机械工程控制基础第三章时间响应优秀课件
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工程控制基础 第3章 系统的时间响应分析
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
12
T：时间常数
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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机械工程控制基础
29
3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
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机械工程控制基础
第三章 机械工程控制基础
dxo (t ) xo (t ) xi (t ) dt 1 传递函数 G( s) T 时间常数 Ts 1
微分方程 T
机械工程控制基础 2012.3
3.3
一阶系统的时间响应
第三章 系统的时间响应分析
2.单位脉冲响应
xi (t ) (t )
X i ( s) 1
1 X o ( s) X i ( s)G( s) Ts 1
0
机械工程控制基础 2012.3
t
3.3
一阶系统的时间响应
第三章 系统的时间响应分析
4. 响应对比
机械工程控制基础 2012.3
3.3
一阶系统的时间响应
第三章 系统的时间响应分析
机械工程控制基础 2012.3
3.3
一阶系统的时间响应 一阶系统性能总结
第三章 系统的时间响应分析
(1) 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条按指数规律单调上升 的曲线，不具有周期性，没有振荡，也不存在超调问题。
U c (s) 1 G(s) U 0 ( s ) RCs 1
uc (t ) u0 u0e
系统的稳 态响应
1 t RC
u0 1 U c ( s) U 0 ( s) G( s) s RCs 1
系统的瞬 态响应
机械工程控制基础 2012.3
3.1
时间响应及其组成
第三章 系统的时间响应分析
2、根据惯性环节的标准式可知：T＝0.1 根据要求，当误差范围为5％时，ts＝3T＝0.3（秒）。
机械工程控制基础 2012.3
3.3
一阶系统的时间响应
第三章 系统的时间响应分析
3、如果要求 ts=0.1秒，求Kt 首先求出系统含有Kt的传递函数：
机械工程控制基础(3章)
3.4 二阶系统
一. 二阶系统的表示 二阶系统的传递函数有如下两种形式：
其中，ξ,ωn是二阶系统的特征参数，它们表明二阶系统本身的与外界 无关的固有特性。一般将式（3.4.1）所示的系统称为无零点的二阶系统或 典型的二阶系统，而将式（3.4.2）所示的系统称为有零点的二阶系统。在 不特别声明的情况下，本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。
3.4 二阶系统
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图3.4.4所示，其瞬态性能 指标包括上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp、调整时间ts、振 荡次数N等。 1．上升时间tr：响应曲线从原工作状态 出发，第一次达到输出稳态值所需的时 间定义为上升时间。
当ξ一定时， ωn增大，tr就减小；当ωn 一定时， ξ增大，tr就增大。
3.4 二阶系统
3.4 二阶系统
二. 二阶系统的单位脉冲响应ω(t)和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下，二阶系统的单位脉冲响应ω(t)和单位阶跃响应如 下表所示。
3.4 二阶系统
其中， ，称ωd为二阶系统的有阻尼固有频率；
当ξ取值不同时，二阶欠阻尼系统的单位 脉冲响应曲线如图3.4.2所示。由图可知， 欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正 弦振荡曲线，且ξ愈小，衰减愈慢，振荡频 率ωd愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡 系统，其幅值衰减的快慢取决于ξωd （1/ ξωd称为时间衰减常数，记为σ）。
3.4 二阶系统
3.4 二阶系统
3.5 高阶系统
大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。这种 用高阶微分方程描述的系统叫做高阶系统。高阶系统均可化为零阶、一阶 和二阶环节的组合。而一般所重视的是系统的二阶环节，特别是二阶振荡 环节。 高阶系统传递函数的普遍形式可表示为
机械工程控制基础 第三章
二． 一阶系统的单位i (t ) u (t ), L[u (t )] s
由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2
t
0 T
xou (t )
ou (t ) x
1 T
0 0.632
1 0.368 2 T
0.135 1 T2
2T
