向量与平行，∴存在μ∈R，使+λ=μ（3+2），∴，解得μ=，λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目．15．若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是a≥1或a=0 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数y=|2x﹣1|的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可．【解答】解：作函数y=|2x﹣1|的图象如下，，结合图象可知，当a=0时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，当0＜a＜1时，方程|2x﹣1|=a有两个实数解，当a≥1时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，故答案为：a≥1或a=0．【点评】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用．16．如图，定圆C的半径为4，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C 不共线，且对任意的t∈（0，+∞）恒成立，则= 16 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数思想；综合法；平面向量及应用．【分析】对=||两边平方，得到关于t的二次不等式在（0，+∞）上恒成立，讨论判别式和根的范围列出不等式解出．【解答】解：∵=||，∴﹣2t+t2≥﹣2+，∴8t2﹣t+﹣8≥0在（0，+∞）上恒成立，△=（）2﹣32（﹣8）=（﹣16）2≥0，若△=0， =16，则8t2﹣t+﹣8≥0在R上恒成立，符合题意；若△＞0，≠16，则8t2﹣t+﹣8=0的最大解x0=≤0．当＞16时，x0=≤0，解得=8（舍去）．当＜16时，x0=1，不符合题意．综上， =16．故答案为16．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数恒成立问题，属于中档题．17．设非空集合S={x|m≤x≤l}对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题；转化思想；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】由m的范围求得m2=∈S，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围．【解答】解：由m=﹣时，得m2=∈S，则，解得：≤l≤1；∴l的范围是[，1]．故答案为：．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，正确理解题意是关键，是基础题．18．已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f （x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．由韦达定理可得b﹣a==，利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值．【解答】解：关于x的函数y=f（x）==（1﹣t）﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．故有a=f（a），且b=f（b），即 a=，b=．即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1，）．而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（﹣1，）且t≠0．由韦达定理可得b﹣a==，故当t=﹣时，b﹣a取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查求函数的定义域，以及二次函数的性质，求函数的最值，属于中档题．三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）19．已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数，x∈[0，9]的值域为集合B，（1）求A∩B；（2）若C={x|3x＜2m﹣1}，且（A∩B）⊆C，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由对数函数的定义域求出集合A，由函数，x∈[0，9]的值域求出集合B，则A∩B可求；（2）由集合C化为且（A∩B）⊆C得到不等式，求解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数，x∈[0，9]的值域为集合B，则A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|x＜﹣1或x＞2}∩{x|0≤x≤3}={x|2＜x≤3}；（2）∵且（A∩B）⊆C，∴，即m＞5．【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了函数的定义域及值域的求法，考查了交集及其运算，是中档题．20．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．【解答】解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5， 2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，属于基础题．21．已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；（2）根据函数单调性的定义判断其单调性，从而求出函数的最小值，求出m的范围．【解答】解：（1）在函数f（x）的定义域R上任取一自变量x因为=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；┅（3分）（2）当a＞1时，在[﹣1，1]上任取x1，x2，令x1＜x2，=，∵0≤x1＜x2≤1，∴f（x1）﹣f（x2）＜0所以函数f（x）在x∈[﹣1，1]时为增函数，┅（4分）当0＜a＜1时，同理可证函数f（x）在x∈[﹣1，1]时为增函数，，所以m≤1┅（3分）【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）在给出的不等式中，令x=1，根据这个条件可求出f（1）的值；（2）联立f（1）=2，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）﹣2x≥0恒成立，即：ax2+（b ﹣1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b﹣2）2﹣4a c≤0时，求得a=c＞0，再由f（x）（x+1）2恒成立，可得二次项系数小于0，判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围；（3）讨论当1≤x≤2时，当﹣2≤x＜1时，去掉绝对值，运用二次函数的对称轴和区间的关系，求得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（1）令x=1，由2x≤f（x）（x+1）2可得，2≤f（1）≤2，∴f（1）=2；（2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2﹣（a+c），∵对于一切实数x，f（x）﹣2x≥0恒成立，∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立，∴，即．可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0，则f（x）=ax2+bx+a，f（x）（x+1）2恒成立，即为（a﹣）x2+（b﹣1）x+（a﹣）≤0，可得a﹣＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣）2≤0，由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立；综上可得a的范围是（0，）；（3）函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|=ax2+（2﹣2a）x+a+2a|x﹣1|（0＜a＜），当1≤x≤2时，g（x）=ax2+2x﹣a在[1，2]递增，可得x=1时，取得最小值2；当﹣2≤x＜1时，g（x）=ax2+（2﹣4a）x+3a，对称轴为x=，当≤﹣2，即为0＜a≤时，[﹣2，1）递增，可得x=﹣2取得最小值，且为4a﹣4+8a+3a=﹣1，解得a=；当＞﹣2，即＜a＜时，x=，取得最小值，且为=﹣1，解得a=∉（，）．综上可得，a=．【点评】此题考查的是二次函数解析式问题，题中还涉及了二次函数的性质、二次函数与不等式的联系，以及不等式恒成立问题的解法；抓住不等式恒成立的条件，考查二次函数最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．。