二次函数与等腰三角形

以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题
【学习目标】
这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。

解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨
论来解决。

此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性.
【教学过程】解题思路：等腰三角形的存在性的解题方法：①几何法三步：先分类；再画图；后计算．② 代数法三步：先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验．再以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.
一、考点突破
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例1、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，若
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已知 A 点的坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
2）连接AC、BC，求线段BC 所在直线的解析式；
P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的（3）在抛物线的对称轴上是否存在
点P 点坐标；若不存在，请说明理
【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点C 的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点Q 从点 B 出发，沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，
另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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例3、如图，已知抛物线y ax2bx c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l 上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M 也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．
变式题组】
2 4 3
1、如图，抛物线y=ax +bx+（c a ≠0 ）的图象过点M（﹣2 ，3 ），顶点坐标为N（﹣1， 3 3
），且与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P 的坐标；
3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若点M 在x 轴上，是否存在点M ，使以B、C、M 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；
4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使
△CPQ
3、如图，在平面直角坐标系中，点 A ，B 分别是y 轴正半轴，x 轴正半轴上两动点，
OA 2k ，OB 2k 3 ，以AO ，BO 为邻边构造矩形AOBC ，抛物线32
y x2 3x k 交y 轴于点D ，P为顶点，PM x 轴于点M ．
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（1）求OD，PM 的长（结果均用含k的代数式表示）；
（ 2 ）当PM BM 时，求该抛物线的表达式；
（3 ）在点 A 在整个运动过程中，若存在ADP 是等腰三角形，请求出所有满足条件的k 的值．
追光的人，自己也会身披万丈光芒
作业巩固
1、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋ c 与x 轴负半轴交于点A，与y 轴正半轴交于点B，
且
OA＝OB.
（1）求b＋c 的值；
（2）若点 C 在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P（不与A，C重合）是抛物线上的一点，点M 是y 轴上一点，当△BPM 是等腰直角三角形时，直接写出点M 的坐标..
3、如图，抛物线y＝ax2＋bx 过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x 轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式，并求出△ABC 的面积；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为 6 时，求出点P的坐标；
（3）若点M 在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．。