高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1

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2017-2018学年高中数学北师大选修1-1讲义：第一章 4

§4逻辑联结词“且”“或”“非”[对应学生用书P11]如图所示，有三种电路图．问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合．问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合．问题3：丙图中什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合．用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．问题1：什么情况下，p且q为真命题？提示：当p真，且q真时．问题2：什么情况下，p或q为假命题？提示：当p假，且q假时．问题3：什么情况下，綈p为真命题？提示：当p为假时．含有逻辑联结词的命题的真假判断1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；3．新命题綈p与命题p的真假相反．[对应学生用书P12][例1](1)p：6是自然数；q：6是偶数．(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．[思路点拨]先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．[精解详析](1)p或q：6是自然数或是偶数．p且q：6是自然数且是偶数．綈p：6不是自然数．(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．綈p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．p且q：3是9的约数且是18的约数．綈p：3不是9的约数．[一点通]用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C.答案：C2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示()A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；“p且q”：π是无理数且e不是无理数．(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)x ＝1不是不等式x 2－5x ＋6>0的解．解：(1)是“p 且q ”形式的命题．其中p ：菱形的对角线互相垂直．q ：菱形的对角线互相平分．(2)是“p 且q ”形式的命题，其中p ：2是4的约数；q ：2是6的约数． (3)是“綈p ”形式的命题，其中p ：x ＝1是不等式x 2－5x ＋6>0的解.[例2] (1)p ：3是13的约数，q ：3是方程x 2－4x ＋3＝0的解； (2)p ：x 2＋1≥1，q ：3＞4；(3)p ：四边形的一组对边平行，q ：四边形的一组对边相等； (4)p ：1∈{1,2}，q ：{1} {1,2}．[思路点拨] 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p ，q 的真假判断命题的真假．[精解详析] (1)因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (2)因为p 真q 假，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假； (3)因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“非p ”为真； (4)因为p 真q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为真，“非p ”为假． [一点通]判断含逻辑联结词的命题真假的步骤： (1)确定命题的形式；(2)判断构成该命题的两个命题的真假；(3)根据“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”的真假性与命题p ，q 的真假性的关系作出判断．5．若綈p 或q 是假命题，则( ) A ．p 且q 是假命题 B ．p 或q 是假命题 C ．p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：由于綈p 或q 是假命题，则綈p 与q 均是假命题，所以p 是真命题，綈q 是真命题，所以p 且q 是假命题，p 或q 是真命题，故选A.答案：A6．设命题p ：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝tan x 的图像关于直线x ＝3π2对称，则( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为真D ．p 或q 为假解析：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12的最小正周期T ＝2π2＝π，所以p 为假命题；函数y ＝tan x 的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q 为假命题，所以綈q 为真，p 且q 为假，p 或q 为假，故选D.答案：D[例3] ＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．[思路点拨] “p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 中必一真一假；可分p 真q 假，p 假q 真两种情况处理．[精解详析] 由题意知，p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，则p 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，∴m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则q 为真时，Δ＝16(m －2)2－4×4<0，即1<m <3.①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一点通]根据p ，q 的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p 假”时，一般不从綈p 为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p 真”时参数的集合的补集．7．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0成立”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：该命题p 的否定是綈p ：“任意x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1＞0”，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1＞0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4＜0，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图像开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a ＞1，即a ＜1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，∴1≤a ＜2.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a ＜1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．[对应课时跟踪训练(四)]1．已知命题p ，q ，若命题綈p 是假命题，命题p ∨q 是真命题，则( ) A ．p 是真命题，q 是真命题 B ．p 是假命题，q 是真命题C ．p 是真命题，q 可能是真命题也可能是假命题D ．p 是假命题，q 可能是真命题也可能是假命题解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，由于命题p 或q 一真则真，所以q 可能是真命题也可能是假命题，故选C.答案：C2．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∈/∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题 D ．非q 为假命题解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.答案：D3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.答案：A4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q且p D．q解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.答案：C5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q 是“第二次击中飞机”．试用p ，q 以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s ：两次都击中飞机； (2)命题r ：两次都没击中飞机； (3)命题t ：恰有一次击中了飞机； (4)命题u ：至少有一次击中了飞机．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s 表示为p 且q .(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p 且綈q .(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p 且綈q ，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p 且q ，所以命题t 表示为( p 且綈q )或(綈p 且q )．(4)法一：命题u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u 表示为p 或q . 法二：綈u ：两次都没击中飞机，即是命题r ，所以命题u 是綈r ，从而命题u 表示为綈(綈p 且綈q )．法三：命题u 表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u 表示为(p 且綈q )或(綈p 且q )或(p 且q )．8．已知p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假． p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0， ∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a4≤3，∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[对应学生用书P14]一、命题1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．2．四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件与必要条件1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定．若“p ⇒q ”，且“p ⇐/ q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；若“p ⇔/ q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．2．利用集合关系判断充分必要条件：若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件；若A ＝B ，则x ∈A 与x ∈B 互为充要条件；若A ⃘B 且B ⃘A ，则x ∈A 是x ∈B 的既不充分也不必要条件．三、全称量词与存在量词1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x 验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x ，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．四、逻辑联结词1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p 或q ”“p 且q ”“非p ”． 2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p 或q ”中有真为真，其余为假；“p 且q ”中有假为假，其余为真． 3．命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中是假命题的是( ) A ．等边三角形的三个内角均为60° B ．若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数 C ．集合A ＝{0,1}的真子集有3个D ．若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根解析：对于A ，由平面几何知识可知A 是真命题；对于B ，取x ＝3，y ＝－3可知x ＋y ＝0是有理数，显然x ，y 都是无理数，故B 是假命题；对于C ，集合A ＝{0,1}的所有真子集是∅，{0}，{1}，共有3个，故C 是真命题；对于D ，由b ≤－1知Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ＞0，所以D 是真命题，故选B.答案：B2．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．命题p ：对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2≤sin x 成立，则命题p 的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 B ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2≥sin x 成立 C ．存在x ∈R ，使x 2－2x ＋2＞sin x 成立 D ．对任意x ∈R ，都有x 2－2x ＋2＞sin x 成立解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.答案：C4．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.答案：C5．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换．即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数．答案：B6．给出下列四个命题：①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＋y＝2，则x2＋y2≥2；④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么()A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假解析：①的逆命题为：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0为真，其余均错，故选A.答案：A7．已知条件p：1x＋2＜0和条件q：lg(x＋2)有意义，则綈p是q的() A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：不等式1x＋2＜0的解集为{x|x＜－2}，则綈p：x≥－2.命题q：x＞－2，故綈p⇒/ q，q⇒綈p，故选C.答案：C8．命题“对任意x∈[1,2]，都有x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：∵任意x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，即a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C9．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：∵任意x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立， ∴命题p 假，綈p 真；又sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，sin x ＋cos x ＝2， ∴q 真，綈q 假．答案：D10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的相反数是正数”不是全称命题B ．命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定是“存在x ∈N ，x 3＞x ”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析：∵“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数，是全称命题，∴A 不正确；又∵对全称命题“任意x ∈N ，x 3＞x ”的否定为“存在x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确；又∵f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π， ∴|a |＝1⇒/ a ＝1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．“对顶角相等”的否定为__________________，否命题为_______________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等12．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的________条件．解析：因为角A 可能为锐角或为钝角，因此由“sin A ＝45”不一定得到“cos A ＝35”，但“cos A ＝35”一定能得到“sin A ＝45”，故“sin A ＝45”是“cos A ＝35”的必要不充分条件．答案：必要不充分13．已知命题p ：任意x ∈R ，ax 2－2x －3＜0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是________．解析：綈p ：存在x ∈R ，ax 2－2x －3≥0.当a ＝0时，存在x ≤－32，使ax 2－2x －3≥0；当a ＞0时，显然存在实数x ，使ax 2－2x －3≥0；当a ＜0时，只需判别式Δ＝4＋12a ≥0，即有－13≤a ＜0.综上所述：a ≥－13. 答案：⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ 14．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 或綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．上述结论中，正确结论的序号是________．解析：∵p 真，q 真，∴p 且q 真，p 或綈q 真，綈p 或q 真，綈p 或綈q 假．答案：①③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．解：∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件， ∴B A .当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述：实数a 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1. 16．(本小题满分12分)分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的新命题，并判断真假．(1)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)p ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同；q ：方程x 2－16＝0的两根的绝对值相等．解：(1)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分，綈p ：平行四边形的对角线不一定相等．由于p 假q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真．(2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－16＝0的两根的符号不同且绝对值相等．綈p ：方程x 2－16＝0的两根的符号相同．由于p 真q 真，所以“p 或q ”，“p 且q ”为真，“綈p ”为假．17．(本小题满分12分)已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．解：令f (x )＝x 2＋(2k －1)x ＋k 2.方程有两个大于1的实根就是函数f (x )与x 轴的两个交点都位于(1，＋∞)内，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－2k －12>1，f (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (2k －1)2－4k 2≥0，2k ＋1<0，k 2＋2k >0⇔k <－2.所以方程有两个大于1的实根的充要条件是k <－2.18．(本小题满分14分)给定p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，则“a ＝0”或“a >0且a 2－4a <0”．解得0≤a <4.若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝1－4a ≥0，得a ≤14. 因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则p ，q 有且仅有一个为真命题，故“綈p 且q ”为真命题，或“p 且綈q ”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0或a ≥4，a ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，a >14，解得a <0或14<a <4. 所以实数a 的取值范围是()－∞，0∪⎝⎛⎭⎫14，4.。