4T ∞
0.865
反之，只要有一个 Re si 0，自由响应随着时间逐渐增大，当 时，自由响应也趋于无限大，即系统的自由响应项发散，
这种系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。
稳态响应:指强迫响应。
不难理解，系统微分方程的特征根si就是系统传递函数的极点pi
第二节 典型输入信号
系统的输入信号 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、 比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信 号，比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信 号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号即典 型输入信号来评价系统性能是合理的。
第四节 二阶系统
典型二阶系统的数学模型 二阶系统的标准形式：
2 X o ( s) wn G( s) 2 2 X i ( s) s 2wn s wn
X i ( s)
2 wn s( s 2wn )
X o ( s)
式中， 为系统的阻尼比； n 为系统的无阻尼固有频率。
相应的方块图如右图所示。 二阶系统的动态特性，可以用 和 n 加以描述。
通常，给控制系统施加一定的输入信号，考察系统的输出 响应来分析系统性能。 系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应 除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和输入信号的形式 有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。 常用的典型输入信号有脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、 等加速度信号和正弦信号。
机械工程控制基础培训课件
Y (s) 6(s 2) R(s) (s 7) y(0 ) y(0 ) 6r(0 )
s2 7s 12
s2 7s 12
y(t ) L1[Y (s)] L1[ 6(s 2) R(s)] L1[ (s 7) y(0 ) y(0 ) 6r(0 ) ]
s2 7s 12
s2 7s 12
制作：华中科技大学 熊良才、吴波、陈良才
2.时间响应的组成
求 y 7 y 12 y 6r 12r (其中，r(t ), y(t )分别为 系统的输入和输出)在r(0 ), y(0 ), y(0 )时的解。
解：在初始条件下，对 微分方程两边分别进行 Laplace变化得：
[s2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 7[sY (s) y(0 )] 12Y (s) 6[sR(s) r(0 )] 12R(s)
s s3 s4
s3 s4
1 2e 3t 3e 4t 5e 3t 4e 4t u(t ) 7e 3t 7e 4t
零状态响应 零输入响应
强迫响应 自由响应
-3，-4是系统传递函数的极点（特征根）
2
零状态响应项：B(t)
A e sit 1i
2
零输入响应项：
A e sit 2i
i 1
i 1
机械工程控制基础
熊良才、吴波、陈良才
第三章 时间响应分析
一、时间响应及其组成
1.时间响应 时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，即 系统微分方程在一定初始条件下的解。 系统在外界（输入或扰动）的作用下，从一定的初始状 态出发，所经历的由其固有特性所决定的动态历程。亦 即系统微分方程在一定初始条件下的解。 研究时间响应的目的在于分析系统的稳定性、响应的快 速性与响应的准确性等系统的动态性能。
《机械工程控制基础》(杨叔子主编)PPT第三章+系统时间响应分析
KH
X o (s) 10K 0 /(0.2 s 1) G(s) K0 X i (s) 1 G ( s ) K H 1 10K H /(0.2s 1) 10K 0 1 10K H 0.2 s 1 1 10K H
若将调节时间减至原来的0.1倍，但 总放大系数保持不变，则：
单位脉冲响应为：
26
3.3 一阶系统
例2:一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调 节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈系数应 如何调整？ 100 Xi(s) Xo(s) 解：系统的闭环传递函数为：
G(s) 100 / s 10 1 0.1100 / s 0.1s 1
式中，h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲 的宽度取趋于零的极限, 则有
t 0 (t ) x(t ) 0 t 0 称此函数为单位脉冲函数(见图) 。 其拉氏变换的表达式为：
18
3.2 典型输入信号
5. 正弦函数
正弦函数(如图所示）的时域表达式为
xi (t ) A sin t
第三章 系统的时间响应分析
◆ 时间响应及其组成
