六年级 第3讲 小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
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（1）代数思想 A0BC=9 • ABC 1000+BC=900A+9BC BC
（2）约倍分析法 BC为25的倍数
{ { { BC=25 A=2
BC=50 A=4
BC= 75 A=6
所以零巧数有三个：2025、4050、6075
若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两
知识储存要丰富，关键联想很重要。 （1）23！末尾有4个0
（2）2，3！÷10000为8倍数 d为8倍数 d
（3）23！为99倍数 c8 38 b7 01 5a+58+2 为 99 的倍数 56+10（c+d）+a为99 的倍数 a ，c+b=14
∴a，b，c，d，e分别为2，6，8，4，0。
数论专题考点分析与技巧总结
1．数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，一般保守估计，平均每套 试卷25%分值考查数论。
2．2011年小升初数论考查三重点： 约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。
3．“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。
Thank you !
②去余化乘，找倍试约。
十二、剩余问题 三种解法
去同余数，添同补 和谐法 逐级满足法
模块二、 数论专题综合性题目选讲
(2010年西城实验小升初试题)
2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称
为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。 数论两宝：代数思想+枚举验证
2 奇偶性
5 个位
八、分解质因数 1．质数：快速判断 2．唯一分解定律 3．见积就拆——大质因子分析
模块一： 计数专题系统梳理
九、余数定律 1．利用整除性质求余数 2．利用余数性质求余数 3．利用除数分拆求余数
十、带余除式 代数思想 数论方程
去余化乘，找倍试约
十一、同余问题 1．同余定理：如果a与b除以m余数相同，则a、b之差为m的倍数。 2．① 不同余 余数 性质同余
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘 约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘 约数积定律：自身n (n＝约数个数÷2)
五、完全平方数 ①特征
末位：0、1、4、5、6、9
余数：÷÷
3余0或1 4余0或1
②奇数个约数 偶指性 完全平方数
模块一： 计数专题系统梳理
六、短除模型
七、质数明星：
整除判断：奇段和与偶段和之差 余数判断：奇段和 - 偶段和（不够减则补，直到够减）
三、整除技巧： 1．除数分拆：(互质分拆，要有特征) 2．除数合并：(结合试除，或有特征) 3．试除技巧：(末尾未知，除数较大) 4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹) 5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
模块一： 计数专题系统梳理
满足条件的两位数为67。
(2009年清华附中小升初) 对四位数，若存在质数p和正整数k，使 a× b× c× d＝pp －5，且 a＋b＋c＋d＝pp－5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
分析范围，勇于尝试。
①范围分析：
a b c d 36 p a b c d 27 5 22
②质因子分析：
a b c d 3k a、b、c、d为1、3、9...
③极值突破：
a 1，b 3，c 9，d 9 abcd最小为1399
23! 2585a01b738c849766de000
已知，23！=2585a01b738c849766de000 ，其中a，b，c，d，e表示五个互不相同 的偶数数字，且c＞b，求a，b，c，d，e分别是多少?
二、整除特征 1．末位系列 (2，5)末位 (4，25)末两位 (8，125)末三位 2．数段和系列 3、9各位数字之和 ——任意分段原则(无敌乱切法) 33，99两位截断法 ——偶数位任意分段原则
模块一： 计数专题系统梳理
3．数段差系列 11整除判断：奇和与偶和之差 余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止) 7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
小升初数论高频考点汇总与方法总结
本讲重点
1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理 2．数论专题综合性题目选讲
模块一： 数论专题系统梳理
模块一： 计数专题系统梳理
一、整除性质 ①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数) ②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。 ③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。 ④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
个数是多少？
1、数论两宝：代数思想+枚举验证
2、短除模型 “最大公约”与“最小公倍”类
题目
（1）代数思想:
{ M A B ab
M 2 (a2 b2 )6371372 M (1ab)4972
（2）枚举验证：
1. M
7 {(a2 +b2 )=13 ab=6
{a 2 b=3
2.M
1
{(a2 +b2 ab=48
)=13
{A14 B=21
一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，
百度文库
得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为 _____。
1、数论两宝：代数思想+枚举验证
2、各位数字之和
{3余数，9余数 两条结论
（1）分析：3倍数 数字和为3倍数且为质数 一定为3
（2）枚举验证： 3倍数：30、102、120、201、210 1倍数：10、34、40、67、70 5倍数：50、170、200、335、350
（2）约倍分析法 BC为25的倍数
{ { { BC=25 A=2
BC=50 A=4
BC= 75 A=6
所以零巧数有三个：2025、4050、6075
若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两
知识储存要丰富，关键联想很重要。 （1）23！末尾有4个0
（2）2，3！÷10000为8倍数 d为8倍数 d
（3）23！为99倍数 c8 38 b7 01 5a+58+2 为 99 的倍数 56+10（c+d）+a为99 的倍数 a ，c+b=14
∴a，b，c，d，e分别为2，6，8，4，0。
数论专题考点分析与技巧总结
1．数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，一般保守估计，平均每套 试卷25%分值考查数论。
2．2011年小升初数论考查三重点： 约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。
3．“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。
Thank you !