北师大版高三数学选修1-1《1.4逻辑联结词“非”》同步测试卷及答案

北师大版高三数学选修1-1《1.4逻辑联结词“非”》同步测试卷及答案逻辑联结词“非”同步练习一、选择题：1．有三个语句：⑴2x <；⑵210x -=；⑶20,()x x R <∈，其中是真命题的为（）A ．⑴ ⑵B ．⑴ ⑶C ．⑵D ．⑶2．下列语句中是命题的为（）A ．你到过北京吗？B ．对顶角难道不相等吗？C ．啊！我太高兴啦！D 2是无理数3．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解是1x =或2x =。

其中，复合命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．“220a b +≠”的含义为（）A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为5．若命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么（）A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题6．命题p ：若A B B =，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A B B ≠。

那么命题p 与命题q 的关系是（）A ．互逆B ．互否C ．互为逆否命题D ．不能确定7．若A ：a ∈R,|a|<1, B ：x 的二次方程x2+(a+1)x+a －2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．设集合A={x|x2+x －6=0},B={x|mx+1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．12m =-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭ D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ 10．设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：11．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是；12．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；13．“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为；14．用“充分、必要、充要”填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的______条件；②⌝p 为假命题是p ∨q 为真命题的______条件；③A ：|x － 2 |<3, B ：x2－ 4x － 15<0, 则A 是B 的_____条件.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版高二选修1-1数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”练习北师大版选修1-1一、选择题1．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则( )A．p或q为真B．p且q为真C．p真q假D．p、q均为假[答案] A[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p或q为真，p且q为假，故选A.2．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③“若a>b，则a＋c>b＋c”；④“正方形的两条对角线相等且互相垂直”，其中假命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②为“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为“p且q”形式的命题，为真命题，故选A.3．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．(¬p)或q B．p且qC．(¬p)或(¬q) D．(¬p)且(¬q)[答案] C[解析]命题p：所有有理数都是实数为真命题．命题q：正数的对数都是负数是假命题．¬p为假命题，¬q是真命题，(¬p)或(¬q)是真命题，故选C.4．已知命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是( )A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真[答案] A[解析]∵p为假，q为真，∴“p且q”为假，“p或q”为真，“¬p”为真，“¬q”为假，故选A.5．命题“p 或q 为真”是命题“q 且p 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 若p 或q 为真，则p 、q 一真一假或p 、q 均为真，若q 且p 为真，则q 、p 均为真，故选B.6．已知命题p ：∀x ∈R,9x 2－6x ＋1>0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则( ) A ．¬p 是假命题 B ．p ∨q 是真命题 C ．¬q 是真命题 D ．(¬p )∧(¬q )是真命题[答案] B[解析] 当x ＝13时，9x 2－6x ＋1＝0，所以p 为假命题；当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．二、填空题7．p ：ax ＋b >0的解集为x >－ba；q ：(x －a )(x －b )<0的解为a <x <b .则p 且q 是________命题(填“真”或“假”)． [答案] 假[解析]p 中a 的符号未知，q 中a 与b 的大小关系未知，因此命题p 与q 都是假命题． 8．若命题p ：x ∈(A ∩B )，则命题“¬p ”是________． [答案]x ∉A 或x ∉B[解析] 命题p ：x ∈(A ∩B )，即为x ∈A 且x ∈B ，故“¬p ”是x ∉A 或x ∉B . 三、解答题9．(1)分别写出由下列命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”形式的复合命题，p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相平分．(2)已知命题p ：王茹是共青团员，q ：王茹是三好学生，用自然语言表述命题p 且q ，p 或q .[解析] (1) p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相平分；p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相平分．(2)p 且q ：王茹既是共青团员，又是三好学生；p 或q ：王茹是共青团员或是三好学生．10．已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增；命题q ：函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值X 围．[答案]m ≥3或1<m <2[解析] 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则－m ≤－2， ∴m ≥2，即p ：m ≥2，函数g (x )＝2x 2＋22(m －2)x ＋1的图像恒在x 轴上方；则不等式g (x )>0恒成立，故Δ＝8(m －2)2－8<0. 解得1<m <3，即q ：1<m <3.若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上，m 的取值X 围是{x |m ≥3或1<m <2}.一、选择题 1．下列命题：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”； ②“菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形”； ③方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ⑤集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] “或”命题为真，只需至少一个为真；“且”命题为真，需全为真．①、③、⑤为真命题．2．由命题p ：“函数y ＝1x是减函数”与q ：“数列a ，a 2，a 3，…是等比数列”构成的命题，下列判断正确的是( )A ．p 或q 为真，p 且q 为假B ．p 或q 为假，p 且q 为假C ．p 或q 为真，p 且q 为假D ．p 或q 为假，p 且q 为真 [答案] B[解析]∵p 为假，q 为假， ∴p 或q 为假，p 且q 为假．3．已知命题p ：m <0，命题q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数x 恒成立，若p 且q 为真命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．m <－2B ．m >2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <0[答案] D[解析]q ：x 2＋mx ＋1>0对一切实数恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.p ：m <0，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m <2m <0，∴－2<m <0.4．