◆ 典型输入信号 ◆ 一阶系统 ◆ 二阶系统 ◆ 系统误差分析与计算 ◆ 利用MATLAB分析时间响应 习题：3.2 3.7 3.10 3.12 3.15 3.18
1
引言
在建立系统的数学模型（微分方程与传递函数）之 后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分
于
wn ,因为其倒数称为时
间衰减常数，记为
。
38
3.4 二阶系统（的时域分析）
1
39
3.4 二阶系统（的时域分析）
由
1 式，有：
第三章系统的时间响应分析.pptx
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机械工程控制基础
10
3.1 时间响应及其组成
➢ 控制系统中典型输入信号
单位脉冲信号
单位阶跃信号
单位斜坡信号
单位抛物线信号
正弦信号
随机信号
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统： 微分方程
传递函数：
T：时间常数
若存在特征根具有正实部， 若存在特征根实部为0，
系统自由响应项发散， 其余实部为负，则自由响应
系统不稳定
称为瞬态响应项等幅振荡
系统临界稳定
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3.1 时间响应及其组成
➢ 系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
➢ 结论
➢ 特征根实部影响自由响应项的收敛性
13
T：时间常数
单位脉冲响应
单位阶跃信号
单位斜坡信号
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机械工程控制基础
14Biblioteka 3.2 一阶系统时间响应➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
T：时间常数
➢ 性能指标：调整时间ts
➢ 一阶系统地阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-△）所需要的时间 （ △为允许误差） 稳态值
△·稳态值
➢ 若所有特征根均有负实部，系统自由响应项收敛，系 统稳定，此时自由响应称为瞬态响应，强迫响应项称
为稳态响应
➢ 若存在特征根实部为正，系统自由响应项发散，系统 不稳定
➢ 若存在特征根实部为0，其余实部为负，则自由响应 等幅振荡,系统临界稳定
机械工程控制基础chapter3(系统的时间响应分析)
， 稳态项：t-T
第三章 系统时间响应分析
第三节 一阶系统的时间响应 不同时间常数下的响应情况 单位脉冲信号 单位阶跃信号 单位斜坡信号
第三章 系统时间响应分析
第三节 一阶系统的时间响应 一阶系统的性能指标：调整时间ts
稳态值 o
x (t )
0.95
∆
0.982
0.865 0.632 A
0 T
ts
1 1 −t ] = e T , (t ≥ 0) Ts + 1 T
T
瞬态项：妥 e
2、单位阶跃响应 xi ( s) = u (t )
1 1 1 X i ( s ) = , X o ( s) = G ( s) X i ( s ) = ， 于是有响应函数： s Ts + 1 s
1 T
−t
1 −t T e 0.135 T T 0.018 T T 2T 4T
第三章 系统时间响应分析
第四节 二阶系统的时间响应 二阶系统：
2 ωn X o ( s) G( s) = = , ωn： 无阻尼固有频率， ξ： 阻尼比。 2 2 X i ( s) s 2 + 2ξωn s + ωn
2、二阶系统的单位阶跃响应
其中 ： ω d = ω n 1 − ξ 2
(1)、当：0<ξ<1时:
第三章 系统时间响应分析
第一节 时间响应及其组成 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上， 就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 自由响应 强迫响应
零输入响应 讨论：
零状态响应
1、系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关； 2、由y（t）=L-1[G(s)X(s)]所求得的输出是系统的零状态响应; 3、对于线性定常系统,若x(t)引起的输出为y(t),则由x’(t)引起的 输出为y’(t);
机械工程控制基础3-6(1)
K p K gT 0.5
本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。
例3-4 设复合控制系统如图3-38所示。其中
K1 2K 2 1， T2 0.25s， 试求 r(t) (1 t t 2 / 2)1(t) 时， 系统的稳态偏差。
解：系统的闭环传递函数为
K2K3 1
sK3 K1
因此稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容。
讨论稳态误差的前提是系统必须稳定。稳态误差是在初 始平衡条件下加入输入信号，经过足够长的时间，其暂态响 应部分已经衰减到微不足道时，系统响应的期望值与实际值 之差。因此，只有稳定的系统，讨论稳态误差才有意义。