②去余化乘，找倍试约。
十二、剩余问题 三种解法
去同余数，添同补 和谐法 逐级满足法
模块二、 数论专题综合性题目选讲
(2010年西城实验小升初试题)
2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称
为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。 数论两宝：代数思想+枚举验证
2 奇偶性
5 个位
八、分解质因数 1．质数：快速判断 2．唯一分解定律 3．见积就拆——大质因子分析
模块一： 计数专题系统梳理
九、余数定律 1．利用整除性质求余数 2．利用余数性质求余数 3．利用除数分拆求余数
十、带余除式 代数思想 数论方程
去余化乘，找倍试约
十一、同余问题 1．同余定理：如果a与b除以m余数相同，则a、b之差为m的倍数。 2．① 不同余 余数 性质同余
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘 约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘 约数积定律：自身n (n＝约数个数÷2)
五、完全平方数 ①特征
末位：0、1、4、5、6、9
余数：÷÷
3余0或1 4余0或1
②奇数个约数 偶指性 完全平方数
模块一： 计数专题系统梳理
六、短除模型
七、质数明星：
整除判断：奇段和与偶段和之差 余数判断：奇段和 - 偶段和（不够减则补，直到够减）
三、整除技巧： 1．除数分拆：(互质分拆，要有特征) 2．除数合并：(结合试除，或有特征) 3．试除技巧：(末尾未知，除数较大) 4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹) 5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
模块一： 计数专题系统梳理
满足条件的两位数为67。
(2009年清华附中小升初) 对四位数，若存在质数p和正整数k，使 a× b× c× d＝pp －5，且 a＋b＋c＋d＝pp－5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
分析范围，勇于尝试。
①范围分析：
a b c d 36 p a b c d 27 5 22
②质因子分析：
a b c d 3k a、b、c、d为1、3、9...
③极值突破：
a 1，b 3，c 9，d 9 abcd最小为1399
23! 2585a01b738c849766de000
已知，23！=2585a01b738c849766de000 ，其中a，b，c，d，e表示五个互不相同 的偶数数字，且c＞b，求a，b，c，d，e分别是多少?
二、整除特征 1．末位系列 (2，5)末位 (4，25)末两位 (8，125)末三位 2．数段和系列 3、9各位数字之和 ——任意分段原则(无敌乱切法) 33，99两位截断法 ——偶数位任意分段原则
模块一： 计数专题系统梳理
3．数段差系列 11整除判断：奇和与偶和之差 余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止) 7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
小升初数论高频考点汇总与方法总结
本讲重点
1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理 2．数论专题综合性题目选讲
模块一： 数论专题系统梳理
模块一： 计数专题系统梳理
一、整除性质 ①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数) ②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。 ③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。 ④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
个数是多少？
1、数论两宝：代数思想+枚举验证
2、短除模型 “最大公约”与“最小公倍”类
题目
（1）代数思想:
{ M A B ab
M 2 (a2 b2 )6371372 M (1ab)4972
（2）枚举验证：
1. M
7 {(a2 +b2 )=13 ab=6
{a 2 b=3
2.M
1
{(a2 +b2 ab=48
)=13
{A14 B=21
一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，
百度文库
得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为 _____。
1、数论两宝：代数思想+枚举验证
2、各位数字之和
{3余数，9余数 两条结论
（1）分析：3倍数 数字和为3倍数且为质数 一定为3
（2）枚举验证： 3倍数：30、102、120、201、210 1倍数：10、34、40、67、70 5倍数：50、170、200、335、350