(2014·某某师大附中期中)下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A 为真命题；p 且q 为假命题时，p 假或q 假，故B 错误；由“非”命题的定义知C 正确；∵x >2时，x 2－3x ＋2>0成立，x 2－3x ＋2>0时，x <1或x >2，∴D 正确．二、填空题5．命题p ：“若a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ”，则¬p 为________． [解析]p 的否定¬p ：存在三数a 、b 、c 成等比数列，但b 2≠ac .6．(2014·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx＋1>0恒成立，若p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，则m 的取值X 围是________．[答案]m ≤－2或－1<m <2[解析]p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p 且q 为假命题且p 或q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．已知命题p ：函数y ＝－x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递减；命题q ：函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求m 的取值X 围．[答案] (－2，－14)[解析] 函数y ＝－x 2＋mx ＋1图像的对称轴为x ＝m 2，由条件m2≤－1，∴m ≤－2，即命题p ：m ≤－2；∵函数y ＝mx 2＋x －1<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝1＋4m <0，∴m <－14，∴命题p ：m <－14，∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 真q 假或p 假q 真，p 真q 假时，无解；p 假q 真时，－2<m <－14，∴m 的取值X 围是(－2，－14)．8．给定两个命题，p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立；q ：a 2＋8a －20<0，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数a 的取值X 围．[答案] (－10,0)∪[2,4) [解析]ax ＋ax ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式恒成立，满足题意．当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.故0≤a <4.q ：a 2＋8a －20<0，∴－10<a <2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4a ≤－10或a ≥2，∴2≤a <4.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－10<a <2，∴－10<a <0.综上可知，实数a 的取值X 围是(－10,0)∪[2,4)．。

高中数学课时讲练通课件：1.4《逻辑联结词“且”“或”“非”》(北师大版选修1-1)

目录课程目标设置主题探究导学
-5<a<7 , 即-5＜a≤-4, 若p真q假，则 a -4
典型例题精
a -5或a 7 若p假q真，则 , 即a≥7, a>-4
析
知
能巩固提升
所以，实数a的取值范围为-5＜a≤-4或a≥7.
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目录典课程目标设置主题探究导学型例题精
析
知
能巩固提升
目录典课程目标设置主题探究导学型例题精
析
知
能巩固提升
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析
知
能巩固提升
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知
能巩固提升
【解析】选B.不大于是指小于或等于，故选B.
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2.下列命题的构成形式中，是“p或q”形式的是（
）
典型例题精
（A）6≥6
（C） 2 不是无理数
（B）3是奇数且3是质数
（D）3是6和9的约数
析
【解析】选A.B、D是“p且q”形式的复合命题，而C是“非p”
形式的命题，6≥6的意义是6＞6或6=6，故6≥6是“p或q”形
式的复合命题.
知
能巩固提升
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3.命题p:∈{};命题q:{},那么下列结论不正确的是( ) (B)“p且q”为假 (D)“ q”为假

2017-2018学年高中数学北师大选修1-1：课时跟踪训练四

课时跟踪训练(四)逻辑联结词“且”“或”“非”1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则()A．p是真命题，q是真命题B．p是假命题，q是真命题C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∈/∅，下列说法正确的是()A．p且q为假命题B．p或q为假命题C．非p为真命题D．非q为假命题3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∉A，则b∈BC．若a∈A，则b∉B D．若b∉A，则a∈B4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈p B．綈p或qC．綈q且p D．q5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是______________________．7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．答案1．选C由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.2．选D由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.3．选A命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A.4．选C很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.5．解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且q p或q非p6．解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．∵綈p为假，则p为真，即函数在(－∞，4]上为减函数，∴－(a－1)≥4，即a≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－3]．答案：(－∞，－3]7．解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s 表示为p 且q .(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r 表示为綈p 且綈q .(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p 且綈q ，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p 且q ，所以命题t 表示为( p 且綈q )或(綈p 且q )．(4)法一：命题u 表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u 表示为p 或q . 法二：綈u ：两次都没击中飞机，即是命题r ，所以命题u 是綈r ，从而命题u 表示为綈(綈p 且綈q )．法三：命题u 表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u 表示为(p 且綈q )或(綈p 且q )或(p 且q )．8．解：由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题可知p ，q 一真一假．p 为真命题时，Δ＝a 2－16≥0，∴a ≥4或a ≤－4；q 为真命题时，对称轴x ＝－a 4≤3， ∴a ≥－12.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4或a ≤－4，a <－12，得a <－12；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <4，a ≥－12，得－4<a <4. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．。

高中数学第一章常用逻辑用语逻辑联结词“且”“或”“非”知识归纳素材北师大版选修1-1

逻辑联结词“且”“或”“非”
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。

3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。

4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或. 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。

5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙插
入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路
1。

高中数学北师大版选修1-1 1.4逻辑联结词“且”“或”“非” 课件(28张)