一、系统的误差 e(t)与偏差 (t)
二、误差 e(t)的一般计算
III型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态偏差为零。
表 3.6.1
4. 有限个典型信号构成的组合信号作用下的稳态偏差计算
设给定组合信号 为：
利用线性系统的
叠加原理，可得
显然，只有II型以上系统才能跟踪上述给定信号。 各静态无偏系数的大小反映了系统限制或消除稳态偏差能 力，系数值越大，则给定输入时的稳态偏差越小。
对于I型系统， =1，Ka=0, ss= ; 对于II型系统， =2，Ka=K, ss= 1/K;
对于III型及以上系统， >=3，Ka= , ss = 0。
可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，偏差越来越大； II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态 误差，可 用增加K的方法提高稳态精度；
ess 1/ K a 0.5
3-5
为减小稳态偏差，可在稳定条件允许的前提下增大K值。
若要求系统对阶跃输入的稳态偏差为零，则应使系统的 类型高于或等于I型。
本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然满足。解毕。
例3-4 设复合控制系统如图3-38所示。其中
K1 2K 2 1， T2 0.25s， 试求 r(t) (1 t t 2 / 2)1(t) 时， 系统的稳态偏差。
解：系统的闭环传递函数为
K2K3 1
sK3 K1
因此稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容。
讨论稳态误差的前提是系统必须稳定。稳态误差是在初 始平衡条件下加入输入信号，经过足够长的时间，其暂态响 应部分已经衰减到微不足道时，系统响应的期望值与实际值 之差。因此，只有稳定的系统，讨论稳态误差才有意义。
一、系统的误差 e(t)与偏差 (t)
二、误差 e(t)的一般计算
III型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态偏差为零。
表 3.6.1
4. 有限个典型信号构成的组合信号作用下的稳态偏差计算
设给定组合信号 为：
利用线性系统的
叠加原理，可得
显然，只有II型以上系统才能跟踪上述给定信号。 各静态无偏系数的大小反映了系统限制或消除稳态偏差能 力，系数值越大，则给定输入时的稳态偏差越小。
对于I型系统， =1，Ka=0, ss= ; 对于II型系统， =2，Ka=K, ss= 1/K;
对于III型及以上系统， >=3，Ka= , ss = 0。
可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，偏差越来越大； II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态 误差，可 用增加K的方法提高稳态精度；
ess 1/ K a 0.5
3-5
为减小稳态偏差，可在稳定条件允许的前提下增大K值。
若要求系统对阶跃输入的稳态偏差为零，则应使系统的 类型高于或等于I型。
机械控制基础系统时间响应分析PPT课件
4.掌握阶跃响应超调量、 调整时间的概念和计算
14
第14页/共61页
3.4.1 二阶系统模型
二阶系统 ——
T
2
d 2 xo (t) dt 2
2T
dxo (t) dt
xo (t)
xi (t)
可用二阶微分方程完全描述的系统；
其对应的物理系统有两个不同形式的储能元件；
系统的数学模型有两个特征参数，即无阻尼固有频率n和阻尼比。
8
第8页/共61页
3.3.3 一阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应：当系统的输入信号是理想的单位阶跃函数时，系
统的输出称为单位阶跃响应函数，简称为单位阶跃响应。
单 位 单位阶跃函数的拉氏变换： 阶 跃 单位阶跃响应的拉氏变换： 响应
X
X
i o
(s)
(s)
L[u(t)]
G(s) X i
1 s
(s)
G(s)
斜坡响应的调整时间仍然为4T，对本题即为1分钟， 用稳态时水温的实际值减去温度计的指示值（温度 计斜坡响应值）即为温度计的稳态指示误差。
12
第12页/共61页
课后作业
第五版教材113页： 3.5，3.7 第六版教材120页： 3.4，3.5
注：同一题目在第五、六版教材中的题号可能不同。
13
第13页/共61页
单位脉冲响应：当系统的输入信号是理想的单位脉冲函数时，系
统的输出称为单位脉冲响应函数，简称为单位脉冲响应，用w(t)表示。
单位 脉冲 响应 的求取
单位脉冲函数的拉氏变换： Xi (s) L[ (t)] 1 单位脉冲响应的拉氏变换： W (s) Xo (s) G(s)Xi (s) G(s)
系统的单位脉冲响应：w(t)
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3.4.1 二阶系统模型
二阶系统 ——
T
2
d 2 xo (t) dt 2
2T
dxo (t) dt
xo (t)