-6-
3.逻辑联结词“非” 对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作 p,读作非p. 名师点拨对“非”的理解,可联想“补集”的概念.若将命题p对应集合P,则命题非p就对应集合P在全集U中的补集∁UP. 【做一做3-1】命题“方程x2-1=0的解是x=±1”中,使用逻辑联结词的情况是( ) A.没有使用逻辑联结词 B.使用了逻辑联结词“且” C.使用了逻辑联结词“或” D.使用了逻辑联结词“非” 解析:x=±1的含义是x=-1或1,故选或q”“p且q”“非p”填空: (1)命题“2是偶数且为质数”是的形式; (2)命题“|x-1|>1的解集为{x|x>2或x<0}”是式; (3)命题“-3不小于零”是的形式. 答案:(1)p且q (2)p或q (3)非p
的形
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题型一
题型二
题型三
题型四
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题型一
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】指出下列命题的构成形式及构成它的命题p,q,并判断它们的真假. (1)(n-1)· n· (n+1)(n∈N+)既能被2整除,也能被3整除; (2)⌀是{⌀}的元素,也是{⌀}的真子集. 解:(1)命题构成形式为p且q,其中p:(n-1)· n· (n+1)(n∈N+)能被2整除,为真命题. q:(n-1)· n· (n+1)(n∈N+)能被3整除,为真命题.故p且q为真命题. (2)命题构成形式为p且q,其中p:⌀是{⌀}的元素,为真命题;q:⌀是{⌀} 的真子集,为真命题.故p且q为真命题.
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题型三
题型四
题型五

高中数学第1章 §4逻辑联结词“且”“或”“非”课件北师大版选修1-1

牛刀小试
1．“xy≠0”是指( A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0 C．x，y至少一个不为0 )
D．不都是0
[答案] A [解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.
2．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，
则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( A．(0，－3) C．(1，－1) [答案] C B．(1,2) D．(－1,1) )
难点：对“或”的含义的理解及对命题的否定.
逻辑联结词“且” 新知导学 1 ．用“且”联结两个命题 p 和 q ，构成一个新命题“ p 且真命 q”，当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是_____ 题；在两个命题 p和 q之中有一个命题是假命题时，新命题“ p 且q1-1
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第一章
常用逻辑用语
第一章 §4 逻辑联结词“且”“或”“非 ”
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
理解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义，会判断命题
“p且q”、“p或q”、“¬p”的真假.
重点：了解“且”与“或”及“非”的含义，能判定由 “且”“或”“非”组成的新命题的真假．
题的否定是“若p，则¬q”．
典例探究学案
命题的构成形式
分别指出下列命题的构成形式． (1)小李是老师，小赵也是老师； (2)1 是合数或质数； (3)他是运动员兼教练员； (4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．
2．关于逻辑联结词“且”
(1)“ 且 ” 的含义与日常语言中的 “ 并且 ” 、 “ 及 ” 、同时 “和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须______ 成立． (2) 从如图所示串联开关电路上看，当两个开关 S1 、 S2 都闭合时，灯才能亮；当两个开关 S1 、S2 中一个不闭合或 __________ 两个都不闭合时，灯都不会亮．

北师大版数学选修1-1教案：第1章-逻辑联结词“且”“或”“非”-同步练习【3】

1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”同步练习
1、设{}n a 的前n 项和为n S ，命题:p 若*12()n n S n N =+∈，则{}n a 为等比数列；命题:q 若*21()n n S a n N =+∈，则{}n a 为等比数列。

则判断正确的是
A.p 或q 为假
B.p 且q 为真
C.p ⌝且q 为真
D.p ⌝或q 为假
2、下列判断错误．．
的是 A.命题“p 且q”的否命题是“p q ⌝⌝或”
B.命题p ：若M N M =则N M ⊆，命题:5{2,3}q ∉，则命题“p 且q”为真命题
C.集合A ＝{a,b,c }，集合B={0,1}，则从集合A 到集B 的不同映射个数有8个
D. 已知点(1,21)(3,23)PA a a PB a a =+-=--,则0<a <1是向量PA PB 与的夹角为钝角的必要非充分条件
3、“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 都是锐角”的否命题为: _______________，否定形式是_____________-
4、已知命题2:6,:,p x x q x Z -≥∈∧若“p q ” q ⌝与“””同时为假命题，求x 的值。

参考答案
1、C
2、D.
3、否定形式：△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 不都是锐角” 否命题：△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A.∠B 不都是锐角”
4、q p ∧ ⌝与“q 同时为假命题，所以p 为真，q 为假。

故⎩⎨⎧<-∈6||2x x Z
x
2,1,0,1-=x。

2019-2020年高中数学 1.4逻辑联结词“且,或,非”二教案北师大选修1-1

2019-2020年高中数学 1.4逻辑联结词“且，或，非”二教案北师大选修1-1教学过程：学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。

在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。

（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。

学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。

问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。

命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

3、归纳定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p读作“非p”或“p的否定”。

命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或”字与下面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗？（1）若x∈A且x∈B，则x∈A∩B。

北师大版高中数学选修1-1同步练测：第一章§4逻辑联结词“且”“或”“非”(含答案详解).docx

高中数学学习材料唐玲出品§4 逻辑联结词“且”“或”“非”（北京师大版选修1-1）一、选择题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1.已知命题所有有理数都是实数；命题:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是（）A.﹁B.C.﹁﹁D.﹁﹁2.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，mα,nβ，有两个命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β,那么( )A.“p或q”是假命题B.“p且q”是真命题C.“非p或q”是假命题D.“非p且q”是真命题3.已知:命题p：“a=1是x＞0,x+≥2的充分必要条件”；命题q：“x∈R,+x－2＞0”,则下列结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题B.命题“（﹁）∧q”是真命题C.命题“p∧（﹁）”是真命题D.命题“（﹁）∧（﹁q）”是真命题4.已知命题p，q,“非p”为假命题是“p或q”为真命题的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p：函数y=的值域为R，命题q：函数y=－是减函数.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，﹁为真命题，则实数a的取值范围是( )A.a≤1B.1＜a＜2C.a＜2D.a≤1或a≥2二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）6.已知命题：函数（）的定义域为（）；命题:若，则函数在（）上是减函数,则下列结论:①命题“且”为真；②命题“或﹁”为假；③命题“或”为假；④命题“﹁且﹁”为假，其中错误的是＿＿＿＿＿＿＿.7.设函数在区间（）上单调递增；.如果“非”是真命题，“或”也是真命题，那么实数的取值范围是．8.已知命题p：x∈[0,π],sin x＜x，那么命题﹁是.9.已知命题p:x∈R,+≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是.三、解答题（本题共4小题,共46分）10.（本小题满分10分）已知“”, “”,若“且”为真命题，试求的取值范围.11.（本小题满分12分）分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假.(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.12.（本小题满分12分）写出由下列各组命题构成的“或”“且”“非”形式的新命题，并判断其真假．（1）：2是4的约数，：2是6的约数；（2）：矩形的对角线相等，：矩形的对角线互相平分；（3）：方程的两个实数根的符号相同，：方程的两个实数根的绝对值相等．13.（本小题满分12分）已知命题方程在上有且仅有一解；命题：只有一个实数满足不等式.若命题“或”是假命题，求的取值范围．答题纸得分：＿＿＿一、选择题6. 7. 8.＿＿＿＿＿9.＿＿＿＿＿三、解答题10.解：11.解：12.解：13.解：参考答案一、选择题1.D解析：不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而只有﹁（﹁）为真命题．2.D解析：显然命题p是假命题，则非p为真命题.由面面垂直的判定定理知命题q为真命题，所以非p且q 是真命题.3.B解析：对于命题p，当a=1时，由均值不等式知，若x＞0,则x+≥2，显然成立.但当x＞0,x+≥2时，a未必取1，所以a=1是x＞0,x+≥2的充分不必要条件，故p为假命题，﹁p为真命题.对于命题q，取x=2，显然成立，所以q为真命题，﹁q为假命题.故命题“（﹁p）∧q”是真命题.4.A解析：∵非p为假命题，∴p是真命题,∴p或q是真命题.当p或q为真命题时，p真q假或p假q真或p真q真.5.B解析：因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p,q一真一假.又﹁p为真命题，故p假q真.p真时，需4－4a≥0，即a≤1；q真时，需5－2a＞1，即a＜2.所以如果p假q真，需1＜a＜2.二、填空题6.①②③解析：由，得，故命题为真，﹁为假．又由，得函数在（）上是增函数，命题为假，﹁为真,所以命题“且”为假，命题“或﹁”为真，命题“或”为真，命题“﹁且﹁”为假．7.（）解析：由题意知：为假命题，为真命题．当1时，由为真命题得；由为假命题结合图像可知：.当时，无解．所以.8.x∈[0,π],sin x≥x解析：把全称量词变为存在量词，再把“＜”变为“≥”,得x∈[0,π],sin x≥x.9.p，p∨q解析：当x=1或x=－1时，p成立，所以p真q假，p∨q真，p∧q假.三、解答题10.解：若成立，则.若成立，则或若“且”为真命题，则真真，所以的取值范围是或11.解：(1)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：相似三角形周长相等，q：相似三角形对应角相等.因为p假q真，所以“p∨q”为真.(2)这个命题是“﹁p”的形式，其中p：9的算术平方根是－3.因为p假，所以“﹁p”为真.(3)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.因为p真q真，所以“p∧q”为真.12.解：（1）或：2是4的约数或2是6的约数，真命题；且：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非：2不是4的约数，假命题.（2）或：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；且：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非：矩形的对角线不相等，假命题.（3）或: 方程的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；且: 方程的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；非：方程的两个实数根符号不相同，真命题.13.解：由，得（）（）.显然,所以或.因为方程在上有且仅有一解,故，或，，所以或.因为只有一个实数满足不等式，所以,解得或.因为命题“或”是假命题，所以命题和都是假命题,所以的取值范围是或或或.。

高中数学：1.4逻辑联结词“且,或,非” 教案 (北师大选修1-1)

第一章常用逻辑用语第4.1节逻辑联结词“且”第4.2节逻辑联结词“或”第4.3节逻辑联结词“非”一、创设情境前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。

本节内容，我们将学习一些简单命题的组合，并学会判断这些命题的真假。

问题1：下列语句是命题吗？如果不是，请你将它改为命题的形式①11>5 ②3是15的约数吗？③0.7是整数④x>8二、活动尝试①是命题，且为真；②不是陈述句，不是命题，改为3是15的约数，则为真；③是假命题④是陈述句的形式，但不能判断正确与否。

改为x2≥0，则为真；例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）。

我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。

三、师生探究问题2：（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别？比前面的命题复杂了，且（1）和（2）明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。

命题（1）中的“或”与集合中并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.命题（2）中的“且”与集合中交集的定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.命题（3否定而得出的新命题.四、数学理论1.逻辑连接词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2. 复合命题的构成简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题3.复合命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.复合命题的构成形式是：p或q；p且q；非p.即：p或q 记作p∨q p且q 记作p∧q 非p (命题的否定) 记作⌝p释义：“p 或q ”是指p,q 中的任何一个或两者.例如，“x ∈A 或x ∈B ”，是指x 可能属于A 但不属于B （这里的“但”等价于“且”），x 也可能不属于A 但属于B ，x 还可能既属于A 又属于B （即x ∈A ∪B ）；又如在“p 真或q 真”中，可能只有p 真，也可能只有q 真，还可能p,q 都为真.“p 且q ”是指p,q 中的两者.例如，“x ∈A 且x ∈B ”，是指x 属于A ，同时x 也属于B （即x ∈A I B ）. “非p ”是指p 的否定，即不是p. 例如，p 是“x ∈A ”，则“非p ”表示x 不是集合A 的元素（即x ∈U A ð）.五、巩固运用例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p 且q 的形式，其中p ：24是8的倍数；q ：24是6的倍数.（2）的命题是p 或q 的形式，其中p ：李强是篮球运动员；q ：李强是跳高运动员.（3）命题是非p 的形式，其中p ：平行线相交。