xi (t)
可用二阶微分方程完全描述的系统；
其对应的物理系统有两个不同形式的储能元件；
系统的数学模型有两个特征参数，即无阻尼固有频率n和阻尼比。
8
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3.3.3 一阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应：当系统的输入信号是理想的单位阶跃函数时，系
统的输出称为单位阶跃响应函数，简称为单位阶跃响应。
单 位 单位阶跃函数的拉氏变换： 阶 跃 单位阶跃响应的拉氏变换： 响应
X
X
i o
(s)
(s)
L[u(t)]
G(s) X i
1 s
(s)
G(s)
斜坡响应的调整时间仍然为4T，对本题即为1分钟， 用稳态时水温的实际值减去温度计的指示值（温度 计斜坡响应值）即为温度计的稳态指示误差。
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课后作业
第五版教材113页： 3.5，3.7 第六版教材120页： 3.4，3.5
注：同一题目在第五、六版教材中的题号可能不同。
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单位脉冲响应：当系统的输入信号是理想的单位脉冲函数时，系
统的输出称为单位脉冲响应函数，简称为单位脉冲响应，用w(t)表示。
单位 脉冲 响应 的求取
单位脉冲函数的拉氏变换： Xi (s) L[ (t)] 1 单位脉冲响应的拉氏变换： W (s) Xo (s) G(s)Xi (s) G(s)
系统的单位脉冲响应：w(t)
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机械工程控制基础 第三章时间响应
3.1 时域响应以及典型输入信号
信号的分类
周期信号 确定性信号
信号
非周期信 号
正弦信号 一般周期信号 准周期信号 瞬态信号
非确定性信号 （随机信号）
Back
3.1.1 时域响应的组成
Ø 一般形式 Ø 瞬态响应 Ø 稳态响应
3.1.2 典型输入信号
Ø 阶跃函数 Ø 斜坡函数 Ø 加速度函数 Ø 脉冲函数 Ø 正弦函数
r (t)
r (t)
Back
随机信号
r (t)
干扰、 电压不稳、 风载荷
3.2 一阶系统的瞬态响应
Back
3.2.1 一阶系统(用一阶微分 方程就可描述完全的系统)的 形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
Back
以下两个系统，在不计质量m时均为一阶 系统。
xi(t)
t
m
2
T
t cos
2
T
t
m
cos
2
T
t
t
m
2
T
m
m sin( t ) m 正弦信号的振幅； 初始相角；
振荡的角频率，其值为 = 2 ， T
T 振荡周期。
3 脉冲信号
单位脉冲信号 (t)
r (t)
1 h
r (t)
Back
4 等速和等加速信号
等速(单位 斜坡)信号
等加速(单位 抛物线) 信号
反映了信号加入瞬间，系统对输入的反应速度。
3）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）ts Back
调整时间也称为过渡过程时间，理论上应为 无穷大，工程上按响应值在一定范围内变化进 行定义。
t=T xo(t)=63.2% 实验法求T
t=3T xo (t)=95% 允许误差 5% 调整时间 ts=3T
xi(t)(t)
R(s) 1
1
C(s)
1 1 Ts 1
s
T
1
T
c(t)
1
1t
eT
(t0)
T
(只包含瞬态分量)
Back
l 线性定常系统的一个性质
对于一阶系统
xi(t)(t)
xi(t) 1 xi(t) t
R(s) 1
R(s) 1 s
R(s)
1 s2
xo
(t)
1 T
1
eT
t
1t
xo(t) 1e T
1t
系统输入 xi(t)t1(t)
X
o (s)
1 Ts 1
1 s2
R(s)
1 s2
1 s2
T s
T s
1
T
1t
xo(t)tTTeT (t0)
Back
2 斜坡响应性质
① 经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速 率近似与输入相同；
② 输出相对于输入滞 后时间T；
• 系统的单位脉冲响应
特征参数 特征根 阻尼
阶跃响应 脉冲响应 斜坡响应
1 二阶系统的特征参数
Back
可用二阶微分方程完全描述的系统为二阶系
统，典型的二阶系统传递函数为:
G(s)s2
n2 2nsn2
式中：ωn为无阻尼固有频率,为阻尼比。ωn、 是二阶系统的特征参数， 它们表明二阶系统本 身与外界作用无关的特性，即传递函数的分母
3.1.1 时域响应的组成
Back
1 时域响应( 时间响应 )的一般形式
a n y ( n ) ( t ) a n 1 y ( n 1 ) ( t ) a 1 y ( t ) a 0 y ( t ) x ( t )
解微分方程
自由响应
强迫响应
n
n
y(t) A 1 iex sit) p (A 2 iex sit) p B ((t)
l 按响应形态，时域响应可分为：
① 瞬态响应:在输入作用下系统输出从初始状态到稳定状 态的响应过程.