北师大版数学高二-高中数学1.4逻辑联结词“且“或“非同步练习1 北师大版选修1-1

高中数学 1.4逻辑联结词“且”“或”“非”同步练习1 北师大版选修1-11．命题“菱形的对角线互相垂直平分”是( )(A)简单命题 (B)“非p ”形式的命题(C)“p 且q ”形式的命题(D)“p 或q ”形式的命题 2．下列结论中正确的是( )(A)p 是真命题时，“p 且q ”一定是真命题(B)p 是假命题时，“p 且q ”不一定是假命题(C)“p 且q ”是假命题时，p 一定是假命题(D)“p 且q ”是真命题时，p 一定是真命题3．如果“p 或q ”与“非p ”都是真命题，那么( )(A)q 一定是真命题(B)q 不一定是真命题 (C)p 不一定是假命题(D)p 与q 的真假相同4．“xy ≠0”是指( )(A)x ≠0且y ≠0 (B)x ≠0或y ≠0 (C)x ，y 至少一个不为零 (D)x ，y 不都为零5．命题5:p 的值不超过2，命题2:q 是无理数，则( )(A)命题“p 或q ”是假命题(B)命题“p 且q ”是假命题 (C)命题“非p ”是假命题 (D)命题“非q ”是真命题6．已知U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，若命题A p ∈2:∪B ，则命题∈“⌝p ”是( )(A)2∉A (B)2∈U B(C)2∉A ∩B (D)2∈(U A )∩(U B )7．由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题中，“p 或q ”为真、“p 且q ”为假、“非p ”为真的是( )(A)p ：11不是质数，q ：6是18和15的公约数(B)p ：0∈N，q ：{0}{－1，0}(C)p ：方程x 2－3x ＋1＝0的两根相同，q ：方程2x 2－2＝0的两根互为相反数(D)p：矩形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直8、如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么A．命题p一定是假命题 B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题 D．命题q是真命题或者假命题9、命题p：正方形是菱形；q：正方形是梯形．写出其构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断其真假．参考答案1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6、C 7、D 8、D 9、p或q：正方形是菱形或梯形．(真命题) p且q：正方形是菱形且是梯形．(假命题) 非p：正方形不是菱形．(假命题)。

【测控设计】高二数学北师大版选修1-1课后作业提升：1.4 逻辑联结词“且”“或”“非” Word版含解析[ 高考

§4逻辑联结词“且”“或”“非”课后作业提升1对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中的真命题是()A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析:选项A中还有可能a⊥b;选项C中只需|a|=|b|;选项D中还有可能a=0.答案:B2已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:a∈(A∪B),则命题“非p”是()A.a∈AB.a∈∁U BC.a∉(A∩B)D.a∈((∁U A)∩(∁U B))解析:一般情况下,命题“p或q”的否定为“非p且非q”,所以a∉(A∪B)⇔a∈((∁U A)∩(∁U B)).答案:D3已知命题p:>0;q:lg()有意义,则非p是非q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:由>0,得x>-1,由lg()有意义,得-1<x≤1,则q是p的充分不必要条件,故非p是非q的充分不必要条件.答案:A4已知命题p:点P在直线y=2x-3上,命题q:点P在抛物线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P(x,y)是()A.(0,-3)B.(1,2)C.(1,-1)D.(-1,1)解析:点P(x,y)满足可验证各选项,只有选项C正确.答案:C5如果命题“(p或q)”为假命题,则()A.p,q均为假命题B.p,q均为真命题C.p,q中至少一个为真命题D.p,q中至多有一个为真命题答案:C6写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p”形式的命题,并判断它们的真假.(1)p:是有理数,q:是整数;(2)p:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1),q:不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞).解:(1)p或q:是有理数或是整数;p且q:是有理数,且是整数;非p:不是有理数.因为p假,q假,所以“p或q”为假,“p且q”为假,“非p”为真.(2)p或q:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1)或不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞);p且q:不等式x2-2x-3>0的解集是(-∞,-1)且不等式x2-2x-3>0的解集是(3,+∞);非p:不等式x2-2x-3>0的解集不是(-∞,-1).因为p假,q假,所以“p或q”为假,“p且q”为假,“非p”为真.7判断下列命题的真假.(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;(2)方程x2+3x+2=0的根是x=±1;(3)A⊈(A∪B).解:(1)这个命题是“p且q”的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为p真q真,所以“p且q”真,所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p或q”的形式,其中p:方程x2+3x+2=0的根是1,q:方程x2+3x+2=0的根是-1.因为p假q真,所以“p或q”真,所以该命题是真命题.(3)这个命题是“非p”的形式,其中p:A⊆(A∪B).因为p真,所以“非p”假,所以该命题是假命题.8已知:p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p 或q为真命题,p且q为假命题,求m的取值范围.解:p:解得m>2.q:Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,解得1<m<3.∵p或q为真命题,p且q为假命题,∴p为真命题,q为假命题;或p为假命题,q为真命题.即解得m≥3或1<m≤2.∴m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).。

高中数学第一章 1.4.1-1.4.2 逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”作业北师大版选修1-1

1.4.1-1.4.2 逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”[A.基础达标]1．若“p或q”是假命题，则( )A．p是真命题，q是假命题B．p，q均为假命题C．p，q至少有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题解析：选B.“p或q”为假命题⇔p，q均为假命题．2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )A．“p或q”为假，“q”为真B．“p或q”为真，“q”为真C．“p且q”为假，“p”为真D．“p且q”为真，“p或q”为假解析：选B.易知p为假命题，q为真命题，可得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故选B.3．若“x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}”是假命题，则x的取值范围是( )A．5≤x≤6 B．5<x≤6C．5<x<6 D．x<5或x>6解析：选B.因为x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}，即x∈(－∞，5]∪(6，＋∞)，因为该命题是假命题，所以x的取值范围是(5，6]．4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真解析：选D.命题p：x>0⇒x2>0，但x2>0⇒/ x>0，故p为假命题；命题q：在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故q为真命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析：选B.若p为真⇔Δ＝4－4a≥0，即a≤1；若q为真⇔a2－a>0，即a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．若p真q假，a∈[0，1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，综上所述，a∈[0，＋∞)．6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．解析：因为0是自然数，2是无理数，所以p是假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题．答案：p或q7．已知命题p ：不等式|x |≥m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－m x在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，则实数m 的范围是________．解析：p 为真，则m ≤0；q 为真，则2－m ＞0，即m ＜2.由于“p 或q ”为真，所以p 为真或q 为真，或p 、q 都为真，故m 的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．对于命题p 和命题q ，给出下列说法，其中正确说法的序号是________(填序号)． ①“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分条件；②“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分条件；③若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则q 为假．解析：利用“且”命题中全真为真，一假为假，“或”命题中一真为真，全假为假．可得：“p 且q ”为真⇒p 为真，q 为真⇒“p 或q ”为真，可知①正确．答案：①9．(1)用逻辑联结词“且”将命题p 和q 联结成一个新命题，并判断其真假，其中p ：3是无理数，q ：3大于2.(2)将命题“y ＝sin 2x 既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假．解：(1)p 且q ：3是无理数且大于2，是假命题．(2)y ＝sin 2x 是周期函数且是奇函数，是真命题．10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真命题时实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若“p 且q ”为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2，3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1，2)． [B.能力提升]1．已知命题p ：不等式|x x －1|>x x －1的解集为{x |0<x <1}．命题q ：“a ＝b ”是“a 2＝b 2”成立的必要不充分条件，则( )A ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．p 假q 真解析：选A.对于p ：|x x －1|>x x －1，可得xx －1<0，即x ∈(0，1)，故p 为真命题；对于q ：a ＝b ⇒a 2＝b 2，但a 2＝b 2⇒/ a ＝b ，故q 为假命题，易得“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题．2．命题p ：“任意x ∈[1，2]，2x 2－x －m ＞0”，命题q ：“存在x ∈[1，2]，log 2x ＋m＞0”，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．－1≤m ≤1解析：选C.p 为真时，m ＜2x 2－x ，x ∈[1，2]恒成立，2x 2－x 在x ∈[1，2]上的最小值为1，所以m ＜1；q 为真时，m ＞－log 2x ，x ∈[1，2]能成立，－log 2x 在[1，2]上的最小值为－1，所以m ＞－1；因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 都是真命题，故－1＜m ＜1.3．命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；命题q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素．若“p 且q ”是真命题，则a 的取值范围为________．解析：由p 为真命题，可得a >1，由q 为真命题，可得a >4.当“p 且q ”为真命题时，p ，q 都为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >4，解得{a |a >4}．答案：{a |a >4}4．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(9－4a )x 在R 上是减函数，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：先求出命题p ，q 为真命题时实数a 的取值范围，x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝(2a )2－4×1×4＜0，解得－2＜a ＜2，即命题p ：－2＜a ＜2；函数y ＝－(9－4a )x 在R 上是减函数，则9－4a ＞1，得a ＜2，即命题q ：a ＜2.“p 或q ”为真命题，则p 和q 至少有一个为真，“p 且q ”为假命题，则p 和q 至少有一个为假，所以p 和q 一真一假，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]5．设有两个命题：p ：关于x 的不等式sin x cos x >m 2＋m 2－1的解集是R ；q ：幂函数f (x )＝x 7－3m 在(0，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求m 的取值范围．解：因为“p 且q ”是假命题，所以p ，q 中至少有一个是假命题．因为“p 或q ”是真命题，所以p ，q 中至少有一个是真命题．故p 和q 两个命题一真一假．若p 真，则2m 2＋m －2<－1，即2m 2＋m －1<0，所以－1<m <12. 若q 真，则7－3m <0，所以m >73. p 真q 假时，－1<m <12；p 假q 真时，m >73. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞. 6．(选做题)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①对任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②存在x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解：将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解；②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．若g (x )＝2x －2<0，则x <1.又因为对任意x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0，所以[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知，m 不可能大于或等于0，因此m <0.当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0.当2m ＝－m －3，即m ＝－1时，f (x )<0的解集为{x |x ≠－1}，满足条件．当2m >－m －3，即－1<m <0时，f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}．依题意2m <1，即m <12，所以－1<m <0. 当2m <－m －3，即m <－1时，f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}．依题意－m －3<1，即m>－4，所以－4<m<－1.因此满足①的m的取值范围是－4<m<0.②中，因为当x∈(－∞，－4)时，g(x)＝2x－2<0，所以问题转化为存在x∈(－∞，－4)，f(x)>0，即f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m<0，则(x－2m)(x＋m＋3)<0.由①的解法知，当－1<m<0时，2m>－m－3，即－m－3<－4，所以m>1，此时无解．当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.综合①②可知满足条件的m的取值范围是－4<m<－2.。

高中数学第1章常用逻辑用语 4 逻辑联结词“且”“或”“非”课后演练提升北师大版选修1-1(

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"“非”课后演练提升北师大版选修1—1一、选择题（每小题5分，共20分）1．若p是真命题，q是假命题，则（)A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题解析：q是假命题,故¬q是真命题，故选D.答案:D2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“¬p”为真的一组为( ）A．p：2∈Q，q:∅A B．p：π＜3，q:5＞3C．p：a∈｛a，b｝，q：{a}{a，b｝D．p：Q R,q：N＝Z解析：若“¬p"为真，则p为假．又p或q真,p且q假,所以q真．故选B.答案:B3．“p或q为假命题”是“¬p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“p或q为假命题"可知，p、q均为假命题，故¬p为真命题．而由“¬p为真命题”可知p为假命题,而q的真假不定，“p或q”也可能是真命题．故选A。

答案：A4．若p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上,则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是( )A．（0,－3) B．（1，2）C．（1，－1）D．(－1，1)解析：由题意知点P的坐标满足错误!，故可验证各选项,只有C正确．答案:C二、填空题(每小题5分，共10分）5．若命题p：不等式4x＋6>0的解集为错误!，命题q：关于x的不等式(x－4）（x－6）<0的解集为{x|4〈x〈6｝，则“p且q”“p或q”“¬p”形式的复合命题中的真命题是________．解析：因命题p为真命题，q为真命题，所以“¬p”为假命题，“p或q”“p且q"为真命题．答案：“p或q”“p且q”6．设命题p：2x＋y＝3;q：x－y＝6.若p∧q为真命题,则x＝____,y＝______。