② 稳态响应:在输入作用下系统在时间趋于无穷大时的输 出.
3.1.2 典型输入信号
Back
1 阶跃信号
卸载加载 A=1时称为单位阶跃信号
2 正弦信号
(t) m
T
Back
m
sin t
m
sin
2
T
i 1
i 1
零输入响应
零状态响应
系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规律,称 为系统的时间响应,它也是系统动力学微分方程的解.
2 有关概念
Back
l 按振动形式，时域响应可分为： ① 自由响应：由系统结构、参数所决定的输出 ② 强迫响应：由外加输入所决定的输出
l 按输入形式，时域响应可分为： ① 零输入响应：无输入时系统初态引起的输出 ② 零状态响应：系统初态为零仅由输入引起的输出
k
c
xo(t) m=0
xo(t) k
c
m=0 xi(t)
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
1 数学表达式
系统输入 xi(t)1(t)
1 Xi(s) s
1 11 T Xo(s)T s1ssT s1
1t
xo(t) 1e T ( t 0 )
稳态分量
暂态分量
2 响应曲线
1t
xo(t) 1e T ( t 0 )
t=4T xo(t)=98.2% 允许误差 2% 调整时间 ts=4T
4）ln[1-c(t)]与时间t成线性关系
Back
1t
xo(t) 1e T
1t
e T 1xo(t)
1
t T
ln1[xo(t)]
判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
Back
1 数学表达式
xo(t)tTTeT
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。 Example
[例]水银温度计近似可以认为一阶惯性环节， Back 用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟 时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温 度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温 以10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态 指示误差是多少？
Back
随时间增长，稳态误差趋于0
3 有关性质
Back
1t
xo(t) 1e T ( t0 )
1) 阶跃响应的质量取决于特征参数T。
l T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距虚轴距离；
l T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距虚轴距离
Back
2）响应曲线的斜率:
dd(ctt)|t0T1eT1t
1 |t0T
s22 ns n 2 是不随输入变化的。
2 特征方程与特征根
Xi(s)
Xo(s)
G(s)s2
n2 2nsn2
系统的特征方程
s22 nsn 20
闭环特征方程根(闭环极点) s1、2 nn 21
解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一阶系统对于单位斜坡信号的稳态误 差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳 态指示误差为10T=2.5度。
3.3 二阶系统的瞬态响应
Back
本节主要内容
3.3.1
3.3.2 3.3.3 3.3.4
二阶系统有关概念
3.1 时域响应以及典型输入信号
信号的分类
周期信号 确定性信号
信号
非周期信 号
正弦信号 一般周期信号 准周期信号 瞬态信号
非确定性信号 （随机信号）
Back
3.1.1 时域响应的组成
Ø 一般形式 Ø 瞬态响应 Ø 稳态响应
3.1.2 典型输入信号
Ø 阶跃函数 Ø 斜坡函数 Ø 加速度函数 Ø 脉冲函数 Ø 正弦函数
r (t)
r (t)
Back
随机信号
r (t)
干扰、 电压不稳、 风载荷
3.2 一阶系统的瞬态响应
Back
3.2.1 一阶系统(用一阶微分 方程就可描述完全的系统)的 形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
Back
以下两个系统，在不计质量m时均为一阶 系统。
xi(t)
t
m
2
T
t cos
2
T
t
m
cos
2
T
t
t
m
2
T
m
m sin( t ) m 正弦信号的振幅； 初始相角；
振荡的角频率，其值为 = 2 ， T
T 振荡周期。
3 脉冲信号
单位脉冲信号 (t)
r (t)
1 h
r (t)
Back
4 等速和等加速信号
等速(单位 斜坡)信号
等加速(单位 抛物线) 信号
反映了信号加入瞬间，系统对输入的反应速度。
3）调整时间（信号加入到输出稳定所需时间）ts Back
调整时间也称为过渡过程时间，理论上应为 无穷大，工程上按响应值在一定范围内变化进 行定义。
t=T xo(t)=63.2% 实验法求T
t=3T xo (t)=95% 允许误差 5% 调整时间 ts=3T
xi(t)(t)
R(s) 1
1
C(s)
1 1 Ts 1
s