北师大版数学-选修1-1 1.4 逻辑联结词“且“或“非课时闯关

选修1-1 1.4 逻辑联结词“且”“或”“非”课时闯关（含解析）[A级基础达标]1.(2011·高考北京卷)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．﹁p是真命题D．﹁q是真命题解析：选D.由于p是真命题，q是假命题，所以﹁p是假命题，﹁q是真命题，p且q是假命题，p或q是真命题．2.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真解析：选B.“p或q”的否定是真命题，故“p或q”为假命题，所以p假q 假．3.(2012·宿州检测)已知命题p：1x＋1＞0；命题q：lg(x＋1＋1－x2)有意义，则﹁p是﹁q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由p，得x＞－1，由q，得－1＜x≤1，则q是p的充分不必要条件，故﹁p是﹁q的充分不必要条件．4.若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题(“真”或“假”)．解析：∵﹁p 真，∴p 假，又p 或q 真，∴q 真．答案：真5.(2012·新余调研)若“x ∈[2，5]或x ∈{x |x ＜1或x ＞4}”是假命题，则x 的范围是________．解析：∵原命题为假命题，∴⎩⎨⎧x ＞5或x ＜2，1≤x ≤4，∴1≤x ＜2. 答案：[1，2)6.(2012·蚌埠质检)已知命题p ：关于x 的不等式ax 2＋2x ＋3≥0解集为R .如果﹁p 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵﹁p 为真命题，∴p 为假命题．当p 是真命题时，即关于x 的不等式ax 2＋2x ＋3≥0解集为R 时，应有⎩⎨⎧a ＞0Δ≤0，即⎩⎨⎧a ＞04－12a ≤0，解得a ≥13. ∴当p 为假命题时，a ＜13. 即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13. [B 级能力提升]7.已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14＜0；命题q ：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列命题正确的是( )A ．p 或q 真B ．p 且q 真C ．﹁q 真D ．p 真解析：选A.易知p 假，q 真，故p 或q 为真．8.(2012·焦作调研)下列各组命题中，满足“‘p 或q ’为真、‘p 且q ’为假、‘非p ’为真”的是( )A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：在△ABC 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ；q ：y ＝sin x 在第一象限内是增函数C ．p ：a ＋b ≥2ab (a ，b ∈R )；q ：不等式|x |＞x 的解集是(－∞，0)D ．p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的面积被直线x ＝1平分；q ：对于任意的x ∈{1，－1，0}，都有2x ＋1＞0解析：选C.若要满足“‘p 或q ’为真，‘p 且q ’为假、‘非p ’为真”，则p 为假命题，q 为真命题．A 中p 为假命题，q 为假命题；B 中p 为真命题，q 为假命题；C 中p 为假命题，q 为真命题；D 中p 为真命题，q 为假命题．9.(2012·亳州质检)已知命题p ，q ，“﹁p 为假命题”是“p 或q 为真命题”的________条件．解析：∵﹁p 为假命题，∴p 为真命题，因此p 或q 为真命题；而p 或q 为真命题时可能有p 假q 真，得不到p 为真命题，故“﹁p 为假命题”是“p 或q 为真命题”的充分不必要条件．答案：充分不必要10.(2012·榆林质检)已知a ＞0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．若“p 且q ”为假，“﹁q ”为假，求a 的取值范围．解：p ：0＜a ＜1，由Δ＝(2a －3)2－4＞0，得q ：a ＞52或a ＜12. 因为“p 且q ”为假，“﹁q ”为假，所以p 假q 真，即⎩⎨⎧a ＞1，a ＞52或a ＜12.∴a ＞52. 11.(创新题)是否存在同时满足下列三个条件的命题p 和命题q ？若存在，试构造出这样的一组命题；若不存在，请说明理由．①“p 或q ”为真命题；②“p 且q ”为假命题；③“非p ”为假命题．解：由①知，命题p ，q 中至少有一个为真命题，由②知，命题p ，q 中至少有一个为假命题，从而，命题p ，q 中一个为真命题，一个为假命题．由③知，p 为真命题，因此命题q 为假命题．综上知，满足题设三个条件的命题p，q存在，可举例如下：p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的两条对角线相等．。

北师大版数学数学 1.4.3逻辑联结词“非同步练习北师大版选修1-1

2015年高中数学 1.4.3逻辑联结词“非”同步练习北师大版选修1-1 课时目标 1.掌握逻辑联结词“非”的含义；正确应用逻辑联结词“非”解决问题.2.掌握真值表并会应用真值表判断含逻辑联结词的命题的真假.3.培养严谨的学习态度和严谨缜密的思维品质．1．命题綈p的概念一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．2．命题关键词和命题的真假(1)命题的否定要对命题的结论进行否定，主要是否定命题中的关键词，如把：“是”改为“________”，“大于”改为“__________”等；(2)若p是真命题，则綈p必是__________；若p是假命题，则綈p必是__________．一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p或q”为真，“綈q”为假B．“p且q”为假，“綈p”为真C．“p且q”为假，“綈p”为假D．“p或q”为真，“綈p”为真2．已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若命题p：2∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )A.2∉AB.2∈∁S BC.2∉A∩BD.2∈(∁S A)∩(∁S B)3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设p 、q 是两个命题，则新命题“綈 (p 或q )为假，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为假D ．p 为真，q 为假5．已知命题p ：函数y ＝2|x －1|的图像关于直线x ＝1对称，命题q ：函数y ＝x ＋1x 在(0，＋∞)上是减函数，下面结论正确的是( )A ．命题p 且q 是真命题B ．命题“p 且非q ”是假命题C ．命题“非p 或q ”是真命题D ．命题“非p 且非q ”是假命题 6．“a 2＋b 2≠0”的含义是( ) A ．a ，b 不全为0 B ．a ，b 全不为0 C ．a ，b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0二、填空题7．命题p ：{2}∈{1,2,3}，q ：{2}⊆{1,2,3}，对命题的判断如下：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是________(填上你认为正确的所有序号)． 8．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >－b a ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题中的真命题是________．9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p或q、p且q、綈p中的真命题是________．三、解答题10．写出下列命题的“非p”命题，并判断其真假：(1)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0有实数根．(2)平方和为0的两个实数都为0.(3)若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角是锐角．(4)若abc＝0，则a，b，c中至少有一为0.(5)若(x－1)(x－2)＝0，则x≠1且x≠2.11．指出下列命题的形式，并判断真假：(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零．能力提升12．下列四个命题： ①任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0；②若命题“p 且q ”为真命题，则命题p 、q 都是真命题；③若p 是綈q 的充分而不必要条件，则綈p 是q 的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上) 13．已知命题p ：⎩⎨⎧x ＋3≥0，x －10≤0，命题q ：2－m ≤x ≤2＋m ， m >0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．1．命题的否定和否命题命题p的否定是綈p，又叫非命题，只对命题的结论进行否定，条件不变；而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论．2．非命题的综合应用利用非命题的真假可以确定参数的范围．解题时可以先确定命题p为真时其中参数的范围，和集合的“补集”关系相对应，求出命题綈p为真时对应参数的范围．4.3 逻辑联结词“非”知识梳理1．綈p非p2．(1)不是不大于(2)假命题真命题作业设计1．C2．D3．C4．C5．D6．A7．①④⑤⑥解析因为命题p假、q真，根据真值表，命题可以判定p且q为假、非p 为真、非q为假．8．綈p解析∵p、q均为假命题，∴“p或q”、“p且q”为假命题，“綈p”为真命题．9．綈p解析对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝12，故q假，所以p或q假，p且q假．这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.10．解(1)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根(真)；(2)平方和为0的两个实数不都为0(假)；(3)若△ABC是锐角三角形，则△ABC的任何一个内角不都是锐角(假)；(4)若abc＝0，则a，b，c中没有一个为0(假)；(5)若(x－1)(x－2)＝0，则x＝1或x＝2(真)．11．解(1)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即非p为假命题，所以已知命题为假命题．(2)此命题是“綈p”的形式，其中p ：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m 、n 、a 、b 全为零．因为p 是真命题，所以已知命题为假命题． 12．①②③13．解 p ：x ∈，q ：x ∈，m >0，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒p . ∴．∴⎩⎨⎧m >0，2－m ≤－3，2＋m ≥10.∴m ≥8.故实数m 的取值范围为[8，＋∞)．。