T
1
T
c(t)
1
1t
eT
(t0)
T
(只包含瞬态分量)
Back
l 线性定常系统的一个性质
对于一阶系统
xi(t)(t)
xi(t) 1 xi(t) t
R(s) 1
R(s) 1 s
R(s)
1 s2
xo
(t)
1 T
1
eT
t
1t
xo(t) 1e T
1t
系统输入 xi(t)t1(t)
X
o (s)
1 Ts 1
1 s2
R(s)
1 s2
1 s2
T s
T s
1
T
1t
xo(t)tTTeT (t0)
Back
2 斜坡响应性质
① 经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速 率近似与输入相同；
② 输出相对于输入滞 后时间T；
• 系统的单位脉冲响应
特征参数 特征根 阻尼
阶跃响应 脉冲响应 斜坡响应
1 二阶系统的特征参数
Back
可用二阶微分方程完全描述的系统为二阶系
统，典型的二阶系统传递函数为:
G(s)s2
n2 2nsn2
式中：ωn为无阻尼固有频率,为阻尼比。ωn、 是二阶系统的特征参数， 它们表明二阶系统本 身与外界作用无关的特性，即传递函数的分母
3.1.1 时域响应的组成
Back
1 时域响应( 时间响应 )的一般形式
a n y ( n ) ( t ) a n 1 y ( n 1 ) ( t ) a 1 y ( t ) a 0 y ( t ) x ( t )
解微分方程
自由响应
强迫响应
n
n
y(t) A 1 iex sit) p (A 2 iex sit) p B ((t)
l 按响应形态，时域响应可分为：
① 瞬态响应:在输入作用下系统输出从初始状态到稳定状 态的响应过程.
② 稳态响应:在输入作用下系统在时间趋于无穷大时的输 出.
3.1.2 典型输入信号
Back
1 阶跃信号
卸载加载 A=1时称为单位阶跃信号
2 正弦信号
(t) m
T
Back
m
sin t
m
sin
2
T
i 1
i 1
零输入响应
零状态响应
系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规律,称 为系统的时间响应,它也是系统动力学微分方程的解.
2 有关概念
Back
l 按振动形式，时域响应可分为： ① 自由响应：由系统结构、参数所决定的输出 ② 强迫响应：由外加输入所决定的输出
l 按输入形式，时域响应可分为： ① 零输入响应：无输入时系统初态引起的输出 ② 零状态响应：系统初态为零仅由输入引起的输出
k
c
xo(t) m=0
xo(t) k
c
m=0 xi(t)
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
1 数学表达式
系统输入 xi(t)1(t)
1 Xi(s) s
1 11 T Xo(s)T s1ssT s1
1t
xo(t) 1e T ( t 0 )
稳态分量
暂态分量
2 响应曲线
1t
xo(t) 1e T ( t 0 )
t=4T xo(t)=98.2% 允许误差 2% 调整时间 ts=4T
4）ln[1-c(t)]与时间t成线性关系
Back
1t
xo(t) 1e T
1t
e T 1xo(t)
1
t T
ln1[xo(t)]
判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
Back
1 数学表达式
xo(t)tTTeT
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。 Example
[例]水银温度计近似可以认为一阶惯性环节， Back 用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟 时才指示出该水温的98%的数值（设插入前温 度计指示0度）。如果给加热器加热，使水温 以10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态 指示误差是多少？
Back
随时间增长，稳态误差趋于0
3 有关性质
Back
1t
xo(t) 1e T ( t0 )
1) 阶跃响应的质量取决于特征参数T。
l T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距虚轴距离；
l T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距虚轴距离
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2）响应曲线的斜率:
dd(ctt)|t0T1eT1t
1 |t0T
s22 ns n 2 是不随输入变化的。
2 特征方程与特征根
Xi(s)
Xo(s)
G(s)s2
n2 2nsn2
系统的特征方程
s22 nsn 20
闭环特征方程根(闭环极点) s1、2 nn 21
解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一阶系统对于单位斜坡信号的稳态误 差是T，故当水温以10度/分作等速变换，稳 态指示误差为10T=2.5度。
3.3 二阶系统的瞬态响应
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3.3.1
3.3.2 3.3.3 3.3.4
二阶系统有关概念